第六节 中心极限定理
观察表明，在实际问题中，很多现象呈现“中间大，两头小”，服从正态分布的规律。
例1 某班学生成绩（图1）：
例2 某次随机测量84个人的身高的数据的直方图（图2）：
例3 在[0,1]之间产生的1000个随机数的和，做1000次实验所得数据的直方图（图3）：
图1
图2
图3
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定理，解决了这一问题.
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。
定理(李雅普诺夫中心极限定理) 设X1 ,X2 ,…, Xn ,…为相互独立的随机变量序列，各有期望E(Xi)=mi ,方差D(Xi)=si2 (i=1,2,…)，则对任意实数x, 有
标准正态分布的分布函数
令
则
且n充分大时，近似的有：
或：
n充分大时，近似的有：
定理2（独立同分布下的中心极限定理）设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，且
则：
中心极限定理是一个非常具有一般性的定理。定理的条件除了独立性和期望、方差的有限性之外，对
此定理显然是定理1的推论。
的分布没有其他
要求。
的分布可以是离散的，连续的或混合的。
中心极限定理在理论和实践上都很重要。理论上，该定理表明大样本独立随机变量序列之和大致是正态的。实践上当人们遇到的随机变量由许多影响小但独立的随机因素的总和的情况，就可以判定这个随机变量的分布是正态的。
从应用的角度来看，中心极限定理可以不必考虑随机变量具体服从什么分布，避免了分布列和概率密度函数的繁琐的计算,在具体计算的时候，只需要均值和方差的信息及简单查阅正态分布表即可。
例1 设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望是20g，标准差为5g，求一盒（装100个）螺丝钉的总重量超过的概率。
解 设第i个螺丝钉的重量为Xi ,i=1,2,…,100
则一盒螺丝钉的总重量为
独立同分布且
由于
由中心极限定理，近似地
的指数分布，使用时，一件消耗完接着就用下一件。100件这样的消耗品的总使用时间为X（单位：h），求
例2 假设某种消耗品的耐用时间是个随机变量，服从λ=
解 设第 i 件的使用时间为Xi , i=1,2,…,100,则总使用时间
独立且同分布
由于
由中心极限定理，近似地
二项分布的正态近似公式
设X服从二项分布B(n,p),则X可以看成n个服从参数为p的0—1
分布的独立随机变量
的和：
显然：
所以
由中心极限定理知，当n充分大时，近似地
定理3 (棣莫佛－拉普拉斯定理)设随机变量X服从参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有
定理表明，当n很大时,二项分布以正态分布 N(np,np(1-p))为极限分布.
例3 设某供电网中有10 000盏灯，夜晚每盏灯开着的概率都是,假定各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在7900和8100之间的概率。
解 设同时开着的灯数为X,依题意
由中心极限定理知，X近似服从N(8000,1600)
或：
例5 某学院计算机中心现有计算机1000台供学生使用，欲对全院10000名学生开放，如果每天晚上约有1/10的学生愿意去上机,并且假定每人是否去彼此无关。(1)求计算机够用的概率；(2)再购置多少台才能使够用的概率达到95%以上？
解 设每晚去上机的人数为X，则
由中心极限定理知，X近似服从N(1000,900)
(1)
(2) 设再购置k台才能使够用的概率达到95%以上,即
而
故
查表知
所以：
取
局部极限定理
对任意的非负整数k=0,1,2,…n
或者进行端点修正技术：
例4 假设每颗炮弹命中飞机的概率均为，分别用二项分布、正态分布和泊松分布计算发射500发炮弹命中5发的概率，并比较这些结果。
① 用二项分布计算
② 用正态分布计算
解：用X表示命中的炮弹数，依题意知X~B(500,)
由于np=5,npq=,由中心极限定理，X~N(5,)
或
③ 用泊松分布计算
由λ=np=5，查泊松分布表得：
比较上述结果，用泊松分布近似计算的结果更准确些。
在人寿保险公司里，有16000名同一年龄段的人参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为%；参加保险的人在一年的第一天交付保险费3元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。
例（增）
求(1). 保险公司因开展这项业务获利不少于10000
元的概率
(2). 保险公司因开展这项业务亏本的概率
解 由题意，死亡人数
由中心极限定理，X近似服从正态分布。
(1)欲求保险公司因开展这项业务获利不少于10000
元的概率，因为一年内这项保险的收入是：
获利不少于10000元，即赔偿不大于 38000元，
即一 年内至多有 （人）死亡
即该公司获利不少于 10000(元)的概率为
(2)欲求保险公司因开展这项业务而亏本的概率，因为公司亏本即赔款大于48000元，即一年内有多
于 （人）死亡
即该公司亏本的概率为
