目录 目录 .................................................................................................................................................. 1 第二章 效用理论 ........................................................................................................................... 2 效用函数............................................................................................................................ 2 选择集上的偏好 ..................................................................................................... 2 效用函数 ................................................................................................................. 3 期望效用理论 .................................................................................................................... 4 随机计划集 ............................................................................................................. 5 圣彼得堡悖论 ......................................................................................................... 6 期望效用表示 ......................................................................................................... 7 期望效用表示的存在性 ....................................................................................... 10 期望效用理论遇到的挑战 ................................................................................... 14 风险态度及其度量 .......................................................................................................... 17 风险态度 ............................................................................................................... 17 风险厌恶的局部度量 ............................................................................................ 19 风险厌恶的整体度量 ........................................................................................... 26 风险资产多于一种的情形 ................................................................................... 29 随机占优.......................................................................................................................... 29 随机占优的思想 ................................................................................................... 29 一阶随机占优 ....................................................................................................... 30 二阶随机占优 ....................................................................................................... 32 其他形式的随机占优 ........................................................................................... 36
第二章 效用理论 刻画个体在不确定情形下的投资消费决策是金融经济学研究的一项基础。这是因为：一个经济体是由许许多多投资者和消费者组成的，而金融市场中各种金融产品的价格波动，与其中个体的各种投资消费决策也有着相当密切的联系。从这个意义上来讲，要对一个金融市场有较好的理解，要对金融产品的价格变化规律及其相关性进行探索，要对各种金融产品进行合理的定价，我们首先需要对个体的消费投资决策进行研究。效用理论便是现代金融经济学为这方面的研究提供的一种方法。 中将讨论在选择集上如何利用公理化方法建立起偏好关系，以及如何利用效用函数来描述偏好关系；的讨论说明：在满足一定条件的情况下，随机计划集上的效用函数可以表示为期望的形式；中利用了前两部分中的讨论，使用效用函数来刻画个体在面临风险时的决策特征；中将尝试利用个体部分的决策特征来刻画个体的偏好。 效用函数 选择集上的偏好 让我们从一些投资决策问题开始关于偏好的讨论。 例 假设现在有两种无风险资产A，B，它们之间唯一的不同就是收益率。A的（总）收益率为rA 1 .03，B的收益率为rB 1 .05。如果同一时间只能投资一项资产，那么投资者的决策会是投资B而不投资A。理由很简单：B的投资收益率高于A。我们也可以说，投资者相较于A更偏好B。偏好关系的严格定义将在后面给出。□ 例 假设有两种资产A和B，A是无风险资产，现在每投资1元，一年后能得到元；B是风险资产，现在每投资1元，一年后可能以1/2的概率得到元，也可能以1/2的概率得到元。如果投资者现在有1元，并且只能选A、B其一进行投资，他会选择哪一种资产呢？第一类投资者可能会选择A，因为他觉得投资A能稳赚元，而投资B会有亏元的风险；第二类投资者可能会选择B，因为他觉得投资A只能赚元，而投资B却有赚元的机会；第三类投资者可能觉得两者是一样的，因为A的收益率rA 1 .5，而B的期望收益率为 2 [rB] 因为A的收益率等于B的期望收益率，因此A和B在他们看来是一样的。在这个例子中，对于同一组资产，三类投资者表现出了三种不同的投资偏好。□ 下面我们给出偏好的严格定义。选择集(Choice Set) X是所有待比较对象组成的集合。例如，在上面两个例子中，选择集均为X { A,B}。而在一般情形下，选择集可以根据我
们考察问题的需要灵活变动。例如，在考虑消费决策问题时，选择集可以取为消费者的消费计划集，其中包含待比较的所有消费计划，而在考虑投资决策问题时，选择集可以取为投资者的投资计划集，其中包含待比较的所有投资计划。 选择集X上的一个无差异（Indifference）关系是集合X上的一个等价关系，也就是说，是X上的二元关系，且满足： (a) 自反性（Reflexivity）： x X ，成立xx； (b) 传递性（Transitivity）： x,y,z X， 如果xy 且yz，则xz； (c) 对称性（Symmetry）： x如果,yX ， xy，则yx 选择集X上的一个偏好(Preference)关系 δ是集合X上的一个全序关系。也就是说， δ是X上的二元关系，满足自反性、传递性，并且还满足如下两条性质： (d) 反对称性（Anti-symmetry）： x,yX ，如 果x yδ且y xδ，则xy； (e) 完备性（Completeness）： x,y X ，必 成立x yδ或者y xδ。 我们还可以定义X上的严格偏好关系 ： x y 等价于x yδ且y xδ 。 此外，为了叙述上的方便，我们再定义两个符号 和τ ：! x yτ等价于y xδ，x y!等价于y x 。 根据上述定义，例中的偏好关系可表示为A Bτ，而例中的三类消费者的偏好关系可分别表示为A Bτ、A Bδ和A~B。 效用函数 在上一部分中我们看到，个体的投资消费决策可以由偏好来表示。然而，当选择集X中有大量元素时，直接利用偏好关系来进行决策显得十分不方便。于是一个问题自然而然地产生：是否存在X上的一个具有较好性质的函数来反映偏好关系？如果存在，它便会为决策提供很大的帮助。效用函数便是这样的函数。 记X为选择集， δ是其上的一个偏好关系。一个函数H:X ο被称为描述了 δ的效用函数，如果 x,y X ，x yδ当且仅当H(x) Hδ1(y)。例如在例中定义H:X ο，H(A) 1 ，H(B) 2 ，则H便是效用函数。 但在一般情况下上述定义是有意义的吗？也就是说，任意选择集上的偏好关系都有对应的效用函数吗？下面的定理告诉我们：对于元素个数至多可数的选择集来说，是的；而对于元素个数不可数的选择集来说，必须有更强的条件。 定理 如果选择集X是有限集，则X上的任何偏好关系均存在相应的效用函数。 1在经济学中，此处定义的效用函数也往往被称为序数效用函数，因为函数值相对的大小用来反映偏好关系，而函数值本身并没有实际意义。与其相对的是基数效用函数，它的值反映的是个体得到的实际效用值，例如后面将要遇到的von Neumann – Morgenstern效用函数。
证明：设X基数为N，且不妨设其元素有如下关系x1 xδ2 δx。则 取NδH使得H(x1) 1 ，且Hx H↑→(x，则kH)是 δ对1应的效用函数。□ ↓如如果果xx()Hkk k(xk)xk~xk 定理 如果选择集X是可数无限集，则X上的任何偏好关系均存在相应的效用函数。 证明：由于X是全序可数集，不妨设其元素有如下关系 xδ n δ x 1 xδ0x 1 δ xnδ δ δ δ则取H使得H(x0) 0 ，且 n 0!， Hx H↑→(x ↓n 1)1如如果果x()n 1xHn n(xn)xn~xn而 n 0 ， Hx H↑→ ↓(x) 1()n如如果果n x xn nnxn~xn则u是 δ对应的效用函数。□ 而在X不可数的情形下，由于不能将X中元素进行排列，上述方法已不能使用。例如[0,1] [0υ上的字典序偏好关系便不能用,1]效用函数进行表示。因此，为了在不可数选择集上得到类似于有限、可数情形的结果，我们需要附加更多的条件。事实上，选择集上偏好关系的效用函数表示的存在性有如下的刻画。 设 δ为选择集X上的一个二元关系，若 集合Y，使得 x,y X 满足 x y ， z Y ，使得x zδy ，δ则称Y是X的一个 δ稠密子集。在这个定义的基础上，我们有： 定理 选择集X上二元关系 δ存在效用函数表示，当且仅当 δ是一个偏好关系并且X存在一个可数的 δ稠密子集。证明可参见[1]□ 期望效用理论 确定情形下个体偏好的刻画显得相对简单，而在不确定情形中往往会有困难。回顾上节例，三类不同的投资者就有着完全不同的偏好。那么我们该如何利用效用函数刻画他们的决策特征呢？期望效用理论便是一种解决方法。本节中我们将引入随机计划集以及其上的效用函数的期望效用表示的概念，并且证明在一些公理的限制下，期望效用表示的存在性以及它拥有的一些性质。最后，我们将看到近年来期望效用理论遇到的挑战与其发展。
随机计划集 为了问题的简化，首先考虑两期决策问题。假设两个时期为0时期和1时期，0时期是当期，而1时期是将来，在1时期可能发生的各种自然状态 Ζ的集合称为自然状态集，记为 :。假设F是 :生成的 ς代数，P是F上的一个概率测度。于是( ,:F,P)是一个概率空间（后面仍将其简记为 :）。一个随机计划是定义在( ,:F,P)上的随机变量。随机计划集是一些随机计划组成的集合，可以根据所考虑的问题自由选定。下面我们来看一个具体问题中的随机计划集。 例（投资计划集） 假设1时期有三种自然状态： 1Ζ 经济增长， 2Ζ 经济平稳， 3Ζ 经济衰退，自然状态集为 :{ 1,Ζ 。2 ,Ζ3}P ( i)ΖΖ为状态 iΖ发生的概率， P( 1)Ζ 0 ，.2P( 2Ζ) 0 .5，p( 3Ζ) 0 .3随机计划x表示投资某资产A的数量，满足 x( 1Ζ) 1 0，x( 2Ζ) 5 ，x( 3Ζ) 2 因此，x给出了某投资者在1时期不确定的自然状态下投资资产A的数量： 1时期自然状态 经济增长 经济平稳 经济衰退 资产A投资量 10 5 2 也就是说，x给出了个体的一项投资计划。该投资者可能还有其他的投资计划x χ，他所有的投资计划组成的集合X便是一个随机计划集，在本例中也是一个投资计划集。类似地，对于消费者也能提出消费计划集的概念。□ 例（确定性计划）在上一个例子的假设下， 我们考虑这样一种特殊的投资计划x： x( 1)Ζ x (2 )Ζx(3) 5Ζ 也就是说，不论经济状况如何，投资的量都是一个不变的常数，我们把这样的随机计划称为确定性随机计划。更一般地，对于随机计划x，如果存在常数c，使得 Ζ :，有 x( )Ζ c 则称x为确定性（随机）计划。□ 当然根据定义，随机计划集也是一个选择集，在其上也能建立偏好关系，并且在一定条件下也能得到相应的效用函数。但由于随机计划集有其特殊的结构，后面我们可以看到，在一定条件下其上的效用函数有着更为具体的形式，这便是期望效用表示。
圣彼得堡悖论 本段将讨论决策问题中一个著名的悖论：圣彼得堡悖论（Saint Petersburg Paradox）。这个悖论于1713年由提出，于1738年被他的堂弟解决，其解决方法中蕴含了期望效用的思想。 圣彼得堡悖论来自于一种“圣彼得堡”掷硬币游戏，其规则如下：若参与者第一次掷出正面，则得到2元并结束游戏，否则进行第二次抛掷；在第二次中如果掷出正面，则得到22 4 元并结束游戏，否则进行第三次抛掷，以此类推。一般地，如果参与者在第k次抛掷中（若需进行第k次抛掷）得到正面，则得到2k元并结束游戏，否则进行第k 1 次抛掷。问题是：参与者需要为参加此游戏支付多少代价？换句话说，参与者最多愿意为此游戏支付多少代价？ 让我们更仔细地考察此问题。游戏的参与者在结束游戏后得到的报酬是一个随机变量，记为x，x的值域为{2k|k } ，且 P{x 2k} 2 k 如果不考虑时间因素，我们可以把这个游戏看作一个随机计划。若令y是 :上的一个确定c性计划，使得yc c{，则原问题就转化为求 ~x 容易想到的一种方法便是计算参与者的期望收入，并认为只要支付金额不超过期望值，参与者均能接受。事实上 [] φx2ƒ k2 k k φ 1按上述说法，参与者应该愿意支付任何有限代价来参加这样的游戏。然而事实情况并非如此。大多数情况下人们只愿支付很少的代价，Hacking（1980）也说：“没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。”这便形成了一个悖论。 在他1738年的论文里解释了这个悖论。论文中指出，个体决策准则是追求最大期望效用值而非最大期望金额值，并据此给出了自己的解决办法。他认为个体对财富的效用体现为log函数 u(c) al og( c) 其中c为财富量，而此游戏给他带来的期望效用为 E[u(x)] φ2ƒ k lo g2 k2l og 2 lo g4 k1而这正是确定的4元财富给他带来的效用，因此参与者至多愿意为此支付4元。 然而不难发现，如果将此游戏的规则稍作改动，例如将第k次正面朝上的支付额改为102k，则悖论仍然存在。但是的方法却为随机计划集上效用函数的表示提供了
一种思路，这就是下一节所要讨论的期望效用表示。 期望效用表示 遵循节中的记号，假设 ,:F,P 为一概率空间，X为其上的随机计划集， x X 为其上的随机计划， τ是X上的一个偏好关系。特别地，记x为退化到cc 上的确定性计划，也就是说，xc c{。假设H是X上的一个效用函数。期望效用表示理论考虑如下问题：是否存在确定性计划集上的函数u，使得H有如下表示： H () (x) u(≥xy)dFx(y)其中F为xx的分布函数。上式也可以在形式上记为H(x) u(>x 。)≅根据概率测度P选择的不同，()式有两种不同的含义。第一种将P看作是自然状态集 :上的客观概率，与投资者无关。这种意义下的效用函数u被称为von Neumann – Morgenstern效用函数。第二种认为：P是由投资者主观估计出来的，并且这样的概率估计是投资者偏好的一个组成部分；在期望效用表示中，P和u是同时得到的。这种意义下的效用函数u被称为Savage效用函数。1但下文的讨论并不需要强调P的主观客观性，因此下文将()式中的u统称为von Neumann – Morgenstern效用函数。 需要说明的一点是，由于从概率角度看，确定性随机计划和常数没有区别，因此也可以说，von Neumann – Morgenstern效用函数是定义在实数上的函数，()也相应变为： H(x) u(≥ y)dFx(y)。下文中在涉及这点时将不再指出。 例（负指数效用函数） u(x) e b x,b 0!这个效用函数有上界0，无下界，并且满足： u (x)be b x 0u (xχχ ) χ 20 !be b x在后面我们将会看到，这样的效用函数表示个体偏好多而厌恶少，风险厌恶的特点。□ 例（狭义幂效用函数） 11u(x) BB 1 x B ,x0 ,B!0 ! 1注：关于Savage效用函数的更多介绍可参见[2]，第79页
χ 1 u(x)xB χ χ 1 1 1 u(x)xBB这个效用函数也表示了个体偏好多而厌恶少，风险厌恶的特点，但风险厌恶程度的表现与例中的负指数效用函数有所不同。我们将在中对此进行讨论。□ 下面引入一些概念和定理，为下一节存在性的证明做准备。设x,y X ，a [ 0,1]，定义 ax (1 a)y 为如下的一个分两步进行的随机计划：第一步以概率a执行x，以概率(1 a )执行y；第二步执行所选的随机计划。这样的随机计划称为复合随机计划。 例 （复合随机计划）记x,y为消费计划，x以的概率消费5个单位商品，以的概率消费3个单位商品；y以的概率消费3个单位商品，以的概率消费2个单位商品。则复合消费计划 0 .7y 表示如下消费计划：第一步以的概率选择执行x，以的概率选择执行y；第二步执行第一步所选的消费计划。不难看出，这个复合消费计划等价于如下的消费计划：以的概率消费5个单位，以的概率消费3个单位，以的概率消费2个单位。□ 例 （确定性随机计划的复合）考察一个特殊的例子。令 :{ 1, Ζ2} ，Ζx为其上的随机计划。令x ，则如下方式{x可以1,xΖ2 Ζ为确定性随机计划，使得x 1x(1),xΖ2x(Ζ2) Ζ{Ζ表示为 x 1,xΖ2 Ζ的复合： x P ( 1)x P (Ζ1 2 )xΖ2 ΖΖP)x1P(1) x ΖΖ □ 为了得到期望效用表示的存在性定理，我们还需要两个公理对随机计划集X进行一定的限制： 独立性公理： x,y,z X和 a ( 0 ，如果,1]x y ，则有 ax (1 a )z a y (1 a) z
阿基米德公理： x,y,z X使 得x y z ， 存在a,b ( 0使,1)得 ax (1 a )z y bx (1 b )z 我们先来看一下这两条公理的含义。独立性公理说，如果随机计划y严格“优于”随机计划x，那么y和X中的任何随机计划z的复合也严格优于x和z以同样系数进行的复合。直观地说，y和x间的偏好关系与z的加入是无关的。阿基米德公理说，无论随机计划x相比于y有多坏，它和另一个优于y的随机计划z总能通过复合做到优于y；反之，无论随机计划z相比于y有多好，它和另一个劣于y的随机计划x总能通过复合做到劣于y。 定理 X为随机计划集，x,y,z,u X ， τ为其上的偏好关系，如果 τ满足独立性公理和阿基米德公理，则成立以下性质： a) 若x y!且0 aδb 1， 则δbx (1 b )y a x (1!a) y b) 若x yτz 且τx z!，则 !a [0,1 ] 使得y~ax (1 a) z c) 若x z!,yu a!，则,[0,a1 ]x (1 a )y az (1!a) u d) 若x~y，则,a [ 0,1]x~ax (1 a) y e) 若x~y,a [ 0,1]，则ax (1 a )z ~a y(1 a) z 我们先考察一下这五条性质的直观含义。a)说，两个有着严格偏好关系的随机计划以不同的权重组成复合随机计划时，较好的那个随机计划所占权重越高，复合随机计划就越好；b)说复合运算相对于偏好关系有某种连续性；c)是独立性公理的一个推广，它说“好”的随机计划的复合要比“差”的随机计划的复合要更好；d)和e)说，对于复合运算而言，等价替换其中的随机计划并不会改变复合随机计划的“大小”，换句话说，等价的随机计划在复合的意义下可以看作相同的随机计划。 证明：只证a)，其余四项留作练习。由于x y!，根据替换性公理，有 bx (1 b )y b y (1!b)( ~) y 其中的等价关系由复合随机计划定义得到。如果a 0 ，则已得证。若a 0!，注意到0 ab 1 ，对()再次应用替换性公理，有
bx (1 b)y aa♣ •~ bx (1 b )y 1 ♦bx (1b)y ÷ ♥≠ ♣ • !bx (1 b)y 1 y♦ ÷♥≠a a♣ • ~ax (1 b )y 1 y♦ ÷bb♥≠~ax (1 a)y 最后两个等价性由复合随机计划的定义得到。□ 期望效用表示的存在性 下面就来叙述并证明期望效用表示的存在性定理。首先只考虑取值在有限集Z 的随机计划，并将所有这样的随机计划全体记为X。那么我们有： Z 定理（存在性）对于X和其上的偏好关系Z τ来说，以下两者等价： a) 存在X上描述了Z τ的效用函数H，并且H存在期望效用表示； b) τ满足独立性公理和阿基米德公理。 先证一个引理。 引理 τ是X上的偏好关系，且满足独立性公理和阿基米德公理。则存在确定性计划Zxmin,xmax X 使得Z x X Z ， xmax xτxmin τ证明：不妨设Z { z1, }z，且n}xz1 xτz2 τ。x z nx} XZ τ， 1 ,a2, ,an}满[0,1 ] 足 n aƒi 1 （取ai P (x z ），使得 i)i 1
x~ax ax a x 1z12z2nznn 1 ♣•~xax 1 aƒxzzi♦ ♥zn÷i 1 ≠ () aaa~12n 1 ♣ •n ♦x xx÷ 1 b x z♥1z2z1nzn bn 1 bn 1 b n 1 ≠其中bn 1 n 1 aƒ。注意到()中a数和为1，可以用和i1x a的系2an 1 b z1b x z2 b x zn 1 i 1n1n1n1上面相同的方法分解出最后一项。重复进行这样的步骤，最后可以得到 x~b () n 1 bn 2 1xz1 1 b 1 xz 2 bn2 z 1 bn1 xz n 其中bi [ 0。因为,1]x性公理，有 z2 xδ根据利用独立z1 bxz1 1 b 1xz 2 δz1因为x，重复利用独立性公理，由(zn,xzn 1 ,,xz3}xz1 δ)得x。 xδ。同理可得z1x xτzn因此 xz1 x τxzn τ取即可。□ max xz1,xmin xzn 定理的证明：b)⇒a)。因为偏好关系 τ满足独立性公理和阿基米德公理，根据引理，存在x。 min,x使得maxxmax xτx minτ,x XZ 若xmax~x，则取minH为常数，并取u H{即可。 若xmax x!，根据定理 b)，min !ax [0,1] ， 使得x~axxmax 。 a取 (1x) xmin ) (x) a (x则H在X上有定义，且ZH(x) [ 0。并且根据定理2.,1] a)，易见H(x) Hτ(y)当且仅当x yτ成立。因此H描述了偏好关系 τ。 下面证明H具有线性性。根据H的定义和定理 e)， x ,yX Z ,a [0,1 ]
ax (1 a)y ~a H (x)x 1 H(x )xm a xmin (1 a) H (y) x 1 H (y)xm a xmin~ aH (x) (1 a)H (y) xm ax a 1 H (x) (1 a) 1 H( y) x m in ~ aH (x) (1 a)H (y) xm ax 1 aH (x) (1 a)H (y) m in注意到上式右端项系数在0到1之间，且和为1，因此有意义。根据H的定义，有 H(ax (1 a )y )aH (x) (1a) H( y) 即H是线性的。 最后证明期望效用表示的存在性。 x X ， Z x~P(xz1)x z1P(xz2)xz2 P(xzn) xzn 根据H的线性性，并定义确定性计划集上的函数u使得u(xzi) H ，则有 (xzi),1 , ,n }H(x) H P(xz)x P(xz) x P(x z )x 1zznz 122n P (xz )H (xP(xz) H( xP(x z )H(x ) 1z2znzn P (xz )u (xP(xz)u ( P(x z )u() 1z2znzn u(>x) ≅ a)⇒b) 已知存在X上的效用函数ZH(x) u(>x) ≅述了偏好关系 ，它描 τ，也就是说，x yτ当且仅当H(x) Hτ(y)。并且不难看出，H是线性的。下面先证独立性公理。x y!故H(x) H!(y)，因此 H ax (1 a )z a H(x)(1 a) H(z ) a!H (y )(1 a)H ( z ) H ay(1 a)z故 ax (1 a )z a。 y (1!a) z 再证阿基米德公理。x y!z 得!到H(x) H(y)。!H故当(za )( 0,1) 足够小时，!有 H ax (1 a )y a H(x)(1 a)H (z )H(y) !因此
ax (1 a )z y !同理取a足够大即可得反向不等式。□ 以上证明了取值在有限集Z内的随机计划集X存在期望效用表示。在一般情况下，比Z如考虑取值在无限集 的随机计划集X，定理便不成立。但可以证明，若在独立 性公理和阿基米德公理的基础上再附加一个确实性公理，则对于取值在一般无限集内的随机计划集来说，期望效用表示仍然存在。确实性公理说：设y为随机计划， D 满足 xd y τ,d D 则对于任意取值于D的随机计划x有 x yτ 直观地说，如果随机计划x每种可能的状况都不比y差，那么x也不比y差。具体证明可参见[1]。 下面我们指出，von Neumann - Morgenstern效用函数是有界的。 定理（有界性） 假设u是von Neumann – Morgenstern效用函数，满足 H(x) u(>x ) ≅则u有界。 证明：如若不然，不妨设u无上界，则存在确定性随机计划序列x使得 cn u(xcn) 2τn ,n 取随机计划x使得P x c 2，则 n n,n H(x) u(>x) ≅u(xPxc ƒφ τ φφƒ1n)() 2n2ncn1 也就是说，我们得到H是无界的。这与阿基米德公理矛盾。事实上，取随机计划y,z使得 x y!z !则由于H描述 τ的效用函数，有 φH (x )H ( y)!H(z) !不难看出， a (0 ,1) ，
Hax (1 a )z )aH x) (1a) H( z) H(y) φ !这与阿基米德公理矛盾。□ 但事实上在实际应用中，很多效用函数都是无界的，例如幂效用函数都无上界或者无下界，而负指数效用函数也无下界。然而这个矛盾可以利用一些技巧来回避，比如实际问题中只考虑有界的随机计划，如此效用函数在无穷点周围的表现便不再会影响问题的讨论。 上面我们的讨论限于二期情形，也就是说，只考虑0时期与1时期，0期是当期，1时期是不确定的将来，且消费只发生在1时期。当考虑多期问题时，只要对相应定义进行修改，期望效用表示的存在性仍然成立。 假设有N 1 个时期：0,1,2, }N时期。0时期为当期，1,2, ,}N时期为不确定的将来，且消费发生在1,2, ,}N时期。( ,:F,P)为概率空间，一个随机计划x是其上的一个N维随机向量，也即x (x(1),x(2), 。,x τ(是N)随)机计 划集X上的偏好}关系。H(x): H(x(1)是描,x(述2了), τ的效用,x函(数N。)假设Z N为有限集，X表示取Z}值于Z的随机计划全体，则类似定理，成立如下定理： 定理’（存在性，多期）对于X和其上的偏好关系Z τ来说，以下两者等价： a) 存在X上描述了Z τ的效用函数H，并且H存在期望效用表示； b) τ满足独立性公理和阿基米德公理。 在以后的讨论中我们常常会用到一种特殊的von Neumann – Morgenstern效用函数，它满足时序可加性： u(x(1),x(2), }x(NN)z) uƒ(x(i)zzz)i1注意，时序可加性是一个很强的要求。首先，它假设不同时期的效用互不影响，也就是说，你某一天消费得到的效用不影响第二天消费得到的效用：第一天消费的再多，第二天消费时所得到的乐趣也不会因为厌倦而减少。这个要求并不是在所有情况下都成立的。其次，它没有考虑贴现效应：在几天后消费的量与第一天相同，两天消费得到的效用也是相同的。这可能与现实情况不符：一件你想要的东西，现在买和十天后以相同的价格买，在一般情况下你当然更希望现在就买。 期望效用理论遇到的挑战 在上一节中，我们在几个公理的条件下得到了随机计划集上效用函数的期望效用表示，整个过程中巧妙地用到了数学公理化方法，显得十分漂亮。但是我们知道，一个金融模型好坏的评价标准并不在于它用到了多么精妙的数学，而在于它解释历史和预测未来的能力，以
及它与现实的相符程度。随着效用理论研究的深入，不少研究表明，期望效用理论并没有很好地反映现实情况。期望效用理论也因此受到了相当大的挑战。 Allais悖论 这个悖论说，现实中人们的偏好可能不满足独立性公理。考虑下面两组选择问题，其中A1,A2,B1,B均是随机计划： 2A：确定地获得1百万美元； 1A：以的概率获得5百万美元，的概率获得1百万美元，的概率一无所2得； B：以的概率获得5百万美元，的概率一无所得； 1B：以的概率获得1百万美元，的概率一无所得。 2问：A和1A中你选择哪项？2B和1B中你又选择哪项？ 2 实验表明，大多数人会选择A和1B。他们更喜欢确定的1百万而不喜欢一无所获，哪1怕概率非常小；他们喜欢更高的收益，哪怕它的概率比低收益的概率稍小。但这便与独立性公理矛盾。事实上，记x万、1百万和0美元的确定性计划，则实验5,x1,x分别为得到5百0结果表明： A1~x1~ 0 .89x1 A~ 0 1 0 ♦~♥x0 x5 ♣÷ •1111≠ 1由于A1 A!，由独立性公理得 2 x11 x!10 11011x5 () 而 B1~ 0 .9 x~.11x x♣♦♥ •1101150÷B2~ 0 ≠.89x0由于B1 B!，由独立性公理得 2
1x 1011011x5 x1 !() ()与()矛盾。这是因独立性公理引起的。 这个例子说明，相比于不确定性，人们更偏好确定性。这种现象也被称为确定性效应（Certainty Effect）。 Ellsberg问题 这个问题说，两个在概率意义上完全相同的随机计划能拥有不同的偏好程度，也就是说，它们之间有严格的偏好关系。假设有100个球，它们可能有两种颜色：红色和黑色。考虑两个赌博E和： 1E2E：已知红黑两色的球各有50个。参与者从红黑两色中选出一种颜色，并从100个球中抽1出一个。如果抽出的球的颜色与所选的颜色相同，则获得1万美元，否则一无所获。 E：红黑两色球的数量未知，出现各种情况（从0红100黑到100红0黑）的可能性相同。2其余规则和E相同。 2问你会选择哪一种？ 实验表明，大多数人会选择E而非实上，1E。但事2E和1E在概率意义下是相同的。2E1是以同为的概率获得1万美元或者一无所得的随机计划，而对于E，得到1万美元的2概率为 1 0 1 1110050101100101100 10 1 100 100 0. 5 故E亦是以同为的概率获得1万美元或者一无所得的随机计划。因此，随机计划2E和1E2在概率上完全相同，却有不同的偏好。这便导致了“x x!”式的矛盾。 偏好反转现象 偏好反转（preference reversals）现象表明，有时甚至连偏好的传递性也会出问题。考虑如下两个随机计划P,Q： P：以35/36的概率获得4美元，1/36的概率损失1美元；
Q：以11/36的概率获得16美元，25/36的概率损失美元。 实验表明，在P和Q间进行选择时，绝大多数被试者选择P；但在对两者进行最低定价时，绝大多数被试者给Q的定价高于P。最低定价是指，作为拥有者，你对出售这份随机计划（彩票）的最低要价。记A和PA分别为P和QQ的最低定价，则上述事实说明： P Q! Ap~P,AQ~Q Ap A Q这显然与偏好关系的传递性相矛盾。 以上三个例子表明，虽然期望效用理论在形式上相当漂亮，但它在现实中并不成立。这可能有很多原因，其一便是数学模型与现实情况存在差异：模型中用公理的假设与严格的推导机械地做出选择，而现实中活生生的人却根据各种不同因素做出选择，其中还包括情感因素。两个在概率上完全相同的随机计划，在人们看来可能有相当大的区别，因为“我不喜欢复杂的选择”或者“我的直觉告诉我，选择前者肯定没错”。人不是机器，人并非“理性”。 为了解决期望效用理论出现的问题，研究者提出了不少理论，其中最著名的要数Kahneman和Tversky提出的展望理论（Prospect Theory）。由此也引出了一门全新的学科——行为金融学。行为金融学强调一种“描述性分析”，在分析过程中结合了当代心理学，更多地考虑多变的现实世界，而不仅是机械的数学理论。有关行为金融学的详细内容请参见相关教材，如[3]。 风险态度及其度量 上一节中我们讨论了不确定情形下个体效用的度量。本节中我们将利用上一节的结果来考察个体面对风险时的风险态度，以及风险态度的度量方法。 风险态度 首先我们需要明确风险这个概念的含义。金融中的风险并不是日常生活中所谓的造成损失的可能性，而是泛指包括损失和获利在内的不确定性。另外需要注意的是，为了方便起见，下文中所说的不确定性是一种可知的随机性：虽然我们不知道将会出现什么结果，但能够掌握出现的规律，也就是其分布。 一个公平赌博x是指一个期望为零的、只有两种结果的随机计划，也就是说，P{x a }p ，, 且P {xb} 1 p pa (1 p )b 0
个体的风险态度分为三种：严格风险厌恶、风险中性以及严格风险偏好。说某个个体是风险厌恶（Risk Aversion）的，如果他不愿意接受任何公平赌博；说某个个体是风险中性（Risk Neutral）的，如果他不在乎是否接受任何公平赌博；说某个个体是风险偏好（Risk Preference）的，如果他总愿意接受任何公平赌博。 用von Neumann – Morgenstern效用函数（实函数）表示，风险厌恶等价于 .1) (W0) p!uW a (2 .3(0)(1 p)u (W 0b) 风险中性等价于 u(W0) p u(W 0 )(1 p)u (W 0b) 而风险偏好等价于 (W0) p u(W 0 a )(1 p)u (W 0b) 其中W为任意财富水平。下图展示了风险厌恶的效用函数u。 0u u(W0 a )u u (x)u(W0) pu(W0 a )(1 p )u (W0b) u(W0 b ) xW0 a W W0 b 0 下文中除非特别指出，恒假设u二阶连续可导。从数学上看，()式等价于u是严格凹函数。事实上， x ,y , ，Ο (0,1 ) u( xΟ (1 ) y )Οu(W 0 (x WΟ0)( 1 )(y W 0)Ο) !u(W0(xW 0) )(1 Ο) u(W0 (yW0)) Ο u(x)(1 )u (y ) Ο其中W0 x(1 ，Ο而严格)y 不等 式是因为Ο(x W 0)(1 和 严Ο格风险)( y W0) 0 Ο厌恶的定义。 根据凹函数的性质：如果u二阶连续可导，则u在区间I内是凹函数当且仅当u (xχ ) χ0!, x。 于I是 我们 进一步地有下面的结论： 个体是风险厌恶的⇔u是严格凹函数⇔u'' 0!。 对于风险中性与风险偏好情形我们也可以进行类似的讨论，并得到如下定理： 定理（风险态度的等价条件） 假设u是某个体的von Neumann – Morgenstern效用函
数，则 个体风险厌恶⇔u是严格凹函数⇔u'' 0! 个体风险中性⇔u是线性函数⇔u'' 0{ 个体风险偏好⇔u是严格凸函数⇔u'' 0 □ 例（风险厌恶的效用函数）回顾例与例，我们知道负指数效用函数 u(x) e b x ,b 0!与狭义幂效用函数 11u(x) BB 1 x B ,x0 ,B!0 !都表现了风险厌恶的特征。□ 风险厌恶的局部度量 在上一节中，我们得到了三种不同的风险态度：风险厌恶、风险中性和风险偏好。在理论分析中，我们一般假设个体是风险厌恶的。然而，风险厌恶的个体在不同财富水平下的厌恶程度可能是不同的，不同的风险厌恶个体的风险厌恶程度也可能是不同的，因此我们需要对这种风险厌恶程度进行衡量。本节我们将对不同财富水平下的风险厌恶程度进行度量，也就是风险厌恶的局部度量。 考虑如下的个体投资决策模型。假设个体是严格偏好多而厌恶少的，并且是严格风险厌恶的，也就是说他的效用函数u严格单调递增，并且二阶导数严格大于零。假设共有0、1两个时期。0时期是确定的当期，1时期是不确定的将来。0时期个体的初始财富为W。共0有N 1 种资产A中净收益率为；0,A1, }A，其NA为无风险资产，无风险0rfA1, }A为N风险资产，其随机净收益率分别为r设投资在0期进行，并且在1期收到回报。1, }。假,rN个体的投资决策的目的是1时期财富的期望效用最大。记个体的投资决策向量为，其中为资产量，I ( i0,i1, }iNijA的投资)jj 0 ,1, ,}N，并记W为个体在1期的（随机）财富量，则上述问题可以表述为求 I0 a rgmax u(W)♠← ≡I…其中 NW W ♣♦ N0 jfƒ •irirjj÷ ♥≠ƒ11 N 0 1 r i ƒ r fjjf j 1
下面我们首先讨论只有一种无风险资产A和一种风险资产0A（随机收益率为1r）的情形。此时上述问题可简化为求最优的无风险资产投资量 i0 a rgmax u W 0(1r f) (W0 i)(r f ♠← ≡i…由于上述可能在i W，三种地方取到： 0[0,0]i0a) i0 W 0在这种情形下，个体不投资风险资产。因为u严格凹，最大值在区间右端点取到的充要条件为 dd u(W) ♠← u (W≡… χ0(1 r f))(rr) ♠← 0 τ ≡ifiW…0 此即 u (wχ0(1 rf)) [r rf] 0δ 又因为u χ0!，故上式等价于 [r rf] 0 δ 上面的讨论表明，在只有一种无风险资产和一种风险资产的情况下，当且仅当即风险资产有严[r rf] 0， !格正的风险溢价时，投资者才会投资风险资产。这个结论显然符合我们的常识：如果一种风险资产的期望收益率相对于无风险利率太低，我们当然不愿意进行投资。 b) i0 0 在这种情形下，个体将所有财富投资于风险资产。而最大值在区间左端点取到的必要条件为 ddi u(←W) ♠… u (W χ≡0(1 r ))(rrf) ♠0 ← δ ≡…i0 即 u ←(Wχ0(1 .) r ))(r rf) … 0(2 τ≡将u (xχ)在W开，则0(1 r 附近展f) u(W0(1 r ))u (W χ0(1rf)) u (Wχ 0 (χ1 rf))W0( rχ rf) o( r r f) 代入()式，则有 u (Wχ0(1 r f)) [rr f] u (Wχ 0( χ1rf))W0 (r♠←r2f) o ≡… (r rf)♠←2 0τ ≡… 当 很小时，由上式可以得到(r♠← r f)2 ≡…
u τ (Wχ χ0( χ1 r ))[rr]ffu1W (rr)2♠((00r))f← ≡…f记R(x) u (xχ χ， )则χ上式可表示为A: u(x) E (2[rrf]RA(W0(1τ.)rf))W0 (r←r2f) ♠… ≡ ()式说明：当风险资产随机收益率与无风险利率偏差不大时，个体将所有财富投资于风险资产的必要条件是风险资产的风险溢价高于某个下界。值得注意的一点是，a)中投资风险资产的条件只与客观的资产收益率有关，而此处的下界不但与r和有关，rf还与R有关，也就是说，与个体的主观特征有关。处在相同财富水平的两个个体，ARA相对更大的个体所要求的下界相对更高；若要将所有财富投资与风险资产，R相对更A大的个体要求的风险溢价也更高。从这个意义上看，R衡量了个体的风险厌恶程度：AR越大，风险厌恶程度越高。因此，()式中的R函数通常被称为Arrow-Pratt绝AA对风险厌恶系数。 c) i ( 0,W 0)除上面两种极端的情形外，个体在投资决策中会同时投资无风险资产与风险资产。除非特别说明，本节剩余部分讨论的都是这种情形。此时我们关心如下问题：对于同一个体，在不同的初始财富水平W下，0i的大小有何变化？i在W中所占比例又有何变化？从0下面的讨论中我们将会看到，第一个问题与Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数有关，而第二个问题则与将要引入的Arrow-Pratt相对风险厌恶系数有关。 首先考虑第一个问题。最大值点处满足一阶条件为零，也即 di u(←W) ♠ …(2 .) u← (W χ0(1≡ r f)(W0 i )(rr f) )(r rf ) ♠ …0 ≡由于要考虑当W变化时0i的表现，因此我们将i看作W的函数，并假设0i(W满足一定的0)可导性。在上式两边关于W求一阶导数，得到 00 u (W χ χ0(1r)(W0 i )(r r) )(1 r (1 i(W 0))(r χr))( r r)♠fffff← ≡… u (Wχ ( 1χ2 0r)(W0 i )(1r )) ♠←(1⊥ r )(rr) (1 i (W0 )) ( rχr) ≡… ffff u ♠←Wχ χr r ≡…2()()(1r ) u ( W )( ♠←rχ rχ)( 1 i(W )≡…) χfff0因此
χ u (Wχ )χ(r( .5) rf)(←1 rf) ≡iW ♠ (…0)1 u ←(Wχ )χ(r r f)2 …≡ 根据dRA(x)符号的不同，我们可以得到不同的结果。记a: W dx0 i 为风险资产的投资额。事实上，成立如下结论： 定理 在本节开始的模型下，假设只有一种无风险资产和风险资产，则 1) 若dR，则A(x)dx 0, xdadW 0, !W 0 02) 若dR则A(x)ddx ，0, xa dW0, W0 03) 若dRA(x)dx ，0,!则xda 0, W dW0 0 我们先来看一下这个定理的含义。在情形1)中，对于绝对风险厌恶系数递减的个体来说，当初始财富增加时，对风险资产的投资也相应增加，“钱多了投资也增加了”，因此风险资产对此个体来说是正常品。在情形2)中，对于绝对风险厌恶系数为常数的个体来说，风险资产的投资量与初始财富无关。有意思的是情形3)，对于绝对风险厌恶系数递增的个体来说，当初始财富增加时，风险资产的投资量反而减少。这就好像生活中的劣质品：当生活窘迫时，我们被迫选择它们；但当生活条件变好时，我们会减少它们的消费量，转而消费质量较好的产品。 定理证明： 只证情形1)，其余情形可类似证明。 当r rf 0 时τ， W W 0(1r f) (W0 i )(rr f) Wτ0(1 r f)故 RA(W) RA(W 0(1δrf)) 两边乘以 u (Wχ)(r r ，得 f) u .) (Wχχ)(r r f) RAτ(2(W 0( 1rf))u ( Wχ) (r r f)同样地，当r r f 0 时，有 RA(W) RA(W 0(1!rf))
两边乘以 u (Wχ)(r r ，得 f) u (Wχχ)(r r f) RA!( ) (0( 1rf))u ( Wχ) (r r f)综合()和()式，我们有 u (Wχχ () )(r r f) RA!(W 0( 1rf))u ( Wχ) (r r f)又注意到u (Wχ )χ 0 ，故()式中 u (Wχ )(χr r2f)♠← 0 ≡…将()代入()式，并注意到一阶条件()，得到 u (Wχ )χ(r χ r)(♠1 r) ≡ffi(W ← …)102u (Wχ )χ(r r )≡f… R A(W(1 r ))u (Wχ)(rr ) (♠1r) ≡ ← 0fff…2u (Wχ )χ (r r )f令a: W 0 i 为风险资产的投资额，则从上式可得 da d (W0i) 1 didWdW dW 0 !000□ 定理回答了第一个问题，即当初始财富W增加时，风险资产的投资额0a的变化情况。但上述讨论并没有很好的回答第二个问题，即当初始财富W增加时，风险资0产投资额a在初始财富W中所占比例化情况。在定理的情形2)和3)中，显0Wa变0然Wa是减小的；但在情形1)中，由于W和0a同时增加，a在W所占比例变化情况尚00不确定，需进一步的考察。为此我们引入Arrow-Pratt相对风险厌恶系数RR(x的概念，)它被定义为 RR(x) R A(x) 。x 为了考虑a在W所占比例变化情况，我们再引入风险资产的初始财富需求弹性0 Κ： Κ Wda/Wa daW:0d0/0d W0a
(da/dW)W a 00 Κ1 au (Wχ )χ(r r)(♠1 r) ≡f←f… W a 02 χ χ ≡如果u(W)(rr) Κ1!，则说明当W以某个百分比增加时，0a以一个更大的百分比增加，因此a在f… 1 W中所占比例也会增加。同理如果0 Κ1 ，则说明当W增加时0a在W中所占比例不变，0a如果 Κ1 则当W增加时0a在W中所占比例减小。由此我们看出，为了讨论初始财富0W增加时风险投资额a的变化情况，只需考察0 Κ与1 的大小关 系♠。2 u(Wχ )(χr r )(1 ≡r )W a u(W )( ♠rχ rχ) ≡ 根据定义 ←f …f0 ←f …1 Κ ) Wda/Wa 1 (da ( 0)W0 a d20/0a根据 a u (Wχ )χ(r r )≡()我们有 f… da u ( Wχ )χ(r r)(♠1) ≡frfdWu (Wχ ← …)χ(r r 20≡f)…代入()，有 u (Wχ )χ(r r ) (1 r )W (W i)(r r ≡ff00f… 1 2 a u (Wχχ)(r r )♠≡f←… () χu (Wχ)W(r r )♠ ≡f←… 1 2 a u (Wχ )χ(r r ) ←f …由于上式右端分母为正，故 Κ与1的大小关系取决于u 的符号：(Wχ )Wχ(r r f)♠← ≡…u (Wχ )Wχ(r 则r Κ1! f)♠← 0 ≡…u (Wχ )Wχ则(r r Κ1 f) 0 u (Wχ )Wχ(r 则r Κ1 f)♠← 0 !≡…下面我们类似定理的证明来讨论u (Wχ )Wχ的符号。 (r r f) 如果dRR(x)dx 0!，则当r rf 0 ，τ有
R R(W0(1 r f)(W 0 i)(r rf)) RR (W0(1 rτf)) 不等式两边同时乘以 u (Wχ)(r r ，得到 f) (Wχ )Wχ(r r f) RRδ( 0( 1 r f))u (Wχ)(rrf) 同理，当r r f 0 时有 (Wχ )Wχ (r r f) RR (W 0( 1 r f))u (Wχ)(rrf) 综上两式， u (Wχ )Wχ(r r (f) ) R (W 0( 1rf))u ( Wχ) (rrf) 故 u ♠←(Wχ )Wχ(r r ) ≡… R (W ♠←0 (1r))u( W )( rχr) ≡fRff… () R R(W 0(1r)) u (Wχ)(rr)♠ff← ≡… 0 其中最后一个等号是因为一阶条件()。综上讨论，我们得到： 如果dRR(x)dx 0!，则 Κ1 通过类似的推导，我们可以得到如下定理： 定理 在本节开始的模型下，假设只有一种无风险资产和风险资产，则有： 1) 若dR则R(x) Κ1, W d0 x ，0,!x 2) 若dR，则R(x)d0,x Κ1, W 0 x 3) 若dR()，则0 Κ1,!W dRx0x , x □ 例 回忆例中的负指数效用函数 u(x) e b x,b 0!通过直接的计算不难得到 RA(x) b 故dRA(x)dx 0 ，而dRR(x)dx b 。故0 负指!数效用函数表现了与财富水平无关的绝对风险厌恶和严格递增的相对风险厌恶。□ 例 回忆例中的狭义幂效用函数
ux B x1 1 ()B 1B,x0 ,B!0 !通过简单的计算可知 R() B1Ax x 1 故 dR(x) 1 x20 ,dRR(x)dx B dx0 因此，狭义幂效用函数表现了严格递减的绝对风险厌恶和与财富水平无关的相对风险厌恶。□ 风险厌恶的整体度量 在上一节中我们对个体风险厌恶的度量事实上是一种局部的度量，也就是说，对于同一个体在不同初始财富水平下的风险厌恶程度的度量与比较。在本节中，我们将对不同个体的风险厌恶程度进行整体的度量。 本节中仍考虑风险厌恶的个体，其效用函数为u。记W为给定的初始财富水平，0为公平赌博。考虑如下情形： u(W0) u(>W 0z ) ≅ 其中z 。我们知道，风险厌恶的个体不愿意接受任何公平赌博。上式说，要让一个风险厌恶的个体愿意参与公平赌博，必须给他一个大小为z z ()的风险补偿。令 ΖW 0 z ，则上式变为 u( z ) Ζ > ≅() Ζ 那么如何比较两个风险厌恶个体的风险厌恶程度呢？考虑个体1和个体2，他们有各自的效用函数u和以及风险补偿1u，2z和并满足： 1z，2 1( z 1( )) u 1>(Ζ) ≅ Ζ u2( z 2()) 2>() ≅ 如果对于任意公平赌博，成立z1() z!2(，也就是说，对于任何公平赌博，个体1)要求的风险补偿都要比个体2大。在这种意义下，我们可以说个体1比个体2更厌恶风险。下面的定理说明，这种整体的风险厌恶程度仍然可以用Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数来衡量。 定理 （Pratt定理）假体风险厌恶个体1和2的效用函数分别为u和1u，它们作2
为实函数均二阶连续可导，且严格单调递增。R1和ARA2分别是个体1和2的Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数。则下面三条陈述等价： 1) R1A(x) R!； A2(x), x 2) 存在单调递增且严格凹的函数G，使得u1(x) G(u2(x； )), x 3) 在任何财富水平W下，0 公平赌博，都有z1() z!2(，满足： ) u1( z 1()) u 1>(Ζ) ≅ Ζ 2( z 2()) 2>() ≅ 证明： 1)⇒2) 由于u在2上严格单调递增，存在其逆u2 1 (x使得)u2 1 (u。取 2(x) x, x G: u 1u2 1 则成立 u1(x) G (u2(x)), x 对上式两边关于x求导，得 u1 (x) G (uχ2(x )) u2 (xχ)χ() 由于u即1 (x) 0,u2(χx，故)!0G (uχ2(x )) 0! ，G单χ调递!增。对()式再求一次导数，得 u1 (xχ) χG(u2(x ))χ u2 (2>χ.) (χ) 2≅G(u2(x))u2 ( xχ )χχ 将()与()相除，得 u1 (xχχ ) χG (u 2( xχ))χ χ (χ )u2( x) ()(())2122()χ χ χuxGuuxu 根据条件， 1 2 u 1(x χ ) χu 2(x)0RA(x)RA(x) χ χu(x)u(χx)χ G (u2(x)) χ χχu xχ Gu2()(2(x)) 又因为G 得 (x) 0!,u2(χx，) 故0! χ G (uχ 2(χx) 0 即G严格凹。
2)⇒3) 因为G严格凹，根据Jensen不等式， G>(x) ≅G () [x] , x ， u1( Ζz 1()) u 1>( > Ζ) ≅ G≅ u2 ( Ζ♠ G u Ζ Ζ← ≡Gu )2)z2()) u1(z 2(Ζ)) … 因为u单调递增，故 1 z1() z!( 2)3)⇒1) 取随机计划使得 >≅，且 0 |y⊥|:，够小的正 Γ为足( )Ζy , Ζ :Γ 数。由Taylor展开得 ( Ζ )u ( ) uΖ ( χ) 1Ζu χ 2 χo Ζ22()() 故 u( Ζ )u (|) Ζu (χ )χ[ ]Ζ u () 122 u (Ζχ )Vχar[] Ζ 同理 u( Ζz ())u (|) uΖ ( χ)z ( )Ζ 又因为 u( z ()) u( Ζ) Ζ 故得 u (χ)z() |12 u (χΖ )Vχar[] Ζ即 z | u1 χχ ΖuΖVχarR 11()()2[]( )ΖVar(2A[]1 同理我们可得 z | u2 ( χχ )ΖΖχuarR 22()2V[]22( )ΖVar[](A 综上两式，并注意到z1(，故有 ) z!2() R1A( )ΖR A2() ,!Ζ Ζ □
风险资产多于一种的情形 本节至此的绝大多数讨论都是基于只存在一种无风险资产和一种风险资产的假设的。可以证明，当可供投资的风险资产多于一种时，几乎前面得到的所有结论，包括定理和定理，都不再成立。 在只有一种无风险资产和一种风险资产的情形中，当这种风险资产有严格正的风险溢价时，它就会有严格正的投资额。然而当有多于一种风险资产时， ri rf♠← 0并不 能推出!≡…资产i的投资额ai 0!。沿用前面的记号，事实上成立着如下结论： 若 i . rir ，f 则♠← 0j . aj !0! ≡…当存在多于一种风险资产时，定理和定理都不再成立：当初始财富W增加0时，个体并不一定会增加所有风险资产的投资额。事实上，他可能会对风险资产的投资进行某种结构性调整：在增加一部分风险资产的投资额时，减少另一部分风险资产的投资额，从而达到最优的目的。 上述现象的深层次原因之一，是在数学中高维最优问题的复杂性远高于一维最优问题。为了减少这种复杂性，我们需要引入一些假设。例如，假设个体投资各种风险资产的比例固定，也就是说，个体将所有风险资产打包成一个投资组合进行投资。在这种假设下，打包而成的投资组合的随机收益率已知，因此我们可以将其看作一种风险资产，从而原来复杂的投资问题便转化为我们讨论过的只有一种无风险资产和一种风险资产的情形。 此假设也被称为两项基金的货币分离。Cass和Stiglitz证明了，两项基金的货币分离成立的充要条件是边际效用满足下面两种形式之一： 1) u (xχ) (A Bx)C， 其 中B 0,C!0,x ，m或者a0,x τ(A{/B)} A 0!B, C 0； , !xδ0 (,A 0 B/ )2) u (xχ) A eBx，其中A 0,B!0,x 。 0 τ 这个定理的证明比较复杂，详情可参见[4]。□ 随机占优 随机占优的思想 在～中，我们采用了如下的策略对随机计划集上的偏好关系进行刻画：在偏好关系满足一些公理的条件下，利用期望效用表示，将偏好关系用von Neumann – Morgenstern效用函数的期望形式进行描述。换个角度也就是说，对于一个个体，我们只要具体地知道他的效用函数，就掌握了他的所有偏好特征。但事实上，要得到个体效用函数的具体形式是相
当困难的，而采用一些特殊的效用函数，如指数效用函数、对数效用函数，事实表明它们与现实并不相符。 我们也可以换个策略：既然得到个体效用函数具体形式有困难，我们是否可以退一步，只要求得到效用函数的某些特性，例如连续性、单调性、凹凸性等，也就是说，只需要得到个体的部分决策特征，例如严格偏好多而厌恶少、风险厌恶等，来得到随机计划集上的偏好关系？这便是随机占优的思路。当然后面的讨论说明，由于信息减少，我们能得到的结论也相应减弱：此时只能得到随机计划集中的满足特定形式的子集上的偏好关系。 根据所给的信息不同，随机占优有着不同的形式。若仅仅知道个体效用函数u是连续并且严格单调递增的，相应的结论称为一阶随机占优；若仅仅知道效用函数u二阶连续可导，且u χ 0 χ，相应的结论称为二阶随机占优；若知道其他的信息，我们还可以得到其他形式的随机占优，如二阶单调随机占优、三阶随机占优。下面几节将分别对这几种情形进行讨论。 在下文的讨论中，除非特别指出，恒假设u为个体的von Neumann – Morgenstern效用函数（实函数），假设A和B为风险资产，且它们的净随机收益率rA,rB [ 0。记,1]FA(r和)FB(r分别为r和Ar的分布函数。 ) 一阶随机占优 如果对于任意具有连续且单调递增的效用函数u的个体，都有A Bτ，则称A一阶占优（First-order Stochastic Dominance）于B，记为 AF SDBτ 不失一般性地，假设个体的初始财富W0 1 ，则A一阶占优于B等价于：对于任意具有连续且单调递增的效用函数u的个体，成立 u() τ (>1 rA ) ≅ u(>1rB) ≅下面的定理给出了一阶随机占优的两个等价条件： 定理 （一阶随机占优等价条件）下列三者等价： 1) AF SDBτ； 2) FA(r) Fδ； B(r),r [ 0,1 ] 3) r dArB ， 其中 0τ， d 表示分布函数相等。 证明： 2)⇒1) 即证明()。
u(>1 r ) ≅ u (>1r) ≅ AB ≥u(1x )d F>(x)F( x) ≅AB[0,1] u (1) F>(0)F ( 0) ≅ ≥u( 1x)d F >( x)F(x) ≅ ABAB(0,1]1 u (1) F>(0)F ( 0) ≅u(1 x ) F> (x) F(x) ≅ ABAB0 ≥ F>(x)F ( x) du≅(1x) AB(0,1]1 u (2) F>(1) F (( )) ≅ F ≥>( x)F(x) du≅ (1x) ABAB0 ≥ F>(xF( x) du≅1 x )AB(0,1] 最后一个等号是因为F。又因为A(1) FB(1) 1 FA(x) F ，而B(x)0u 单,δx [0, 1] 调递增，故上式右端非负，即 ) ((>1 r A) ≅ u (>1rB) ≅0 τ1)得证。 1)⇒2) 用反证法。假设 r0 [0, 1] ，使得 FA(r0) F!B(r 0) 故令G(r): F A(r) ，F 则BG((r0)) 0!。 若r0 [ 0,1，由于)G(r)右连续， Γ0!使得 G(r) 0!, r [ r0, r0 )Γ [ 0,1] 由于对于所有连续且单调递增的效用函数u均成立，不妨取 ↑x(,0] () ° r φuxk→x °(r 0)x( r0 1,r0 Γ1] ↓ ( r0 Γ 1, ) φΓ 其中常数k 0!，则u连续且单调递增，并且显然 (0≥ F>x F ≅,1]A()B(x)du(1x ) 0 ! 但根据()，这与()即1)矛盾。 3)⇒1) 因为r dArB ， 0τ，故 u(>1 r A ≅ u (>1rB ) ≅ u:(1 r B ) (Ζ ))dP Ζ τ :≥≥u(1 r ( )Ζ)dP u (>1r) ≅ 1)得证。
1)⇒3) 由于过程太过技巧性，故此处省略证明。□ 例（一阶随机占优） 若随机计划A和B的净收益率分别为r，满足： A,rBP rB⊥ 0 P r⊥0 0PrA .3 B⊥ P r A⊥ 0，.3 ⊥ P r B⊥ PrA 1 P rB⊥ 1 则有BF SDτA。事实上， 0↑.3x [ 0,) FA(x) 0°→.6 °x [ ,1)1↓x 1 0↑.25x [ 0,) 0°.5x[) FB(x) ° → 0°.6x [ ,1) 1°↓x 1 因此 FA(x) FτB(x ),x [0,1 ] 根据定理便得BF SDτA。□ 二阶随机占优 如果对于任意具有二阶连续可导且凹（即u χ 0δχ）的效用函数的个体，都有A Bτ，则称A二阶随机占优（Second-order Stochastic Dominance）于B，记为 AS SDBτ 假设个体初始财富为W0 1 ，则A Bτ等价于()，即 u (>1 rA ) ≅ uτ(>1rB) ≅ 类似一阶随机占优的情形，二阶随机占优也有如下的等价刻画： 定理 （二阶随机占优的等价条件）下面三者等价： 1) AS SDBτ 2) rA> ≅ r，且B> ≅ x0(F≥A(r) F B(r))dr0 ,δx [0, 1]
3) r dBrA ， 其中 ♠rA← 0≡ …条件2)和3)有各自的特殊含义。若F和AF连续，则 B rA> ≅ 1 1110xd≥FA(x)x FA (x)00F A( x)≥dx10F A( x)d x ≥同理 > ≅1 rB xd≥FBxx FB x11F 10()()00B( x)≥dx10F B( x)d x ≥故由 r A> ≅ r得到B> ≅ 1F10A(x)dx 0F≥B(x)dx ≥这就是说，F和AF两条曲线在B[0,1]区间上形成的两个曲边梯形面积相等。下图便是可能的一种情况，其中C和D两块图形的面积相等。 F(x) 1 D FB(x) C FA(x) O x 而在3)中， ♠表明rA← 0≡ … > ≅ ⊥ rA♠ ←0 ≡ …从而 Cov ,>rA ≅ rA [rA] ♠← ≡… ⊥ rA [r] ♠ArA← ≡… r⊥A [rA] rA♠ ← ≡… 0 同时 Var rB> ≅V ar rA> ≅Var r A>> ≅≅V ar > >≅ ≅Cov rA> >, ≅ ≅VarVarVar τ
于是上面的讨论说明，如果AS SDBτ，则 rA> ≅ r且B> ≅Var r。在下一章我A> ≅Vδar rB> ≅们将看到，这便是说：A在期望方差准则的意义下优于B。 定理证明： 思路与定理的证明类似。 u(1 r ) u r )2)⇒1) 根据()式，并令 (>1 ≅S(x): > x0(F≥，则A(r) F ≅ BB(r))dr1 F ≥>(x)F( x) du≅(1x) 01 u ≥(1χx)d S( x) () 0 11u (1 χx)S(x) S (≥x )u(1 xχ )dχx 00 注意到1S(0) 0 ，并且 (1) F≥A>(r) F B(r) dr≅0r FA>r)FB(r) 1(≅ ≥rd FA>(r)FB(r) ≅ 0[0,1] 0 rA> ≅ rB> ≅ 0 故由()简化为 u(>1 () r A) ≅ u (>1rB) ≅ 10S(≥x )u (1χ χx)dx 根据条件，S(x) 0δ且u χ 0δχ，故由上式得 u(>1 r A) ≅ u (>1rB) ≅0 τ1)⇒2) 首先证明 r A> ≅ rB> ≅ 由于AS SDBτ，对于任意二阶连续可导的u，使得u χ 0δχ，都有 [0≥u(1 x )d FA>x F () Bx) ≅0τ,1]()( 取u1(x) x 1 , ，u分别代入()得 2(x)x 1 [0≥ > ≅() xdFAx FB(x)0 τ,1]() [0≥ x d FA>x F Bx) ≅0,1]()( τ() 由上两式得
rA> ≅ r B> ≅ 故由2)⇒1)的推导以及()，知 10S(≥x)u (1χ χ x)dx 0 (τ.9) 是1)的必要条件。假设2)不成立，则只能是 x0 [0,1 ] 使得 S(x0) 0! 由于S(x)的连续性， Γ 0 !使得 S(x) 0! x ( x0 ,x 0 Γ)[ 0,1 ] Γ取u，其中 (x) x0h(≥t)dt,x 1↑x [ ,x 0 φΓ1] x Γxh(t) ° °co→ 0♣ s ♥ ° Γ Σ♦≠x ( x0 1,Γx0 1) Γ•÷ 2 °↓1 x[ x0 Γ 1, ] φ则 0↑x ( ,x 0 φΓ1] χ ° χ χ Σ x♣ Γ xu(x)h(x0)sin Σ• x( x0 1,Γx 0 1) Γ →°♦♥ ÷22≠ 0°↓ [ 0 Γ 1, ]φ 故u二阶连续可导且u χ 0δχ。但此时 10S(≥ x)u (1χ χx)dx 0 这与()矛盾，故与1)矛盾。 3)⇒1) 由3)知， u(>1 r B) ≅ u (>1rA ) ≅ ⊥u( 1♠rA ) rA ← ≡ … δ u⊥ 1 rA♠ rA ≡… u(>1rA) ≅ 其中的不等号是因为凹函数的Jensen不等式 G>(x) ≅G [x] , δx 故1)得证。 1)⇒3) 由于过程太过技巧性，故此处省略证明。详情请参见[5]。□
例（二阶随机占优） 若随机计划A和B的净收益率分别为r，满足： A,rBP rA⊥ 0 P rB⊥ 0 P rA⊥ r B⊥ P ，rA⊥ rB⊥ P rA⊥ 1 P rB ⊥1 则有AS SDBτ。事实上，首先容易得到 rA> ≅ rB> ≅ () 并且 0↑.2x [ 0,) 0° °.55x [ Fx →.75)A() 0 °.65x [ ,1)1°↓x 1 0↑.25x [ 0,) 0° °→.5x [ )FB(x) 0°.6x [ ,1) 1°↓x 1 利用定理证明中的记号，由上两式并通过简单的计算可知 ≥ ↑ °0 .05xx [ 0,) xS(x):(FA(r) F B(r))dr →°0 .02 (x ) x[, ) 0 ↓0 .01250 .05 ( ) [ ,1]因此 S(x) 0xδ[ 0,1] () 故由()和()和定理知 AS SDBτ □ 其他形式的随机占优 除了上两节介绍的一阶随机占优和二阶随机占优外，随机占优还有不少其他的形式。本节将介绍另两种随机占优：二阶单调随机占优与三阶随机占优。它们给出了更为细腻的刻画。
二阶单调随机占优 若对于任何具有二阶连续可导且u χ0,u χ τ0χ的效 用函数δu的个体，都有A Bτ，则称A二阶单调随机占优于B。 从定义中不难看出，二阶单调随机占优综合了一阶、二阶随机占优对个体效用函数特征的要求。同样，二阶单调随机占优也存在等价的判断条件： 定理 （二阶单调随机占优的等价条件） 下面三者等价： 1) A二阶单调随机占优于B； 2) x0 F≥>A(r) F ； B(r) dr≅ 0δ,x [0,1 ] 3) r dBr A ，其中 ♠。 rA← 0≡ δ…证明：类似定理证明可得。□ 三阶随机占优 若对于任何具有三阶连续可导且u χ0!,u 0δ,χu 的χ效χ 0用τχ 函χ数u的个体，都有A Bτ，则称A三阶随机占优于B。 在三阶随机占优的定义中，u χ 0τχ χ事实上也是一个比较自然的条件。回忆Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数的概念： RA: u u χ χ χ 于是 R χ u uχ χ (uχχ)2 (χ .12u) χ u2A(u)2uuχχ ♣♦♥ χ χ •÷≠χ χ χ χ如果R单调递减，()表明 A u χ uχ ♥ χ2♣♦≠ 0δ χ •÷χχ由u χ0!便得u χ 0τχ χ。也就是说，对于具有严格递减的Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数的个体来说，u χ 0τχ χ。 三阶随机占优也有如下等价刻画： 定理 （三阶随机占优的等价条件）A三阶随机占优于B当且仅当 xy00 ≥F> (r) ≥F (≅3) B()drdy0 ,δx [0, 1] 以及
u(>1 r ) ≅ u (>1r) ≅ B ≥u(1x)dH(x)1[0,1] 110 F≥> () A(r) FB(r) dr≅ 0 δ证明：（充分 性）记 u (1)H(0)u(≥1 x)dH( x)H1(x): F A(x) F 0B(x)xxH2(x):FA( x) F B(x)dxH≥(x)dx011 1≥ xu H(1)3(xH): (0H≥)(x)dux (1 x)H ( x) u ≥(1χ x)dH(x) 0220则0 1 u (1)H(0) u(1 x)H (x) u (1 χx)H ( x) u≥(1 xχ )dχH(x ) 11230011 u (1)H(0) u (() x)H (x) u (1 χx)H ( x)11211 u (1χ xχ )H (x) u ≥(1 x)Hχ (χ x)χ dx3300 注意到H1(0) H ， 又因H为 2(0)3(0) H1(1) 0 u χ0!,u 0δ,χ u χχ 0τχ χ且由()与()，有 H) 12(10 F≥> A(r)F B( r) dr≅0 δ Hx xy3()00 ≥F A> (r)≥F B( r) dr≅dy0 δ故由()得 u(>1 r ≅ u (>1r ≅ 1 u (2 χ)H 2(1)u(2 )H χ 3(1χ) u≥(1 x)H χ( x)χ dxχ 03 0τ 故充分性得证。 （必要性）利用反证法。假设()与()至少有一个不成立，即成立下列三者其一： a) H↑→ ↓2(1) 0!H3(x) 0δ
H↑ °2(1) 0!b) H δ →x δc*3(x)0,0 δ H°↓x !c*3()0,x 1 δ H↑2(1) 0δc) H° →x δ x δc*3()0,0 δ H°↓*3(x) 0!,cx 1 δ取效用函数 ux P↑→(x ↓1) Q (x 1) 0 x δ c δδ0():(1)c1 其中 u(>1 r ≅ u (>1r ≅ B P( x) 2 A c2 x Ac /4 B c2 x2/ 2C Q(x)D(cx)4/B24c C H 2/4/2(1)c (A B)/2 H (1) 2 且B A! 0τ待定。容易验证，在,D 0τ,c x [0 ,1] ，u0(1 x 满足) cB D cHu0 χ0!,u0 0δ,χ u， χ故 由 3/2/6 (0)2()， 0χ τχ χ 2(Ac/2)H(1) 22Ac /2Dc / 2 H (0)3c D≥(c x)H(x)dx () 0c c (A B )/2 (1)(Ac/2)H(1) D≥(c x )H(x)dx 2330 不难验证，在情形a)和b)中取c c *，固定A和D并取B足够大，在情形c)中取c c *，固定A和B并取D足够大，都能使()为负，从而与A三阶随机占优于B矛盾。□ 从以上关于随机占优的讨论可以看出，一阶随机占优刻画了效用函数具有某种一阶（导数）特征的个体的偏好，等价条件中包含了对于H求；二阶（单(x的要调）随机占优刻1)画了效用函数具有某种二阶特征的个体的偏好，等价条件中包含了对H要求；三阶2(x的)随机占优刻画了效用函数具有某种三阶特征的个体的偏好，等价条件中包含了对H3(x的)要求。这也就是它们名称以及本质不同之所在。
参考文献： [1] Fishburn. P. 1970. Utility Theory for Decision Making. John Wiley & Sons. New York. [2] Stephen. F. LeRoy & Jan Werner. 2001. 金融经济学原理（Principles of Financial Economics）. 上海财经大学出版社. [3] 易宪容，赵春明. 行为金融学. 社会科学文献出版社 [4] Cass, D. & J. Stiglitz. 1970. The structure of investor preferences and asset returns, and separability in portfolio allocation: A contribution to the pure theory of mutual funds. Journal of Economic Theory 2:122-160. [5] Rothschild. M. & J. Stiglitz. 1970. Increasing Risk I: A Definition, Journal of Economic Theory 2:225-243. [6] G. A. Whitmore. Third-Degree Stochastic Dominance. The American Economic Review, Vol. 60, No. 3 (Jun., 1970), -459.
