微分算子及其在信号处理中的应用
第一章引言
谋题背景及意义
数字信号处理作为近年来发展最为快速、应用最为广泛、成效最为
显著的学科之一，吸引了众多学者的研究对信号处理的理论、方法以及应
用的学习，已经成为电子、通信、自动化、生物医学等众多领域进行研究
所必不可少的一门功课。
数字信号处理虽然具有一套较为完整的理论体系，但是又是一门涉
及众多学科的新兴学科在数学领域中的微积分、概率统计、数值分析、小
波分析、高等代数、复变函数等都是它的基本理论基础同时，它本身就具
有一系列的研究课题，单就信号的种类而言，就包括一维及多维信号、单
通道及多通道信号、确定性信号及时变信号等在上述每一类信号系统中，
又都有各自的理论以及不同的研究内容在过去的多年中，众多的研究人员
对不同的问题进行了广泛而深入的研究，但是我们发现，在所有这些研究
中，只有将信号的模型表示以及分解方式这一问题处理得当，最终才能得
到较为合理的信号分析与处理的方法与结果。
目前对信号处理有关课题的研究，所涉及到的绝大部分信号模型都
是通过将一组简单的单成分信号相加而得来的〖气那么，在进行后续的研
究时，就有必要将这些较为复杂的信号模型进行分解，从而更简单直观的
去研究这些信号的特征。
本文拟解决的问题
本文中，我们对基于算子的零空间追踪算法进一步进行了改进一共
分为四章内容。
第一章为引言部分主要介绍了所选研究课题的背景及意义，以及几
种信号分解的算法，着重介绍了基于算子的零空间追踪算法的研究现状，
最后，简单陈述了本文需要解决的问题。
第二章为基于任意偶数阶微分算子的零空间追踪算法在本章中，我
们提出了一个任意偶数阶的微分算子，并且通过理论推导证明了新算子能
够将一个已知的复合信号分解为若干子成分，并且使得这些子成分都在这
个算子的零空间中为了证明新算法的可行性，我们利用进行了实验仿真，
并对实验结果作出了分析和讨论。
第三章为龙格库塔算法在零空间追踪算法中的应用在本章中，首先
介绍了龙格库塔方法的基本思想，并给出了经典的四阶龙格库塔公式；然
后，又将四阶龙格库塔算法应用到零空间追踪算法之中，使得零空间追踪
算法的准确性进一步得到提高；最后，通过一些具体信号的分解以及去噪
的例子，来验证改进后的算法的实用性。
第四章为结论部分主要是对全文工作的总结，介绍了本文的创新之
处，并且对今后的研究方向作出了展望。
第二章基于任意偶数阶微分算子的零空间追踪算法
在信号处理这门新兴学科中，信号的分解算法一直都是广大学者研
究的重点，而零空间追踪算法是一种全新的自适应信号分解算法，自然就
受到了研究人员的广泛关注在第一章中，我们已经介绍了零空间追踪算法
的基本思想以及研究现状，在本章中，我们将会提出一个任意偶数阶的微
分算子，并将该算子应用于零空间追踪算法之中。
基于任意偶数阶微分算子的零空间追踪算法
经过引言部分的介绍，我们可以发现前人所提出的零空间追踪算法
中算子的阶数都是固定的，因此，算法所能消失掉的信号也有一定的局限
性因此，为了进一步扩大可分解信号的范围，本文将会提出一个参数化的
任意偶数阶微分算子，通过将该算子作用于输入信号，算法便会自适应的
估计出算子的阶数以及算子中的参数。
本文提出的微分算子的形式为：
算法的理论推导过程
第三章龙格库塔方法在零空间追踪算法中的应用............11
龙格库塔方法求解高阶微分方程..........11
龙格库塔方法的基本思想...........12
第四章结论..........22
第三章龙格库塔方法在零空间追踪算法中的应用
龙格库塔方法求解高阶微分方程
虽然关于常微分方程的求解有多种解析方法，但是这些方法都只适
用于求解一些固定形式的常微分方程，在处理与实际问题相关的常微分方
程时，往往会用到有关的数值解法而在这些数值解法中，由于龙格库塔方
法具有较高的精度，所以受到了大家的广泛关注。
龙格库塔方法的基本思想
第四章结论
本文主要研究的内容是信号的分解方法，即将一个复杂的信号分解
为若干个简单信号的和文章主要是对2008年提出的基于算子的零空间追踪
算法进行了改进，将零空间追踪算法中的微分算子的阶数提高到了任意偶
数阶。
首先，我们提出了一个任意偶数阶的微分算子，并且把新算子应用
到零空间追踪算法中，通过对一些具体信号的实验，证明了新算法对信号
的分解与去噪有着较为良好的效果然后，介绍了龙格库塔的基本思想，以
及利用四阶龙格库塔方法求解高阶微分方程的理论过程最后，将四阶龙格
库塔方法应用到零空间追踪算法之中，同样利用对一些具体信号进行了实
验仿真，并且得到了预期的效果。
将基于算子的零空间追踪算法中的微分算子的阶数提高到任意偶数
阶之后，扩大了该算法可分解的信号范围今后，我们可以继续把微分算子
中的奇数阶也加入进去，即将算子的阶数推广为任意阶，这样，零空间追
踪算法便可以对实际中的绝大部分信号进行分解也可以考虑将该算法应用
到图像分解领域，使得零空间追踪算法得到更为广泛的应用。
参考文献（略）
