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第 3 讲
消费者理论Ⅱ
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显示偏好和替代效应
• 显示偏好理论由保罗·萨缪而森在1940s
末期提出
• 这个理论利用观察到的行为定义了理性
的原理，并用这个原理近似效用函数
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显示偏好和替代效应
• 考虑两个商品束: A 和 B
• 如果消费者能够负担这两个商品束，但是
选择了 A, 我们说 A 显示偏好于B
• 在任何一个价格收入条件下, B 不能显示
偏好于 A
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显示偏好和替代效应
x的数量
y的数量
A
I1
假定, 当预算约束为 I1, 选择A
B
I3
当收入是I3的时候，A 还应该偏好于 B ，
(因为 A 和B 都是可以负担的)
I2
如果选择B, 预算约束一定类似
于 I2 ，此时无法负担 A
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替代效应为负
• 假定消费者在两个商品束之间无差异: C
和 D
• 令pxC,pyC 为选择消费束 C 时候的商品价
格
• 令pxD,pyD 为选择消费束 D 时候的商品价
格
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替代效应为负
• 因为消费者在 C 和 D 之间无差异
–当选择 C 的时候, D 的花费至少和C一样多
pxCxC + pyCyC ≤ pxCxD + pyCyD
–当选择 D 的时候, C 的花费至少和D一样多
pxDxD + pyDyD ≤ pxDxC + pyDyC
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替代效应为负
• 移项, 得到
pxC(xC - xD) + pyC(yC -yD) ≤ 0
pxD(xD - xC) + pyD(yD -yC) ≤ 0
• 两式相加
(pxC – pxD)(xC - xD) + (pyC – pyD)(yC - yD) ≤ 0
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替代效应为负
• 假定仅仅有商品 x 的价格变化 (pyC = pyD)
(pxC – pxD)(xC - xD) ≤ 0
• 这意味着当效用水平不变的时候价格和数量
运动方向相反
–替代效应为负
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数学推广
• 如果, 在价格 pi0 选择商品束xi0 而不是
xi1 (此时，可以负担 xi1), 那么
• 消费束 0 “显示偏好” 于消费束 1
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数学推广
• 因此, 在消费者选择消费束 1 的价格
(pi1), 有
• 消费束 0 一定贵于消费束 1
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显示偏好强公理
• 如果商品束 0 显示偏好于商品束 1, 并且如
果商品束 1 显示偏好于商品束 2, 并且商品
束 2 显示偏好于商品束 3,…,并且如果商品
束 K-1 显示偏好于商品束 K, 那么商品束 K
不能 显示偏好于商品束 0
不确定性和风险规避
概率
• 一个重复事件发生的 概率 是其出现的相对
频率
–投掷一枚均匀硬币，获得头像一面的概率是
• 如果一个彩票提供 n 个不同的奖金，获得
奖金的概率是 i (i=1,n)，那么
期望值
• 彩票 (X) 的奖金是 x1,x2,…,xn，获奖概率是
1,2,…n, 这个彩票的 期望值 是
• 期望值 是结果的加权和
–权重是概率
期望值
• 假定史密斯和琼斯决定掷硬币
–头像(x1) 琼斯给史密斯 ￥1
–文字 (x2) 史密斯支付给琼斯 ￥1
• 从史密斯的角度看,
期望值
• 具有零期望值 (或者参与这个博弈需要花
费博弈的期望值)的博弈称为 事实的公平
博弈
–但是可以观察到人们经常拒绝参与这种事实
上的公平博弈
公平博弈
• 人们通常不愿意参与公平博弈
• 存在一些例外
–赌注很小
–参与博弈这个行为就可以获得效用
• 我们假定不存在这种情况
圣彼得堡悖论
• 投掷一枚硬币，直到出现头像一面
• 如果在第 n 次投掷中出现头像, 参与人获
得 ￥2n
x1 = ￥2, x2 = ￥ 4, x3 = ￥ 8,…,xn = ￥ 2n
• 在第 I 次投掷中获得头像的概率是 (½)i
1=½, 2= ¼,…, n= 1/2n
圣彼得堡悖论
• 圣彼得堡悖论中博弈的期望值为无穷
• 因为没有参与人愿意为这个博弈支付很多,
它不值其期望值
期望效用
• 参与人不在意奖金的绝对数量
–他们在意奖金的效用
• 如果我们假设财富的边际效用递减, 圣彼得
堡悖论博弈将会收敛到有限的期望效用值
–这测量了这个博弈对于参与人的价值
期望效用
• 期望效用可以利用与期望值相似的方法计
算
• 因为效用比奖金的绝对数量上升得慢, 期
望效用有可能小于期望值
冯·诺伊曼－摩根斯坦定理
• 假定存在 n 种奖金，按照升序，参与人
获得奖金的概率为 (x1,…xn)
– x1 = 最不喜欢的奖金 U(x1) = 0
– xn = 最喜欢的奖金 U(xn) = 1
冯·诺伊曼－摩根斯坦定理
• 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理说明存在合理
的方式为每一个奖金指定一个特定的效用
值
冯·诺伊曼－摩根斯坦定理
• 冯·诺伊曼－摩根斯坦方法将xi 的效用值
定义为参与人认为与xi无差异的赌博的期
望效用
U(xi) = i · U(xn) + (1 - i) · U(x1)
冯·诺伊曼－摩根斯坦定理
• 因为 U(xn) = 1，U(x1) = 0
U(xi) = i · 1 + (1 - i) · 0 = i
• 任何一个其他奖金的效用值为赢得其的概
率
• 注意这种效用数字的选择是任意的
期望效用最大化
• 理性参与人利用期望效用选择赌博 (冯·
诺伊曼－摩根斯坦效用指数的期望值)
期望效用最大化
• 考虑两个赌博:
–第一个以概率q获得x2，概率(1-q)获得x3
期望效用 (1) = q · U(x2) + (1-q) · U(x3)
–第二个以概率 t 获得x5，概率(1-t)获得x6
期望效用 (2) = t · U(x5) + (1-t) · U(x6)
期望效用最大化
• 带入效用指数
期望效用 (1) = q · 2 + (1-q) · 3
期望效用 (2) = t · 5 + (1-t) · 6
• 相对于 2 参与人偏好 1 ，当且仅当
q · 2 + (1-q) · 3 > t · 5 + (1-t) · 6
期望效用最大化
• 在不确定的环境中，如果参与人的行为
遵守冯·诺伊曼－摩根斯坦公理, 他们的
行为看起来仿佛是选择可以获得最大的
冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数期望值
的彩票
风险规避
• 两个彩票可能有相同的期望值，但是风险
是不同的
–掷硬币，奖金是￥1 对￥1,000
• 风险 指的是某个不确定行为结果的可变性
• 当两个赌博具有相同的期望值时, 参与人会
选择风险小的
风险规避
• 一般来说, 我们假定财富的边际效用递减
–掷硬币，奖金为￥1,000，那么获胜时候效用
增量较小，损失时候效用增量较大
–掷硬币，奖金为￥1，那么获胜时候效用增量
与损失时候效用增量相差不大
风险规避
效用 (U)
财富 (W)
U(W)
U(W) 是冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数，
反映了参与人对于财富价值的个人评判
这个曲线是凹的，表示财富的
边际效用递减
风险规避
效用 (U)
财富 (W)
U(W)
假定 W* 是参与人当前收入水平
W*
U(W*) 是参与人当前
效用水平
U(W*)
风险规避
• 假定参与人面对两个公平赌博:
– 50-50 的机会赢得或损失 ￥h
Uh(W*) = ½ U(W* + h) + ½ U(W* - h)
– 50-50的机会赢得或损失 ￥ 2h
U2h(W*) = ½ U(W* + 2h) + ½ U(W* - 2h)
风险规避
效用 (U)
财富 (W)
U(W)
W*
U(W*)
赌博 1 的期望效用是 Uh(W*)
Uh(W*)
W* + hW* - h
风险规避
效用 (U)
财富(W)
U(W)
W*
U(W*)
W* + 2hW* - 2h
赌博 2 的期望效用是 U2h(W*)
U2h(W*)
风险规避
效用 (U)
财富 (W)
U(W)
W*
U(W*)
W* + 2hW* - 2h
U(W*) > Uh(W*) > U2h(W*)
U2h(W*)
Uh(W*)
W* - h W* + h
风险规避
• 相对于附加上公平博弈的现有财富，参
与人偏好于现有财富
• 参与人偏好小的赌博
风险规避和保险
• 参与人可能希望付一些钱避免参与赌博
• 这解释了为什么一些参与人购买保险
风险规避和保险
效用 (U)
财富(W)
U(W)
W*
U(W*)
Uh(W*)
W* - h W* + h
参与人最多愿意支付
W* - W ” 避免参加赌博
W ” 与参加赌博 1 效用相同
W ”
风险规避和保险
• 总是拒绝公平赌博的参与人是 风险规避
–体现了收入的边际效用递减
–愿意为避免参加公平赌博支付
对保险的支付意愿
• 考虑一个人，当前财富是 ￥100,000 ，
有 25% 的可能性损失 ￥20,000
• 假定参与人冯·诺伊曼－摩根斯坦效用
指数为
U(W) = ln (W)
对保险的支付意愿
• 参与人的期望效用
E(U) = (100,000) + (80,000)
E(U) = ln(100,000) + ln(80,000)
E(U) =
• 此时, 公平的保费是 ￥5,000 (￥20,000的
25% )
对保险的支付意愿
• 参与人愿意 ￥5,000 以上避免参加赌博。他
愿意支付多少?
E(U) = U(100,000 - x) = ln(100,000 - x) =
100,000 - x =
x = 5,426
• 最大保费是 ￥5,426
风险规避的测量
• 最常用的测量风险规避的方法由 Pratt 提
出
• 对于风险规避的参与人, U”(W) < 0
–对于风险规避的参与人，r(W)为正
– r(W) 不受到冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数
的影响
风险规避的测量
• 风险规避的Pratt 测量与参与人为了避免
参加公平赌博所愿意支付的量成正比
风险规避的测量
• 令h 表示公平赌博获胜奖金
E(h) = 0
• 令 p 表示参与人愿意支付的最大保费
E[U(W + h)] = U(W - p)
风险规避的测量
• 我们将两边泰勒展开
• 因为 p 是一个固定量, 我们可以对右面线
性近似
U(W - p) = U(W) - pU’(W) + 高阶项
风险规避的测量
• 对左边, 我们展开二次项，从而可以考虑
赌博(h)的波动
E[U(W + h)] = E[U(W) - hU’(W) + h2/2 U”(W)
+ 高阶项
E[U(W + h)] = U(W) - E(h)U’(W) + E(h2)/2 U”(W)
+ 高阶项
风险规避的测量
• E(h)=0, 丢掉高阶项, 将E(h2)/2替换为 k
风险规避和财富
• 随着财富增加，风险规避不一定下降
–边际效用递减使得财富更多的参与人认为潜在
损失不严重
–不过, 边际效用递减也使得获胜奖吸引力变小
• 净结果依赖于效用函数的形状
风险规避和财富
• 如果效用函数对于财富是二次的
U(W) = a + bW + cW 2
其中 b > 0，c < 0
• Pratt 风险规避系数
• 随着财富增加，风险规避增加
风险规避和财富
• 如果效用是对数形式
U(W) = ln (W )
其中 W > 0
• Pratt 风险规避系数
• 随着财富增加，风险规避下降
风险规避和财富
• 如果效用是指数
U(W) = -e-AW = -exp (-AW)
其中 A 是正常数
• Pratt 风险规避系数
• 随着财富增加，风险规避是常数
相对风险规避
• 避免参加一个赌博的支付意愿独立于财
富看起来不太合理
• 一个更加吸引人的假设是支付意愿和财
富成反比
相对风险规避
• 相对风险规避 公式
相对风险规避
• 幂函数
U(W) = WR/R 对于 R < 1, 0
展示了递减的绝对风险规避
相对风险规避为常数
依状态偏好方法
• 到目前为止考虑的方法与其他章的方法
不同
–没有利用基本的预算约束条件下效用最大化
模型
• 需要开发新的技术合并进标准的选择理
论框架中
世界状态
• 任何一个随机事件的结果可以概括进 一
系列 世界状态
– “好日子” 或者 “坏日子”
• 或有商品 是一些特殊商品，仅仅在一个
特定世界状态发生的时候体现
– “好日子的￥1” 或者 “坏日子的￥1”
世界状态
• 参与人可以购买或有商品
–购买一个承诺， 某人会在明天是好日子的
情况下支付给你￥1
–这个商品很可能不能卖到￥1
效用分析
• 假定有两种或有商品
–好日子的财富 (Wg) 和坏日子的财富 (Wb)
–参与人相信好日子发生的概率为
效用分析
• 这两个商品的期望效用是
V(Wg,Wb) = U(Wg) + (1 - )U(Wb)
• 这是给定初始财富的时候 (W)，参与人希
望最大化的
或有商品价格
• 假设参与人用价格 pg 购买好日子时候价值
￥1 的财富，坏日子财富价格为 pb
• 预算约束是
W = pgWg + pbWb
• 价格比率 pg /pb 表示了这个人如何在好日子
财富和坏日子财富之间替代
或有商品的公平市场
• 如果或有财富要求权的市场完备，对于有
共识, 这些商品的价格是事实上公平价格
pg = 和 pb = (1- )
• 价格比率反映了好日子的可能性
风险规避
• 如果或有要求权市场是公平的, 效用最大
化的参与人选择 Wg = Wb
–他的安排使得无论在什么时候，他的财富都
是一样的
风险规避
• 最大化要求
• 如果或有要求权市场是公平的
因为或有要求权市场是公平的,
预算约束斜率 = -1
风险规避
确定线
Wg
Wb
Wg*
Wb*
U1
参与人在确定线Wg = Wb上获得最大效用
如果或有要求权市场不公平,
预算约束线斜率 -1
风险规避
确定线
Wg
Wb
U1
在这种情况下, 效用最大化可能不在确定线
上
状态偏好模型中的保险
• 再次,考虑一个人，当前财富是 ￥
100,000 ，有 25% 的可能性损失 ￥
20,000
–盗窃没有发生的时候财富 (Wg) = $100,000
， 概率 =
–盗窃发生时候财富 (Wb) = $80,000， 概率 =
状态偏好模型中的保险
• 如果我们假定对数效用
E(U) = (Wg) + (Wb)
E(U) = ln Wg + ln Wb
E(U) = ln (100,000) + ln (80,000)
E(U) =
状态偏好模型中的保险
• 预算约束线
pgWg* + pbWb* = pgWg + pbWb
• 假定价格等于事件的概率
(100,000) + (80,000) = 95,000
• 财富期望值 = ￥95,000
状态偏好模型中的保险
• 参与人将会移动到确定线，获得期望效用
E(U) = ln 95,000 =
–为了做到这点, 参与人需要将好日子中的 ￥
5,000 财富转换为坏日子时候 ￥15,000 财富
• 一个公平的保险合约可以做到这点
• 保险的财富转换 (dWb/dWg) = 15,000/-5,000 = -3
免赔额政策
• 假设保险花费 ￥4,900, 但是要求参与人承
担 ￥1,000 损失
Wg = 100,000 - 4,900 = 95,100
Wb = 80,000 - 4,900 + 19,000 = 94,100
E(U) = ln 95,100 + ln 94,100
E(U) =
• 这个政策也比什么都不做要好
风险规避和风险溢价
• 考虑两个人, 初始财富都是 W*
• 希望最大化期望效用
• 效用函数的相对风险规避为常数
风险规避和风险溢价
• 参数 R 决定了风险规避程度和无差异曲线
的弯曲程度
–风险规避程度高的参与者有一个大的负 R
U2
更能承受风险的参与人无差异
曲线U2更平
U1
高风险规避参与人有更弯曲的无差异曲线 U1
风险规避和风险溢价
确定线
Wg
Wb
W*
W*
U2
U1
假定参与人在坏日子损失 h
风险规避和风险溢价
确定线
Wg
Wb
W*
W*
W1 和 W2之差表示风险规避
对于接受风险意愿的影响
W* - h
W2 W1
