§ 概率的公理化定义
及概率的加法公式
一、概率的公理化定义
性大小，记为
上所有事件组成的集合．事件
设
是某个随机试验的样本空间，
为
发生的可能
是事件Ａ的固有属性，
需要强调的是，
的固有属性一样．
它随着事件Ａ的确定而确定，
就像“质量”是物体
一旦事件Ａ给定了，
我们知道不知道它是多少，能不能计算它，那是
就确定了．至于
技术问题，属于另一回事．
是一个映射
从对应关系来说，
（函数就是一种特殊的映射）．
熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，
一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域
试问映射P的对应法则是什么?
是
映射P没有通常的函数解析式，1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫解决了映射P的对应法则问题，这在概率论发展史具有重大意义．
柯尔莫哥洛夫
（1903～1987)
映射P的对应法则由下面三条公理确定，这就是我们通常所说的概率的公理化定义．
概率：
上所有事件组成的集合，
为
设某个随机试验的样本空间为
称满足下列三条
公理的称满足下列三条公理的映射
为
1º非负性 若
则
2º正则性
简而言之，概率是以
加的正则的非负函数．
为定义域的可列可
3º可列可加性 若
是一列两两互不相
则
容的事件，即
从现在开始，我们称
其中的“Ｐ”是英文单词“probability”的首写字母，表示“概率”的意思．
为事件Ａ的概率．
在概率论发展的历史上，有许多关于概率的定义，其中包括在下一节的概率的古典定义和概率的几何定义，这些定义各适合一类随机现象．概率的公理化定义既概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条公理，才能说它是概率．
概率的公理化体系迅速获得举世公认，是概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理化定义后，概率论得到很快的发展．
二、概率的基本性质
概率的可列可加性
☎
由此可得
证
性质
证
概率的可列可加性
性质
性质 (概率的有限可加性) 若
两两互不相容，即
则
概率的有限可加性
☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，可以通过计算其对立事件的概率来完成，这种“绕圈子”的方式在概率计算问题中经常被采用．
性质 (对立事件的概率公式) 对任何事
件A，有
证 注意，A与
互不相容，且
概率的有限可加性
移项得所需结论．
性质 (真差概率公式) 若
则
证 当
时，
A与B-A互不相容，
由真差的概率公式可得下面三条性质：
性质 (概率的减法公式) 对任意两个事件A和B，有
性质 对任意事件A，有
性质(概率的单调性) 若
则
解 由概率的单调性，
同理，
把上面两者综合起来，得
试问：在什么条件下
取到最大值，最大值是多少?
例 设A和B是两个事件，
可见，当
时上述不等式中的
＂＝＂号成立，此时
取到它的最大值，
最大值是．
另外，当
时，上述不等式中的
也是
取到它的最大值的一个充分条件．
“＝”号也成立，所以
三、概率的加法公式
证
定理 (关于两个事件的概率的加法公式) 对任意两个事件A和B，有
所以
例 由长期统计资料得知，某一地区在４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．
从而，由概率的加法公式得所求概率为
解 在４月份中任取一天，令A={下雨}，
B={刮风}，则
解
试问：在什么条件下
取到最小值，最小值是多少?
例 设A和B是两个事件，
可见，当
时，上述不等式
取到它的
中的＂＝＂号成立，此时
最小值，最小值是．
注意，
并不意味着
当然，若
值．
也取到它的最小
类似地，我们可以证明下面两个定理．
定理 (关于三个事件的概率的加法公式) 对任意三个事件A，B，C 有
定理 (概率的一般加法公式) 对任意
个事件
有
我们也称这个公式为“多除少补原理”．
解 问题归结于求
例 设
个发生的概率．
求事件A，B，C中至少有一
由概率的加法公式得所求概率为
