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Contents1ႄ12ࡌഡაଆࡌഡ..................................ଆ..................................33၂Ϯ౦ྙದ֥Ⴊ߄໙ีބّႋݦඔ.....................ᆟک֥Ⴊ߄໙ี............................नޙ০ੱބڄགၮࡎ.........................84CRRAིႨაֆڄགሧӁཨٮაሑࡎ۬............................नޙ০ੱބڄགശඣ.........................ሧҦބ൧ӆѯੱ........................125ࢲં146ڸ141
AbstractЧ໓ࡹ৫ਔ၂۱Ⴕᆟک֥ሧӁקࡎଆbᆟکФଆ߄ູऎႵ؎৯ਈ֥൧ӆҕაᆀđॖၛ০Ⴈሱ֥࠭ඥ൬ބࢌၞྛູҦֹ႕ཙ൧ӆbૌࢳਔ၂۱ᆟک༵ྛđದ۵ෛ֥नޙđ֤֞ਔ၂۱ሧӁקࡎ֥චၹሰଆđૌ൞ğሹཨٮၹሰބඥ൬ၹሰbૌᆣૼğሧӁ֥ӑح൬ၭ҂౼थႿބሹཨٮ֥ཌྷܱྟđߎ൳ބᆟکඥ൬ཌྷܱྟ֥႕ཙĠሧЧ൧ӆ֥ѯྛູ၇ঠႿඥ൬֥ෛࠏଆൔbૌ֥ଆყđᄝ၂۱ᆟکቔႨбࢠն֥ࣜ࠶đೂݔޭᆟک֥ቔႨđֆၹሰ֥ICAPMॖି֮ܙनޙ֥ܢಃӑح൬ၭbીႵᆟک֥ࣜ࠶ཌྷбđႵᆟکࣜ࠶ᇏڄགሧӁ֥ѯੱ߶۷ۚbٳ༅іૼğᄝሧӁקࡎଆᇏႄೆᆟکྛູ൞ॖି֥đᆃဢ֥ଆିܔϺᇹૌࢳᆟکᄝሧЧ൧ӆᇏ֥ቔႨđିܔϺᇹૌ۷ݺ֥ࢳሧЧ൧ӆ֥ྛູb
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Remark3ෙಖૌ҂ษંቋႪඥ൬໙ีđ္ॖၛቓ၂ࡥ؋ંb൙ൌഈđՖഈ૫֥ษંݖӱॖၛुԛđೂݔຓള۳ק֥ඥੱൡ֥֒࿊౼đбೂτ∗ࡼିܔ֤ᆟکૄ௹҂сࣉೆ൧ӆࢌၞđՎൈCˆg=τ∗δ(t)ପહՎൈཁಖႵU′g[Cg(t1)]=U′g[Cg(t2)]U′a(t1)U′a(t2)ࣜ࠶ࡼԩႿParetoሑbೂݔᆟکିܔοᅶሱ֥࠭ᆦԛ౦ঃࣉྛཌྷࠏ֥ඥ൬đ֤҂сࣉೆሧӁ൧ӆࣉྛࢌၞđପહࣜ࠶ࡼࣉೆparetoሑbၹູđՎൈᆟکᄝૄ௹֥࣪ܓઙਈູਬđᆟک҂߶০Ⴈሱ֥࠭৯ਈ႕ཙᆣಊ൧ӆࡎ۬đᆟک֥ш࠽ูսੱࡼ֩Ⴟሑࡎ۬ᆭбđࣜ࠶҂թᄝᇂ౷नޙ০ੱބڄགၮࡎᄝࢳਔದބᆟک֥ቋႵ໙ีᆭުđૌᄜটॉҳࣜ࠶֥नޙbܱႿॴ௹ሧЧሧӁקࡎଆđMerton[11]۳ԛਔ၂۱චၹሰ֥ICAPMٚӱđᆃུၹሰّႋਔ؋௹֥൧ӆቆކၛࠣሧࠏ߶֥ࠢэ߄bBreeden[1]ᄵ۳ԛਔ၂۱ࠎႿཨٮ֥ֆၹሰ֥ICAPMٚӱđႻࢡCCAPMbᆃུٚӱ൞ᄝࡌഡીႵᆟکđ෮Ⴕ൧ӆ൞ປಆࣩᆚ֥౦ྙ༯֤֥֞bႮႿૌ֥ଆᇏթᄝऎႵ൧ӆ৯ਈ֥ᆟکđࣜ࠶नޙ߶ؿളڿэb࿙ᅳनޙؓሧӁࡎ۬ീࡆ֥ཋᇅླေԉٳ০Ⴈ۱ุ֥ቋႪཨٮބ൧ӆनޙ่ࡱbૌษં֥ԛؿׄ൞ٚӱ(15)đؓఃਆшႋႨItoˆႄđૌିܔ֤֞Cg֥ݖӱđԛCg֥၍ཛބঔཛbಖުᄜؓ(13)ႋႨItoˆႄđૌࠧॖᆩ֡नޙؓሑࡎ۬ീࡆ֥ཋᇅđႮՎ֤֞नޙ֥০ੱބڄགၮࡎݖӱbᆃބࣩᆚྟࣜ࠶֥҂ᄝႿğनޙ֥০ੱބڄགၮࡎ҂൳ࣜ࠶֥ሹཨٮ႕ཙđߎ൳ᆟکඥ൬႕ཙbᆟکඥ൬֥ѯᆰࢤ႕ཙ֞ࣜ࠶֥ڄག০ੱބڄགၮࡎbڄགၮࡎႮ༯૫ק۳ԛđڄག০ੱݖӱᄝڸᇏ۳ԛbTheorem2µ−r1=α1CovdδdSS(,)+α)(17)S2Covdτd(,dtdtSఃᇏα1×α2>0a(1+τ)+λaαλU′′gg1=−U′′U′′aU′λaaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aα2=−U′′aU′′aδU′λaaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aᆣૼğڸbRemark4(17)൞ૌ֤֞ਆၹሰ֥ICAPMଆbᄝ၂Ϯ֥ປಆࣩᆚଆᇏđڄགശඣᆺႮھሧӁაࣜ࠶ሹጋڮ֥ླྀٚҵथקb҂֥൞đૌ֥ଆ8
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бࢠ(22)ބ(23)ਆ۱ൔሰđૌᆩ֡r+1θ2=γ(µφ+µδ−1σ22φ−1σ222δ)θ=γ(σδ+σφ)္ࣼ൞ğr=γ(µφ+µδ−1σ22φ−1σ2+σ2φ)2δ)−1γ2(σδ2µ−r=γCodδdSdφdSv(,)+γCov(,)δSφSᆣૼປиRemark8ᆃဢ၂۱২ሰ٤൞ඪૼφ(τ)ԉ֒ਔඥ൬ݖӱđڄགܿх֩ྐ༏֥ԉٳ࠹ਈbՎൈđφބδ֥࠹ྟᇉປಆथקਔࣜ࠶֥नޙ০ੱބڄགശඣbંഈটࢃđඥ൬ބھԉٳ࠹ਈ֥ܱ༢бࢠگᄖ(ٚӱ21)ĠᄝൌᆣဒᇏđᆃေૌՖൎ֥ሹཨٮބದ֥҆ཨٮᇏٳԛھԉٳ࠹ਈbطھק္ۡුૌđनޙ֥ሑࡎ۬ૡ؇ݖӱڛՖࠫޅ҃ᄎ֥၂۱ԉٳ่ࡱ൞φބδڛՖࠫޅ҃ᄎሧҦބ൧ӆѯੱభ૫ิ֞đ᷉ٚمϜሧᆀ֥Ⴊ߄໙ีٳࢳູਆ҄bॖ൞֞ଢభູᆸđૌᆺࢳਔֻ၂҄ĒĒཨٮ໙ีđߎીႵॉ੮ֻؽ҄ĒĒቋႪሧҦ໙ีbᄝᆃ҆ٳđૌ࿃ࡌഡCRRAི֥Ⴈྙൔđѩ০Ⴈభ૫֤֥֞ԉٳ࠹ਈྟᇉটࢳದބᆟک֥ቋႪሧҦbቋުđಞڄགሧӁ൧ӆԛౢđٳ༅ܢௐ൧ӆ֥ѯ౦ঃbૌႄႨ၂۱ႄđھႄॖၛᄝCox-Huang[7]ࠇᆀKaratzas-Shreve[8]ᇏᅳ֞bھႄնၩູğં൞ᆟکߎ൞۱ದđᄝ၂ൈ֥ׄҍڶ֩Ⴟໃট෮Ⴕཨٮ֥ᅼགྷbᄝᆃ၂ၩၬഈđҍڶࣼ൞၂ᇕሧЧbခႨభ໓֥࠺ݼđھႄ֥ྙൔ߄іඍູLemma1∫TX(t)=1HE[C(s)H(s)ds|Ft](27)(t)tᆃFtіൕᄝtൈख़෮Ⴕॖࠆ֤֥ྐ༏bૌႋႨᆃ۱ႄটࢳ൧ӆҕაᆀ֥ҍڶݖӱbૌ༵ؓದ֥҆ཨٮݖӱႋႨھႄğ∫T∫TX1−γa(t)=1HEtCa(s)H(s)ds=1(tHE(φδ)ds(28))t(t)λtatఃᇏֻؽ۱֩ݼႋႨਔದ֥҆၂ࢨ่ࡱb֒φބδ֥၍ބঔ༢ඔ൞၂Ϯෛࠏݖӱൈđഈ૫ࠒٳ֥ཁൕࢳޓᅳ֞bູਔିܔ࠹ෘቋު၂۱ࠒٳđૌླေؓφބδ֥ݖӱቓࣉ၂҄ࡌഡb12
Assumption10φބδ֥၍ބঔ༢ඔ൞ӈඔđ္ࣼ൞φބδڛՖࠫޅ҃ᄎbູਔ࠹ෘ(28)ᇏ֥ඔ࿐௹ຬđૌᄝڸᆣૼਔೂ༯ႄLemma2ೂݔφބδڛՖࠫޅ҃ᄎ∫TE1−γ−γ[exp{β(T−t)}−1](φδ)ds=[φ(t)δ1t(t)](29)tβ∫TE−γ{ρ(T−t)}−1]δ1−γ[exptφδ1−γds=[φ−γ(t)][(t)](30)tρఃᇏβބρ൞ӈඔđႮࠫޅ҃ᄎ֥ҕඔބڄགܿх༢ඔ܋थקbႵਔھႄđૌॖၛᆰࢤ࠹ෘԛሧᆀ֥ҍڶݖӱđѩႮՎ֤ԛܢௐ֥ѯੱđᆃུࢲݔЇݣᄝೂ༯֥קᇏTheorem5ದሧᄝڄགሧӁഈ֥ҍڶඔਈູpia=[exp{β(T−t)}−1]φδ(σδ+σφ)(31)βσᆟکሧႿڄགሧӁ֥ҍڶູpig=[exp{ρ(T−t)}−1]t)}−1]δσφδ(σσδ−[exp{β(T−ρσβδ+σφ)(32)नޙ֥ܢௐࡎ۬ѯੱູStσ=[exp{ρ(T−t)}−1]δσδ(33)ρᆣૼᄝڸᇏ۳ԛbٚӱ(31)(32)(33)൞ᆃ҆ٳ֥ᇏྏࢲંbρ>0đ൞౼थႿඥ൬ݖӱބጋڮݖӱ֥ҕඔđॖၛुԛđՎൈ֥ܢௐѯੱၘࣜ҂൞ӈඔđط൞Ⴎሹཨٮ֥ѯބඥ൬֥ѯ܋౺֥bປಆࣩᆚྟࣜ࠶ཌྷбđᆃ֥ѯྛູ۷ࡆگᄖĆਸ਼၂ٚ૫đඥ൬ؓѯੱ֥ቔႨປಆ๙ݖρটіགྷ,ؓႿીႵᆟک֥ࣜ࠶đૌᆩ֡ڄགሧӁ֥ѯੱູStσ=(T−t)σδδ(34)ປಆႮጋڮݖӱथקbᆰࢤбࢠ(33)đ(34)đૌᆩ֡ğႵᆟک֥ࣜ࠶ᇏڄགሧӁ֥ѯੱေ۷ۚĆඥ൬۳ࣜ࠶ջটਔ۷؟֥҂ಒקྟđᄝૄ၂ൈख़đ൧ӆҕაᆀླေ۷؟֥ࢌၞླၛؓԊڄགđᄝڄགሧӁሹ܂۳҂э֥౦ྙ༯đनޙေ۷֥ۚڄགሧӁѯੱၛཨࡨᆃ҆ٳᄹࡆ֥ླĆ13
5ࢲંЧ໓ิ܂ਔ၂۱Ԛ֥҄ٳ༅ॿࡏđႨၛᄝሧӁקࡎଆᇏЇݣᆟکbϜᆟکቔູ൧ӆᆰࢤҕაᆀႄೆࣜ࠶đఃކྟߎႵրᆣൌb؎ྟᆟک֥ࢺೆ֤ૌ֥ࣜ࠶эӮ၂۱҂ປಆࣩᆚ֥ࣜ࠶đٳ༅ބࢳэ֤ཌྷ֒bૌࣼؓඔིႨބห൹֥ඥ൬ݖӱ۳ԛਔ၂۱ཁൕࢳbؓႿ၂Ϯ౦ྙđॖି֥ࣥ൞ᇹႿඔᆴෘمbૌധೆٳ༅ਔᆟک֥ႄೆؓࣜ࠶֥০ੱބڄགശඣၛࠣܢௐ൧ӆѯੱ֥႕ཙđѩ֤֞ਔ၂۱ሧӁקࡎ֥චၹሰଆđૌ൞ğሹཨٮބඥ൬bૌᆣૼğބሹཨٮ֥ཌྷܱྟمປಆࢳሧӁ֥ӑح൬ၭđބᆟکඥ൬֥ཌྷܱྟဢ႕ཙܢಃശඣbೂݔಒൌೂՎđପહđᄝ၂۱ᆟکቔႨбࢠն֥ࣜ࠶đೂݔޭᆟک֥ቔႨđֆၹሰ֥ICAPMॖି֮ܙनޙ֥ܢಃӑح൬ၭbᄝनޙଆᇏႄೆᆟکྛູቓູၹሰэਈႵᇹႿࢳथܢಃശඣᆭđ۷ିϺᇹࢳሧЧ൧ӆ֥ѯb6ڸAppendix1චၹሰ֥ICAPMࡌקCg֥ݖӱႮෛࠏັٳٚӱ۳ԛdCg=µCgdt+σCgdwૌ֥ଢ֥ࣼ൞๙ݖ(14)ಒקµCgބσCgbؓ(14)[]Uλ′gg[Cg(t)]=U′λa(δ(t)−Cg)−U′′a(δ(t)−Cg)[Cg−τδ(t)]aਆшႋႨItoˆႄğλa′(U′gµλCg+1U′′′2gσ2Cg)dt+λaU′′λgσCgdw=[U′′a(µδ−µCg)+1U′′′2a||σδ−σCg||]dtgg2+U′′a(σδ−σCg)dw−[Cg−τδ][U′′′′′a(µδ−µCg)+1U′′2a||σδ−σC2g||]dt−[Cg−τδ]U′′′a(σδ−σCg)dw−U′′a[µCg−µδg]dt−U′′a[σCg−σδg]dwఃᇏקၬਔδg=τδ,іൕᆟک֥ጋڮݖӱbᆜഈ૫ٚӱđಞ၍ބঔ༢ඔٳљཌྷ֩λaU′′′′λgσCg=Ua(σδ−σCg)−[Cg−τδ]U′′′a(σδ−σCg)−U′′a[σCg−σδg](35)gλa(U′′gµ+1U′′′2gσ2Cg)=U′′λCga(µδ+µδg−2µCg)+1U′′′2||2a||σδ−σCgg−[Cg−τδ][U′′′′′a(µδ−µCg)+1U′′2a||σδ−σC2g||](36)Ֆٚӱ(25)ૌॖၛ֤֞σCgλaU′′λgσCg=U′′aσδ−U′′aσCg−[Cg−τδ]U′′′aσδ+[Cg−τδ]U′′′aσCg−U′′aσCg−U′′aσδgg14
λaU′′λgσCg+U′′aσCg−[Cg−τδ]U′′′aσCg+U′′aσCg=U′′aσδ−[Cg−τδ]U′′′aσδ−U′′aσδggσCg=[U′′a−(Cg−τδ)U′′′a]σδ−U′′aσδgg−τδ)U′′′a]σδ−U′′aδστλ=[U′′a(1−τ)−(CaλU′′Cgg+2U′′a−[g−τδ]U′′′λaaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aֻؽ۱֩ݼႋႨਔδg=τδσCg=U′′a(1−τ)−[Cg−τδ]U′′′aδλσaδ+−U′′aστ(37)′′′′′λaλU′′gg+2Ua−[Cg−τδ]UaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aջ߭(26)ॖၛԛµCgb߭ၫU′a(δ(t)−Cg)=λaH(t)đؓھൔႋႨItoˆႄૌႵğ[U′′a(µδ−µCg)+1U′′′2a||σδ−σC2g||]dt+U′′a(σδ−σCg)dw=−U′ardt−U′aθdwಞഈ૫ٚӱ֥၍ބঔ༢ඔٳљཌྷ֩đૌႵğ′′′ra(t)=−U′′a(µUδ−µC′g)−1U||σa2Uδ−σC2′g||(38)aθ(t)=−U′′a(σUδ−σCg)(39)′aϜ(37)սೆٚӱ(39)ѩൡ֒ᆜđૌ֤֞µ−r1=dSτdSα1Covdδ(,)+αdtS2Covd(,)dtSఃᇏU′′(1+τ)+λa′αλU′gg1=−U′′aaU′λaaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aα2=−U′′aU′′aδU′λaaλU′′gg+2U′′a−[Cg−τδ]U′′′aᆣૼປиĆAppendix2CRRA౦ྙ༯đࢳ֥թᄝྟބື၂ྟૌᆺ۳၂۱ࡥֆ֥ඪૼb൮༵ुೂ༯֥ٚӱğ[]λaφγ+1φ)−τ]λg(1−φ)γ=φ+γ[(1−ૌॖၛ༵קၬਆ۱ݦඔL(φ)=λaφγ+1λg(1−φ)γ15
λaλ>0đL(φ)൞၂۱קၬᄝ[0,1)ഈ֥ֆטᄹݦඔbL(0)=0đlimφ→1L(φ)=+g∞bR(φ)=φ+γ[(1−φ)−τ]=(1−γ)φ+γ(1−τ)R(φ)൞ܱႿφᄝ[0,1)ഈ֥ཌྟࡨݦඔbૌॉ੮ڄགܿх༢ඔγ>1طτ<1֥౦ྙbR(0)=γ(1−τ)>0đR(1)=1−γτ൞၂۱Ⴕཋ֥ඔbᆃၩሢ౷ཌL(φ)ބR(φ)ᄝ[0,1)ഈсႵࢌׄbᄜႮᆃਆ۱ݦඔ֥ֆטྟđఃࢌׄсಖ൞ື၂֥bᆣૼປиĆAppendix3௹ຬ֥࠹ෘႋႨFubiniקđ๙ݖࢌߐࠒٳඨॖၛෘԛbႮφ(s)=φ(t)exp{(µφ−1σ22φ)(s−t)+σφ[w(s)−w(t)]}δ(s)=δ(t)exp{(µδ−1σ22δ)(s−t)+σδ[w(s)−w(t)]}ૌᆩ֡[][φ(s)δ(s)]1−γxp{(1−γ)(µφ+µδ−1σ22δ−1σ22φ)(s−t)+(σφ+σδ)[w(s)−w(t)]}[φ(t)δ(t)]1−γ=e[]Etexp{(1−γ)(µφ+µδ−1σ22δ−1σ2s−t)+(σφ+σδ)[w(s)−w(t)]}2φ)(=exp{(1−γ)(µφ+µδ−1σ22δ−1σ22φ)(s−t)}Etexp{(1−γ)(σφ+σδ)[w(s)−w(t)]}=exp{(1−γ)(µφ+µδ−1σ22δ−1(1−γ)2σ2p{(σφ+σ2δ)(s−t)}2φ)(s−t)}ex2,exp{β(s−t)}ᆃβ,(1−γ2)(µφ+µδ−1σ22δ−1σ2(σφ+σδ)2φ)+(1−γ)22෮ၛEt[φ1−γ(s)δ(s)]=[φ1−γ(t)δ(t)]exp{β(s−t)}∫T∫TEt(φδ1−γ)ds=[φ1−γ(t)δ(t)]exp{β(s−t)}dstt∫T=[φ(t)δ1−γ(t)]exp{β(s−t)}ds=[φ(t)δ(t)]1−γ[exp{β(T−t)}−1]tβđૌႵEtφ−γδ1−γds=−γ[φ1−γ(t)][δ(t)]exp{ρ(s−t)}ds∫TEtφ−γδ1−γds=1−γ[exp{ρ(T−t)}−1][φ−γ(t)][δ(t)]tρᆣૼປиĆ16
Appendix4ሧҦބѯੱ۴ऌႄ2đದ֥҆ҍڶݖӱູ[φ(t)δ(t)]1−γ[exp{β(T−t)}−1]=[exp{β(T−t)}−1]H[φ(t)δ(t)](t)λaββؓഈ૫ٚӱ۳ԛ֥ҍڶݖӱႋႨItoˆႄႵdXa(t)=[exp{β(T−t)}−1]dCβa(t)−exp{β(T−t})Ca(t)dtᆃ൞ၹູXa(t)҂൞Ca(t)֥ݦඔđߎ൞t֥ݦඔbႋႨࡌഡ(10)đૌႵdXa(t)=[(T−t)φδ(µδ+µφ+σφσδ)−exp{β(T−t}Ca(t)]dt+[exp{β(T−t)}−1]φδ(σβδ+σφ)dw۴ऌॴ௹ყෘჿඏٚӱđሧᆀ֥ҍڶݖӱ္ॖၛіൕູdX=rXdt+δdt−cdt+pi[(µ−r)dt+σdw]ૌസਔ༯ѓabбࢠၛഈਆ۱ൔሰđಞঔཛཌྷ֩đૌ֤֞[exp{β(T−t)}−1]φδ(σβδ+σφ)=piaσᆃဢđૌ֤֞ਔದሧᄝڄགሧӁഈ֥ҍڶඔਈູpia=[exp{β(T−t)}−1]φδ(σδ+σφ)βσোර֥đૌ࠹ෘᆟک֥ҍڶݖӱ∫TXg(t)=1HEtCg(s)H(s)ds(t)t[∫T∫T]=1Eφ−γδ1−γdsλtaH−Eγt(φδ1−)ds(t)[tt=1φ−γδ1−γ[exp{ρ(T−t)}−1]−−γ[exp{β(T−t)}−]1](φδ1)λaH(t)ρβ[=[exp{ρ(T−t)}−1]δ−[exp{β(T−t)}−]1](φδ)ρβᆟک֥ҍڶݖӱཌྷ֒ႿՖሹጋڮᇏࡨಀದ֥҆ҍڶbՖᇏॖၛ֤֞ᆟکሧႿڄགሧӁ֥ҍڶູpig=[exp{ρ(T−t)}−1][exp{β(T−t)}−1]δσφδ(σσδ−ρσβδ+σφ)ՎൈႋႨڄགሧӁ֥ԛౢ่ࡱ(8)pia+pig=Stđૌ֤֞Stσ=[exp{ρ(T−t)}−1]δσδρᆣૼປиĆ17
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