培養創造力之數學教學案例
教育部中央課程與教學輔導諮詢教師
台北市興雅國中 林壽福
「第十名現象」的研究
考第一名有用嗎，名次有多大價值？
讀書時代學會什麼，才具有永續競爭力？
究竟什麼才能產生價值？
學習力比分數重要
自己學東西的習慣，是一輩子享用不盡的。
分析學習力
哥大Carol Dweck認為學習動機來自兩種目標：學習目標（learning goal）和表現目標(performance goal)。
「學習目標」指的是，打從心裡想要讓自己變得更棒，事情做得更好而產生學習動機；
「表現目標」則是指，想讓別人覺得自己很厲害，避免別人覺得自己沒用而學習。
耶魯Robert J. Sternberg教授「智慧三元論」——成功智商包括：
分析能力〈analytical intelligence〉、
實務能力〈practical intelligence〉、
創造能力〈creative intelligence〉。
只重視智力的「成績評量方式」是偏差的，這類評量方式只測量了學生的分析能力，卻沒有分析到實務能力及創造能力。也因此，根據他的論點，學業能力只代表「今天」的成功，無法保證未來的成就。
所以應該激發孩子去「贏未來」
從某種意義上說，讓學生形成正確的學習方式和態度，比學習結果更重要。合理的學習方式和態度的形成，會使學生終生受益。
最好的禮物
學習的態度，是求學的基本。父母不該是培養第一名的孩子，而是培養孩子成為學習目標導向的人，這才是給孩子一輩子的禮物。
學習動機（如好奇、求知慾、自我實現等）在創造力中具有最重要的決定意義。
目標動機（如賞罰、物質刺激或社會刺激等）則導致低創造力。
良好的態度對成功解決問題、發揮創造力是至關重要的。
目前數學教育的盲點：
太重視行為的操練，忽視內在心裡歷程。
太重視行為表現，忽略其認知與情感的參與。對學生興趣的減退視若無睹。
學習動力來自外部。
“解題文化” 讓學生“苦”與“煩”。
知道如何學也樂於學
引發學習動機，對學習有興趣。
良好的方法才能發揮天賦，創造力才能增長。
創造力是沒辦法教的，但學生要能有真正被鼓勵發展並發表自己想法的機會。
讓他們能進行不同方向的思考，可以提高其創造力。
「認知」與「情感」結合。
讓學生體驗數學思考的快樂和克服挑戰性問題後的精神滿足。
學生作品（不同方向的思考）
讓學生全面參與
從「以教為本」轉到「以學為本」。
激發學生積極參與學習。
通過促進參與不斷增強學生內在的學習動力。
過多依賴考試、教學目標等手段作為學習動力，一定程度上忽視了學生本身的內在動力。
什麼最重要？
知識不是最重要的。
老師最主要的任務，是幫助學生發現。
最重要是想像力和創造力。
教育本來應該是令人快樂的。
創造力教與學的四種啟動力：
直觀
類比
連結
逆向
林福來教授提供的想法
培養直觀的方法
鼓勵猜想
開拓思維
創造能力＝知識量×發散思維能力
美的鑑賞
人文素養，豐富想像力
邏輯思維與直觀能力交互運用
數形結合
中介思維能力訓練
猜想能力訓練
猜想既是直觀思維的結果，也是直觀思維的形式。
因此猜想能力的訓練既是培養學生直觀推理的能力，也是培養其數學直觀能力的直接、有效的方法。
對數運算規律的美作出猜想
（1） （2）
1×1 ＝ 1 6×7 ＝ 42
11×11 ＝ 121 66×67 ＝ 4422
111×111 ＝12321 666×667 ＝ 444222
1111×1111＝ ？ 6666×6667 ＝44442222
66666×66667＝ ？
987654321×9 ＝ 8888888889
87654321×9 ＝ 788888889
7654321×9 ＝ 68888889
654321×9 ＝ 5888889
54321×9 ＝ 488889
4321×9 ＝ 38889
321×9 ＝ 2889
21×9 ＝ 189
1×9 ＝ 9
9×8＝72
99×98＝9702
999×998＝997002
9999×9998＝99970002
99999×99998＝9999700002
：
：
：
212×11 ＝ 2332
212×111 ＝ 23532
212×1111 ＝ 235532
212×11111 ＝ 2355532
212×111111 ＝ 23555532
：
：
＝12
1++1＝22
1+2++2+1＝32
1+2+3++3+2+1＝42
1+2+3+4++4+3+2+1＝52
1+2+3+4+5++5+4+3+2+1＝62
1+2+3+4+5+6++6+5+4+3+2+1＝72
……………
找出它們所蘊含的內在規律
佈 題
一、 2，4，6，8，10，……
二、 1，3，5，7，9，…
三、3，4，5，6，7，……
四、 9，11，13，15，17，……
1、猜猜這序列的第20、第200、第2000個數是多少？
2、第n個數是多少？你是怎麼知道的？
五、 3，8，15，24，35，48，……
規律關係：
1×3、2×4、3×5、4×6、5×7、6×8、……
第20個數是 20×22
第n項為 n×(n +2)
分解因數
1×5 1×12 1×21 1×32 1×45
2×6 3×7 2×16 3×15
3×4 4×8 5×9
融入數形結合的思維方法
幫助學生構造心智圖像，促使直覺爆發。
心智圖像具有具體與抽象統一性的特點，以及綜合的特點和整體識別的功能。
有一次畢達哥拉斯到郊外牧場散步，看見一位牧童趕著一群羊，便上前搭訕：「嘿！小朋友！請問你這群羊有多少隻呢？」牧童剛想回答，但一看是畢達哥拉斯，牧童便說：「我的羊按奇數1，3，5，……分成數目不同的若干堆後，還剩下兩隻，這最多的一堆恰好是17隻。」
「83隻！」畢達哥拉斯脫口而出，牧童十分驚愕，於是向他討教。
畢達哥拉斯蹲下來用小石子在草地上擺了一些圖，再用小樹枝鑲上曲尺形——即磬折形（gnomon）——的邊，如下圖所示，然後指著圖上的方格
說：「你看！從圖上顯然有
「太妙了！」牧童激動地喊了起來。
聯想——偶數序列
找出形數的 pattern
‧‧‧‧
〈三角形數〉
〈五角形數〉
‧‧‧‧
類比、聯想
類比、類似兩詞都源自希臘文analogia，原意是比較、比例的意思。
拉普拉斯（Laplace）「甚至在數學裡，發現真理的主要工具也是歸納和類比。」
T1 + T2 + T3 +……+ Tn 該怎麼求呢？
3（T1 + T2 + T3 +T4 ）= 6 T4
可推得 3（T1 + T2 + … +Tn ）=（n＋2）Tn
∴ T1 + T2 + … +Tn =
當 Tn =1+2+3+……+ n 時
6 (T1 + T2 + … +Tn ) = n (n＋1) (n＋2)
∴ ( T1 + T2 + … +Tn ) =
逆向
“逆向思考”是善思者的一種思維習慣。
逆向的題目和問題，對發展學生積極主動的、獨立的和創造性的思維很有價值。
T8 + T6 = 2T7 + 1 以圖形數呈現，該如何？
(a) P5＝S5＋T4 ，Pn＝Sn＋Tn-1；
(b) H5＝2S5－5，Hn＝2Sn－ n。
◆下列各現實情境，分別可以用哪一幅圖來近似刻畫？
（1）100公尺短跑（速度與時間的關係）
（2）一杯逐漸涼了的水（水溫與時間的關係）
（3）一面冉冉升起的旗子（高度與時間的關係）
（4）等速度行駛的汽車（速度與時間的關係）
（5）足球守門員大腳開出去的球（高度與時間的關係）
〈旅行者的故事〉 ：請你虛構一則旅行者的事。
連結——思想就是連結
握手次數
1. 如果規定改為：6對6的排球對抗賽，不分本隊和他隊，每位隊員都必須與其他隊員握手一次，試問他們共握了幾次手？
2. 承上題，根據妳(你)的觀察，找出一個胚騰（pattern），並算出人數推展到 n 人時，握手次數為多少？請寫出詳細過程。
請問共有多少個矩形？
類比、連結——建模方法
數學家尤拉破解七橋問題
七橋問題：可否每座橋恰好走過一遍並回到原出發點 ？
尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋：線條）
何謂 “偶點”和 “奇點”？
督學巡堂問題（類中國郵差問題）
請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度？（每間教室長約公尺）
督學巡堂圖
為校長設計巡堂圖
請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？請你幫校長設計一條巡堂的最短路徑圖，並請算出最短的路徑長度大約需多少間教室的長度？路徑參考圖如下，圖中的數字單位是一間教室的長度（約公尺）。
校長巡堂圖
題 要
解決督學訪視、校長巡堂等運用問題。
引入七橋問題的數學建模方法，體驗數學知識產生、形成、展開和應用的過程。
培養觀察、分析、臆測、歸納和推理能力。
圖論、拓樸學的起源
這不僅是一個應用數學的過程，更是一個學習數學、理解數學、思考數學的過程。這樣的學習方式，使學生獲得的不僅是知識，還可能影響到他們對知識的看法、價值判斷，並形成終身學習的願望和能力。
“問題解決”教學——主要是發展學生的創造力
加強數學知識發生過程的教學——設計具有直觀、想像、猜測和邏輯情境的教學。
認識基礎知識教學之重要性——培養主動學習精神。意識問題、尋找策略、確定解決策略、反思。
重視策略和方法的教學
重視非認知因素的作用——有趣與成功經驗。
樹立好的學習風氣
謝謝！
Bye-bye
