2004年 11月
第 25卷 第6期
孽岳论
DongYueTribune
Nov．，2004
V01．25 No．6
【经济研究】
预防性储蓄：产生及其决定
臧旭恒 ，裴春霞2
(1．山东大学消费与发展研究所；2．山东大学管理学院，山东 济南 250100)
[关键词]预防性储蓄；效用函数；不确定性；谨慎动机
[摘 要]预防性储蓄(Precautionary saving)假说作为西方消费理论的最新成果之一，自从近几年被逐渐介绍到
国内以来，正在成为经济理论界的热门话题。但是从现有文献看，关于预防性储蓄假说的阐述，基本还停留在一种
简单表述论点的层次上，本文力图从一个较为规范的角度，给出关于预防性储蓄的定义和产生机理，并在此基础上
分析预防性储蓄量的决定因素。准确把握这些基本问题，对于深入理解预防性储蓄理论并用以分析中国的消费问
题是非常重要的。
[中图分类号]F830．48 [文献标识码]A [文章编号]1003—8353(2004)06—0088—07
一
、基本问题
引入一个标准的多期消费 一储蓄决策问题，假设如下：(1)消费者不受流动性约束，没有遗产动机，并且
生命周期是 T；(2)该消费者开始做决策的时期为 t期 ，该期获得确定性收入 ，给定期初的资产是 A￡(As—
sets)；(3)t期以后各期的劳动收入是随机的，用 Y +i表示，i=1，2，⋯ ，T—t；(4)效用函数是时际可加和凹
的( <0)；(5)消费者的时间偏好率和随机真实利率分别是 和y，消费者的利率因子(1／(1+y))和时间
偏好因子(1／(1+ ))可分别用 R ∈ (0，∞)和 卢 ∈ (0，∞)来表示。令 C 是消费，该消费者的最优化问题
可表述为【l_：
丁 S
n
，
'la
、X“c )+E [∑(Ⅱ )“(～C )] (1—1)
f， t+1 J= ￡+l
预算限制式为：A +l=R +l(A + +C ) (1—2)
消费者在每一期作消费支出计划时，所能支配的最大财富量是该期期初的资产加上当期劳动收入。为
叙述方便 ，我们借用 Deaton(1991)的手持现金(cash in hand)~J[,4G【 ，定义 Wf=Af+ ，Zealf—Cf=Sf和Zealf+l
=S +Y +l；其中 表示 t期消费者能够用于消费的可自由支配财富(available weath)，即期初资产和该期
劳动收入之和。这样，预算限制式(1—2)可以重写为
[收稿 日期]2004—08—17
[基金项目]国家社会科学基金项 目(批准号：01335Y004)；教育部博士总基金项目(批准号：031B79001)
[作者简介]臧旭恒(1953一)，男，山东大学经济学院院长，教授，经济学博士，博士生导师；裴春霞(1971一)，女，山东大学
管理学院讲师，经济学博士。
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2∞4 王在 11 月
第 25卷第 6 期
[经济研究}
1在岳伦告￡
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喊起惶1 裴春霞2
(1.山东大学消费与发展研究所 ;2. 山东大学管理学院，山东济南 250100)
[美键词]预防性储蓄:效用函数:不确定性;谨慎动机
Nov. ,2004
Vol. 25 '屯.6
[摘 要]预防性储蓄(Precautionary saving)假说作为西方消费理论的最新成果之一，自从近几年被逐渐介绍到
国内以来，正在成为经济理论界的热门话题。但是从现有文敲着，关于预防性储蓄银说的阐述，基本还停留在一种
简单表述论点的层次上，本文力图从一个较为规范的角度，给:i:关于预防性储蓄的定义和产生机理，并在此，基础上
分析预防性储蓄量的决定因素。准确把握这些基本问题，对于深入理解颈防.)主储蓄理论并用以分析中离约消费问
题是非常重要的。
[中图分类号] [文献标识码]A [文章编号] 1003 - 8353(21∞的06 -0088-07
一、基本问题
引入一个标准的多期消费一储蓄决策问题，假设如下:(1)消费者不受流动性约束，没有遗产动挠，并旦
生命题期是 T; (2)该消费者开始敢决策的时期为 t 崩，该期获得确定性收入头，给定期韧的资产是 At(As-
sets); (3)1期以后各期的劳动t投入是撞机的，用 y 什 i表示， ì=1 ， 2 ，... ， T-t泛的效用函数是时际可加和固
的(u <0);(5)消费者的时间偏好率和随机真实利率分别是岛和 y ， 消费者的利率园子(1/(1 + y)) 和时间
偏好国子。/(1 +δt)) 可分别南 Rt ε 仰，∞)和 βrε(0，∞)来表示。令 Ct 是:自费，该消费者的最佳化问题
可表述为[1] :
T S
ETY比)十副主JEIbuCJ] (1 1)
预算限制式为 :At + l =Rt+I(At + Yt 十 Ct ) (1 -2)
消费者在每一期作消费支出计划时，所能支配的最大财富量是该期期韧的资产加上当期劳动收入。为
叙述方便，我们结用Deaton(1991)的手持现金(也sh in hand)穰念[2] 定义 Wt =At 十头 ， Wt - Ct = St 和 Wt+l
= St + Y t+l;其中 Wt 表示 t 期消费者能够用于消费的可自由支配财富(avaìlable weat岭，即期初资产和该期
劳动牧人之和。这样，预算踉制式(1 -2)可以重写为
〔收稿日期 ]2004 - 08 - 17
〔基金项目]国家社会科学基金项目(批准号 :01335Y004) ;教育部博士总基金项目(批准号: 031 B7900 1)
〔作者简介]减旭恒(1953 一)，男，山东大学经济学院院长，教授，经济学博士，搏士生导师:袭春霞(1971- )，女，山东大学
管理学院讲师，经济学博士。
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预防性储蓄：产生及其决定
7．LPf+l=Rf+l(7．L}f—Cf)+Yt+l或 7．L}f+l=Rf+l sf+Yf+l (1—3)
通常，消费者在时期 t必须选择最优的消费和储蓄计划，使得 t期的效用和基于 t期可得信息的条件期
望效用之和达到最大化。在 t+1期可能会选择新的计划 ，直至 T一1期。T期的遗产可以看作消费者总支
出的一部分，因为对他个人来讲 ，最终的财富剩余是 0，这同他 自己消费掉全部财富的效果是一样的。解决
这种不确定性情况下动态决策的常用方法是 ，利用随机动态规划①，将多期的最优化问题转化为一系列的两
期问题。具体过程是：
引入价值函数，其具体形式是 ：
T S ～ ～
Vt(叫，)=maxE，[∑(II p )“( )] (1—4)
T时期的价值函数是根据最优规划求出的贴现值 ，它与 t期的可支配财富有关。由(1—3)，利用这一最
优问题的递归性质可以得到等价的Bellman方程 ：
(叫f)=m a
、
xu( )+Ef[p f+l +l(R f+l(叫f—cf)+Y f+1)]． (1—5)
这样 ，消费者的多期决策问题就被简化为一系列的两阶段问题 ，即在 t时期选择的消费和储蓄必须使(1
— 5)式的右边达到最大化，同时满足预算约束。
、 令 n，(s，)=E ，+l +l(R，+l s，+Y，+1)]． (1—6)
则上述问题可进一步转化为：
(叫f)=ma xu(cf)+nf(叫f— )． (1—7)
L
该式最大化的一阶条件(F()C)是：
Cf：“ (Cf)=n f(让，f—Cf)． (1—8)
或 St：U (wt—St)=Q (st)． (1—9)
另外，在 “ (C，)和 ，(叫，)的值之间沿最优路径存在着简单的包络关系，我们可以由包络定理②[0]得出
其他一些重要的推论。考虑(1—7)式两端关于 叫，的微小变化，即求关于 叫 的一阶导数得 ：
V f(叫f)=n f(7．g，f—Cf) (1—10)
根据(1—8)可以推出：
V ，(叫，)=“，(C，) (1—11)
这表明沿最优路径的可支配财富的边际值必定等于消费的边际效用。利用这个关系可得 ：
+l (叫f+1)=“f+l (Cf+1)
从一阶条件中消去 乞。+l(叫，+1)，便可以进一步得到跨时分配的欧拉方程 ：
“ (Cf)=E，[p f+l R f+l“ (Cf+1)]． (1—12)
公式 1—8和 1—12就是消费 一储蓄最优化理论中常用的一阶条件的两种表达形式，接下来我们将用这
两个公式来进一步说明预防性储蓄的产生及其影响因素。
二、预防性储蓄的产生
为简便起见，不妨让 i=1，同时假设随机的利率因子和时间偏好因子都是常数 1。利用预算限制式 1
① 随机动态规划是一种把多时期最优化问题分解为两时期最优化f*-l~来求解的技术。萨金特(Sargent1987) 出了一
个很好的随机动态规划的入门知识；斯托基、卢卡斯和普雷斯科特(Stokey、 和 Prescott，1988)介绍了一种更为一般的处
理 方法 。
② 包络性定理：假设 f(x，a)是 x和a的一个函数。一般将a解释为决定于所研究问题之外的一个参数，将 x解释为所研
究的变量。若选定 x来最大化这一函数，那么对于每一个不同的a值，一般会有一个不同的 x的最优选择。同时定义值函数
M(a)=f(x(a)，a)，它表示对于不同的a值，f的最优值是什么。包络性定理就是值函数关于参数的全导数等于在最优点求导
的偏导数。
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预防性错蓄:产生及其决定
τ1Jt + 1 = Rt + 1 ( ' - C t) + Yt 刊或 '+I=Rt+lst+Yt+1 (1 -3)
通常，消费者在时期 t 必须选择最佳的消费和储蓄计划，使得 t 期的效用和基于 t 期可得信息的条件期
望效用之和达到最大化。在 t+ 1 期可能会选择薪的计划，直至 T-l 期。 T 期的遗产可以看作消费者总支
出的一部分，因为对他个人来讲，最终的时富剩余是 0，这同他自己消费掉全部财富的效果是一样的。解决
这种不确定性情况下动态决策的常用方法是，利用黯扭动态规划①，将多期的最佳化问题转化为一系列的两
期问题。具体过程是:
引人价值函数，其具体形式是:
Vt ( 如t) = maxEt [ 二(EFy 〉 u 〈cs)](1-4)
T时期的街值函数是根据最佳规划求出的贴现值，它与 t 期的可支配财富有关。由(1 -3) ，利用这一最
佳剖题的递归性贯可以得到等锈的Bellman 方程:
V t ( ' ) = 吧?u(cr)÷Ef[β t + 1 V t + 1 ( R t + 1 ( ' - C t) + Y t + 1 ) ] • (1 - 5)
这样，消费者的多期决策问题就被简化为一系列的两阶段问题，即在 t 时期选择的措费和错蓄必须使(1
-5)式的右边达到最大化，同时满足颈算约束。
、令。t(St)=Et [ β t + 1 V t + 1 ( R t + 1 St + Y t + 1 月，
则上述问题可进一步转化为:
V t ( ' ) = 咛FFU 〈 cr)÷ 鸟 (' - ct ).
该式最大化的一防条件(FC汇〉是:
(1 -6)
(1 -7)
Ct :U'(Ct )= {2 't( τ1Jt -Ct ). (1 -8)
或Sr:泣'(Wt - sJ 二。\〈乌).但-9)
另外，在 U' (ct )和 V't(叫〉的值之间沿最优路径存在着简单的包络关系，我们可以岳包络定理②[3]得出
其他一些重要的撞论。考虑(1 -7)式两端关于矶的微小变化，即求关于 ' 的一阶导数得:
V't( ' ) = βχ U't - Ct )
握握(1 -8)可以推出:
V't( ')=Ut(Ct )
这表明沿最t主路径的可支配财富的边际值必定等于消费的边际效用。和;用这个关系可得:
V t +l'( '+l) = Ut+I'(Ct+l)
从一阶条件中消去 Vt + 1 ( ' + 1 ) ，便可以进一步得到跨时分配的歌拉方程:
(1 -10)
(1 -11)
U'(Ct)=Et[ßt+IRt+IU'(Ct+I)]. (1 -12)
公式 1-8 和 1-12 就是消费一错蓄最优化理论中常用的一黯条件的两种表达形式，接下来我们将用这
到个公式来进一步说晓预防性储蓄的产生及其影响因素c
二、预防性储蓄的产生
为简便起见，不妨让 i = 1 ，同时假设随挠的科率因子和时间偏好国子都是常数 1。示:用预算摄制式 1
① 随机动态规划是一种把多时期最优化问题分解为两时期最优化问题来求解的技术。萨金特(Sar军ent1 987)给出了一
个很好的随机动态规划的入门知识 z斯托基、卢卡斯和普雷斯科特(Stokey、 1且能和 E岱∞tt ， 1988)介绍了一种更为一毅的处
理方法。
② 包络性定理:假设 f( x ， a)是 x 和 a 的一个函数。一毅将a 解锋为决定于所研究问题之外的一个参数，将 x 解绎为所研
究的变量。若选定 x 来最大化这一函数，那么对于每一个不同的 a佳，一毅会有一个不同的 x 的最优选择。同时定义值函数
M(a)=f(x(a) ，剖，它表示对于不同的 a 佳， f 的最优值是什么。包络性定理就是值函数关于参数的全导数等于在最优点求导
的偏导数。
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东岳论 2004．6
3，一阶条件 1—8式可以写成 ：
“ ( )=E V +l(训 一c +Y +1)]
或者 “ (Wt—S )=E [V t+l(S +Y +1)]。
(2—1)
(2—2)
由(2—2)式可以看出，如果不存在不确定性 ，即消费者在 t期确知他能够在 t+1期得到收入 Y=E
[Y +1]的情况下，则无论效用函数是何种形式，一阶条件都可以转化为 “ (c )=V +l(训 一c +Y)，即消
费者在 t期的边际效用等于 t+1期的边际价值，这时不会有预防性储蓄产生；如果消费者的效用函数是二
次型的，那么边际价值函数将是线性的，由于线性函数的期望值等于期望值 的函数，所 以有 E 、／， +l(S +
Y +1)=V +l(S +E Y +1])成立，此时即使 t+1期的收入是不确定性的，这种不确定性对消费者的储蓄
行为也形不成冲击。
但是如果二次型效用的假设不再满足，比如效用函数是常相对风险厌恶函数(constant relative risk aver—
sion，简称 Cl RA)和常绝对风险厌恶函数(constant absolute risk aversion，简称 CARA)，它们的三阶导数大于
0，不确定性将对消费者行为造成冲击。具体来看 ，如果效用函数有正的三阶导数，这表明边际价值函数不再
是线性的，而是一个减凸函数，此时边际价值随着消费的增加而下降的速度要 比消费本身增加 的速度慢 ，因
而边际价值函数的预期值就要大于预期值的边际价值函数。在这种情况下 ，为了使一阶条件继续成立 ，消费
者必然会降低现期消费，与确定性或确定性等价下的消费水平相比，被减少的那一部分消费量就是预防性储
蓄。下面以 CI RA效用为例来说明这一点。
，11一p
假设消费者的效用函数是 CRRA形式 ，即：L，(c)= ，则有：
上
L， (C)=C—P，
(C)=一ec—P一 <0，
(C)：P·(1+P)C—P >0。
显然，消费者的边际效用函数应该是一条向右下方倾斜的凸向原点的曲线，即是个减凸函数，见图(3—
1)的 、／， ￡+l(S￡+Y￡+1)。根据 Jensen不等式(Jensen’s inequality)，我们有 ：V ￡+l(S￡+Y￡+1)<E￡、／， ￡+l(S￡+
+1)。这意味着，曲线 E，、／， +l(S +Y +1)必然位于曲线 V +l(sf+Y +1)的右上方 。
进一步 ，我们把随机的劳动收入 Y分解成它的期望 Y和只有两个取值点的 0均值的风险 叩，即 Y=Y
+ 。假设消费者有 50％的可能性得到收入 Y十 ，有 50％的可能性得到收入 Y—Tl，这样对于每一个 S ，
消费者边际效用函数的预期值就是连接 、／， +l(S +Y+ )和 V +l(S +Y一 )的线段 AB的中点。变换 S
的取值，可以得到一系列相应的边际价值的预期值的点，将这些点连接起来所得到的平滑曲线就是期望函数
曲线，如图 1所示的 E V +l(St+Y +1)。在此基础上，可以用几何方式得出当边际效用函数和边际价值 函
数都是 CRRA形式时，这个问题的最优解。
如图2所示 ：假设消费者从 t期开始 ，且拥有 训 的财富。横轴代表消费者在 t期所选择的储蓄量 S ，纵
轴是边际价值或者边 际效用曲线。“ (W 一S )表示消费者选择 的储蓄量是 S 时，消费(训 ～S )的边 际效
用 ；它随储蓄量的增加而增加，因而是一条 向右上方倾斜的曲线。向右下方倾斜的曲线 、／， +l(S + )代表
消费者在 t+1期的边际价值，且消费者在 t期确知他能够在 t+1期得到 Y三E [ +1]的收入，作为储蓄的
函数 ，这条曲线之所以向右下方倾斜 ，是因为消费者在 t期储蓄的越多，t+1期的消费就会越多，从而 t+1
期的边际效用就会越低。在完全确定性的模型中，使效用最大化的消费水平刚好是 “ (训 一＆)和 、／， +l(S
+ )两条曲线的交点。在时期效用函数 u(c)和价值函数 +l(训 +1)是同质的 CRRA形式这一特例中，消
费的最优解是第一期的消费占整个生命周期财富的一半 ，即点 A所对应的 ；所代表的储蓄水平。若 t+1期
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革岳伦1f
3 ，一阶条件 1-8 式可以写或:
u' (Ct ) == Et [ V'什 1 ( Wt - Ct + Y t + 1)]
或者 u' ( Wt - St ) == Et [ V'仆 1 (5t 十 Y t+l 月。
(2- 1)
(2-2)
亩。一 2)式可以看击，如果不存在不确定性，却消费者在 t 期确知他能够在 t + 1 期得到校入 Y =Et
[Yt+1J的情况下，别无论效用函数是何种形式，一听条件都可以转先为 u' (Ct ) == V't + 1 ( Wt - Ct + Y )，即消
费者在 t 期的边际效用等于 t + 1 期的边际佳值，这时不会有预前性储蓄产生;如果消费者的效霹虽数是二
次型的，那么边际佳值岳数将是线性的，由于续性函数的期望值等于期望值的函数，既以有 EtV't 叶( St 十
Y t + 1) = V't + 1 (St + Et [ Y t + 1])成立，此时即使什 1 期的收入是不确定性的，这种不确定性对消费者的结蓄
行为也影不成冲击O
但是如果二改型效用的假设不再满足，比如效用画数是常相对风险庆恶函数〈∞nstant relative 到sk aver-
sion，简称 C照A)有常绝对风险厌恶函数(∞nstant absolute 且sk aversion，简称巳战A) ，它的的三阶导数大于
0，不确定性将对消费者行为造成冲击。具体来看，如果效用函数有正的三阶导数，这表明边际价值亟数不再
是线性的，而是一个藏凸虽数，此时边际份值随着消费的增加哥下降的速度要比消费本身增姐的速度慢，因
雨边际拚值函数的预期值就要大于颈崩值的边际价值函数。在这种情况下，为了使一盼条件继续成立，离费
者必然会跨低现黯消费，与确定性或确定性等传下的消费水平梧比，被减少的那一部分消费量就是颈药性储
蓄。下面以 CRRA 效用为例来说明这一点。
假设消费者的效用函数是 αRA彭式，即:识。=孚立，赔有:l-P
u'(C) == C-P ,
U" (C) ==一卢 -p- l<O ，
U'"( C) ==ρ. (1 +ρ)C- p- 2>Oo
显然，消费者的边际效用量数应该是一条向右下方额斜的凸向票点的曲线，即是个踉凸菌数，觅图 (3 -
1)的 V't + 1 (St 十 Y t+ 1)。根据 Jensen 不等式(Jen剿'sin吨uality) ，我们有:γt+l(St + Y t+l)<EtV't+l(St 十
Y 1+1)。这意味着，曲线 EIV'I + 1 (SI + Y 1+1)必然位于曲线 V' I + 1 (Sr + Y 1+ 1 )的右上方。
进一步，我妇捏随机的劳动收入 y分解或它的期望 y 和只有两个取值点的 O 均值的风险亨，即 y=y
十和摆设挂号费者有 50% 的可能性得到收入 Y + 亨，有 50%的可能性得到收入 y 一可，这样对于每一个 SI ,
消费者边际效用画数的颈期值就是连接 V'什 1 (St + Y 十字〉和 V'I+l(St+ Y- 亨)的线段 AB 的中点。变换 St
的取值，可以得到一系列梧应的边际价值的预期值的点，将这些点连接起来所得到的平滑曲线就是期望量数
曲线，如医 1 所示的 EtV't+l( St+ Y 廿 1)。在此基础上，可以用凡何方式得出当边际效用函数和边际拚值函
数都是 CRRA 形式碍，这个问题的最佳解。
如国 2 所示:假设消费者从 t 期开始，且拥有 Wt 的财富。横轴代表消费者在 t 期所选择的储蓄量 St ， 纵
辑是边际价值或者边际效用曲线。 u' (Wt - St)表示消费者选择的储蓄量是 St 时，消费 (Wt - St) 的边际效
用;它随储蓄量的增加哥增加，因而是一条向右上方倾斜的曲钱。向右下方愤斜的曲线 V't+l(St 十豆)代表
消费者在 t+ 1 期的边际价值，且消费者在 t 期稳知他能够在 t+ 1 期得到 y 云 Et 。仆d的收入，作为结蓄的
函数，这条曲线之房以向右下方倾斜，是因为消费者在 t 期储蓄的越多， t + 1 期的消费就会越多，丛哥 t + 1
期的边际效用就会越链。在完全确定性的模型中，使效用最大化的消费水平刚好是 u'(Wt-St ) 和 γt + 1 (St
÷豆〉商条曲线的交点。在时期效用量数 u(c)和恰值画数 Vt + 1 (Wt + 1)是同质的 CRRA 形式这一特倒中， ti自
费的最镜解是第一期的消费占整个生命周期对富的一半，即点 A所对应的豆所代表的储蓄水平。若 t + 1 期
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预防性储蓄：产生及其决定
的收入是不确定的，那么第一期的边际效用必须等于第二期边际效用的预期值，最优消费和储蓄将出现在
( 一&)和 E 、，， +1(&+ )两条曲线的交点 B所对应的 s 上。这个点就是不确定性下的最优储蓄量，此
时满足一阶条件。Jensen不等式和 V't+1的严格I 性 ，保证了交点 s 的位置必然比 j的位置高 ，即前者位于
后者的右上方。预防性储蓄就是无风险下的储蓄( )到风险情况下的储蓄(s )的增量，即 s 和 j的差。
O
．
茏+．)
图 1 预期价值函数的构建 图2 消费者最优储蓄量的决定
如果以横轴代表消费 ，由 (c)<0和 (c)>0可知， (c)是 ％
一 条向右下方倾 斜凸 向原点 的 曲线。而 、，， ( 一 +3， +】)和 E
[、，， +1( 一 + +1)]则随着消费的增加而增加，从而是向右上方倾
斜的曲线，且前者位于后者的右下方，具体如图3所示：确定性或确定
性等价的解是边际效用曲线 (c)和边际价值函数曲线 、，， 的交点 ，
不确定性下的最优消费则是边际效用曲线 (c)和预期边际价值函数
曲线 E、，， 的交点c ，显然 c < 。所以，预防性储蓄是确定性或确定 。
性等价下的消费与不确定性情况下的消费之差( 一c )，即由于风险
收入的存在而致使消费者所减少的消费量。
图3 消费者最优消费量的决定
三、风险、谨慎和预防性储蓄量
从上述过程容易看出，消费者的预防性储蓄行为是 由不确定性和边际价值 函数的凸性(代表谨慎特征)
共同决定的。为进一步考察这种影响机理，我们需要对风险、谨慎和预防性储蓄之间的决定关系作进一步讨
论。
仍然假设 i=1，利率因子和时间偏好因子都等于常数 1，那么消费者最优化一阶条件的欧拉方程 3—12
式就可以简化为：
( )=E (c +1)]． (3—1)
将上式中的u (ct+1)用泰勒公式展开，并取其二次多项式作为近似，可以得到：
， 、 r
( +1)≈ ( )+ ( )·( +1一c )+ ·( +1一 )2 (3—2)
把 3—2式代人 3—1式并整理得：
E ( +1一 )=(1／2)[一 ( )／u ( )]E [( +1一 ) ]． (3—3)
在其它假设条件不变的情况下，加入不确定性，则(3—3)式的左边便可以近似地看成 t期 的预防性储蓄
量。根据 KimbaII(1996)的定义，效用函数的绝对谨慎系数 一 ／u"可以用来度量边际价值函数的谨慎特征。
(3—3)式的右边是绝对谨慎系数和预期的消费变化的方差的乘积 ，而消费变化方差恰恰代表了不确定性的
程度。
(一)边际价值函数凸性不变时，不确定性程度对预防性储蓄的影响。边际价值函数凸的程度不变，即消
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预防性精蓄:产生及其决定
的技人是不确定的，那么第一期的边际效用必须等于第二期边际效用的霞期值，最佳消费和错蓄将出现在
u' (Wt - St)和 EtV't+1(St+ 豆)两条曲线的交点 B既对应的 f上。这个点就是不确定性下的最佳储蓄量，此
时满足一黯条件。 Jensen 不等式和 V't刊的严格罚性，保证了交点♂的位置必然比 i的位置高，即前者位于
后者的右上方。预防性储蓄就是无风险下的储蓄 (.d到风险情况亨的储蓄(S 斗的增量，即♂和豆的差。
y，~
v，:吨 (3，+丸，
刊
S, 。
s , 告
c e
消费者最佳储蓄量的决定
图 3 消费者最佳消费量的决定
面 2
如果以横轴代表消费 Ct ， 自 u"( c) <O 和 u-(C)>O 可知 ， u'( c)是弘
一条向右下方倾斜凸由原点的曲线。而 V' (wt - Ct 十 ι +1) 和 Et
[ V't + 1 ( W t - Ct + 豆什 1)J则随着消费的增加而增加，从而是向右上方顿
斜的曲线，旦前者位于后者的右下方，具体如理 3 所示:确定性或确定
性等锈的解是边际效用曲线 u'(c)和边际赞值函数曲线 V的交点豆，
不确定性下的最佳消费则是边际效用曲线 u' (c)和预期边际价值画数
曲线 EtV'的交点c\显然 C* <ι 所以，颈防性储蓄是确定性或确定 e
性等椅下的消费与不稳定性情况下的消费之差υ-C善)，即由于风撞
收入的存在而致使消费者所减少的消费量。
预期价值函数的掏建面 1
三、风险、谨慎和预防性储蓄量
从上述过程容易看出，消费者的预防性储蓄行为是由不确定住和边际赞道函数的凸性〈代表谨镇特缸〉
共同决定的。为进一步考察这种影略杭理，我们霆要对风险、谨慎和预防住储蓄之阔的决定关系作进一步讨
论。
钙然假设 i= 1，利率因子和时闰铺好因子都等于啻数 1 ，那么消费者最佳化一捞条件的欧拉方程 3 -12
式就可以简化为:
u'(Ct ) = Et[ U'(Ct+ 1)].
将上式中的正(c廿 1)用泰勒公式展开，并取其二次多项式作为近似，可以得到:
- (Ct ) ; u' (ct + 1)~ U' (Ct ) + u (C t ). (C t + 1 - Ct ) + 三EL· 〈 cg+1-cz)2
担 3-2 式ft入 3-1 式并整理得:
Et ( C t + 1 - C t ) = (1/2)[ - u - ( C t )/ U " ( C t ) J Et [ ( C t + 1 - C t )2]. (3 - 3 )
在其它般设条件不变的清况下，加入不确定性，那(3 - 3)式的左边便可以近似地看成 t 期的颈防性储蓄
量。援据 KimbaIl(1996)的定义，效用函数的绝对谨慎系数 - u-lu 可以用来度量边际价值量数的谨慎特篮。
(3-3)式的右边是绝对谨慎系数和预期的消费变化的方差的乘秧，商消费变化方差恰恰代表了不确定性的
程度。
(一)边际价值函数凸性不变时，不确定性程度对预防性储蓄的影响。边际价值函数凸的程度不变，即消
91
(3 -1)
(3-2)
孽岳论 2004．6
费者的绝对谨慎系数 一“ ／u"是常数时，根据公式(3—3)，预防性储蓄的量与方差项成同方向变化。为说明
这一点，我们假设存在两个风险程度不同的未来劳动收入 岛和 ∈，并且 岛>∈。这两个风险只有两个取值点，
每个取值概率是 0．5，两个风险的期望值都等于 0。在此基础上 ，假设消费者在 t期末的储蓄量是 A，令 A一
岛=WA-，A+岛=WB*，A— =WA，A+ = 和A+0= o。由期望价值函数的定义 ：
E V +l(A+ )]=0．5V +l(A一岛)+0．5V +I(A+岛)
=0．5[V +l(WA )+V +l(WB )]
E V +l(A+车)]=0．5 V +l(A— )+0．5 V +l(A+ )
=0．5[V f+l(WA)+V f+l(WB)]
显然，E [V +l(A+ )]>E [V +l(A+季)]
如图4所示 ：连接 A*和B*两点所得线段的中点 E*的位置比
A和 B的线段中点的 E位置高。所 以在面对 岛的风险收入时消费
者减少的消费量 ，比风险收入是 ∈时减少 的消费量要多。即不确定
性越大，预防性储蓄的量越多。关于这一点，我们还可以用具体的效
0 w， w H wi wr
图4 谨慎动机不变时。不确定性的
改变对预防性储蓄的影响
用函数来进行说明。
1．对于 CARA效用 ：“(c)=一(1／r)exp(一gc)。我们采用 Caballero(1987，1990[ ，1991[ 】)对消费者
所作的一些基本假设，即消费者拥有系数为 的常绝对风险规避和生存 T期，主观贴现率等于无风险利率
并且都为 0。劳动收入服从随机游走，收入新生过程是标准差为 D正态分布。在上述假设下 ，用 CARA效用
函数的一阶导数 “ (c)=exp(一7c)来替换欧拉方程 3—1式的两边。我们知道，对于服从正态分布的随机
一r
2
变量 ，若其均值为 E( )，方差为 ，则有 E(exp( ))=exp(E( )+ )成立。利用这一点对 3—1式进
行整理 ，容易得出最优消费将满足：
Ct+l= + + (3—4)
根据 3—4式 ，利用预算限制式可以得出消费函数的显式解，即消费水平可以由下式给出：
(— 【_)At+Yt一 ． (3-5)
(3—4)式 中，绝对谨慎系数 是一个常数，所以影响消费路径的主要是收入的不确定性程度 ：较高的收
入不确定性 ，即 cF2比较大将会导致较陡的消费路径 ，这意味着预防性储蓄量也就更多。(3—5)式给出了消
费水平是财富 、收入和不确定性的函数。给定收入和财富水平，不确定性越高即方差项越大，消费水平越低，
从而预防性储蓄越多。
2．对于 CRRA效用，即 U(C)=C卜P／(1一ID)，其相对谨慎系数是常数(1+p)
．
。[ 】如果选定了相对风险
规避系数，拥有该类型效用函数的消费者的相对谨慎系数就是不变的。根据第一节的定义(即 =1+r表
示随机的毛利率 ， =1／(1+8)表示时间偏好因子)，可以将(1—12)式进一步变形为1
[U (Cf+1)]=U (Cf) (3—6)
若效用函数是 CRRA的，则这个最优化的一阶条件就采取下面的形式 1
Et( )=ct (3-7)
不考虑不确定性的情况下，可以去掉期望运算符号，两边取对数并利用对数运算中的常用近似可以得出
下面的方程式：
Alncf+l=』D ( +l一 ) (3—8)
上式表明对数消费的变化受实际利率、消费者的时间偏好率及跨时替代弹性(即相对风险厌恶系数的倒
数)影响。显然 ，如果假设实际利率和时间偏好率是相等的常数 ，上式的右边就等于 0。但是如果考虑不确
定性因素的影响，(3—8)式将被调整 ，结果是使(3—7)式等价于：
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3乡.岳手合经
费者的绝对瑾镇系数 _U~/UH是常数时，根据公式。一 3) ，预防性储蓄的量与方差项成同方向变化。为说明
这一点，我们假设存在两个风险程度不同的未来劳动技人~和号，并且乌 >ι 这两个风鼓只有两个取董点，
每个取值慨率是 ，两个风险的期望值都等于 0。在此基础上，假设消费者在 z 期末的储蓄量是 A，令 A
~=wA' ，A+ 乌 = WB* ,A - e= wA ， A 十军 =WB和A +O=wo。由期望价值函数的定义:
Et[ V't+l(A + ι) ] = O. 5 V' t + 1 (A 一马〉十 't+l(A +~)
=[V't+l(U旷) + V't+ 1 (U旷)]
Et[V't+l(A + 主)] ='t+l(A 一的+ O. 5V't+ 1 (A 十的
= 0 . 5 [ V' t + 1 ( '1:归) + V'什 l( U￥)]
显然 ， Et[ V't +l (A 十色 )]>Et[V't+l(A 十主)]
V'.
如国 4 所示 z连接 A养和 B祷弱点既得线段的中点 E养的位置比
A 和 B 的线段中点的 E 位置高。所以在面对乌的风险牧入时消费。
者减少的消费量，比风险收入是号时减少的消费量要多。即不确定
性越大，预前挂储蓄的量越多。关于这一点，我们还可以理具体的效
用通数来进行说明。
n\
-寸…一:哇!
-tL-户是\
一，一--.. '"
W A 栩如 W.
1114 谨慎动机不变时，不确定性的
改变对预防性储蓄韵影响
W4+1
1. :X1于 c应A 效用: U( c) = 一 (1 ly)exp( - YC)。我们采用Caballero( 1987 , 199O[4J , 1991 [5J)对消费者
所作的一些基本锻造，即消费者招有系数为 γ 的常绝对风险短避和生存 τ 期，主现贴现率等于无风险和j率
并且都为 0。劳动收入服从黯挠游走，收入新生过程是标准差为。正态分布。在上述假设芋，用 CARA 效用
函数的一阶导数 U ' (C ) = exp( - YC )来替换欧拉方程 3-1 式的两边。我吉]知道，对于服从正态分布的随挽
变量 x ，若其均值为 E(x )，方差为~，}Jtlj 有 E(exp(x)) 二时E(x) 十号)成立。利用这一点对 3-1 式进
行整理，容易得出最优消费将满足:
川 = Ct 十号:十 et (3 -4)
根据 3-4 式，利用预算限制式可以得出消费画数的显式解，即消费水平可以自下式结出:
I 1 \", y(T- t) σ2
Ct = t T-古1 }At 十另一 马 (3 - 5)
(3 一的式中，绝对谨慎系数 γ 是一个常数，所以影响消费路径的主要是牧人的不确定性程度:较高的收
入不确定性，即 t 比较大将会导致较捷的消费路径，这意味着预弱性储蓄量也就更多。 (3 - 5)式结出了消
费水平是财富、收入和不确定性的画数。给定收入和财富水平，不确定性越高即方差项越大，消费水平越镖，
从商颈防性储蓄越多O
2. 对于 CRRA 效用，即 U(C)=C1 - P I(1 -p) ，其相对谨慎系数是常数(1 + p).o[6J如果选定了相对风险
规避系数，拥有该类重效用盈数的消费者的梧对谨慎系数就是不变的。根据第一节的定义(即 Rt = 1 + r 表
示随机的毛利率 ， ßt = 11(1 + ò)表示时间偏好因子) ，可臼将(1 -12)式进一步变形为:
-TEr[UF <CJ]=UF<C) (3 -6)
若效用函数是 CRRA 的，如i这个最住化的一阶条件就采取下面的彭式:
E (1+rt+i) f 丁工否-'Ct-!'l) = Ct (3-7)
不考虑不确定性的情况下，可说去掉期望运算符号，两边取对数并利用对数运算中的常用近制可以得出
下面的方程式:
~lnCt+l =ρ -l(rt+l 一 δ) (3 -8)
上式表明对数消费的变化受实际和率、消费者的时间偏好率及跨时替代弹性(即相互才风险沃恶系数的倒
数)影响。显然，如果假设实际利率和时间偏好率是梧等的常数，上式的右边就等于 0。但是如果考虑不稳
定性菌素的影略，。一 8)式将被揭整，结果是使(3-7)式等费于:
92
预防性储蓄：产生及其决定
Etexp(1n Ct+Pl／Ct- )=1 (3—9)
利用同样的对数运算的近似处理方法 ，(3—9)式可以重写为：
E，exp[一p(Alnc，+l—ID一 ( +l一 ))]=1 (3—10)
如果进一步假设 lnc和 r服从联合的正态分布 ，就可以对这个期望进行运算 ，并得到下式 ：
f 1 l
exp{E [一ID(Alnc +l—ID一 ( +l一 ))]+专ID ；}=1， (3—11)
继续简化可得 ：
E￡Alncf+l=ID一 (Ef +l一 )+ 1 叫2f (3—12)
其中方差项 ；=var(Alnc，+l—ID_。 +1)依赖于前期消费增长和真实回报的预期变动程度。尽管(3—
12)式只是一个简单的近似 ，但是它仍然可以清楚地表明，风险规避系数为 p的消费者在面对未来的劳动风
险收入时，将在多大的程度上推迟消费。未来的劳动收入风险越大，方差项就会越大，消费者的对数消费成
长路径就会越陡峭，从而预防性储蓄的量就会越多。
(二)不确定性的程度不变时，边际价值函数的凸性对预防性储蓄的影响。在消费者群体中，有些消费者
的未来劳动收入的波动程度并无显著差异 ，但是他们的消费行为却表现出极大的不同。也就是说，在面对同
样的风险时，有些消费者比另外一些消费者有更强的谨慎动机 ，从而更多地减少当前消费，增加未来的消费。
这意味着 ，仅仅是边际价值函数不同的凸性特征也会独立地影响预防性储蓄量。下面是具体的证明过程。
假设消费者 a(价值函数是 ( ))和消费者 b(价值函数为 V ％
(叫))面对的未来收入冲击是相同的，冲击程度是 毒，期望值等于 O
且各有两个取值 ，取值概率都等于 0．5；两个消费者的不同之处在
于，在所有的财富点上，a都比 b具有更强的谨慎动机(一 ( )／
( )>一 ( )／ (训))，即消费者 a的边际价值函数 比消费
者 b的边际价值函数更凸。进一步假设两个消费者在 t期期末时的
储蓄量都是 A，定义 A一 =WA，A+ = 和 A+0=W0。同样的
收入冲击对两个消费者的消费行为的影响，如图 5所示：
图5中，消费者 a的边际价值函数是 向右下方倾斜 的实线函
数，b的消费函数则是向右下方倾斜的虚线函数，两个函数相切于点
C。消费者 a的边际价值函数的期望值是：
E，[、／r +l(A+ )]=0．5、／r ，+l(A一 )+0．5、／r ，+1(A+ )
=0．5[、／r f+l(WA)+、／r f+l(WB)]
图5 不确定性不变时。谨慎动机的
不同对预防性储蓄的影响
等价于图中连接点 A*和点 B*的线段中点 E*所对应的函数值。
同理 ，消费者 b的边际价值函数的期望值是：
E，[、／r ，+l(A+手)]=0．5V ，+1(A一 )+0．5V +l(A+ )
=0．5[V ￡+l(WA)+、／r ￡+l(WB)]
即图中线段 AB中点 E所对应的函数值。显然 E*的位置高于 E的位置 ，故可以判断：
E [ ，+l(A+手)]>E [、／r ，+1(A+莩)]，而， ，+1[A+E，(孝)]=[ +1[A+E，(孝)]
这样 ，面对同样程度的风险 ，谨慎动机越强的消费者当前消费的减少量要比其它消费者减少的多。因而
结论是 ：不确定性不变时，谨慎动机越强，预防性储蓄的量将越多。
这个结论 ，还可以用补偿谨慎溢价(compensating precautionary prerniun，用 表示)或等价谨慎溢价(e—
quivalent precautionary premium，用 表示)r列来进行更具体地说明。其中前者度量的是给定消费水平 ，第
一 期的消费函数由于风险的存在而向右移动的幅度 ，后者度量的则是取消风险的情况下，第一期的消费函数
93
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预防性储蓄:产生及其决定
Etexplln旦旦lC.-... p,1 c.- p )二 1，"1""飞 1+8 ~t;-l'~t
利用同样的对数运算的近但处理方法，(3-9)式可以重写为:
Etexp[ ρ( ðlnc t + 1 - P - 1 ( r t + 1 - 8 ) ) ] = 1
如果进一步锻设 lnc 和 r 服从联合的正态分布，就可以对这个期望进行运算，并得到下式:
叫Et[ 一 μi川 ji(rf÷1-S 〉 )]+÷μ= 1,
继续简化可得:
(3-9)
(3 -10)
(3-11)
Etðlnct +1 = P -1 (Etrt+ 1 - 8) + ~仰?(3ω
其中方差项 ω~ = var(ðlnct + 1 - P -l rt + 1)依赖于前期消费增长租真实回报的颈期变动程度。尽管(3
12)式只是一个简单的近缸，坦是它钙然可以清楚地表明，风险规避系数为 p 剖消费者在面对未来的劳动风
险攻入时，将在多大的程度上推迟消费。未来的劳动收入风险越大，方差项就会越大，消费者的对数消费成
长路径就会越挺蝇，从而颈防性储蓄的量就会越多。
〈二)不确定性的程度不变时，边际价值画数的凸性对预防性储蓄的影响。在消费者群体中，有些消费者
剖未来劳动收入的波动程度并无量著差异，但是他们的消费行为却表现出极大的不同。也就是说，在面对同
样的风险时，有些消费者比完外一些消费者有更强的谨慎动机，从而更多地减少当前消费，增妇未来的消费。
这意味着，钗仅是边际价值函数不同的凸性特征也会独立地影响颈防性精蓄量。下面是具体的证明过程。
最设消费者 a(拚值函数是 V(w))和消费者 b(价值量数为 V 口
(w))面对的未来收入冲击是梧爵的，冲击程度是巳期望量等于 O
且各有两个取值，取值翻率都等于 ;两个清费者的不同之处在
于，在所有的财富点上，a 都比 b 具有更强的谨模动机(-V"(w)1
V'(w)> γ""(w)IV.( w片，即消费者 a 的边际价值函数比消费
者 b 的边际价值画数更凸。进一步假设两个消费者在 t黯期末时的
储蓄量都是A，定义 A-~=WA ，A+~=吨和 A +O=Woo 同样的 o w. 鸿沟 叫叶
收入冲击对两个消费者的消费行为的影嘀，如国 5 所示: 图 5 不确定性不变晖，谨慎动机的
国 5 中，消费者 a 的边际价值量数是向右下方倾斜的实线函 不同对预防性锚蓄的影响
数， b 的消费画数则是向右下方倾斜的虚线盈数，两个函数梧切于点
Co 消费者 a 的边际价量函数的期望值是:
Et [ V't + 1 (A + 主 )]=亏't+1(A-~)+ 亏'什 1 (A + ~)
= O. 5[ V't + 1 ( WA) + 亏'什 I(WB)]
等份于国中连接点 A铸和点 B铸的线建中点 E铃所对应的函数值。
同理，消费者 b 的边际检值函数的期望值是:
Et [ V't + 1 (A + 主)]二 O. 5V't+l (A -~) + V't+1 (A +~)
=[γt+1(ë句)+ V'什 1 ( Z句)]
即图中线段 AB 中点 E 所对应的函数量。显然 E链的位置高于 E 的位置，故可以判断 z
Et[ 中't+1(A + 主)] > Et [ V't + 1 (A + 主汀，而，中'什 l[A + 巳(主) ] = [ V; + 1 [A + Et (军)]
这样，面对同样程度的风险，谨慎动机越强的演费者当前消费的减少量要比其它消费者减少的多。因而
结论是:不确定性不变时，谨慎动就越强，预防性错蓄的量将越多。
这个结论，还可以用补偿谨慎溢街(∞mpensating precautionary premiun，用 γ表示〉或等街谨慎溢价(e
quivalent pr'εcautionary premium，用?表示)归来进行更具体地说明。其中前者度量的是给定消费水平，第
一期的消费远数由于风险的存在西向右移动的幅度，后者度量的则是取消风璋的情况下，第一期的消费函数
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东岳论 2004．6
向左移动的幅度。右移或左移的具体程度近似等于绝对谨慎系数乘 以风险方差的一半 ，即 ≈(一、／r／
1 1
、／r )·去 ， ≈(一 ／、／r )· 1 2 ，其中盯2 代表方差项。关于这一点，(Kimball 1990)曾经证明过。显然，在
不确定性程度即方差项不变的情况下，绝对谨慎系数越大， 就越大，第一期的消费函数向右移动的幅度
就越大。这意味着，给定财富水平，第一期的消费就减少的越多，从而预防性储蓄量就越多。具体过程如图
6(a)和 6(b)所示。
图 6(a)中，不存在风险收入的消费函数是 C ( )，C ( )，是由于风险收入的存在而右移的消费函数 ，
两个消费函数的水平距离即为补偿性谨慎溢价 ；从垂直方向看 ，右移的幅度越大 ，两个消费函数之间的垂直
距离也会越大，这意味着如果保持财富水平不变，加入风险收入而导致的消费水平的减少就越多 ，减少的消
费量就是预防性储蓄量。同理在图6(b)中，存在风险收入的消费函数是C ( )，C；(叫 )是由于风险收入取
消后而左移的消费函数 ，两个消费函数的水平距离即为等价性谨慎溢价；从垂直方向看 ，左移的幅度越大，两
个消费函数之间的垂直距离也会越大，这意味着如果保持财富水平不变 ，取消风险收入而导致的消费水平的
增加就越多，增加的消费量就是减少的预防性储蓄量。
图6{a) 谨慎动机对预防性储蓄量的影响 图6{b) 谨慎动机对预防性储蓄量的影响
四、结论
总结全文，可以得出以下几点重要结论 ：
第一、效用函数的正三阶导数(消费者的谨慎动机)和不确定性一起共同决定了预防性储蓄，但是逆命题
不成立。
第二、预防性储蓄量的多少和不确定性的程度以及边际价值函数凸的程度从而消费者的谨慎动机的强
度密切相关。
第三 、不确定性程度不变的前提下，边际价值函数越凸即消费者的谨慎动机越强，预防性储蓄量就越多；
反之相反。极端的情况是，如果边际价值函数是线性的，则不存在预防性储蓄。
第四、边际价值函数的凸性即消费者的谨慎动机的强度不变的前提下，不确定性程度越高，预防性储蓄
的量就越多；相反，预防性储蓄的量就越少。
[参考文献]
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[责任编辑：晓山]
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1在岳伦告￡
向左移动的幅度。右移或左移的具体程度近叙等于绝对谨慎系数乘以风险方差的一半，即 w铸句(- v- /
V)·÷牛队(-γ的-fgi，其中机表方差项。关于这一点， (Kìmball 19蚓曾经证明过。显然，在
不确定性程度部方差项不变的情况下，绝对谨慎系数越大，tγ 就越大，第一期的消费函数向右移动的幅度
就越大。这意味着，给定期富水平，第一期的消费就减少的越多，从商贾防性错蓄量就越多。具体过程如图
6(a)朝 6(b)所示。
国 6(a)中，不存在风险收人的消费函数是 Ct ( W t ), c!( Wt )，是自于风建校人的存在商右移的消费量数，
两个消费函数的水平距离即为补偿性谨慎溢价:从垂直方向看，右移的辐度越大，两个消费函数之间的垂直
距离也会越大，这意味着如果保持财富水平不变，如人风险投入睡导致的消费水平的减少就越多，减少曲消
费量就是预防性错蓄量。向理在国 6(b)中，存在风险技人的消费远数是 Ct ( W t ) , c~ ( W t )是由于风险收入取
消后而左移的消费昌数，两个消费函数的水平距离即为等价性谨慎溢份:从垂直方向看，左移的幅度越大，两
个消费函数之间的垂直距离也会越大，这意味着如果保持财富水平不变，取消风险收入商导致的消费水平曲
增加就越多，增加的消费量就是攘少的颈防性储蓄量c
。
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l_..:__…-,..r-
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,
c
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回 6(a) 谨慎动机对预弱性储蓄量的影响 回 6(b) 谨慎动机对预防性储蓄量的影晴
四、结论
总结全文，可以得出以下九点重要结论:
第一、效期函数的正三阶导数〈消费者剖谨慎动机)和不确定性一起共同决定了预防性错蓄，但是逆命题
不成立。
第二、颈防性储蓄量的多少和不确定性的程度弘及边际价值量数凸的程度从而消费者的谨镇动挠的强
度密切相关。
第三、不确定性程度不变的前提下，边际价值函数越凸即消费者前谨慎动拉越强，贾前性错蓄量就越多:
反之相反。极端的清况是，如果边际街道画数是线性的，则不存在预防性储蓄。
第四、边际佳值画数的凸住Il~消费者的谨t震动扭曲强度不变的前提下，不确定性程度越高，预防性储蓄
的量就越多:相反，颈防性储蓄的量就越少。
[参考文献]
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[3J 范里安， 1997:微观经济学z 高级教程[M]. 北京:经济科学出版社， .
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〔责任编辑:班出〕
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