第四章
双因素方差分析
第一节
双因素无重复方差分析
一、数据描述
表
yab
…
yaj
…
ya2
ya1
Aa
…
…
…
…
…
…
…
yib
…
yij
…
yi2
yi1
Ai
…
…
…
…
…
…
…
y2b
…
y2j
…
y22
y21
A2
y1b
…
y1j
…
y12
y11
A1
Bb
…
Bj
…
B2
B1
B水平
A水平
双因素无重复实验的典型数据
二、平方和及自由度的分解
总偏差
因素A偏差平方和
因素B偏差平方和
试验偏差
因素A与B交互
影响偏差平方和
总差分解:
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
=0
=0
=0
同理:
总差分解:
自由度分析
分析 Se 的自由度
由它的定义式可看出 受到 a个 、b 个
及一个 的约束，为：
对是否接受H0
三、平方和的简化计算
N-1
ST
总和
FA
FB
VA
VB
Ve
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
SA
SB
Se
因素A
因素B
误差e
显著性
F值
均方V
自由度
平方和S
方差来源
双因素方差分析表
表
四、双因素方差实例分析
例 为研究三聚磷酸纯度与聚合时间与温度的关系,经试验得如下表的
纯度数据,试在显著水平a=下分析聚合时间及温度对纯度的影
响。
纯度数据表
96
94
32
94
28
86
22
380
360
340
320
纯度 温度℃
时间（小时）
解: A表示聚合时间;B表示温度,则
a=3 , b=4, N=ab=12
（1）建立原假设
（ 2）计算统计量
(4) 判断.对a=, 查F分布分位数表得:
而
所以
推断因素A是显著的,时间对纯度有显著影响
所以
推断因素B是不显著的,即温度对纯度没有显著影响
第二节
双因素等重复方差分析
一、数据描述
表
Yab1，Yab2 ，…，Yabr
…
Ya21，Ya22 ，…，Ya2r
Ya11，Ya12 ，…，Ya1r
Aa
…
…
…
…
…
Yib1， Yib2 ，…，Yibr
…
Yi21， Yi22 ，…，Yi2r
Yi11， Yi12 ，…，Yi1r
Ai
…
…
…
…
…
Y2b1， Y2b2 ，…，Y2br
…
Y221， Y222 ，…，Y22r
Y211， Y212 ，…，Y21r
A2
Y1b1， Y1b2 ，…，Y1br
…
Y121， Y122 ，…，Y12r
Y111， Y112 ，…，Y11r
A1
Bb
…
B2
B1
B水平
A水平
双因素等重复实验的典型数据
记号：
：表示A 取i条件下的数据和
：表示B 取j条件下的数据和
：表示所有实验数据的总和
：表示AiBj条件下r的数据的平均
：表示A i 下的br个数据的平均
：表示AiBj条件下的数据和
：表示B i 下的ar个数据的平均
二、平方和及自由度的分解
总偏差
因素A偏差平方和
因素B偏差平方和
试验偏差
因素A与B交互
影响偏差平方和
平方和分解
其中:六个交叉项均为零
故双因素等重复实验方差分解式为:
证明交叉项为零:
自由度分解
故双因素等重复实验自由度分解式为:
三、偏差平方和的简化计算
四、双因素等重复实验方差分析程序
■ 1. 提出原假设和备择假设
H0:
H1:
各总体均值不完全相等.
■ 2. 计算统计量
■ 3. 判断
对于给定的显著水平a,查F分布分位数表,因素A、B、A×B的检验临界值分别为：
当
成立时，拒绝原假设H0，认为总体的均值发生了显著的变化
★ 为了提高对主效应的检验精度，应首先对A×B进行检验，当
成立时，可将其判为不显著并与实验误差合并，记为 E ，用 E 去判断因素A与 B的主效应
即：
■ 3. 列方差分析表
显著性
abr-1
ST
总和
FA
FB
FA×B
VA
VB
VA×B
Ve
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
Ab(r-1)
SA
SB
SA×B
Se
因素A
因素B
因素A×B
误差e
Fa
F值
均方V
自由度
平方和S
方差来源
交互作用显著时
交互作用不显著时
不显著
显著性
abr-1
ST
总和
FA
FB
FA×B
VA
VB
VA×B
Ve
VE
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
Ab(r-1)
Abr-a-b
SA
SB
SA×B
Se
SE
因素A
因素B
因素A×B
误差e
误差E
F值
均方V
自由度
平方和S
方差来源
五、双因素等重复实验方差实例分析
例 一位工程师设计研制一种用在某种装置内的电池.工程师决定考察三种板极材料和三种温度下对电池有效使用寿命的影响.在每种板极材料和温度下检测四个电池,实验观察所得电池使用寿命数据如表所示:
96 104
82 60
174 120
150 139
138 110
168 160
A3
25 70
58 45
126 122
106 115
150 188
159 126
A2
20 70
82 58
34 40
80 75
130 155
74 180
A1
B3
B1
B1
温度B
材料A
试在a=下,对实验数据进行方差分析
解:
a=b=3
N=36
r=4
1:建立假设:
2:计算统计量
3. 判断:
A与B及A×B均产生显著差异
第二节
双因素不等重复方差分析
一、数据描述
表
Yab1，Yab2 ，…，Yabrab
…
Ya21，Ya22 ，…，Ya2r
Ya11，Ya12 ，…，Ya1ra1
Aa
…
…
…
…
…
Yib1， Yib2 ，…，Yibrib
…
Yi21， Yi22 ，…，Yi2r
Yi11， Yi12 ，…，Yi1ri1
Ai
…
…
…
…
…
Y2b1， Y2b2 ，…，Y2br2b
…
Y221， Y222 ，…，Y22r
Y211， Y212 ，…，Y21r21
A2
Y1b1， Y1b2 ，…，Y1br1b
…
Y121， Y122 ，…，Y12r12
Y111， Y112 ，…，Y11r11
A1
Bb
…
B2
B1
B水平
A水平
双因素不等重复实验的典型数据
记号：
：表示A 取i条件下的数据和
：表示B 取j条件下的数据和
：表示所有实验数据的总和
：表示AiBj条件下r的数据的平均
：表示AiBj条件下的数据和
：表示B i 下的ar个数据的平均
：表示A i 下个数据的平均
：表示B j下数据的平均
二、平方和及自由度的分解
总偏差
因素A偏差平方和
因素B偏差平方和
试验偏差
因素A与B交互
影响偏差平方和
平方和分解
自由度分解
故双因素等重复实验自由度分解式为:
三、偏差平方和的简化计算
四、双因素不等重复实验方差实例分析
例 某产品在两种工艺条件下,来自三个产地的原料,测定所得的产品熔点（℃）数据，如表所示:试对其进行方差分析（a=）
125，123
128，129
128，126，125
A2
119，121
123，126，125
122，125，121
A1
B3
B1
B1
原料产地B
工艺A
试在a=下,对实验数据进行方差分析
解:
a=2
N=15
b=3
1:建立假设:
2:计算统计量
即判断A×B很不显著,合并
3:判断:
＊ ＊
＊ ＊
显著性
14
总和
1
2
11
工艺(A)
原料(B)
误差E
F值
均方V
自由度
平方和S
方差来源
方差分析表
对因素B进行多重比较:
m1=B1水平下试验重复数=6
m2=B2水平下试验重复数=5
m3=B3水平下试验重复数=4
K= 因素B的水平数
由于A×B影响甚微,因此为比较多重比较的精度,用
检验临界值
比较B1与B2水平的差异:
所以因素B的第一水平与第二水平无显著差异
所以因素B的第一水平与第三水平无显著差异
所以因素B的第二水平与第三水平之间存在显著差异
