序数偏好下多属性群决策的最小偏差法
摘要：对给出方案优先序的多属性群决策问题，考虑每个属性下各决策的权重，提出一种
最小偏差法：以群体偏好与各个体偏好之间的加权偏差最小为目标建立非线性整数规划模型，
并将其转化为指派问题求得方案在每个属性下的群体排序；以方案在每个属性下的排序与其
综合排序的加权偏差最小为目标，解得方案的最终群体综合排序结果。该方法将ＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄ
函数扩展到多属性及考虑权重的情形，避免了排序结果的非唯一性。最后，以供应商选择算例
说明其应用。
关键词：多属性群决策；序数偏好；最小偏差法；ＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄ社会选择函数；供应商选择
中图分类号：Ｃ９３４；Ｎ９４５．２５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２８８４Ｘ（２０１０）０５０７８１０４
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┌┉┇┃━┇┇┃┈
ＬＩＷｕ ＣＨＥＮＹａｎ ＧＵＯＧｕａｎｇｑｉ
（ＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙｕｅｙａｎｇ，Ｈｕｎａｎ，Ｃｈｉｎａ）
﹢┈┉┇┉：Ａ ｍｉｎｉｍｕｍ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｍｕｌｔｉａｔｔｒｉｂｕｔｅｇｒｏｕｐｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ
ｐｒｏｂｌｅｍｗｉｔｈｏｒｄｉｎａｌｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｏｆａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓｇｉｖｅｎｂｙｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｅｒｓａｎｄｗｅｉｇｈｔｓｏｆｔｈｅｍｗｉｔｈｒｅ
ｓｐｅｃｔｔｏｅａｃｈａｔｔｒｉｂｕｔｅ．Ａｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｎｔｅｇｅｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｍｏｄｅｌｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅｗｅｉｇｈｔｅｄｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ
ｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｇｒｏｕｐ＇ｓｏｒｄｉｎａｌｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓａｎｄａｌｌｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｏｎｅｓｏｆｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓｕｎｄｅｒｅａｃｈａｔｔｒｉｂｕｔｅ
ｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄａｎｄｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｔｏａｎａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｇｒｏｕｐ＇ｓｒａｎｋｉｎｇｓｏｆｔｈｅａｌｔｅｒｎａ
ｔｉｖｅｓｕｎｄｅｒｅａｃｈａｔｔｒｉｂｕｔｅ．Ｔｈｅｆｉｎａｌｉｎｔｅｇｒａｔｅｄｒａｎｋｉｎｇｓｏｆｔｈｅａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｓｉｎｔｈｅｇｒｏｕｐ＇ｓｏｐｉｎｉｏｎａｒｅ
ｄｅｒｉｖｅｄｓｉｍｉｌａｒｌｙ．ＴｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｅｘｔｅｎｄｓｔｈｅＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄｓｏｃｉａｌｓｅｌｅｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｄｅｃｉｓｉｏｎ
ｍａｋｉｎｇｗｉｔｈｍｕｌｔｉａｔｔｒｉｂｕｔｅａｎｄｅｘｐｅｒｔｓ＇ｗｅｉｇｈｔｓ，ａｎｄｃａｎｏｂｔａｉｎｕｎｉｑｕｅｒａｎｋｉｎｇｒｅｓｕｌｔ．Ａｓｕｐｐｌｉｅｒ
ｓｅｌｅｃｔｉｏｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．
┎┌┄┇┈：ｍｕｌｔｉａｔｔｒｉｂｕｔｅｇｒｏｕｐ ｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ；ｏｒｄｉｎａｌｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ；ｍｉｎｉｍｕｍ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ
ｍｅｔｈｏｄ；ＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄｓｏｃｉａｌｓｅｌｅｃｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｕｐｐｌｉｅｒｓｅｌｅｃｔｉｏｎ
收稿日期：２００８１１２５
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０９０４０５９，６０９７５０４９）；国家高技术研究发展计划资助项目（２００９ＡＡ０４Ｚ１０７）；湖
南省教育厅优秀青年资助项目（０８Ｂ０３０）
多属性群决策在社会、经济、管理及工程系
统等领域有着广泛的应用背景，例如投资决策、
项目评估、供应商选择、人员考核和经济评价
等，所以一直是决策分析的一个重要的研究内
容［１～３］。对于决策者给出的基数性评价信息（如
数值型［１～５］、模糊型［６，７］和语言型［８］）的研究成果
比较丰富，序数偏好的讨论相对较少［９］。虽然诸
多学者对给出方案优先序的群决策问题提出了
一些求解方法，如加权Ｂｏｒｄａ数集结法［１０］、加权
偏差平方和最小化方法及基于测度函数的 ０１
规划法［１１］、总体偏差法和足码法相结合的方
法［１２］、兼容度最大法［１３］等，但实际上这些方法都
只是对单属性情形下的个体偏好进行集结，而
未考虑多属性的综合。岳超源［２］和ＬＩ等［９］对具
有序数偏好的多属性群决策提出了Ｂｏｒｄａ法或
ＴＯＰＳＩＳ法与线性分配法相结合的方法，这种
方法对于同一问题最终可能产生多个不同的方
案排序结果。有算例表明，线性分配法具有某种
不合理性［２］，主要原因可能在于按该方法建立
的０１规划模型并不能保证全部方案按优劣排
·１８７·
序。此外，现有多属性群决策方法大多只考虑各
决策的整体权重，而未考虑每个属性下各决策
者的相对重要性。实际上，由于知识、经验及对
决策问题的熟悉程度等因素的影响，对同一属
性，不同的决策者给出的评价具有不同的权威
性和有效性。比如，在供应商选择过程中，质量
管理方面的专家对待选供应商的“产品质量”这
个属性的评价比其他方面的专家评价更有效，
在此属性下，应该赋予其较大的权重，所以，需
要分别考虑每个属性下各专家的权重。另外，一
些社会选择函数能够较好地集结个体偏好为群
体偏好，如ＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄ函数［１，２，１４］，但是它未考
虑决策个体权重；并且由于其用决策群体与个
体对方案的排序位置之差的和来度量排序的不
一致性，对同一问题容易产生多个不同的决策
结果。基于此，本文考虑每个属性下各决策者的
权重，对于只给出序数偏好的情形，根据ＣＯＯＫ
等［１４］的最小偏差思想提出了一种基于最小偏差
的新求解方法。
１ 问题描述
设有爧个决策者爟１，爟２，…，爟爧，根据爫个
准则或属性爛１，爛２，…，爛爫，共同对爩 个备选方
案爳１，爳２，…，爳爩 进行评价和选优，属性爛牕（牕＝
１，２，…，爫）的权重为牥牕，满足∑
爫
牕＝１
牥牕＝１，牥牕＞
０。在爛牕下，爟牓（牓＝１，２，…，爧）的权重为犧牓牕，满足
∑
爧
牓＝１
犧牓牕＝１，犧牓牕＞０。在爛牕下，爟牓对爳牔（牔＝１，２，…，
爩）的排序位置为牜牓牕牔（牜牓牕１，牜牓牕２，…，牜牓牕爩为１，２，…，爩
的一个全排列），组成┢牕（牕＝１，２，…，爫）如下：
┢牕＝
牜１牕１ 牜２牕１ … 牜爧牕１
牜１牕２ 牜２牕２ … 牜爧牕２
…
牜１牕爩 牜２牕爩 … 牜爧牕
熿
燀
燄
燅爩
。
用牜爢牕牔表示爛牕下决策群体对爳牔的排序位置，
牜爢牔表示决策群体对爳牔的最终排序位置。本文探
讨的问题就是求出决策群体对所有备选方案的
最终综合排序结果。
２ 求解方法
决策群体对方案的排序结果应该与所有决
策个体对方案的排序结果的加权偏差达到最
小。同样，方案的综合排序结果应该与其在各属
性下的排序结果的加权偏差达到最小。基于此
思想，先定义方案排序结果偏差。考虑每个属性
下的决策者权重，以方案的群体排序与各个体
排序的加权偏差最小为目标建立优化模型，解
得每个属性下各方案的群体排序；再考虑每个
属性的权重，以方案的综合排序与其在每个属
性下排序的加权偏差最小为目标建立优化模
型，求得方案的最终排序。具体分为以下两大步
骤。
． 求每个属性下各方案的群体排序
根据上述思路，对于属性 爛牕（牕＝１，２，…，
爫），可建立以下优化模型爮１牕：
ｍｉｎ∑
爩
牔＝１
∑
爧
牓＝１
犧牓牕（牜爢牕牔 － 牜牓牕牔）槡 ２； （１）
ｓ．ｔ． 牜爢牕牔 ∈ ｛１，２，…，爩｝，（牔＝ １，２，…，爩）； （２）
牜爢牕牏≠ 牜爢牕牐，｛牏≠ 牐；牏，牐＝ １，２，…，爩｝。 （３）
式（１）中，∑
爩
牔＝１
∑
爧
牓＝１
犧牓牕（牜爢牕牔－ 牜牓牕牔）槡 ２表示属性 爛牕
下决策群体与各决策个体对所有方案的排序结
果的加权总偏差。式（２）和式（３）式表示对决策
群体而言，在属性爛牕下，每个方案必须排在１～
爩的某个位置上，而每个位置上也只能排一个
方案。
上述模型为非线性整数规划，不宜用一般
的非线性规划或整数规划的求解方法进行求
解。但是，约束条件表明其与指派问题具有某种
联系，可将爮１牕转化为如下指派问题爮′１牕：
ｍｉｎ∑
爩
牏＝１
∑
爩
牐＝１
牨牕牏牐 ∑
爧
牓＝１
犧牓牕（牐－ 牜牓牕牏）槡 ２； （４）
ｓ．ｔ． ∑
爩
牐＝１
牨牕牏牐＝ １，（牏＝ １，２，…，爩）； （５）
∑
爩
牏＝１
牨牕牏牐＝ １，（牐＝ １，２，…，爩）； （６）
牨牕牏牐∈ ｛０，１｝，（牏，牐＝ １，２，…，爩｝。 （７）
式（４）中， ∑
爧
牓＝１
犧牓牕（牐－ 牜牓牕牏）槡 ２表示在 爛牕下，群体
将爳牏排在第牐位时，群体对爳牏的排序位置与所
有个体对其排序位置的加权总偏差；式（５）和式
（７）结合起来表示每个方案只能排在一个位置
上；式（６）和式（７）结合起来表示每个位置上只
能排一个方案。其求解结果牨牕牏牐＝１表示在属性
爛牕下，群体将方案爳牏排在第牐位，即牜爢牕牏＝１。
． 确定各方案的群体综合排序结果
与上述思想类似，方案的群体综合排序结
果可通过求解以下优化模型Ｐ２得到：
ｍｉｎ∑
爩
牔＝１
∑
爫
牕＝１
犽牕（牜爢牔 － 牜爢牕牔）槡 ２； （８）
ｓ．ｔ． 牜爢牔 ∈ ｛１，２，…，爩｝，（牔＝ １，２，…，爩）； （９）
牜爢牏≠ 牜爢牐；（牏≠ 牐；牏，牐＝ １，２，…，爩）。 （１０）
类似地，上述非线性整数规划模型Ｐ２可转
·２８７·
管理学报第７卷第５期２０１０年５月
化为以下指派问题Ｐ′２：
ｍｉｎ∑
爩
牏＝１
∑
爩
牐＝１
牨牏牐 ∑
爫
牕＝１
犽牕（牐－ 牜爢牕牏）槡 ２； （１２）
ｓ．ｔ． ∑
爩
牐＝１
牨牏牐＝ １，（牏＝ １，２，…，爩）； （１３）
∑
爩
牏＝１
牨牏牐＝ １，（牐＝ １，２，…，爩）； （１４）
牨牏牐∈ ｛０，１｝，（牏，牐，＝ １，２，…，爩）， （１５）
式（１２）中， ∑
爫
牕＝１
犽牕（牐－ 牜爢牕牏）槡 ２表示群体最终将爳牏
排在第牐位时，群体对爳牏的综合排序位置与其
在每个属性下的排序位置的加权总偏差。其求
解结果牨牏牐＝１表示群体最终将方案爳牏排在第牐
位，即牜爢牏＝牐。
３ 供应商选择算例
供应商选择是一个比较复杂的问题，往往
由经济与技术方面的专家和行政领导组成的委
员会在权衡各种因素后，全面考察潜在的供应
商，再从中做出最优选择，属于典型的多属性群
决策问题［４，９，１５］。假设某次供应商选择过程中，有
爧＝５位评选委员会成员，根据爫＝３个属性：综
合实力、价格和服务水平，对爩＝５个待选供应
商进行评价和选择，相应权重数据见表１。
表 属性权重及每个属性下各专家的权重
牕 牥牕 犧１牕 犧２牕 犧３牕 犧４牕 犧５牕
１ ０．３ ０．２８ ０．１８ ０．１８ ０．１８ ０．１８
２ ０．３ ０．２ ０．２ ０．２ ０．２ ０．２
３ ０．４ ０．１８ ０．２８ ０．１８ ０．１８ ０．１８
每个属性下各成员给出的供应商排序矩阵
如下：
┢１＝
５ ３ ３ ４ ４
２ ２ １ ２ １
３ ５ ５ ５ ５
４ ４ ４ ３ ３
熿
燀
燄
燅１ １ ２ １ ２
，┢２＝
３ ４ ４ １ ４
１ ２ １ ３ ２
４ ３ ３ ４ ５
５ ５ ５ ２ ３
熿
燀
燄
燅２ １ ２ ５ １
，
┢３＝
３ ４ ４ ３ ４
２ １ ２ １ １
４ ５ ５ ５ ５
５ ２ １ ４ ２
熿
燀
燄
燅１ ３ ３ ２ ３
。
用前述方法求解供应商评选委员会对５个
待选供应商的最终优劣排序结果，步骤如下：
． 求每个属性下各方案的群体排序
记 牆牕牏牐＝ ∑
５
牓＝１
犧牓牕（牐－ 牜牓牕牏）槡 ２，（牕＝ １，２，３；
牏，牐＝１，２，…，５），将其作为└牕（牕＝１，２，３）的第牏
行第牐列元素，构成矩阵：
└１＝
３．０２７ ２．０７８ １．２１７ ０．８００ １．３４２
０．８００ ０．６００ １．４４２ ２．４０８ ３．３９４
３．５５５ ２．６００ １．６９７ １．０００ １．０５８
２．６８３ １．７０９ ０．８００ ０．６００ １．４４２
熿
燀
燄
燅０．６００ ０．８００ １．７０９ ２．６８３ ３．６７２
，
└２＝
２．４９０ １．６７３ １．１８３ １．４１４ ２．１４５
１．０９５ ０．７７５ １．４１４ ２．３２４ ３．２８６
２．８９８ １．９４９ １．０９５ ０．７７５ １．４１４
３．２５６ ２．３６６ １．６１２ １．２６５ １．６１２
熿
燀
燄
燅１．８９７ １．４８３ １．６７３ ２．３３４ ３．１６２
，
└３＝
２．６８３ １．７００ ０．８００ ０．６００ １．４４２
０．６００ ０．８００ １．７０９ ２．６８３ ３．６７２
３．８３９ ２．８４６ １．８６０ ０．９０６ ０．４２４
２．２２７ １．５８７ １．４４２ １．９０８ ２．６８３
熿
燀
燄
燅１．６５５ ０．９０６ ０．９４９ １．７２６ ２．６５７
。
将└１、└２和└３中的元素分别代入指派问题Ｐ′１１、
Ｐ′１２和Ｐ′１３，用匈牙利法［１６］解得牨１１４＝牨１２２＝牨１３５＝
牨１４３＝牨１５１＝１；牨２１３＝牨２２１＝１，牨２３４＝牨２４５＝牨２５２＝１；
牨３１４＝牨３２１＝牨３３５＝１，牨３４３＝牨３５２＝１。因此有：
牜爢１１＝ ４，牜爢１２＝ ２，牜爢１３＝ ５，牜爢１４＝ ３，牜爢１５＝ １；
牜爢２１＝ ３，牜爢２２＝ １，牜爢２３＝ ４，牜爢２４＝ ５，牜爢２５＝ ２；
牜爢３１＝ ４，牜爢３２＝ １，牜爢３３＝ ５，牜爢３４＝ ３，牜爢３５＝ ２。
． 确定各方案的群体综合排序结果
记 牆牏牐＝ ∑
３
牕＝１
犽牕（牐－ 牜爢牕牏）槡 ２，（牏，牐＝１，２，…，
５），将其作为第牏行第牐列元素，构成矩阵
└＝
２．７３９ １．７６１ ０．８３７ ０．５４８ １．７３８
０．５４８ ０．８３７ １．７６１ ２．７３９ ３．７２８
３．７２８ ２．７４０ １．７６１ ０．８３７ ０．５４８
２．７５７ １．８４４ １．０９５ １．０００ １．６７３
熿
燀
燄
燅０．８３７ ０．５４８ １．３７８ ２．３４５ ３．３３２
。
代入指派问题 Ｐ′２，同样用匈牙利法解得
牨１４＝牨２１＝牨３５＝牨４３＝牨５２＝１，即牜爢１＝４，牜爢２＝１，牜爢３＝
５，牜爢４＝３，牜爢５＝２。所以，各方案的群体综合排序结
果为爳２＞爳５＞爳４＞爳１＞爳３。即如果选择一家供应
商，应选爳２；若选择２家供应商，应选爳２和爳５，以
此类推。
４ 结论
本文对于给出每个属性下各决策者的权重
及其对方案的偏好序数的多属性群决策问题，
提出了一种基于最小偏差的新的求解方法。分
别以每个属性下各决策者与决策群体对方案的
排序结果的加权偏差最小化，以及群体对方案
在每个属性下的排序结果与综合排序结果的加
权偏差最小化为目标，建立非线性整数规划模
型；将其转化为指派问题后可以有效地求得决
·３８７·
序数偏好下多属性群决策的最小偏差法——李 武 陈 妍 郭观七
策群体对方案的排序结果；这样在客观上将
ＣｏｏｋＳｅｉｆｏｒｄ函数扩展到多属性群决策情形。
由于考虑了专家权重与属性权重，且度量偏差
的方法不同，本文提出的方法可以较好地避免
可能产生多个排序结果的现象，当权重数据相
差较大时更是如此。另外，与已有方法不同，本
文考虑每个属性下的专家权重，更符合实际。
不过，问题规模较大时，用匈牙利法求解上
述指派问题比较麻烦，可以用Ｌｉｎｇｏ软件等求
解；也可以对上述非线性整数规划模型寻求其
他方法求解。当然，复杂决策问题可能同时存在
基数评价信息与序数偏好，如何将本方法进行
扩展并应用于这类问题也是值得深入探讨的。
参 考 文 献
［１］ＨＷＡＮＧＣＬ，ＬＩＮＭ Ｊ．ＧｒｏｕｐＤｅｃｉｓｉｏｎＭａｋｉｎｇＵｎ
ｄｅｒＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｃｒｉｔｅｒｉａ：Ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：ＳｐｒｉｎｇｅｒＶｅｒｌａｇ，１９８７．
［２］岳超源．决策理论与方法［Ｍ］．北京：科学出版社，
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［３］刘作仪．决策科学与经济学的关系研究［Ｊ］．管理学
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ＦｕｚｚｙＭｕｌｔｉｐｌｅｃｒｉｔｅｒｉａＧｒｏｕｐＤｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇ［Ｊ］．
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５３（１１）：１７６２～１７７２．
［７］ＬＩＮＹＨ，ＬＥＥＰＣ，ＣＨＡＮＧ Ｔ Ｐ，ｅｔａｌ．Ｍｕｌｔｉａｔ
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ＣｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆＵｎｃｅｒｔａｉｎＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ
ｉｎＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，２００８，１７（６）：７９２～７９７．
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ＬｉｎｇｕｉｓｔｉｃＡｓｓｅｓｓｍｅｎｔＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ
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［９］ＬＩＷｕ，ＣＨＥＮＹｏｎｇｇａｎｇ，ＦＵＹｉｎｇｚｉ．Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆ
ＴＯＰＳＩＳａｎｄ０－１ＰｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｆｏｒＳｕｐｐｌｉｅｒＳｅｌｅｃ
ｔｉｏｎｉｎＳｕｐｐｌｙＣｈａｉｎＭａｎａｇｅｍｅｎｔ［Ｃ］燉燉Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ
ｏｆ２００８ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＮｅｔｗｏｒｋ
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（编辑 黎仁惠）
通讯作者：李武（１９７７～），男，湖南平江人。湖南理工学院
（湖南省岳阳市 ４１４００６）信息与通信工程学院讲师，博
士。研究方向为决策分析、供应链管理。Ｅｍａｉｌ：ｌｉｗｕ０８１７
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ｃｏｍ
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（编辑 王有登）
通讯作者：詹原瑞（１９４４～），女，江西婺源人。天津大学
（天津市 ３０００７２）管理学院教授、博士研究生导师。研究
方向为金融风险管理。Ｅｍａｉｌ：ｙｒｚｈａｎｔ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ
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管理学报第７卷第５期２０１０年５月
