1
《金融数学》精算师培训
利率风险
Interest rate risk
2
马考勒久期（Macaulay duration）
假设资产未来的一系列现金流为 Rt ，则资产的价格：
实际收益率 i 也可以用名义收益率 i(m)和利息力表示，故：
3
资产的价格：
• 为简化表述，用 y 表示名义收益率，当 m =1时，y就是实
际收益率。
• 未来现金流为 Rt 的资产的价格可以表示为
4
马考勒久期：未来现金流到期时间的加权平均值，权数
为每个现金流的现值在总现值中所占的比率，即：
马考勒久期越大，加权到期时间越长，从而资产价格对
收益率的敏感性越高，资产的利率风险越大。
马考勒久期是一个时间概念，可以用年、月等时间单位
计量。
5
例：一笔贷款的本金为L，期限为n，年实际利率为y，按年
等额分期偿还。试求该笔贷款的马考勒久期。
解： 假设每年末的偿还金额为R
6
例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的
年名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒久期。
解：应用上例的结果
7
利息力（收益率）对马考勒久期的影响
将马考勒久期对d 求导可得（请检验）
注：马考勒久期是利息力的减函数，利息力越高，风险越小。
（到期时间的方差）
8
• 债券到期时间对马考勒久期的影响（一个反例）
注：用债券的到期时间衡量利率风险可能是不恰当的。
息票率 r = 5%，收益率 y =15%
久期
到期时间
9
• 债券的息票率对马考勒久期的影响
注：马考勒久期随着债券息票率的上升而减小，但减小
的幅度越来越小。
n＝20年，y = 10%
息票率
久期
10
修正久期
修正久期（modified duration）：收益率变化时资产价格
的单位变化速率。
修正久期反映了资产价格随收益率变化而变化的速度：
ModD越大，资产价格的波动幅度越大，资产的利率风
险就越大。
ModD越小，资产价格的波动幅度越小，资产的利率风
险就越小。
11
资产价格对收益率y（假设每年复利m次）求导可得：
12
修正久期与马考勒久期的关系：
当 m→∞ 时，
而当m→∞时，名义收益率趋于利息力，即 y → d，因此
注：请与前面给出的马考勒久期进行比较。
13
资产价格与修正久期的关系：
注： %△P 表示资产价格变化的百分比。
△y 表示收益率的变化，通常用基点（base
points）表示。一个基点为%。
例：已知某债券的价格为元，收益率为%，修
正久期为。试计算当收益率上升为%时，该债券
的价格。
解：当收益率上升时，债券价格下降的百分比为：
所以新的债券价格可近似为：
15
资产价格随收益率变动的近似线性关系
y
近似的误差是多少？
16
有效久期 （effective duration）
假定债券未来的现金流是固定的，可以计算债券价格对收益
率的一阶导数P(y) ，从而可以计算修正久期。
如果未来的现金流不是固定的（可赎回债券），可估计 ：
符号：
P0 当前收益率下的债券价格
P+ 当收益率增加时的债券价格
P- 当收益率减少时的债券价格
17
债券价格随收益率变动的近似线性关系
注：对P(y)的估计是以割线AB的
斜率来近似在点(y0 ，P0)的切线斜
率
18
如果在修正久期中，用近似值代替P(y)，则可以得到
有效久期：
即
19
例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益
率上升100个基点时，该债券的价格将降为元。当收
益率下降100个基点时，该债券的价格将升至元。
试计算该债券的有效久期。
解：
20
基于名义收益率的凸度C：
修正久期度量了收益率变化时债券价格的稳定性；凸度则
度量了收益率变化时修正久期的稳定性。
凸度 ( convexity )
注：不叫修正凸度
21
债券价格对收益率求二阶导数可得
所以凸度可按下式计算：
可以证明，凸度是收益率的减函数。
22
凸度对债券价格的影响
凸度是对债券价格曲线的弯曲程度的一种度量，债券A的凸
度大于债券B的凸度：
当利率下降时，A的价格上升快
当利率上升时，A的价格下降慢
P
B
A
y
23
用利息力（连续复收益率）d 代替名义收益率 y，即
可得到马考勒凸度：
马考勒凸度
24
例：一项15年期按月等额偿还的贷款，每月复利一次的年
名义利率为24％，试计算这项贷款的马考勒凸度。
解：y = 24%，m = 12，t = 1/12，2/12，…，15。贷款的现
值为P =
而
故
25
马考勒久期与马考勒凸度的关系
（到期时间的方差）
注：到期时间越分散，马考勒凸度越大。
26
有效凸度
的近似计算：
27
有效凸度 EffC 是对凸度C的一种近似计算：
即
28
例：已知一个6年期可赎回债券的现价为100元，当收益
率上升100个基点时，该债券的价格将降为元。当收
益率下降100个基点时，该债券的价格将升至元。
试计算该债券的有效凸度。
解：该债券的有效凸度为：
29
证券组合的久期：
方法一：
计算组合中每种证券的久期
以组合中每种证券的市场价值为权数计算这些久期的
加权平均数。
方法二：
将证券组合设想为一种证券，将证券组合的现金流看
作是设想证券的现金流
根据设想证券的现金流计算久期。
30
例：假设某证券组合由 n 种债券构成，债券 k 具有现值 Pk
，久期Dk，则该证券组合的价格为：
该证券组合的久期为：
类似地，假设债券 k 的凸度为Ck，则证券组合的凸度为：
31
例：一个债券组合由两种面值为100的债券构成，两种债券
到期后均按面值偿还，且年实际收益率均为5%。第一种
债券的年息票率为6%，期限为5年。第二种债券为10年期
的零息债券。试计算该债券组合的修正久期。
解：第一种债券的价格为
32
该债券价格对收益率的一阶导数为：
于是第一种债券的修正久期为：
33
类似地，第二种债券的价格为：
该债券价格对收益率的一阶导数为：
34
于是第二种债券的修正久期为：
债券组合的价格为：
该债券组合的修正久期为：
35
马考勒久期：
修正久期：
有效久期：
价格：
小结
36
马考勒凸度：
凸度：
有效凸度：
37
久期和凸度的综合应用
将债券的价格函数用泰勒级数展开，则有
其中 o(y – y0)是关于(y – y0)的高阶无穷小量
由此可得近似公式：
38
应用上式时，恰当选择久期和凸度：
修正久期和凸度：名义收益率，固定现金流的资产。
马考勒久期和马考勒凸度：利息力，固定现金流的资产。
有效久期和有效凸度：名义收益率，固定现金流的资产或
利率敏感型现金流的资产。
39
例：某债券的面值是1000元，期限为15年，年息票率为11%，到
期时按面值偿还。如果年实际收益率为12%，试计算其价格、
马考勒久期、修正久期和凸度。当年实际收益率上升至%
，债券的价格将如何变化？
解：
真实值：–%。
用修正久期作近似计算：–×% = –%
考虑凸度的影响，凸度引起的价格变化为
故市场利率上升50个基点所导致的价格变动幅度为
利率上升50个基点所导致的价格变动幅度
41
债券的价格、马考勒久期、修正久期和凸度与收益率的关系
收益率（%）
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
债券的价格 1778 1623 1486 1364 1257 1161 1076 1000 932 871
马考勒久期
修正久期
凸度
注：均为收益率的减函数。
42
假设未来的一系列负债为 L1，L2，…，Ln，安排一系列
在未来到期的资产A1，A2，…，An，以偿付未来到期的债
务。
在最初的时点上，资产的现值应该等于负债的现值。
当市场利率发生变化时，资产的价值将不等于负债的价
值。
可能超过负债的价值。
可能小于负债的价值。
免疫（immunization）
43
如何合理安排资产的结构？免疫策略的条件：
资产的现值等于负债的现值。
资产的修正久期等于负债的修正久期。
资产的凸度大于或等于负债的凸度。
资产价值与负债价值的这种变化关系如下图所示：
44
现值相等
修正久期相等
资产的凸度 > 负债的凸度
负债 资产
市场利率
价格 • 当市场利率上升时，资产价值下降的
幅度 小于负债价值下降的幅度；
• 当市场利率下降时，资产价值上升的
幅度大于负债价值上升的幅度。
45
命题：如果一个金融机构的资产和负债满足上述三个条件，
那么利率的变化将不会导致金融机构的盈余减少。
免疫的三个条件为：
PA（资产的现值）＝ PL（负债的现值）
ModDA （资产的修正久期）＝ ModDL （负债的修正久期）
CA （资产的凸度）≥ CL （负债的凸度）
证明：下页
46
盈余：
对盈余求一阶导数：
对盈余求二阶导数：
如果三个条件得以满足，就有
47
如果三个条件得以满足，就有
假设收益率的变化为Δy，应用泰勒级数展开式，可得
结论：收益率的微小变化，不会导致盈余减少。
注意：上述三个条件只能在特定时点上成立，随着时间的推
移，资产和负债的久期（或凸度）会发生不同的变化
48
例：某人在10年以后需要偿还一笔万元的债务，按当
前的市场利率6%计算，这笔债务的现值为1000万元。为
了防范利率风险，债务人希望购买价值1000万元的债券实
施免疫策略，假设可供选择的债券有如下三种：
债券A：面值1000元，期限为10年，息票率为%。
债券B：面值1000元，期限为15年，息票率为%。
债券C：面值1000元，期限为30年，息票率为%。
试问债务人应该如何选择上述三种债券？
49
在当前的市场利率下（6%），修正久期：
负债：；
债券A：；
债券B：（与负债相同） ；
债券C：。
在当前的市场利率下（6%），债券的价格：
债券A：67 + 1000()–10 =
债券B： + 1000()–15 =
债券C：59 + 1000()–30 =
50
债务人投资1000万元所能购买到的债券数量为：
购买债券A：1000万/ = 9510份
购买债券B：1000万/ = 9124份
购买债券C：1000万/ = 10140份
51
下面分别利率不变和利率变化进行分析。
（1）市场利率不变：
购买债券A，每份债券在第10年末的价值为
1000 + 67 =
第10年末可以积累到的总价值为
×9510 = 万元
正好等于到期需要偿还的债务。
同样，购买债券B和债券C，在第10 年末也可以积累
到万元。
52
结论：如果市场利率不变，债务人没有利率风险。
债券类型 A B C
面值 1000 1000 1000
期限 10 15 30
息票率 % % %
修正久期
债券的价格
1000万元可以购买到的债券数量 9510 9124 10140
每份债券在第10年末的累积价值（元）
所有债券在第10年的价值（万元）
市场利率保持在6%不变时购买三种债券的结果
53
（2）市场利率发生变化。假设购买债券后，市场
利率下降到5%，重新进行上述计算可得下表。
债券类型 A B C
购买到的债券数量 9510 9124 10140
每份债券在第10年末的累积值（元）
所有债券在第10年末的价值（万元）
结论：如果市场利率下降到5%，则
（1）债券A的价值不足以偿付到期债务（万）
（2）债券B的价值略微超过了到期债务；
（3）债券C的价值超过了到期债务。
54
结论：实现免疫策略最好的债券是B。
原因：债券B的修正久期等于负债的修正久期。
在其他市场利率条件下，在第10年的价值
6%
55
免疫策略的另一种选择：构造一个债券组合，使其修正
久期等于债务的修正久期。
假设在债券A上的投资比例为p，在债券C上的投资比例为
(1 – p)，那么债券组合的修正久期为
+ (1 – p)
令其等于债务的修正久期，即可求得
在债券A上的投资：%
在债券C上的投资：%
这个组合与债券B的凸度比较见下图：
56
结论：
（1）组合的凸度更大，对利率风险的免疫能力更强。
（2）当市场利率变化时，组合的价值上升得更多。
57
完全免疫
Redington免疫：只有当平坦的收益率曲线发生微小的平移
时，才能保证盈余不会减少。
完全免疫（full immunization）：在某些情况下，即使当平
坦的收益率曲线发生较大的平移，盈余也不会减少。
例：假设某机构在未来需要支付一笔负债 L，支付时间为 t，
同时在未来有两笔资产现金流，金额分别为 A 和 B，到期
时间分别为 t – a 和 t + b。它们的大小关系如下图所示。
58
可以证明，实现完全免疫需要满足下述三个条件：
（1）资产的现值＝负债的现值
（2）资产的久期＝负债的久期
（3）资产到期时间处于负债到期时间之前和之后，即：
59
根据（1），资产的现值等于负债的现值，即：
盈余是资产的现值与负债的现值之差，其一阶导数为：
由条件（1）和（2）可知
证明（略）：
60
上式变形得（展开括号）：
由条件（1）知，第一项为零。由第二项为零，可得：
61
对于任意的利息力 d，盈余可以表示为：
先把 L 代入上式，再把 B 代入上式，可得：
括号外边大于零。令括号中的项为 f (d )，则：
62
由于 a 和 b 都是大于
零的数，所以：
故
63
命题：当满足前述完全免疫的三个条件时，必然会满足
Remington免疫的三个条件。
证明：根据完全免疫的第二个条件有
由于负债只在一个时间点上有现金流，所以
而资产在两个时间点上有现金流，所以
马考勒凸度和马考勒久期的关系：
64
例：某保险公司在10年末需要支付一笔2000万元的债务，
它现在拥有5年期的零息债券元（到期价值），
15年期的零息债券16105100元（到期价值） 。假设年收益
率为10％。
请判断保险公司是否处于完全免疫状态？
如果收益率变为 20％，保险公司的盈余将如何变化
？
65
解：
保险公司负债的现值为
保险公司资产的现值为
完全免疫的第一个条件得到了满足。
66
容易看出，负债的马考勒久期为10
资产的马考勒久期为
完全免疫的第二个条件也得到了满足。
完全免疫的第三个条件显然是满足的：5 < 10 < 15，
所以，保险公司当前处于完全免疫状态。
67
如果收益率从10%变为20％，则保险公司的盈余为：
可见，由于保险公司处于完全免疫状态，所以收益率的
较大变化仍然会导致盈余增加（参见下图）。
68
69
70
现金流配比（cash flow matching or Dedication）
例：假设某保险公司未来3年的现金流支出和三种可投资资
产的现金流模式如下。如果实施现金流匹配策略，投资在
这三种资产上的资金分别应为多少？
第1年末 第2年末 第3年末
现金流支出 1000 1000 1000
资产1 50 50 500 x
资产2 100 300 y
资产3 200 z
令：投资比例为 x、y、z，则有
71
现金流匹配策略的特点：
彻底消除了利率风险
不容易实现：可能没有所需期限的资产（债券）
可调空间很小，一旦实施，就很难调整债券组合。
72
例：某公司未来负债的现金流如下表所示：
可投资的资产如下：
（1）年息票率为20％的2年期债券；
（2）年息票率为10％的4年期债券；
（3）年息票率为5％的5年期债券；
每种债券的面值均为100元，年实际收益率为5％。
如果该公司打算通过现金流匹配策略管理利率风险，请计
算应该如何购买这三种债券？
年度 1 2 3 4 5
负债的现金流 4090 6790 3550 36550 5250
73
年度 1 2 3 4 5
5年期债券 5 5 5 5 105
4年期债券 10 10 10 110
2年期债券 20 120
可投资债券的现金流：
年度 1 2 3 4 5
负债的现金流 4090 6790 3550 36550 5250
负债的现金流：
74
（1） 年度 1 2 3 4 5
（2） 负债的现金流 4090 6790 3550 36550 5250
（3） 5年期债券的现金流 250 250 250 250 5250
（4） 剩余负债的现金流 3840 6540 3300 36300 0
（5） 4年期债券的现金流 3300 3300 3300 36300 0
（6） 剩余负债的现金流 540 3240 0 0 0
（7） 2年期债券的现金流 540 3240 0 0 0
（8） 剩余负债的现金流 0 0 0 0 0
现金流匹配策略的计算过程
• 5年期债券到期时的本息之和为105元，故需购买： 5250÷105 = 50
• 4年期债券到期时的本息之和为110元，故需购买：36300÷110 = 330
• 2年期债券到期时的本息之和为120元，故需购买：3240÷120 = 27
75
• 利率的期限结构（term structure of interest rate）：
利率和与之相联系的到期期限之间的关系。
• 如果通过利率的期限结构，发现一项资产的定价过
高或者过低，就有可能从中获得无风险收益，即套
利（arbitrage）。
• 本章主要内容：
到期收益率
远期利率
即期利率
套利
76
到期收益率• 到期收益率（yield to maturity）：资产的内部报酬率，是
使得该项资产未来现金流的现值与其价格相等的利率。
77
到期日 年息票率 年实际收益率 债券的价格
1 2% %
2 5% %
3 6% %
4 10% %
5 4% %
6 12% %
7 0% %
8 7% %
9 4% %
10 8% %
表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成）
78
收益率曲线：利率随着投资时期变化而变化的曲线
平价收益率曲线（par yield curve）：债券的息票率等于其收益率时相应的收益
率曲线。此时，债券的价格将等于它的票面值。
79
• 即期利率（spot rate）：从当前时点开始计算的未来一定
限期的利率水平。
• 用即期利率计算债券的价格：
• 用即期利率计算的债券价格更加合理。
即期利率
80
例： 1年期的即期利率为%，2年期的即期利率为%。
请计算一个年息票率为15%的两年期债券的价格，假设债
券的面值为100元。
解：该债券的价格为
81
• 用即期利率计算年金的现值：
82
例：假设1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5％、7％
和9％，请计算一项每年年末支付100元的三年期年金的
现值。
解：该年金的现值为
83
• 如何求得即期利率 ？两种方法
1. 通过市场上零息债券的价格计算：
n 年期的即期利率＝ n 年期零息债券的收益率
2. 自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的
价格中计算得到。
由一年期债券的价格计算1年期的即期利率
利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即
期利率
以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利
率计算的债券价格相等。
84
例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5％和％。3
年期债券的价格为100，息票率为6％。求3年期的即期利
率。
解：3年期的即期利率满足下述方程：
85
与表1 对应的即期利率曲线
到期收益率是不同即期利率的一种加权平均。在该例中，
收益率曲线是递增的，因此即期利率也是递增的。
86
远期利率 • 远期利率（forward rate）：未来两个时点之间的利率水平，
由一系列即期利率所确定。
例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是%
，求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率 f ？
解： (1 + 5%)(1 + f ) = (1 + %)2
f = %
87
• 用远期利率计算债券的价格，则有：
ft ——从 t 年到 t + 1 年的远期利率
88
例：假设0到1年的远期利率为%，1年期的远期利率为
f1 = %，2年期的远期利率为 f2 = %。请计算一个年息
票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为
100元。
解：该债券的价格为：
89
例：三年期债券的价格为100元，f0 = 5%, f1=%，计算
2年期的远期利率。
解：
如何计算远期利率？类似于自助法。见下例。
90
与表1对应的远期利率曲线
在本例中，远期利率均大于相应的即期利率和到期收益
率。但在现实市场中，远期利率小于即期利率和到期收
益率的情况也是有可能发生的。
91
例：应用下面的收益率，计算第1、2、3年的远期利率。
解：应用收益率和远期利率计算的债券价格相等，故第1年
的远期利率满足下述方程：
到期日 年息票率 年实际收益率
1 % %
2 % %
3 % %
92
• 同理，可以计算第2年和第3年的远期利率 f1 和 f2：
• 可见，第1、2、3年的远期利率均为12%。
• 注：如果收益率曲线、即期利率曲线或远期利率曲线中的任意一个
是平坦的，则其余的两个曲线也一定是平坦的，且收益率、即期利率
和远期利率三者均相等。
93
• 应用远期利率求即期利率：
假设在 t 年末的现金流为 Ct，用即期利率计算其现值为
用远期利率计算其现值为
由于上述两个现值相等，故有：
94
f0 f1 f2
r3
0 1 2 3
应用远期利率求得即期利率：
95
应用即期利率求远期利率：
96r2 f2
r3
0 1 2 3
应用即期利率求得远期利率：
97
例：1年期的即期利率为%，2年期的即期利率为%
，3年期的即期利率为%。请计算适用于第1、2、3
年的远期利率。
• 【解】适用于第1年的远期利率等于第1年的即期利率，
即：
98
• 应用前面的公式，分别计算第2年和第3年的远期利率为
99
例：假设各年的远期利率分别为
请计算2年期和3年期的即期利率。
解：
100
套利
• 套利机会：当资产的定价不一致时，就可能存在套利机会。通过同时
的买入和卖出，实现套利。
例：一个年息票率为5%的两年期债券的价格为101元，面值为100元。1年
期的即期利率为%，2年期的即期利率为5%。试确定是否存在套利
机会。
解：按即期利率计算的债券价格为：
与市场价格101元不一致，故存在套利机会。
101
• 如何获取套利收益？
• 债券价格被高估，故可以通过以下策略获利：
卖出一个两年期债券，获得101元。
购买一个在第1年末支付5元的零息票债券，以及一个
在第2年末支付105元的零息票债券。购买价格为
套利者在0时刻获得 = 的无风险收
益。
102
时刻 卖出债券的现金流 买入债券的现金流 净现金流
0 101
1 -5 5 0
2 -105 105 0
该投资策略的现金流如下：
套利的一般规律：
• 卖出一项价格被高估的资产，并买入一系列现金流与之相匹配的资产。
• 买入一项价格被低估的资产，并出售一系列现金流与之相匹配的资产。
103
例（价格被低估）：一个年息票率为5%的两年期债券的价格
为99元，其面值为100元。1年期即期利率为%，2年期
即期利率为5%。试判断是否存在套利机会。如果存在，
请确定一个无净现金流出，且可获得无风险收益的策略。
• 解：由前例可知，与即期利率一致的债券价格为
元。由于该债券的市场价格为99元，故该债券被低估了，
存在套利机会。
104
• 套利者可以通过以下策略从套利机会中获利：
按99元的价格购买该债券。
卖出一个在1年末支付5元的零息票债券，以及一个在2
年末支付105元的零息票债券。两个债券的价格为
105
• 该投资策略的现金流如下：
时刻 卖出债券的现金流 买入债券的现金流 净现金流
0 -99
1 -5 5 0
2 -105 105 0
106
例：一个年息票率为%的三年期债券按其面值（100元）
定价。远期利率为
试判断是否存在套利机会，如果存在，请确定一个无
净现金流出，且可以获得无风险收益的策略。
解：与远期利率一致的债券价格为
107
• 套利策略：按100元的价格卖出一个三年期债券，同时用
元的成本复制一个相同的现金流，即可在0时刻获
得=（元）的无风险收益。
将元按%投资一年，支付已售债券的息票
元后，还剩余：
× - = （元）
上述资金在第二年按远期利率%再投资一年，支付
已售债券的息票元后， 剩余：
× - = （元）
108
上述资金在第三年按远期利率%进行投资。在第三
年末，累积值为
×（）= （元）
正好用于支付售出债券在第三年末的本金（100元）和
息票（元）。
109
• 该投资策略的现金流如下表所示：
时刻 卖出债券的现金流 投资复制的现金流 净现金流
0 100
1 0
2 0
3 0
110
• 若资产的价格为P，t 时刻的现金流为Ct，到期收益率为y
，即期利率为 rt，远期利率为 ft，则有：
小结
随机利率
• 随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机
变量。
• 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可
以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
• 把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1
至时刻 t 的利率。
累积值
• 如果假设利率为一个随机变量 it ，那么现在投资单位1，
经过 n 年后，其累积值 AVn为：
可见 AVn也是一随机变量。
• 当随机变量的概率分布 it 已知时，便可以计算累积值AVn
的期望和方差。
• 固定利率模型(fixed interest rate model)：初始利率将在第
一年被确定，而随后的利率将被固定在这个利率水平之
上。
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，而相应
的概率分别为、和。利率一旦被确定，将在今后
两年保持不变。
（1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。
（2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： 两年末的累积值 AV2具有下述分布：
i1 ，i2 概率 AV2 (AV2)2
()() = =
()()= =
()()= =
• (1) 两年末累积值的期望为：
• (2) 两年末累积值的二阶矩为：
• 因此累积值的方差为：
• 变动利率模型(varying interest rate model)：各年的利率水
平是相互独立的。
• 例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应
的概率分别为、和。
（1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。
（2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： AV2的完整分布如下：
(i1 ，i2) 概 率 AV2 (AV2)2
(，) ()()= ()()= =
(，) ()()= ()()= =
(，) ()()= ()()= =
(，)或(，) 2()()= ()()= =
(，)或(，) 2()()= ()()= =
(，)或(，) 2()()= ()()= =
(1) 两年末累积值的期望为：
(2) 两年末累积值的二阶矩为：
• 因此累积值的方差为：
• 从上述两例可以看出，固定利率模型中的期望累积值
()要大于变动利率模型中的期望累积值 ()。
• 在固定利率模型中，当第一年的利率水平为最高的7%时，
第二年的利率水平也固定在最高的7%。这可认为是对利
率水平的有效分配，因为第一年末的累积值越高，第二年
所应获得的利息收入就应越高，也就是说，当第一年末的
累积值达到最高时，第二年的利率也应达到最高。
现值
• 如果假设利率为一个随机变量 it，那么在时刻 n 到期的单
位1，在时刻 0 的现值 PVn 为：
可见，现值 PVn 本身也是一个随机变量。
• 如果已知所有时刻的利率的概率分布，就可以计算在时刻
0 的期望现值。
• 注意，虽然现值和累积值的乘积等于1，即
• 但这并不意味着期望累积值 和 期望现值
会具有同样的代数关系。在一般情况下
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的
概率分别为、和。利率一旦被确定，将在今后两
年保持不变。请计算时刻2的单位1在时刻0的期望现值。
解：
• 在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为，故
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
• 如果利率 是独立同分布的随机变量，它们具有
相同的期望值 ，t = 1，2，…，n，则 n 年末的
期望累积值可以表示为：
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的
概率分别为、和。试计算现在投资的单位1在时
刻2的期望累积值。
解：未来的利率是独立同分布的，故期望值为：
• 时刻2的期望累积值为：
• 结果与上例相同。显然，通过期望利率 来解 要
方便得多。
• 设诸 it 的方差为 s2，即 ，则可以用 和 s2来
表示累积值 AVn的方差。
• 累积值AVn的二阶原点矩为
• 随机利率 it 的方差 s2 为
• 故 it 的二阶原点矩为
• 将后式代入前式中，可以得到累积值 AVn 的二阶原点矩为：
• 因此，如果利率 it 是独立同分布的，则累积值 AVn 的方差
可以表示为：
• 如果诸利率 it 是独立同分布的，则现值 PVn 的期望值可以
表示为：
• 其中 ，t =1，2，…，n。
• 在通常情况下 ，即 。
• 注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望
累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明
这一点。
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的
概率分别为、和。
(1) 为了使得第2年末的期望累积值为1元，现在必须投
资多少?
(2) 在第2年末支付1元，它的期望现值是多少?
解：(1) 假设现在投资X，则第2年末的期望累积值为：
令第2年末的期望累积值为1元，则有：
解得
即：如果现在投资元，则第2年末的期望累积值为
1元。
(2) 为了计算第2年末支付的1元的期望现值，首先计算 ：
• 接下来再计算期望现值 就十分方便了：
• 可见，在第2年末支付1元，它的期望现值是元。
• 显然，在第2年末1元期望累积值的现值，不等于第2年末
支付1元的期望现值。
对数正态模型
• 在对数正态模型中，我们通常假设 服从正态分布，
这相当于假设连续利率 服从正态分布，这是因为
• 这里的随机变量是时刻 t-1 至时刻 t 的利息力。
• 注意：
时刻 t 附近无限短的时间内的利息力。
随机变量（应用于一个时间区间）
• 假设 服从对数正态分布，且 具有如下的均
值和方差：
• 则 的期望和方差分别为：
例：假设对时刻1和时刻2，有 ， 。
进一步假设在各年的利率还是独立同分布的，且
服从对数正态分布。试计算对数正态分布的参数 m 和 s2
。
解：因为 是具有参数m 和 s2的对数正态分布随机变量，
所以的期望和方差分别为：
• 由此可得：
• 因为 ， ，所以
• 将它们代入和的等式中，即可求得对数正态分布的两个参
数分别为：
• 如果假设 服从正态分布，那么现在存入的单位1在
时刻 n 的累积值的自然对数就可以由每一年的利息力之和
来表示，即
• 如果 均服从参数为m 和 s2的对数正
态分布，且相互独立，则 相互独立，且服从均值为m ，
方差s2为的正态分布，故有
• 由于 是一组独立同分布的正态随机变量之和，所
以是具有均值 nm ，方差 ns2 的正态随机变量。
• 这就意味着累积值 AVn 服从参数为 nm 和 ns2 的对数正态
分布，其均值和方差分别为：
例：利用上例计算所得到的 m 和 s2 ，请计算：
（1）现在投资的1元在第2年末的期望累积值
。
（2）现在投资的1元在第2年末的累积值的方差
。
解：因为 均服从参数为m 和 s2的对数正态分布，
且相互独立
则现在存入的1元在第2年末的累积值 AV2 服从参数为 2m
和 2s2 的对数正态分布
• 故有：
