多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动
可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线
性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
t=1,2,…,n
在这个模型中，Y由X1,X2,X3, …XK所解释，有K+1
个未知参数β0、β1、β2、…βK 。
这里，“斜率”βj的含义是其它变量不变的情况
下，Xj改变一个单位对因变量所产生的影响。
2
例1：
其中，Y=在食品上的总支出
X=个人可支配收入
P=食品价格指数
用美国1959-1983年的数据，得到如下回归结果（括号中数
字为标准误差）：
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下：
价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
亿美元（1个billion），食品消费支出增加亿
元（个 billion）。
收入不变的情况下，价格指数每上升一个点，
食品消费支出减少亿元（个billion）
4
例2：
其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入
Lt=居民拥有的流动资产水平
β2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动
一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。
收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。
（间接影响：收入影响流动资产拥有量影响消费额）
但在模型中这种间接影响应归因于流动资产，而不是收入，
因而，β2只包括收入的直接影响。
在下面的模型中：
这里，β是可支配收入对消费额的总影响，显然β和β2的
含义是不同的。 5
回到一般模型
t=1,2,… ，n
即对于n组观测值，有
6
其矩阵形式为：
其中
7
第二节 多元线性回归模型的估计
多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似，仍采用
最小二乘法。当然，计算要复杂得多，通常要借助计算机。
理论推导需借助矩阵代数。下面给出最小二乘法应用于多元
线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性
质。
一．假设条件
（1）E(ut)=0, t=1,2,…,n
（2）E(ui uj)=0, i≠j
（3）E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n
（4）Xjt是非随机量， j=1,2, … k t=1,2, … n
8
除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有
两个条件需要满足：
（5）（K+1）< n;
即观测值的数目要大于待估计的参数的个数
（要有足够数量的数据来拟合回归线）。
（6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。
9
上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：
(1) E(u)=0
(2)
由于
显然， 仅当
E(ui uj)=0 , i≠j
E(ut2) = σ2, t=1,2,…,n
这两个条件成立时才成立，因此， 此条件相当前面条件
(2), (3)两条，即各期扰动项互不相关，并具有常数方差。
10
（3） X 是是一个非随机元素矩阵。
（4）Rank(X) = (K+1) < n. ------相当于前面 (5)、 (6) 两条
即矩阵X的秩 =（K+1)< n
当然，为了后面区间估计和假设检验的需要，还要加
上一条：
（5） ～ ，t=1,2,…n
11
二．最小二乘估计
我们的模型是：
t=1,2,…n
问题是选择 ，使得残差平方和最小。
残差为：
12
要使残差平方和
为最小，则应有：
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
按矩阵形式，上述方程组可表示为：
14
=
即
15
上述结果，亦可从矩阵表示的模型
出发，
完全用矩阵代数推导出来。
残差可用矩阵表示为：
其中：
16
残差平方和
17
注意到上式中所有项都是标量，且
故
令
用矩阵微分法，我们可得到
与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果，我们有
18
三. 最小二乘估计量 的性质
我们的模型为
估计式为
1． 的均值
19
（由假设3）
(由假设1)
即
这表明，OLS估计量 是无偏估计量。
20
2． 的方差
为求Var( )，我们考虑
这是一个（K+1）*(K+1)矩阵，其主对角线上元素即构成
Var( )，非主对角线元素是相应的协方差，如下所示：
21
下面推导此矩阵的计算公式.
22
由上一段的结果，我们有
因此，
23
如前所述，我们得到的实际上不仅是 的方差，而且是
一个方差-协方差矩阵，为了反映这一事实，我们用下面的
符号表示之：
展开就是：
24
3． 2 的估计
与双变量线性模型相似， 2的无偏估计量是
这是因为我们在估计 的过程中，失去了
（K+1）个自由度。
4． 高斯-马尔科夫定理
对于 以及标准假设条件（1）-（4），
普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）
25
我们已在上一段中证明了无偏性，下面证明线性和最小方
差性。证明的路子与双变量模型中类似，只不过这里我们采
用矩阵和向量的形式。
由OLS估计量 的公式
可知, 可表示为一个矩阵和应变量观测值向量 的乘积：
其中 是一个 (K+1)*n 非随机元素矩阵。
因而显然有 是线性估计量。
26
现设 为 的任意一个线性无偏估计量，即
其中 是一个(K+1)*n非随机元素矩阵。则
显然，若要 为无偏估计量，即 ，只有
， 为（K+1）阶单位矩阵。
27
的方差为：
我们可将 写成
从而将 的任意线性无偏估计量 与OLS估计量 联系
起来。
28
由 可推出：
即
因而有
由 从而 ，因此上式中间两项为0，我们有
29
因此
最后的不等号成立是因为 为半正定矩阵。这就证明了OLS
估计量 是 的所有线性无偏估计量中方差最小的。至此，
我们证明了高斯-马尔科夫定理。
30
第三节 拟合优度
一．决定系数R2
对于双变量线性模型
Y=α+βX + u
我们有
其中， =残差平方和
31
对于多元线性模型
我们可用同样的方法定义决定系数：
为方便计算，我们也可以用矩阵形式表示R2
32
我们有：残差 ，其中，
残差平方和：
33
而
将上述结果代入R2的公式，得到：
这就是决定系数
R2 的矩阵形式。
34
二．修正决定系数：
残差平方和的一个特点是，每当模型增加一个解释变量，
并用改变后的模型重新进行估计，残差平方和的值会减小。
由此可以推论，决定系数是一个与解释变量的个数有关的
量：
解释变量个数增加 减小 R2 增大
也就是说，人们总是可以通过增加模型中解释变量的方法来
增大 R2 的值。因此，用 R2 来作为拟合优度的测度，不是十
分令人满意的。
为此，我们定义修正决定系数 （Adjusted ）如下：
35
是经过自由度调整的决定系数，称为修正决定系数。
我们有：（1）
（2）仅当K=0时，等号成立。即
（3）当K增大时，二者的差异也随之增大。
（4） 可能出现负值。
36
三．例子
下面我们给出两个简单的数值例子，以帮助理解这两节的
内容.
例1 Yt = 1 + 2X2 t + 3X3 t + u t
设观测数据为：Y： 3 1 8 3 5
X2：3 1 5 2 4
X3：5 4 6 4 6
试求各参数的OLS估计值，以及 。
解：我们有
37
38
39
40
41
例2. 设 n = 20, k = 3, R2 = 求 。
解：
下面改变n的值，看一看 的值如何变化。我们有
若n = 10，则 =
若n = 5， 则 = -
由本例可看出， 有可能为负值。这与R2不同 （ ）。
42
第四节 非线性关系的处理
迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实
际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间
的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生
产函数:
就是一例。
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为
线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来
讨论这个问题。
43
一. 线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ之
类的函数形式出现在模型中。
（2）参数的线性
因变量Y是各参数的线性函数。
44
二．线性化方法
对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要
的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。
例如，对于
此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动
项满足高斯—马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项也
将满足。
45
参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭
重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的Xβ或eβX
项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过两
边取对数线性化。
例如，需求函数
其中，Y=对某商品的需求
X=收入
P=相对价格指数
ν=扰动项
可转换为：
46
用X,Y,P的数据，我们可得到logY,logX和logP,从
而可以用OLS法估计上式。
logX的系数是β的估计值，经济含义是需求的收
入弹性，logP的系数将是γ的估计值，即需求的价
格弹性。
[注释]
弹性（elasticity）：一变量变动1%所引起的另一变量变动
的百分比：
需求的收入弹性：收入变化1%，价格不变时，所引起的商
品需求量变动的百分比。
需求的价格弹性：价格变化1%，收入不变时，所引起的商
品需求量变动的百分比。
47
三．例子
例1 需求函数
本章§1中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人
可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例
子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据），
得到如下结果（括号内数字为标准误差）：
回归结果表明，需求的收入弹性是,需求的价格弹性
是，这两个系数都显著异于0。
48
例2．柯布-道格拉斯生产函数
生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一
种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为
用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年
制造业数据）估计经过线性变换的模型
得到如下结果（括号内数字为标准误差） ：
从上述结果可以看出，产出的资本弹性是，产出的
劳动弹性为。
49
例3．货币需求量与利率之间的关系
M = a(r - 2)b
这里，变量非线性和参
数非线性并存。
对此方程采用对数变换
logM=loga+blog(r-2)
令Y=logM, X=log(r-2), β1= loga, β2=b
则变换后的模型为：
Yt=β1+β2Xt + ut
50
将OLS法应用于此模型，可求得β1和β2的估计值
从而可通过下列两式求出a和b估计值：
应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如
BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 ，而
不一定适用于原模型参数的估计量 和 。
51
例4．上例在确定货币需求量的关系式时，我们实际上
给模型加进了一个结束条件。根据理论假设，在某一利率
水平上，货币需求量在理论上是无穷大。我们假定这个利
率水平为2%。假如不给这一约束条件，而是从给定的数
据中估计该利率水平的值，则模型变为：
M = a(r - c)b
式中a,b,c均为参数。仍采用对数变换，得到
log(Mt) = loga + blog(rt - c) + ut t=1,2,…,n
我们无法将log(rt-c)定义为一个可观测的变量X, 因为这
里有一个未知量c。也就是说，此模型无法线性化。在这
种情况下，只能用估计非线性模型参数值的方法。
52
四．非线性回归
模型
Y = a(X - c)b
是一个非线性模型，a、b和c是要估计的参数。此
模型无法用取对数的方法线性化，只能用非线性回
归技术进行估计，如非线性最小二乘法（NLS）。
该方法的原则仍然是残差平方和最小。计量经济软
件包通常提供这类方法，这里给出有关非线性回归
方法的大致步骤如下：
53
非线性回归方法的步骤
1． 首先给出各参数的初始估计值（合理猜测值）;
2． 用这些参数值和X观测值数据计算Y的各期预测值
（拟合 值） ;
3．计算各期残差，然后计算残差平方和∑e2;
4．对一个或多个参数的估计值作微小变动；
5．计算新的Y预测值 、残差平方和∑e2；
6．若新的∑e2小于老的∑e2，说明新参数估计值优于老估
计值，则以它们作为新起点；
7．重复步骤4，5，6，直至无法减小∑e2为止。
8．最后的参数估计值即为最小二乘估计值。
54
第五节 假设检验
一．系数的显著性检验
1． 单个系数显著性检验
目的是检验某个解释变量的系数βj是否为0，即该解释
变量是否对因变量有影响。
原假设： H0： βj=0
备择假设： H1： βj≠0
检验统计量是自由度为 n-K-1 的 t 统计量：
～t(n-K-1)
55
单个系数显著性检验的检验统计量是自由度为 n-K-1 的
t 统计量：
～t(n-K-1)
其中， 为矩阵 主对角线上第
j+1个元素。而
56
例：柯布-道格拉斯生产函数
用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-
1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型
得到如下结果（括号内数字为标准误差） ：
请检验“斜率”系数和的显著性。
解：(1)检验的显著性
原假设： H0： = 0
备择假设： H1： ≠0 57
由回归结果，我们有：t＝
用=24－3＝21查t表，5%显著性水平下，tc ＝.
∵t＝ tc ＝， 故拒绝原假设H0 。
结论：显著异于0。
(2)检验 的显著性
原假设： H0： = 0
备择假设： H1： ≠0
由回归结果，我们有：t＝
∵t＝ tc ＝， 故拒绝原假设H0 。
结论：显著异于0。 58
2．若干个系数的显著性检验（联合假设检验）
有时需要同时检验若干个系数是否为0，这可
以通过建立单一的原假设来进行。
设要检验g个系数是否为0，即与之相对应的g
个解释变量对因变量是否有影响。不失一般性，
可设原假设和备择假设为：
H0: β1 =β2 = … =βg =0
H1: H0不成立
(即X1, …Xg中某些变量对Y有 影响)
59
分析： 这实际上相当于检验g个约束条件
β1= 0，β2 = 0，… ，βg = 0 是否同时成立。
若H0为真，则正确的模型是：
据此进行回归（有约束回归），得到残差平方和
SR是H0为真时的残差平方和。
若H1为真，正确的模型即原模型：
60
据此进行无约束回归（全回归），得到残差平方和
S是H1为真时的残差平方和。
如果H0为真，则不管X1, …Xg这g个变量是否包括在模型
中，所得到的结果不会有显著差别，因此应该有：
S ≈ SR
如果H1为真，则由上一节中所讨论的残差平方和∑e2的特
点，无约束回归增加了变量的个数，应有
S < SR
通过检验二者差异是否显著地大，就能检验原假设是否成
立。
61
所使用的检验统计量是：
～F(g, n-K-1)
其中， g为分子自由度， n-K-1为分母自由度。
使用 的作用是消除具体问题中度量单位
的影响， 使计算出的 F 值是一个与度量单位无关
的量。
62
例：给定20组Y, X1, X2, X3的观测值，试检验模
型
中X1和X3对Y是否有影响？
解：（1）全回归
估计
得到：S =∑e2 = 25
（2）有约束回归
估计
得到：SR =∑e2 = 30 63
原假设 H0: β1 = β3 = 0
备择假设 H1: H0不成立
我们有：n=20, g=2, K=3
用自由度（2，16）查F分布表，5%显著性水平
下，FC=
∵F=< FC =, 故接受H0。
结论：X1和X3对Y无显著影响
64
3．全部斜率系数为0的检验
上一段结果的一个特例是所有斜率系数均为0的检验，即
回归方程的显著性检验：
H0： β1 =β2 = … = βK = 0
也就是说，所有解释变量对Y均无影响。
注意到 g=K，
则该检验的检验统计量为：
65
分子分母均除以 ，有
从上式不难看出，全部斜率为0的检验实际是检验R2的值
是否显著异于0，如果接受原假设，则表明因变量的行为完
全归因于随机变化。若拒绝原假设，则表明所选择模型对因
变量的行为能够提供某种程度的解释。
66
二．检验其他形式的系数约束条件
上面所介绍的检验若干个系数显著性的方法，也可以应
用于检验施加于系数的其他形式的约束条件，如
检验的方法仍是分别进行有约束回归和无约束回归，求
出各自的残差平方和 SR 和 S，然后用 F 统计量进行检验。
当然，单个系数的假设检验，如 H0： 3=，亦可用t检验
统计量进行检验。
67
例：Cobb-Douglas生产函数
Y=AKαLβν
试根据美国制造业1899-1922年数据检验规模效益不变的
约束：α+β=1
解：（1）全回归
（2）有约束回归：
将约束条件代入，要回归的模型变为：
Y=AKαL1-αν
为避免回归系数的不一致问题， 两边除以L，模型变
换为：
Y/L=A(K/L)αν
68
回归，得：
由软件包可得到约束回归和全回归的残差平方和分别为
SR=
S=
（3）检验
原假设 H0:α+β＝1
备择假设 H1:α+β≠1
本例中，g=1, K=2, n=24
69
用自由度（1，21）查F表，5%显著性水平
下， Fc=
∵F=< Fc=
故接受原假设H0:α+β＝1
（4）结论
我们的数据支持规模收益不变的假设。
70
第六节 预测
我们用OLS法对多元回归模型的参数进行了估计之后，如果
结果理想，则可用估计好的模型进行预测。与双变量模型的作
法类似，预测指的是对各自变量的某一组具体值
来预测与之相对应的因变量值 。当然，要进行预测，有一
个假设前提应当满足，即拟合的模型在预测期也成立。
点预测值由与给定的诸X值对应的回归值给出，即
而预测期的实际Y值由下式给出：
其中u0是从预测期的扰动项分布中所取的值。 71
预测误差可定义为：
两边取期望值，得
因此，OLS预测量 是一个无偏预测量。
72
预测误差的方差为：
从 的定义可看出， 为正态变量的线性函数，因此，它本身
也服从正态分布。故
73
由于 为未知，我们用其估计值
代替它，有
则 的95%置信区间为：
（其中， ）
74
例 用书上P79例的数据，预测X2=10，X3=10的Y值。
解：
由例我们已得到：
因此
的95%置信区间为：
或 至之间.
75
第七节 虚拟变量（Dummy variables）
一．虚拟变量的概念
在回归分析中，常常碰到这样一种情况，即因变量的波动
不仅依赖于那种能够很容易按某种尺度定量化的变量（如收
入、产出、价格、身高、体重等），而且依赖于某些定性的
变量（如性别、地区、季节）。
在经济系统中，许多变动是不能定量的。如政府的更迭
（工党-保守党）、经济体制的改革、固定汇率变为浮动汇率、
从战时经济转为和平时期经济等。这样一些变动都可以用大
家所熟悉的0-1变量来表示，用1表示具有某一“品质”或属
性，用0表示不具有该“品质”或属性。这种变量在计量经济
学中称为“虚拟变量”。虚拟变量使得我们可以将那些无法
定量化的变量引入回归模型中。下面给出几个可以引入虚拟
变量的例子。
76
例1：你在研究学历和收入之间的关系，在你的样本中，既
有女性又有男性，你打算研究在此关系中，性别是否
会导致差别。
例2：你在研究某省家庭收入和支出的关系，采集的样本中
既包括农村家庭，又包括城镇家庭，你打算研究二者
的差别。
例3：你在研究通货膨胀的决定因素，在你的观测期中，有
些年份政府实行了一项收入政策。你想检验该政策是
否对通货膨胀产生影响。
上述各例都可以用两种方法来解决，一种解决方法是
分别进行两类情况的回归，然后看参数是否不同。另一种
方法是用全部观测值作单一回归，将定性因素的影响用虚
拟变量引入模型。 77
二．虚拟变量的使用方法
1． 截距变动
设Y表示消费，X表示收入，我们有：
}假定β不变。
对于5年战争和5年和平时期的数据，我们可分别估计上
述两个模型，一般将给出 的不同值。
现引入虚拟变量D, 将两式并为一式：
其中，
78
此式等价于下列两式：
}截距变动，斜率不变
在包含虚拟变量的模型中，D的数据为0，0，0，0，0，
1，1，1，1，1。
估计结果如下图所示：
应用t检验，β2是否显著
可以表明截距项在两个时
期是否有变化。
79
2． 斜率变动
如果我们认为战时和平时的消费函数中，截距项不变，
而斜率不同，即β变动，则可用下面的模型来研究两个时
期边际消费倾向的差异：
其中，D={
不难看出，上式相当于下列两式：
同样，包括虚拟变量的模型中，β2是否显著可以表明斜
率在两个时期是否变化。 80
3．斜率和截距都变动
在这种情况下，模型可设为：
其中，D={
此式等价于下列两个单独的回归式：
引进了虚拟变量的回归模型对于检验两个时期中是否
发生结构性变化很方便。
如上例中，相当于检验 H0: β2=β4=0
81
4．季节虚拟变量的使用
许多变量展示出季节性的变异(如商品零售额、电和天然
气的消费等)，我们在建立模型时应考虑这一点，这有两种
方法：
（1） 在估计前对数据进行季节调整；
（2） 采用虚拟变量将季节性差异反映在模型中。
例：设Y=购买汽车的实际支出额
X=实际总消费支出
用美国1973（1）-1980(2)的季度数据（按1975年价格计
算），得回归结果如下：
82
这一结果很不理想，低R2值，低t值，X的符号也不对。
考虑到可能是季节性变异的问题，我们建立下面的模型：
其中，Q1={
Q2={
Q3={
请注意我们仅用了3个虚拟变量就可表示4个季度的情况。
各季度的截距分别
为：
1季度：0 + 1
2季度： 0 + 2
3季度： 0 + 3
4季度： 0
83
估计结果如下：
结果仍不理想，但好多了。四个季度的截距项分别为：
，，，。
所得到的实际总支出的参数估计值（）是一个不
受季节变动影响的估计值。
84
第四章 小结
本章将双变量模型的结果推广到了多元线性回归模型的一般
情形。
一、多元线性回归模型的估计
多元线性回归模型的矩阵形式为 Y=Xβ+μ
若满足以下四条假设条件：
1、E（μ）=0
2、E（μμ’）= 2 In
3、X是一个非随机元素矩阵
4、Rank（X）=k+1<n
则OLS估计量 =（X’X）-1X’Y
为最佳线性无偏估计量（BLUE）。其方差-协方差矩阵为
Var-cov（ ）=（X’X）-12
该矩阵主对角线元素为诸 的方差。
85
二、拟合优度
多元线性回归模型的决定系数为：
R2 =
由于当模型增加解释变量后，残差平方和的值会减小，为
了使拟合优度的测度反映这一特点，可采用经过自由度调
整的决定系数，即修正决定系数 ：
86
三、非线性关系的处理
线性模型的含义包括变量的线性和参数的线性。对于仅
存在变量非线性的模型，可采用重新定义的方法将模型线性
化。
存在参数非线性的模型，则仅有一部分可通过代数变换
（主要是取对数）的方法将模型线性化。对于那些无法线性
化的模型，只能采用非线性估计技术（如NLS法）估计模
型。
87
四、假设检验
检验解释变量的系数是否为0的假设检验称为系数的显著
性检验。这种检验实际上是检验所涉及的解释变量是否对因
变量有影响。
检验单个系数βj是否为0的检验统计量
～t(n-k-1）
其中Var（ ）为矩阵 主对角线上第j+1个
元素，而
n和k分别是观测值数目和解释变量的个数。
88
涉及几个参数的联合假设检验的检验统计量
F= ～F（g，n-k-1）
其中SR为有约束回归的残差平方和，S为无约束回归（全回
归）的残差平方和。g为原假设中约束条件个数，（对于涉
及几个参数的显著性检验，g为原假设中为0参数的个数）。
检验全部“斜率”系数均为0的检验统计量为
F = =
89
五、虚拟变量
我们应用虚拟变量的目的是将那些无法定量化的变量引
入到模型中。这样，一些定性因素对因变量的影响，如不同
时期、不同地区、不同季节、不同经济政策的影响等，可放
在一个模型中予以考虑。
90
第四章 习题
1、某经济学家试图解释某一变量Y的变动。他收集了Y和5个可
能的解释变量X1～X5的观测值（共10组），然后分别作三个回
归，结果如下（括号中为t统计量）：
（1） = + R2 =
() ()
（2） = + + + R2 =
() () () ()
（3） = + + + + +
() () () () () ()
R2 =
你认为应采用哪一个结果？为什么？ 91
2、为研究旅馆的投资问题，我们收集了某地的1987-1995年
的数据来估计收益生产函数
R=ALαKβeu
其中R=旅馆年净收益（万元），L=土地投入，K=资金投
入，e为自然对数的底。设回归结果如下（括号内数字为标
准误差）：
= + + R2 =
() () ()
（1）请对回归结果作必要说明；
（2）分别检验α和β的显著性；
（3）检验原假设：α=β= 0；
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3、我们有某地1970-1987年间人均储蓄和收入的数据，用以
研究文革期间和文革后储蓄和收入之间的关系是否发生显
著变化。引入虚拟变量后，估计结果如下（括号内数据为
标准差）：
= + + - ·Xt
() () () ()
R2 =
其中：Y=人均储蓄，X=人均收入，
请检验两时期是否有显著的结构性变化。
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