5 ARIMA 模型预测
模型选取
目前，学术界较为成熟的预测方法很多，各种不同的预测方法有其所面向的
特定对象，不存在一种普遍“最好”的预测方法。GM（1,1）模型预测是以灰色系
统理论为基础，通过原始数据的分析处理和建立灰色模型，对系统未来状态作出
科学的定量预测的一种方法。我们采用 GM（1,1）模型是基于以下两方面的考
虑：第一，GM（1,1）模型对数据要求较低，而其他多数预测方法以数理统计为
基础，对样本量有较高要求。我们用来做预测的数据时序只有 14 年，预测使用
GM（1,1）模型较好；第二，GM（1,1）模型的计算量相对较小，计算方法相对
简单，适用性较好。
模型假设前提
1、假设未来重庆地区经济发展基本态势不变；
2、假设未来中央政府对重庆实施的政策方向基本不变；
3、假设未来不会出现战争、瘟疫及其它不可抗拒的自然或社会因素。
预测数据来源
预测样本为 1997—2008 年的重庆市农资价格指数、化学肥料价格指数、饲
料价格指数。具体预测样本数据如下：
表 1997—2008 年重庆部分农资价格指数
单位：%
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
农资
化肥
饲料
为提高数据预测的科学性，我们以 1996 年（直辖前）的农资价格为基期，
假设 1996 年农资产品价格为 100 元，则以后第 年的农资产品价格计算公式如下：
经此换算，得到 1997—2008 年的预测样本。其中，NZJG 表示换算后的农
资，HXFL 表示换算后的化肥，SL 表示换算后的饲料。具体见下表：
i
ii ZZG 1997100
表 1997—2008 年转换后的预测样本
单位：元
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
NZJ
G
HXF
L
SL
GM（1,1）模型建立与检验
序列的建立
设由 n 个原始数据组成的原始序列为 x(0)(k)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}。那么
可以得到四个样本原始序列：
NZJG x(0)(k)= {,,…,}；
HXFL x(0)(k)= {,,…,}；
SL x(0)(k)= {,,…,}。
级比检验
级别检验是 GM（1,1）建模的数据检验，经计算可得：
NZJG 级比序列={ , ,…, }；
HXFL 地区序列={ , ,…, }；
SL 地区序列={ , ,…, }；
都落在界区（，）内。这表明，以上三个样本序列均可以进行
GM（1,1）模型建模。
模型的方程
通过一次累加生成新序列：x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}，则 GM(1,1)模型
相应的微分方程为：
其中， 称为发展灰度， 为内生控制灰度，它们是方程中重要的参数。通
过求解微分方程，即可得到预测模型。由于 GM（1,1）预测模型种类较多，我
们选取其中较常用的一种如下：
）（
）（ 11 axdt
dx
a
通过测算，我们得到三组 、 值和相应的四个拟合预测方程如下表
表 拟合预测方程和 、 值
拟合预测方程
NZJ
G
=(- )e +
HXF
L
=(- )e +
SL =(- )e +
后验差检验
后验差检验包括残差的方差比（C）和小误差概率（P）。
首先算得知残差平均值为
历史数据方差为
其中历史数据平均值为
残差方差为
后验差比值为
a
e
a
xx ak
k
.1
)1(
1
^
),2,1,0( nk ，
a
a
a
(1)
1)(kX -
k)(
-
(1)
1)(kX -
k)(
-
(1)
1)(kX -
k)(
-
2
1
)0(
1 )()/1(
n
i
xkxns
2
1
2
1
n
i
k
n
s
小误差概率为
经计算，我们同样得到四组方差比（ ）和小误差概率（ ）如下：
表 后验差检验结果表
NZJG 1
HXFL 1
SL 1
根据下列后验差检验结果判别表，我们认为四个模型均通过了后验差检验，
有较好的预测精度。
表 后验差检验结果判别表
＜ ＞ 好
＜ ＞ 合格
＜ ＞ 勉强合格
≥ ≤ 不合格
相对误差检验
经过对模型进行拟合测算，得到以下四个相对误差表：
表 NZJG GM(1,1)模型拟合相对误差表
时期 实际值 拟合值 相对误差（%）
1998
1999
…… …… …… ……
2008
平均相对误=%
C P
C P
C P
表 HXFL GM(1,1)模型拟合相对误差表
时期 实际值 拟合值 相对误差（%）
1998
1999
…… …… …… ……
2008
平均相对误差=%
表 SL GM(1,1)模型拟合相对误差表
时期 实际值 拟合值 相对误差（%）
1998
1999
…… …… …… ……
2008
平均相对误差=%
综上分析，我们发现：以上四个模型的相对误差还是在合理的范围内，模型
可靠，拟合精度较高，可以进行预测。
模型预测
利用模型预测 2009-2020 年 NZJG、HXFL、SL 的具体数值，结果见表 。
表 GM(1,1)模型预测结果
单位：元
年份 NZJG HXFL SL
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
经过换算，我们可以得到 2009-2020 年重庆市农资价格指数、化学肥料价格
指数、饲料价格指数的预测值如下：
表 GM(1,1)模型预测换算结果
单位：%
年份 农资价格指数 化肥价格指数 饲料价格指数
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
图 GM11模型预测结果图
单位：%
80
85
90
95
100
105
110
20
09
20
10
20
11
20
12
20
13
20
14
20
15
20
16
20
17
20
18
20
19
20
20
农资价格指数 化肥价格指数 饲料价格指数
附录
GM(1,1)模型模拟结果
NZJG HXFL
期
数
实际值 模拟值 残差
期
数
实际值 模拟值 残差
1998 1998 1998
1999 1999 1999
2000 2000 2000
2001 2001 2001
2002 2002 2002
2003 2003 2003
2004 2004 2004
2005 2005 2005
2006 2006 2006
2007 2007 2007
2008 2008 2008
SL
期
数
实际值 模拟值 残差
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
92
96
100
104
108
112
116
120
124
128
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
NZJG
-8
-6
-4
-2
0
2
4
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
DNZJG
Null Hypothesis: NZJG has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values: 1% level
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(NZJG)
Method: Least Squares
Date: 08/31/09 Time: 20:34
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
DDNZJG
Sample (adjusted): 2003M03 2009M07
Included observations: 77 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
NZJG(-1)
D(NZJG(-1))
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
Null Hypothesis: D(NZJG) has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values: 1% level
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(NZJG,2)
Method: Least Squares
Date: 08/31/09 Time: 20:35
Sample (adjusted): 2003M03 2009M07
Included observations: 77 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(NZJG(-1))
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
Null Hypothesis: D(NZJG,2) has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values: 1% level
5% level
10% level
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(NZJG,3)
Method: Least Squares
Date: 08/31/09 Time: 20:36
Sample (adjusted): 2003M05 2009M07
Included observations: 75 after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(NZJG(-1),2)
D(NZJG(-1),3)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
Date: 08/31/09 Time: 20:51
Sample: 2003M01 2009M07
Included observations: 78
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
. |***** | . |***** | 1
. |*** | . | . | 2
. |*** | . |** | 3
. |*** | . | . | 4
. |** | . | . | 5
. |** | . |*. | 6
. |** | . | . | 7
. |*. | .*| . | 8
. | . | .*| . | 9
. | . | . | . | 10
.*| . | **| . | 11
**| . | **| . | 12
**| . | . |** | 13
.*| . | .*| . | 14
**| . | . | . | 15
**| . | . | . | 16
**| . | . |*. | 17
**| . | . | . | 18
**| . | . | . | 19
**| . | .*| . | 20
**| . | .*| . | 21
**| . | .*| . | 22
**| . | .*| . | 23
.*| . | . | . | 24
.*| . | . |*. | 25
.*| . | . | . | 26
.*| . | .*| . | 27
.*| . | . | . | 28
.*| . | . | . | 29
.*| . | . | . | 30
. | . | . | . | 31
. | . | . | . | 32
偏相关 1 阶 自相关 4 阶 拖尾 ARMA(1,4)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1)
Dependent Variable: DNZJG
Method: Least Squares
Date: 08/31/09 Time: 21:15
Sample (adjusted): 2003M03 2009M07
Included observations: 77 after adjustments
Convergence achieved after 16 iterations
MA Backcast: 2002M11 2003M02
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
AR(1)
MA(1)
MA(2)
MA(3)
MA(4)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood Hannan-Quinn criter.
F-statistic Durbin-Watson stat
Prob(F-statistic)
Inverted AR Roots .86
Inverted MA Roots . .61+.33i +.37i
DDNZJG C MA(1) MA(2) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) MA(5) AR(1)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) MA(5) AR(1) AR(2)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) MA(5) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)
DNZJG C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) AR(1) AR(2) AR(3)
