§2 合同变换法
§1 二次型的标准形
平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？
问: 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
它的矩阵是对角阵
第五章 二次型 §2 标准形
证明：对二次型变量个数n作归纳法.
假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元
一、二次型的标准形
线性替换化成平方和的形式.
定理1 数域P上任一二次型都可经过非退化
n=1时， 结论成立.
二次型
1、任意二次型的化简（配方法）
第五章 二次型 §2 标准形
第五章 二次型 §2 标准形
这里，
是一个. 的n－1元二次型.
配方
法
第五章 二次型 §2 标准形
它是非退化的，
且使
第五章 二次型 §2 标准形
使它变成平方和
于是，非退化线性替换
由归纳假设，对 有非退化线性替换
第五章 二次型 §2 标准形
就使 变成
2） 但至少有一个
不妨设 作非退化线性替换：
第五章 二次型 §2 标准形
不为零.
由情形1）知，结论成立.
则
这是一个 的二次型，且 的系数
第五章 二次型 §2 标准形
这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.
总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性
替换化成平方和的形式.
即
3） 由对称性，
第五章 二次型 §2 标准形
2、二次型的标准形的定义
所变成的平方和形式
注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.
2）可应用配方法得到二次型的标准形.
二次型 经过非退化线性替换
的一个标准形. 称为
第五章 二次型 §2 标准形
则
解：作非退化线性替换
例1、求 的标准形.
第五章 二次型 §2 标准形
或 最后令
则
或 再令
第五章 二次型 §2 标准形
所作的非退化线性替换是
即
则
第五章 二次型 §2 标准形
定理2 数域P上任一对称矩阵合同于一个
证：对A的级数作归纳法.
假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，
分四种情形讨论：
使C´AC为对角矩阵．
即 若 A´＝A ，则存在可逆矩阵
n＝1时， 为对角阵,结论成立.
设
对角矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
这里
这里
A1为n－1级对称矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
则
这里 是n－1级对称矩阵，
第五章 二次型 §2 标准形
为对角矩阵.
由归纳假设，存在可逆矩阵G，使
为对角矩阵.
令 则
令 则C可逆，且 为对角矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
其中 归结为情形1，结论成立.
令 ，则
3) 但有一个
则
令 显然
2) 但有一个
第五章 二次型 §2 标准形
归结为情形1）.
则
4) 由对称性, 有
于是 为n－1级对称矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
为对角矩阵.
为对角矩阵.
由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使
令 则
第五章 二次型 §2 标准形
例2 根据定理2，求例1中二次型的标准形.
令
解： 的矩阵为
第五章 二次型 §2 标准形
令
令
第五章 二次型 §2 标准形
为对角矩阵.
第五章 二次型 §2 标准形
作非退化线性替换X＝CY，
则
即得 的标准形
第五章 二次型 §2 标准形
另解: 取
取
取
第五章 二次型 §2 标准形
则
第五章 二次型 §2 标准形
二、合同的变换法
（1）互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列;
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（2）以数 k（ ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
（3）将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列
的k倍加到第 列（ ).
矩阵的第 i 列.
第五章 二次型 §2 标准形
2. 合同变换法化二次型为标准形
又，
设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵
基本原理：
C, 使Ｄ＝Ｃ'ＡＣ.
若 为初等阵，则
第五章 二次型 §2 标准形
对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足
即相当于对A作s次合同变换化为对角矩阵D.
所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，
又注意到
所以,
第五章 二次型 §2 标准形
