土 木 工 程 学 报
CHINACIVILENGINEERINGJOURNAL
第40卷第11期
2007年 11月
Nov. 2007
基金项目:清华大学基础研究基金 (JC2007001)
作者简介:陈喜群,本科生
收稿日期:2007-02-05
平均收益期在工程投资互斥方案评价中的应用
陈喜群 郑思齐
(清华大学,北京100084)
摘要:在工程投资项目的经济评价中,常需要对若干互斥方案进行方案比选,净现值 (NPV) 最大准则是可靠的
方法,而单纯依靠内部收益率 (IRR) 最大可能会得到错误的结论。但NPV最大仅反映了财富最大化,并未反映
资金利用效率。本文借鉴金融学中麦考利存续期 (Macaulayduration,即加权平均任期),引入能够更好地反映资
金利用效率的现金流平均收益期 (DR) 指标,探讨它与 NPV和 IRR之间的相互关系,发现当方案的平均收益期
和内部收益率趋势相同,必然导致折现值会有相同趋势。本文还揭示了 DR值的直观几何含义,这能够简化经济
效果的评价方法。同时,本文针对互斥投资方案中的特殊形式修正了平均收益期的概念,使得修正值和原值在项
目IRR附近具有明显的相关关系。最后,本文还在非常规投资项目中应用 DR指标对项目 NPV图进行区域分化,
并赋予不同的经济含义。这些定量的研究结果对于应用平均收益期进行互斥方案辅助决策分析有重要的意义。
关键词:互斥方案;平均收益期;修正平均收益期;经济效果评价
中图分类号: 文献标识码:A
文章编号:1000-131X(2007)11-0104-06
Averagedurationofreturnforevaluationofmutuallyexclusiveprojects
ChenXiqun ZhengSiqi
(TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)
Abstract:NetPresentValue(NPV)andInternalRateofReturn(IRR)arethewidely-usedtoolsforevaluating
,whileIRRmaximizationmayleadtoawrong
,anindexofcashflowweighted
averageDurationofReturn(DR)
,iftheirDRsandIRRsbear
thesamerelationships,,
evaluationofmutuallyexclusiveprojects,anditisfoundthatthisindexishighlycorrelatedwithitsoriginalvalue
,theNPVchartofnon-conventionalprojectscanbedividedinto
differentpartswithspecificeconomicimplications.
Keywords:mutuallyexclusiveprojects;averagedurationofreturn;modifiedaveragedurationofreturn;economic
evaluation
E-mail:chenxq04@
引 言[1]
土木工程项目一般都是大型投资项目,其决策过
程尤为重要。在一个项目面临多种方案时,互斥方案
是最为常见的多方案比选形式。例如,桥梁结构形式
选择———梁、拱、索;高速公路建设方案———公共部
门独立建设、公共部门与私营部门联合建设、私营部
门独立建设等等。
净现值 (NPV) 和内部收益率 (IRR) 是最常见
的两种方案评价指标,前者是绝对数值指标,反映了
投资方案预期现金流量的现值量;后者是相对数值指
标,反映了投资在寿命期末刚好全部回收时的折现
率。但是在互斥方案比选中,净现值 (NPV) 最大准
则是可靠的方法,不能运用内部收益率 (IRR) 进行
互斥方案选择 (必须采用增量内部收益率△IRR),
而 NPV最大仅反映了财富最大化,并未反映资金利
··第40卷 第11期
用效率。在互斥方案评价中如何考虑项目收益期的作
用一直没有准确的指标,本文借鉴金融学中Macaulay
duration[1]的概念,应用能够较好地反映资金利用效率
的平均收益期指标,并探讨其在互斥方案评价中的应
用,该指标和△IRR一同在 NPV和 IRR之间起纽带
作用,对互斥方案评价可以起到很好的辅助参考作用。
1 平均收益期的经济含义
加权平均任期的含义
在金融学中,加权平均任期表示到期债券的现金
流量,是债券本息支付时间的加权平均,其权重等于
债券本息支付现值占债券总现值的比例。这是由持续
期定义直接得出的加权平均任期的基本含义,也是人
们最初对Macaulayduration概念的基本理解,它可以
用来度量债券价格对到期收益率变化的敏感程度。
平均收益期的含义
根据加权平均任期的定义,在进行互斥方案评价
时,我们也可以引入类似的加权表达方式,理解为以
现金流量折现值作为权重的平均收益期[2]。即式(1):
DR(i)=
N
t=1
!NIt(1+i)-tt
N
t=1
!NIt(1+i)-t=PV1+2PV2+⋯N×PVNPV
其中:DR(i)(Durationofreturn) 为加权平均投资收益
期,即平均收益期,为折现率i的函数;NIt为第t期
的净现金流;PVt为第t期的折现值;PV为各期净现
值的折现之和;N为投资项目的生命周期。
对于常规的工程投资项目,各期的净现值非负,
DR直接反映了项目收益持续期的长短,其值越小,
表明越多的收益集中在项目前期,相反表明更多的收
益集中在项目后期,可以作为工程项目投资回收快慢
的指标。不同决策者考虑项目时的关注点有所不同,
如果只关注 NPV则可能是投资回收期比较长的累加
结果,如果只关注投资回收速度则 NPV可能会比较
小,所以 DR可以作为除 NPV或 IRR指标之外的辅
助参考标准。
平均收益期的性质
对净现值的表达式左右求一阶导数得平均收益期:
NPV=-I0+
N
t=1
!NIt(1+i)-t(I0为项目初始投资)(2)
dPV(i)
di
=-
N
t=1
!NIt(1+i)-t
1+i
×
N
t=1
!NIt(1+i)-tt
N
t=1
!NIt(1+i)-t
=-PV(i)
1+i
DR(i)
DR(i)=-1+i
PV(i)
dPV(i)
di
(3)
DR可以用来度量全部收益现值对折现率变化的
敏感程度。由于现值与折现率呈相反方向变化,因此
平均收益期表示当机会成本上升(或下降) 时,折现
因子上升 (或下降) 一个百分点,收益现值下降 (或
上升) 的百分比。如果工程投资项目前几年都是投资
期,则可以按照基准收益率折算到最后一个投资期,
并取该值作为常规项目初始投资。
2 DR在工程投资互斥方案评价中的作用
常规工程投资项目互斥方案研究
目前比较常用的是增量IRR法[3],这是一种有效
但有缺陷的方法,但是考虑不足之处在于未涉及项目
的NPV和IRR之间的关系。
常规工程项目中两个现金流量的 NPV图可能没
有交点,这是一种比较简单的情形;可能存在一个交
点,又分为交点在横轴下方和上方,在上方时根据
NPV和 IRR两种指标比较的结果不一样 (见图 1),
在下方时 NPV<0,根据 NPV的单调性可知在横轴上
方对于任何折现率,差值现金流 A-B不改变符号,
结论明显;也可能存在两个交点,此时情况比较复
杂,需要对DR进行修正。
NPV图仅有一个交点
下面的例子直观地反映 DR、NPV、IRR之间的
关系:设某常规工程投资项目有 A,B两种互斥方
案,基准折现率 ic=5%,不考虑 5-10年 A方案的收
益用于再投资 (投资数额与收益均具不确定性)。
可以看出:NPV(5%):A<B,IRR:A>B,DR:
A<B。净现值 A<B表明 B方案在基准折现率下会使
企业获利更多,采用增量 IRR法也可以得到 IRR=
%>5%,说明 B为最优方案。但是 B的 IRR比
A小,说明B方案对银行贷款利率的最大承担能力不
图1 常规项目NPV图仅有一个交点现金流
Cashflowsoftwogeneralprojectswithoneintersection
陈喜群等·平均收益期在工程投资互斥方案评价中的应用 105
·· 土 木 工 程 学 报 2007年
图2 DR在PV图中的几何含义
GeometricalmeaningofDRinPVdiagram
投资期
(年)
A方案(IRR=%) B方案(IRR=%)
净现金流
NCF
净现金流
NCF
现值PV
(ic=5%)
0 -10000 -15000 -15000
1 2400 2000
2 3700 4200
3 4800 3800
4 3500 4350
5-10 0 1400 ———
现值PV
(ic=5%)
-10000
3356
0
表1 常规项目NPV图有一个交点现金流
Table1 Cashflowsoftwoconventionalprojects
withoneintersection
如 A,矛盾下可以考虑 B的 DR比 A大,说明 B的
平均收益期比较长,尽管 IRR比较小但是积累的净
现值比较大。说明在 NPV和 IRR指标相反时,可以
借助DR指标进行辅助决策分析。
对于现实中大量存在的有单一交点的互斥方案,
可以应用类似上述示例的分析方法,得到如下结论:
①
NPV:A≤B
IRR:A<B
DR:A>
"
$
$
$$
#
$
$
$$
% B
,说明互斥方案的 DR指标在
NPV和IRR趋势相同时,一定会呈现出相反的趋势。
②
NPV:A>B
IRR:A<B
DR:A>
&
$
$
$$
#
$
$
$$
% B
,说明 A方案为较优方案时,但
是资本的内部收益率比较小 (IRR小),可以推断是
平均收益期比较长的结果。
③
DR:A<B
IRR:A<
’
B
(NPV:A<B或
DR:A>B
IRR:A>
’
B
(NPV:
A>B,说明互斥方案的DR和IRR趋势相同时,必然
导致折现值会有相同的趋势。
DR值的几何意义也直观地说明了上述结论 (以
①为例)
DR(i=k)=-1+i
PV(i)
dPV(i)
di
=1+k
MA
tan∠ANM=1+k
MN
(4)
同样对于B:DR(i=k)=1+k
MP
(5)
NPV:A<B,IRR:A<B, MP>MN (DR:A>B
另外两个结论证明略。
NPV图有两个交点
由于绝大多数的互斥方案之间差别会比较大,那
时在NPV图上就会有1或0个交点,DR指标的上述
结论是成立的,但是当互斥方案的 NPV曲线差别不
大时,IRR也比较接近,就有可能出现两个交点,上
述结论不再成立,以下述表2现金流为例:设某常规
工程投资项目有 A,B两种互斥方案,基准折现率
ic=16%,不考虑 6-11年 A方案的收益用于再投资
(投资数额与收益均具不确定性)。结果为:
NPVA=>NPVB=
IRR:A<B;DR:A<B (6)
针对当互斥方案现金流 NPV图比较接近时出现
的(6)式的矛盾,引出修正平均收益期T(i)的概念[2]。
在评估投资项目的平均回收期时,将初始投资按照
投资期
(年)
A方案(IRR=%) B方案(IRR=%)
净现金流
NCF
净现金流
NCF
现值PV
(ic=16%)
0 -13000 -13000 -13000
1 2500 4500
2 3700 4200
3 4500 3800
6-11 0 1200 ———
现值PV
(ic=16%)
-13000
2883
0
4
5
5500
8500
4350
1950
4047
表2 常规项目NPV图有两个交点现金流
Table2 Cashflowsoftwoconventionalprojectswith
twointersections
图3 常规项目NPV图有两个交点现金流
Cashflowoftwoconventionalprojectswith
twointersections
106
··第40卷 第11期
折现率
i
A方案(IRR=%) B方案(IRR=%)
DR T DR T NPV
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
22%
23%
24%
25%
NPV
表3 收益期和修正收益期与IRR、NPV的关系
Table3 RelationshipsbetweenDR,T,IRRandNPV
项目固有属性内部收益率折算成某一时刻的终值
NIT,它恰好能够抵消收益现值 PV按照基准折现率
折算到这一时刻的终值,则称初始投资到此时的时间
为T(i)。
数学表达:
PV= NIT
(1+i)T
NPV+I0
NIT=I0(1+IRR)
!
#
##
"
#
##
$
T
(7)
T(i)=ln( PV
I0
)ln(1+IRR
1+i
)=ln(NPV+I0)-ln(I0)
ln(1+IRR)-ln(1+i)
(8)
修正平均收益期的性质
① 当折现率很接近内部收益率时候,修正平均
收益期和平均收益期相等。
T(i)=lim
i→IRR
( ln(NPV+I0)-ln(I0)
ln(1+IRR)-ln(1+i)
)=lim
i→IRR
0
0
(9)
由洛必则法则,对分子求导数:
dA1(i)
di
=dNPV(i)
di
1
NPV(i)+I0
=[I0
N
t=1
&NIt(1+i)-t][
N
t=1
&NIt(1+i)-t-1I0]=-DR(i)1+i
代回上述极限表达式得到式(10):
lim
i→IRR
T(i)=dA1(i)/di
dA2(i)/di
=-DR(i)/(1+i)
-1/(1+i)
=lim
i→IRR
DR(i)
② 平均收益期和修正收益期之间的关系在交点
处的斜率比是2∶1。
PV(i)= NIT
(1+i)T
=I0(1+IRR)
T
(1+i)T
=I0(
1+IRR
1+i
)T(i)(11)
取对数:lnPV=Tln(1+IRR
1+i
)+ln(I0) (12)
求导数: 1
PV
dPV(i)
di
=dT
di
ln(1+IRR
1+i
)-T
1+i
(13)
带入到平均收益期公式中得到:
DR(i)=T(i)-(1+i)ln(1+IRR
1+i
)dT(i)
di
(14)
变形得到:
T(i)-DR(i)
ln(1+IRR)-ln(1+i)
)=(1+i)dT(i)
di
(i≠IRR) (15)
对于折现率与内部回收率十分接近的情形,有:
lim
i→IRR
(dT(i)
di
-dDR(i)
di
)(-1
1+i
)=lim
i→IRR
(1+i)dT(i)
di
化简得:
2lim
i→IRR
dT(i)
di
=lim
i→IRR
dDR(i)
di
(16)
这两条性质可以根据表 2中的现金流,绘制 DR
和 T之间的关系,由此看出在 IRR处两者数值相等
(性质①),斜率之比为2∶1(性质②)。ic在IRR的
两侧DR, T的大小关系会改变,这两个性质可以避
免不太常见的两交点互斥方案中式(6)的矛盾,证明
见节。
T、IRR和NPV一致性证明
如果已知T、IRR的趋势一致,即有:
PVA=I(
1+IRRA
1+ic
)TA>I(1+IRRB
1+ic
)TB=PVB (17)
IRR:A>B>ic
T:A>
’
B
(PV:A>B (18)
同理,可以得到当A方案的T、IRR都小于B方
案时,可以得出两者的收益现值为 A<B,如果互斥
方案的初始投资额相同,即两者的净现值为 A<B,
这样就得出了 T、IRR和 NPV趋势一致性的证明。
这就使 T避免出现像 DR指标式(6)的矛盾,起到了
对DR的修正作用,但是我们可以看到DR的三个结
论对于大部分的互斥方案现金流是成立的,只有在两
者的NPV图比较接近的时候才需要应用T指标。
非常规工程投资项目互斥方案研究
非常规投资项目是投资活动中常见的一种投资项
目,如更新改造项目、油田报废处理、放射性废物处
图4 DR和T之间的关系
RelationshipbetweenDRandT(ModifiedDR)
陈喜群等·平均收益期在工程投资互斥方案评价中的应用 107
·· 土 木 工 程 学 报 2007年
投资期 A方案 B方案 B-A(IRR=%)
(年) NCF NCF NCF PVic=10%
0 -100 -50 50 50
1 585 200 -385 -350
2 -570 350 920
3 -450 -900 -450
4 240 -400 -640
5 380 450 70
6 0 300 300
7 0 300 300
NPV
ERR
MIRR
%>10%
%>10%
%>10%
%>10%
%>10%
%>10%
PVic=10% PVic=10%
-100 -50
0
0
表4 非常规项目现金流
Table4 Cashflowsofunconventionalprojects
理等。对于这类非常规投资项目,其内部收益率可能
有多个[4],它们都不满足IRR的基本涵义,即它们都
不是项目的内部收益率,这样的投资项目不能用内部
收益率指标评价分析。目前常见的评价方法是应用修
正内部收益率 (MIRR-ModifiedInternalRateofReturn)
和外部收益率 (ERR-ExternalRateofReturn) 指标[5],
它们都是对 IRR的修正,其中都含有再投资利率,
它是外部参数,因此也可把上述投资收益率统称为外
部收益率[6]。
MIRR表示总收益是由总支出带来的,流出资金现
值按照MIRR折算到投资期末刚好等于流入资金终值:
N
t=0
!COt(1+ic)-t(1+MIRR)N=
N
t=0
!CIt(1+ic)N-t (19)
ERR表示投资项目在计算期内各年现金流出量
的终值与各年的现金流入量按基准收益率计算的终值
之和相等时的收益率:
N
t=0
!COt(1+ERR)N-t=
N
t=0
!CIt(1+ic)N-t (20)
式中:CIt表示第 t期流入现金,COt表示第 t期流出
现金。
根据表 4分析,增量 ERR或者 MIRR都比基准
折现率大,说明 B方案增加的现金流量是值得的,
由此可以判断出B方案为最优方案。
我们同样可以借助平均收益期的概念(式(3)),
得出非常规项目的 NPV图和 DR指标在图中的变化
规律:与 NPV曲线斜率直接相关。科研根据 DR的
正负变化来判断 NPV图是上升或下降的趋势,也可
以确定出 NPV的极大或极小值点,见图 5,项目投
资的折现率使DR=0时NPV达到极值,若左侧DR<0
右侧DR>0为极大值,若左侧 DR>0右侧 DR<0为极
小值。以方案 A为例,如图 5所示,非常规项目中
DR指标的正负反映了项目净现值随折现率的变化关
系,DR值为0附近时,表明项目对折现率变化反映
不太敏感;DR值为负数时,表明项目处于NPV下滑
阶段;DR值为负数时,表明项目处于NPV上升阶段。
由于DR指标在用于上述方案时其数值变化范围
比较大,有时平均收益期还是负数或者数值很大,这
和常规项目有很大不同,因此只能够用于评价项目收
益的变化趋势,而不能够用于方案评价。
3 结 论
DR指标的引入对于常规项目的经济效果评价与
比选方法起到了完善的作用,它联系了 NPV和 IRR
指标,在 NPV和 IRR之间所起到的纽带作用,在互
斥方案评价中起到辅助决策的作用,使工程投资项目
的决策人能够对项目收益有更全面的评价。
常规工程项目比选可跟据NPV图的交点数分为:
无交点、一个交点、两个交点。无交点的情形 NPV、
IRR的规律简单,比较容易进行经济评价。一个交点
的情况最为常见,其NPV,IRR和DR之间的相互关
系为:
①
NPV:A≤B
IRR:A<B
DR:A>
#
%
%
%%
$
%
%
%%
& B
,说明互斥方案的 DR指标在
NPV和IRR趋势相同时,一定会呈现出相反的趋势。
②
NPV:A>B
IRR:A<B
DR:A>
#
%
%
%%
’
%
%
%%
& B
,说明 A方案为较优方案时,但
是资本的内部收益率比较小 (IRR小),可以推断是
平均收益期比较长的结果。
③
DR:A<B
IRR:A<
(
B
)NPV:A<B或
DR:A>B
IRR:A>
(
B
)NPV:
注:PV-baseline表示PV图的横坐标线,与NPV相差I0
图5 非常规项目的DR指标在NPV图中的反映
DRindexinNPVdiagramofunconventionalprojects
108
··第40卷 第11期
A>B,说明互斥方案的DR和IRR趋势相同时,必然
导致折现值会有相同的趋势。
两个交点常规项目互斥方案比较少见,以上的关
系在一定的折现率区间范围内会得出矛盾,修正平均
收益期T可以解决上述的矛盾。T值在项目的IRR附
近具有良好的性质:修正平均收益期和平均收益期相
等;平均收益期和修正平均收益期在交点处的斜率比
是2∶1。
非常规投资项目 NPV图也可以类似地表明 DR
值的含义,根据 DR的正负变化将 NPV图分成不同
的区间,各个区间反映了 NPV上升或者下降规律。
但是DR指标只能用于评价这类工程项目的收益变化
趋势,而不能用于有多个 NPV零点的非常规项目的
互斥方案评价。
参 考 文 献
[1] 杨文瀚.久期在债券利率风险度量中的应用及修正[J].山
东科技大学学报(自然科学版),2002,21(2):1-13(Yang
-
surementofinterestrateriskofbonds[J].JournalofShan-
dongUniversityofScienceandTechnology(NaturalSci-
ence),2002,21(2):1-13(inChinese))
[2] .,
exclusiveprojects:theroleofduration[J].TheEngineering
Economist,49:43-61,2004
[3] Hartman,JosephC,Schafrick,
rateofreturn[J].TheEngineeringEconomist,2004,49(2):
139-158
[4] Hazen,
ofreturn[J].TheEngineeringEconomist,2003,48(1):31
[5] 张文泉,常青云,何庭全.非常规投资项目收益率指标评价
研究[J].现代电力,2002,19(5):101-105(ZhangWenquan,
ChangQingyun,
nonconventionalinvestment[J].ModernElectricPower,
2002,19(5):101-105(inChinese))
[6] 陆宁,王成玉,蔡爱云,等.外部收益率替代内部收益率
的适性分析[J].长安大学学报(社会科学版),2005,7
(1):47-50(LuNing,WangChengyu,CaiAiyun,
onreplacinginternalrateofrevenuewithexternalrateof
revenueineconomicevaluation[J].JournalofChang’an
University(SocialScienceEdition),2005,7(1):47-50(in
Chinese))
陈喜群等·平均收益期在工程投资互斥方案评价中的应用 109
