有限精度的完备的信号理论
陈光，许奔月
东华大学信息学院，上海松江，201600
摘要：指出现代信号理论存在着不完备性，这种不完备性来自于作为其数学基础的函数理论
的不足。将实数域上的无限精度的函数理论加以改进和扩展为实数等价类集合上的有限精度
的函数理论。基于这种新的函数理论可以形成一个包含不确定性的连续与离散统一的完备的
信号理论。在此基础上所导出的一组有限精度的 Fourier 公式包含了时间和频率的不确定性，
体现了时域与频域的对称性以及连续与离散的统一性，从而构成了一个完备的有限精度的体
系。
关键词：Shannon 抽样定理，信号理论，有限精度函数理论，Fourier 分析
中图分类号：TN0 文献标识码： A
1. 引言
众所周知，现代信号理论是由现有函数理论来表示的。由于现有函数理论是一种建立在
实数域上的无限精度的数学理论，于是现代信号理论具有无限精度的数学形式。然而，任何
实际的信号与系统都存在着某种程度上的不确定性，而具有不确定性的物理对象是不可能用
无限精度的数学形式来表示的。这就产生了数学形式的无限精度与被描述的物理内容的不确
定性之间的矛盾。为了回避这一矛盾，人们实际上是在有限精度的意义上来应用这种无限精
度的理论的。诚然，一个无限精度的理论不可能包含一个有限精度的理论。因此，从这个意
义上说，现代信号理论是不完备的。一个完备的信号理论可以而且必须由一个有限精度的函
数理论来表示。本文将从 Shannon 抽样定理入手来分析现代信号理论的不完备性问题，接着
介绍了一种有限精度的函数理论并将其应用于信号的 Fourier 分析。文中所导出的一组有限
精度的 Fourier 公式包含了时间和频率的不确定性并体现了时域与频域的对称性以及连续与
离散的统一性，从而形成了一个完备的有限精度的体系。由此显示了有限精度函数理论对于
现代信号理论发展的基础性的作用。
2. 由Shannon抽样定理引出的问题
让我们考察一下 Shannon 抽样定理。
Shannon 抽样定理可表述为：如果 一个函数 ( )tf 没有包含任何大于W 的频率分量，
则可由其一系列间隔为 W21 的采样值完全确定[1]。
1
该定理的证明如下：
考虑 的 Fourier 反变换： ( )tf
( ) ( ) ( )1 1 222 2
Wj t j tf t F j e d F j e dW
πω ωω ω ωπ ωπ π
∞= =∫ ∫−∞ −
（1）
其中， ( )ωjF 为 ( )tf 的频谱函数，它在频带 ( )WW ππ 2,2− 之外为零。作 ( )ωjF 在区间
( )WW ππ 2,2− 上的 Fourier 级数展开：
( ) 2j n WF j c enn
ωω ∞ −= ∑=−∞ （2）
其中
( )1 12 224 2
nW j n Wc F j e dn WW W
π ωω ωππ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝= =∫− 2f W ⎠ （3）
注意到这里展开式的系数 是和nc ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
W
nf
2
成比例的，而 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
W
nf
2
为信号 的抽样值。可
见，由 可以确定
( )tf
nc ( )ωjF 。于是，由 Fourier 变换的唯一性知 ( )tf 也可以确定。
将（2）式代入（1）式，并交换积分和求和运算，然后利用（3）式，则可得到 Shannon
抽样公式[2]：
( ) ( )( )
sin 2
2 2
Wt nnf t f
n W Wt n
π
π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∞ −= ∑=−∞ − （4）
根据 Fourier 变换的对称性，抽样定理同样适用于时间有限的函数。这时， 应当满
足的条件为当
( )tf
Tt > 时， =0。它的频谱函数( )tf ( )ωjF 的抽样公式可表示为：
( ) ( )( )
sin
j
T nnF j F
n T T n
ω ππω ω π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∞ −= ∑=−∞ − （5）
可见，在频域或时域上, Shannon 抽样定理中对函数 ( )tf 规定其频率不超过W 或时间变
量的绝对值不超过T 。前者就是通常所说的限带信号，其频谱函数 ( )ωjF 满足当 mωω > 时
为零，而 mω 为信号 的最高频率。后者则是限时信号,其持续时间的长度不超过( )tf T2 。
这里需要引起注意的是关于限带或限时信号的假设。可知，一个物理信号是不可能严格
地限带或限时的。首先，Fourier 变换告诉我们，如果一个信号的持续时间是有限的，则它
的频谱就会延展到无限的频率范围;反之，如果它的带宽是有限的，则它的持续时间将是无
2
限的。先以矩形信号为例。一个矩形信号的表达式如下：
( ) 0 22
E
t
t
g t τ
τ
>
≤⎧⎪⎨⎪⎩
=
。 （6）
它的 Fourier 变换为
( )
2
E SaF ωτω τ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 （7）
我们知道 函数是无限扩展的。因此，对矩形信号来说，将具有无限宽的频率分布。继而，
考虑到任何持续时间有限的信号等于该信号与任何一个在持续时间上包含该信号的单位高
度的矩形信号的乘积，且两个时间信号的乘积对应于其频谱函数的卷积，而由于矩形时间信
号具有无限宽的频谱分布，故可推知任何持续时间有限的信号是不可能存在有限宽的频谱分
布的。又根据 Fourier 变换的对称性，可以推知任何频带宽度有限的信号是不可能存在有限
长的持续时间的。显然，物理上不可能存在一个持续无限时间或具有无限带宽的信号，所以
也不可能有有限带宽或有限持续时间的信号。
Sa
由此看来，任何有限与无限的时频分布都是非物理的，也就是说所有由确定的函数表达
式所表示的信号都是非物理的，从而满足 Shannon 抽样定理条件的信号也是非物理的。这就
意味着,任何实际信号必然伴随着不确定性，从而当我们用一个确定的函数来表示一个实际
信号或者应用 Shannon 抽样定理来进行信号变换时就必然伴随着误差。换言之，现代信号理
论的数学基础是一个建立在实数域上的无限精度的函数理论，由这种函数理论所表示的信号
的数学表达式有着无限的精度。例如，这里从（1）到（7）的所有式子中的变量与函数的取
值都是精确地定义到每一个实数点上的。而物理信号总存在着某种程度的不确定性。于是，
用一个无限精度的函数来表示一个不确定的信号就必然伴随着误差。然而，一个无限精度的
理论体系在其本身的严格意义上是不包含误差的。因此，就物理信号的描述而言，现代的信
号理论是不完备的。当然，现代信息技术的实践已经证明了现代信号理论的有效性。这是因
为人们实际上是在有限精度的意义上来应用这种无限精度的理论的。
此外，还值得注意的是 Shannon 抽样定理的结论：一个限带（限时）的连续的时间信号
（频谱函数）可以由其一组离散的时间（频率）点上的值来确定。但是，一个连续的时间信
号与其频谱函数之间存在由 Fourier 变换所表示的对应关系。然而，由于信号的时频分布是
不对称的，即任一限时（限频）的信号必定是非限频（限时）的，因此时域与频域的抽样定
理的条件不可能同时得到满足，于是便不存在着两者的离散取值点之间的对应关系。而通常
所说的离散 Fourier 变换则只是一种有误差即非严格的时频对应关系。也就是说，在无限精
度的理论体系之中，时域与频域之间的不对称性关联着连续与离散体系之间的不一致性。
由此可知，在理论体系上，需要有一个直接地基于有限精度函数理论的信号理论，使得
在这个理论之中能够完备地描述确定与不确定的信号与系统并达到了连续性与离散性的统
一。
3
3. 有限精度函数理论
以下我们介绍一种建立在实数等价类集合上的有限精度的函数理论[3]。
. 实数的等价类
任一实数总可记为形如 的一个数。其中， 是一个大于 1 的正实数；kkCα C kα 为零或
满足 2
1
2
1 −≥> CC kα 的一个实数； { }LL,2,1,0 ±±⊂k 。
基于实数 定义 阶数实数 。其
中，若
k
kCα i { }LL,2,1,0,,, ±±⊂≥≥= ∑
=
lilkiCA
i
lk
k
kα
0≠kα ， nmk ,= ，且 ，则有nm > 11 −−> C
C
C
C
n
n
m
m
α
α
。
对 阶实数 定义其 i阶的等价类i ∑
=
=
i
lk
k
ki CA α iA ′~ ，使得在 iA ′~ 中任意的两个 i阶实数
和 ，有∑
=
=
i
lk
k
ki CA α ∑
=
=
i
lk
k
ki CB β ii βα = ，且至多相差一个具有给定的 i′γ 的 1−≤′ iγ 阶
的实数 ，并记 。 ∑′
=
′ =
i
lk
k
ki CC γ i
i
i BA
′≈
可知，一个 阶实数的 阶等价类可以表示为i i′ i ′′ 阶等价类的集合，而一个 i 阶等价类可
以表示为 阶等价类的集合等等，其中
′′
i ′′′ L≥′′′≥′′≥′ iii 。另外，我们可以在实数域 R上形
成任何实数的等价类。记R上的实数的等价类的全体为R~ 。
. 函数
一个函数表示自变量与因变量之间的映射。自变量简称变量，而因变量简称函数。变量
与函数均为R~ 上的集合。它们的阶数均随着变量或函数的等价类而变化。
4
. 函数的运算。
. 极限
设 为一 阶函数，A 是一个 i阶实数， 是( )xf i 0x j阶变量的一个元素。称 为 在
上的极限，如果存在 的 阶等价类和 的 i
A ( )xf
0x 0x j′ A ′阶等价类，且当 x属于 的 阶等价类
时， 属于A 的 i 阶等价类:
0x j′
( )xf ′
Α≈′ixf )( ， 。 (8) 0xx
j′≈
. 连续
设 i阶函数 在( )xf R~ 的一个 j阶实数集合上有定义，且对应于该集合中的一个元素
有 i阶函数值 。称函数 在该元素 上连续，如果对应于 的 阶等价类，存在
的 i 阶等价类，且当
0x
( )0xf ( )xf 0x 0x j′
( )0xf ′ x属于 的0x j′阶等价类时， ( )xf 属于 ( )0xf 的 i 阶等价类: ′
, 。 (9) )()( 0xfxf
i′≈ 0xx
j ′
≈
. 导数
定义 i阶实数 为 阶函数( )0xf ′ k ( )xf 的对应于 R~ 的一个 j阶实数集合上的一个元素
的导数，如果在该集合上，对应于 的0x 0x j′阶等价类，存在 阶实数k ( )0xf 的 阶等价类
和 i阶实数 的 阶等价类：
k ′
( )0xf ′ i′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00
0
0
0 ,, xxxfxfxx
xfxfxf
jki ′′′ ≈≈−
−≈′ 。 (10)
其中， x和 不属于同一 阶等价类。 0x 1−′j
称 为( )0xf ′ x的导函数并简称导数，如果 ( )0xf ′ 在 R~ 的一个实数集合中的每一个等价
类的点集的每一个点上均存在。
5
. 微分
设 为( )xf j阶变量 x的 阶函数，且k x属于它的 j′阶等价类中的某一 阶等价类，
而 为
j ′′
xΔ x所属的 j ′′ 阶等价类中的任一元素与相邻的 j ′′ 阶等价类中的任一元素之差，则由
（10）式有
xxfxfxxf
k Δ′≈−Δ+ ′′ )()()( ， 1−′≤′′ kk ， 1−≤′ kk 。
称
，xxfxfxxfdy
k Δ′≈−Δ+≡ ′′ )()()( 1−′≤′′ kk ， 1−≤′ kk 。 (11)
为 阶函数 在k ( )xf x处相应于 的微分。又称 为xΔ xdx j Δ≈′ j阶自变量 x的微分。这里，dy
的阶数为 而 的阶数为1−≤′ kk dx 1−≤′ jj 。
. 积分
（a）不定积分
如果 i阶函数 ( )xf 在 R~ 的一个 j阶实数集合上有定义，且 ( )xf 是 k阶函数 的导
数，或 是
( )xF
( )dxxf ( )xF 的微分，即
x
xFxxFxFxf
ii
Δ
−Δ+≈′≈ ′′ )()()()(
，
或
dxxfxdF
k
)()(
′′≈ ， 1−′≤′′ kk , 1−≤′ kk 。
则称 为 的一个原函数。 ( )xF ( )xf
易证，如果在 R~ 的一个集合上， ( )xF 是函数 ( )xf 的一个原函数，则 ( ) η+xF 也是
的原函数，这里 ，而 为任意的实常数。
( )xf
D
k ′≈η D
称 i阶函数 的 阶原函数( )xf k ( ) η+xF 的全体为 i阶函数 ( )xf 的不定积分，并记
( ) ( )∫ +≈′ ηxFdxxf k 。 （12）
（b）定积分
设 为( )xf R~ 的一个 j阶实数集合上的 阶函数，a和 分别为这个集合上的两个实数且i b
6
ba < ，又设 [ 为这个集合上的包含 和 以及所有小于b和大于 的]ba, a b a j阶实数的 阶等
价类的一个子集，这个子集中的每个
j′
j′阶等价类又包含一组 j ′′ 阶等价类，共具有 1+ω 个 j ′′
阶等价类{ }ω,,1,0, K=lxl ，除了包含 和 的两个a b j ′′ 阶等价类之外，在其它每个 阶等
价类中任取一个实数
j ′′
1,,2,1,~ −=∈ ωKlxx ll 并形成一个实数点列
{ }ωω xxxxj ,...,,, 210′′≈Δ ，
bxxxxa
jj ′′′′ ≈<<<<≈ ω...210 。
定义 ，并形成 k阶和 ω,,2,1,1 K=−≈Δ −
′
lxxx ll
j
l
( ) l
l
l xxf Δ∑
=
−
ω
1
1 或 。 ( ) l
l
xxf Δ∑
=
ω
1
则如果对于任一点列 ，这些和式都是ωΔ k ′阶等价的，便称其为 在f [ ]ba, 上的定积分，并
记
( ) ( ) ( )∑∑∫
=
′
=
−
′ Δ≈Δ≈
ωω
11
1
l
ll
k
l
ll
kb
a
xxfxxfdxxf 。 (13)
以上定义可以直接地推广到多元函数。
. 有限精度函数理论与无限精度函数理论的关系
可知，定义在实数等价类集合上的函数是有限精度的，而定义在实数集合亦即实数域上
的函数理论则是无限精度的。任一无限精度的函数都可以扩展为有限精度的函数。例如，对
于无限精度函数理论意义上的任一连续区间上的函数，可以通过选取特定的标度系数 并
将其变量的取值区间分割为以
C
ω个取值点为中心的一组小区间，同时以一个 j阶实数的 j′
阶等价类来代替一个小区间。由此可以得到相应的以这些 j阶实数的等价类为变量的有限精
度函数，使得有限精度函数在其变量的等价类上的取值为无限精度函数值的一个等价类，并
在任一等价类上保持相应的极限、连续、导数和微分的性质，而在等价类的集合上保持相应
的积分性质，等等。且当 时，有∞→C ∞→ω ，有限精度函数将退化为无限精度函数。
这就意味着：一方面，有限精度的函数理论包含了无限精度的函数理论；另一方面，对于任
一无限精度的体系，可以在保持其形式不变的情况下，将其中的函数与变量及其运算符号均
赋予有限精度函数理论的含义，使之成为一个有限精度的体系。
可知，在有限精度函数理论中可以通过改变标度系数C和阶数 及相应的等价类并由等
价关系而赋予所表示的体系以不同的精度或不确定性，并在极限的条件下退化为无限的精度
i
7
或确定的形式。从而有限精度函数理论将可以统一地描述确定和不确定的系统。
另外，作为有限精度函数理论中函数的值域或定义域的等价类集合一般是一个离散点
集，而作为一种特殊情况在 的极限条件下可能成为一个连续统。于是，有限精度函
数理论将不但可以描述一般意义下的离散系统，而且还可以描述特殊的无限精度意义下的连
续系统，从而达到了离散与连续的统一。
∞→C
由此可见，有限精度函数理论是无限精度函数理论的改进与扩展。
4. 有限精度的Fourier分析
可知，应用有限精度函数理论来表示信号理论将可以包含不确定性，从而形成一个完备
的理论体系。
以下我们推导有限精度的 Fourier 分析。首先，基于无限精度的函数理论，一个函数 ( )tf
如果满足 Dirichlet 条件[4]：
1) 绝对可积，即
( )f t dt∞−∞ < ∞∫ ，
2) 具有限数目的极大值和极小值
3) 在任意有限区间连续或只有有限个第一类间断点，则存在 Fourier 变换
( ) ( ) j tF j f t e ωω dt∞ −−∞= ∫ ， （14）
ωωπ
ω dejFtf tj∫∞∞−= )(21)( 。 （15）
如上所述，我们可对 Fourier 变换赋予有限精度函数理论的含义，也就是用等价类及其
运算关系来分别代替其相关的变量和函数的取值及其运算关系。同时由绝对可积的条件，可
知相应于给定的精度，存在 , i ,C ′ T 和 mω ，使得当 Tt > 和 mωω > 时，有
( ) ( )∫− ′−′ ≈≈ TT itji dtetftf 0,0 ω
和
( ) ( )∫− ′′ ≈≈ mm
i
tj
i
dejFjF
ω
ω
ω ωωω 0,0 。
从而可以得到有限精度的 Fourier 变换为
dtetfjF tj
T
T
i ωω −−
′ ∫≈ )()( ， （16）
ωωπ
ωω
ω dejFtf
tj
i
m
m
∫−′≈ )(21)( 。 （17）
8
由此显示，满足绝对可积条件的信号在有限精度的意义上是限带与限时的。
继而，在有限精度的时频分布的范围内，可作时间和频谱函数的 Fourier 级数展开
T
jtn
T
T
n
n
i
ebtf
m
m
ππ
ω
π
ω
∑
−=
′≈)(
， （18）
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≈≈ ′−−
′ ∫ TjnFTdtetfTb
i
T
jtnT
T
i
n
ππ
2
1)(
2
1
， （19）
m
m
m
nj
T
T
n
n
i
ecjF ω
πωπ
ω
π
ω
ω −
−=
′ ∑≈)(
， （20）
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≈≈ ′−
′ ∫
mm
inj
m
i
n nfdejFc m
m
m ω
π
ω
πωωω
ω
πωω
ω )(2
1
。 （21）
其中， π
ω Tm 为整数。这可以通过选择合适的T 和 mω 而得到。把（18）或（20）式代入（16）
或（17）式，再利用（19）或（21）式则可得到有限精度的 Shannon 抽样公式：
)(
)sin(
)( πω
πω
ω
ππ
ω
π
ω nt
ntnftf
m
m
T
T
n m
i
m
m −
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≈ ∑
−=
′
， （22）
)(
)sin()( πω
πωπω π
ω
π
ω nT
nT
T
jnFjF
T
T
n
i
m
m −
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≈ ∑
−=
′
。 （23）
而由（18）和（19）或（20）和（21）式，并取
m
i
nt ω
π′≈ 和
T
m
i πω ′≈ ，还可得到有限精
度的离散 Fourier 变换
T
jmn
T
T
m
i
m
m
m
m
e
T
jmF
T
nf
π
ω
ππ
ω
π
ω
π
ω
π ∑
−=
′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≈⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
1
， （24）
m
m
m
T
jmn
T
T
n mm
i
enf
T
jmF ω
πππ
ω
π
ω ω
π
ω
ππ −
−=
′ ∑ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
。 （25）
由此可见：（1）有限精度的限时与限带信号具有物理性；（2）包含于上述表达式中的时
间和频率以及时间信号和频谱函数的等价类及其等价关系表示了 Fourier 分析的不确定性，
只要改变等价类及其等价关系就可以赋予它以不同的精度从而容许不同的误差；（3）在这种
9
Fourier 分析中包含了时域与频域的对称性及其连续与离散的统一性。
5. 结论
综上所述，基于 Fourier 变换和 Shannon 抽样定理，我们分析了无限精度信号形式的非
物理性和时频分布的不对称性以及连续与离散的不一致性。考虑到由无限精度的函数理论来
表示具有不确定性的物理信号不可避免地存在着误差。而误差是不可能包含于一个无限精度
的理论体系之中的。因此，现代信号理论是不完备的。
为了消除现代信号理论的不完备性，需要一种新的有限精度的函数理论。这种函数理论
建立在实数等价类的集合上，是建立在实数域上的已有函数理论的改进和扩展，它可以统一
地描述连续与离散以及确定与不确定的信号与系统。
基于新的函数理论所导出的一组有限精度的 Fourier 公式包含了时间和频率以及时间信
号和频谱函数的不确定性，体现了时域与频域的对称性以及连续与离散的统一性，从而构成
了一个完备的有限精度的体系。
参考文献
[1] Abdul J. Jerri．The Shannon Sampling Theorem-Its Various Extensions and Applications: A Tutorial Review
[J]．Proceedings of the IEEE, 1977, 65(11):1565-1596．
[2] Claude Shannon．Communications in the presence of noise [J]．Proc. IRE, 1949, 37(1):10-21．
[3] 陈光, 韩秀玲．概率与信息测度理论的不完备性及其基于有限精度函数理论的改进 [J]．中国科技论文
在线．
[4] Alan , Alan S. Willsky, and S. hamid Nawab．signal and systems, Second Edition[M]． Publishing
House of Electronics Industry, 2004．
10
A complete signal theory with finite precision
Chen Guang Xu Benyue
Information Science and Technology, Donghua University,
Shanghai Songjiang, 201600, China
Abstract
It points out the incompleteness in our existing signal theory which results from the
deficiency of our function theory as it’s mathematical basis. We improve and enlarge the infinite
precision function theory to a finite precision one defined on the set of real number equivalence
classes instead of the real number domain. Base on the new function theory, we can establish a
complete signal theory containing uncertainty applicable to continuous and discrete domain.
Furthermore, we derive a set of finite precision Fourier formulas containing the uncertainty in time
and frequency, which represents the symmetry of time and frequency domain as well as the unity
of continuousness and discreteness thereby forming a complete finite precision system.
Keyword: Shannon sampling theorem, signal theory, finite precision function theory, Fourier
analysis.
11
1. 引言
2. 由Shannon抽样定理引出的问题
3. 有限精度函数理论
. 实数的等价类
. 函数
. 函数的运算。
. 极限
. 连续
. 导数
. 微分
. 积分
. 有限精度函数理论与无限精度函数理论的关系
4. 有限精度的Fourier分析
5. 结论
参考文献
