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基于等额本金按揭贷款的脉冲增加还款模型
前永梅
(三 明 职 业 技 术 学 院 人 文 社 会 科 学 系 ，福 建 三 明 3 6 5〇00)
[ 摘 要 ] 为指导人们合理制定按揭贷款计划，利用一阶线性差分方程建立了基于等额本金按揭贷款的每隔
半年还款一次的数学模型，并通过应用实例说明其在经济生活中的应用。
[关键词 ]按揭贷款；等额本金还款模型；脉冲增加还款模型；数学模型
[中图分类号] ; [文献标识码]A [文章编号]1671-4326(2〇16)〇2-〇〇55_〇5
Analysis Based on Pulse Increased Repayment Model of
Average Capital Mortgage Loan
RU Yongmei
(Department o f Humanities and Social Science, Sanming Vocational Technical College, Sanming, 365000, China)
Abstract: In order to help people to make rational mortgage loan plan, first order linear difference equation is
applied to forming the mathematics model based on average capital mortgage loan to make the repayment once every
half a year. Cases will be analyzed to clarify how to employ it in economic life.
Key words: Mortgage loan; Repayment model of average capital; Pulse increased repayment model; Math
ematics model
第 16卷 第 2期 温 州 职 业 技 术 学 院 学 报
2016 年 6 月___________Jou rn a l of Wenzhou Vocat ional & Techn ica l Col
i 问题的提出
近年来，随苕我国阁业住齿产业化制度的推进、
按揭政策的放宽及居民收入水平的提高，商业住房日
益成为我r a e 民新的消费热点。房改政策、城镇化趋
势和居民财富增加后，对住房需求的提升推动/居民
购房需求的增长。居民购房前，只有根据自己的收入
埋怍地确定贷款额，了解贷款后每期的欠款额、剩下
期数、总期数、每期的还款额和总还款额，及时调整
投资策略，才不会在购房中盲u 贷款或造成过大压力。
h 前，银行按揭贷款已成-力人们普遍采用的一种购房
方式。叶i t 孝依据中国人民银行的规定建立了等额本
息、等额本金、等木等息等额二种按揭贷款模铟111。钱
晓莉建立了每隔6 个月每片增加（或减少）还款K 元
的数7 模型[21。文献丨11和义献丨21为人们在购房时如何
珅.性选抒适合自己的贷款方式提供f 一定的指导。
由于商收贷款的利率一般耍比住房公积金贷款的
利率高，居民在购房时一般首选公积金按揭贷款。商
业贷款中，职丄每半年可将积攒下来的余款用于偿还
各种贷款。公积金按揭贷款中，职工毎半年提取一次
住房公积金用于还贷，这种还款方戌称为脉冲增加还
款方式^11。卫积建建立了基于等额本息按揭贷款的脉
冲增加还款摸型，佴没有考虑等额本金的情况[41。实际
生活中，居民购房时存在以等额本金为基础进行按揭
贷款的情况。本文对文献[4]的模型加以改进，利用文
献丨5】中的差分方程法建立以等额本金按揭贷款为基础
的脉冲增加还款模取，完善脉冲增加还款模取的体系，
使其更好地服务于K 民购房贷款还款的实际需求。
2 符号说明与模型假设
2 . 1 符号说明
A。为贷款额（元)，r 为利率，iV为原U•划还款期
数，》为还款月数， 衣示第《个月后的欠款额（ 《 e
Z，1 < « < # ，元)，H 为每月还款额（元)， 为每月
[收稿日期 ] 2016-01-06
[作者简介 ]茹 永 梅 U 979 — ），女，陕西17鸣人，=_明职业技水学院人义fl:会科学系讲师，硕 I:.
56 温 州 职 业 技 术 学 院 学 报 2016年 6 月
利息（元)，〃为每隔6 个月一次性增加的还款额（元)，
A 6,,,+ P为第m 次脉冲增加还贷后的第P 个月还款后自勺欠
款额（m=0,1,2,3,••'M w G Z ,0</7<5,元)，I 为由于
第m 次增加还贷后剩下的欠款额需要还清的期数（表
示％,的过剩近似值，[A〖M]G Z ), %_为总期数，//为总
还款额（元），L 为总利息（元）。
2 . 2 模型假设
为简化问题并建立适合一定条件下的脉冲还款模
型，提出以下模型假设：
(1 ) 银行利率在居民贷款期内不受国家政策、通
货膨胀、经济危机等因素的影响，始终保持不变；
(2 ) 居民按月计算利率和贷款期限；
(3 ) 居民在每月最后一天还款；
( 4 )货币价值在居民贷款期限内不升值、不贬值；
(5 ) 每半年的一次性增加还款时间发生在该半年
的最后一天；
⑷ 时 ，A6〃,=〇; 当
A6M+P+1=0。
3 模型的建立与求解
3 . 1 等额本金还款模型
已知居民购房时的本金为A。，根据银行计利方式
可建立等额本金还款模型为：
贷款额为
A ^ A ^ i l + r y H ^ n= U2 , - , N
AAr=0
( 1 )
按照这种方法得到的该居民第〃个月后的欠款
额为:
( 2 )
( 6 )
月利率r 为：
N H - A,
d 0(7V-w + l)
总还款额为：
N
H = Y ,H n = A c -(7V+1)+ 1
(7)
( 8 )
第^个月的利息为:
L^ = A^ = A i 1- ^ }
总利息为：
L =T ,Ln
rA0(N + l)
(9)
(10)
等额本金-脉冲增加还款模型
根据模型假设及3 . 1 给出的等额本金还款模型可
建立等额本金- 脉冲增加还款模型为：
足 = 足
-^n= -^n-
-令，H n = A n， + 令 ， l < n <5
香+。)，見 =人-/ +令 +。， -6m
為已知，4
77-1 H n= A n-\r + ^ ^ 6m + \ < n < 6 m + 5
(11
：0
第^个月的还款额为:
6M+Nm ~
e Z , l ^ n ^ N
= 1，2，...，M,且满足n = 6m + p,;? e {〇,l,2,3,4,5}
3 . 2 . 1欠款额。由于增加还款是在有余款的基础上提
前还贷，因而规定每月固定偿还的本金部分不变，仍
0^
[(A^ +1)r+1] (3) 然是
0^
N
于是推导出A„的表达式为：
每月还款额是递减的，递减额为:
'N
总期数为：
斤 少 1)卜1儿
A r ~ Hn
(4)
(5)
A^ ^ = A J l - 6m + P \-ma,芦=0，1，2,3,4,5
N
為已知
A6M+Mm=0
( 1 2 )
i e Z ,0 < n < N
” = 0，1，2，".，M，且满足w = 6m + />，/> e {〇，1，2,3,4,5}
当 ^= 0 时，（12 )式就成为（2 )式，所以等额本
第 16卷 第 2 期 茹永梅：基于等额本金按揭贷款的脉冲增加还款模型 57
金还款模型可看作等额本金-脉冲增加还款模型的特
殊情况。
3. 2 . 2剩余期数和总期数。由于脉冲增加还款要改变
总期数所以每脉冲增加还款一次就改变一次总期
数。于是由（5)式得，当46,,,_1^ +^时，46, > 6,,,_1-
香一^ < 0 , #,"=0。当 时，A6,"=A6,"_r 香一心
当WM= 0时，脉冲次数为：
N a + 6 A Q
贷款额。贷款额为：
A _ M N a
N - 6 M - N m
(17)
(18)
〇,则
N m = a j p ^〇) (i s )
付 6m +p
其中1 为非负有理数，并规定当m=0时，
总期数为：
其中M 依赖于A。。如果A。未知，那么M 就无法求
出，因而就无法求出。
采用迭代思想设计一个近似算法，步骤如下：
(1) 给定W 取^=1,给定仄，由（6)式可得不
脉冲情况下的贷款额
( 2 ) 给定… 由 （1 7 )式可得脉冲情况下的M;
Nsum^ 6 M + [NM^ 6 M ^ (p -\) r -\
人Mr — H 6M+p
(14)
3 . 2 . 3脉冲増加还款额和脉冲次数。将A6M+WM=0代入
(1 2 ) 式得，每半年的增加还款额为：
A0 f l 6M + Nm )
a H n J
脉冲次数为：
M = A (N ~ Nm)
N a + 6A 0
(15)
(16)
( 3 )若 = 2々为贷款年限)，贝IJ输出A〇;否
则，转到步骤（1 ),取H
在步骤（1 ) 中，如果想多贷款，那么#的值就取
大一些；反之则取小一些。而//，令(协+ 1),且H 是
递减的，如果第1 个月的还款额能够承受，那么以后
的值就取大一些；反之则取小一些。
还款额和总还款额。如果第〃期不是最后一
期，则第〃期的还款额为：
N
A
、 N
— 6所 +1 jr + lj —(所一1)^2厂 + Tn — 1 , 2 , = 0
^(N - 6m - p -\-V )r m = = 1,2,3,4,5
(19)
规定当m=〇, p=〇时，尺。=0。
如果第〃期是最后一期，则第〃期的还款额分类
讨论如下：
( 1 ) 当 时 ，由于〜 ^ - ^ +个
('M-Z + f + ^ O),贝1J
( 2 0 )
(2 ) 当 ^-^务 ^时，A6M>〇。如果0<A6M《香，
则
H =H6M+l=A 6Md + r) (21)
(3 ) 当 ^-^杳 +^时，如果杳〈^ 《香+^贝 1J
存在P E {2,3,4,5},使得A 6M+p= 0 ,否则//6(M+1> =
A6M+5( 1 + r)，也就是第(M+1)次成为最后一次脉冲还款，
这与第M 次是最后一次脉冲还款相矛盾。所以
Hn=HeM+P=A eM+P- ^ ) (22)
正常月比脉冲月的递减额为：
H 6m ~ H 6m+\ = + ^ + a (23)
正常月的递减额为：
H 6m+p_x - H 6m+p = (24 )
总还款额分类讨论如下：
〇 ) 时，总还款额为：
M-1 5
H = Y L H 6m+p + A6M_,{\ + r) (25)
58 温 州 职 业 技 术 学 院 学 报 2016年 6 月
(2 ) 当A6M丨>#+<2且0<A6M < ^ 时，总还款额为：
^ - 1 5 A
好= ；S 2 > 6_ +⑷ M-/ +彳+ 4 +人 M(l + r) (26)
m-0 p-Q I、
(3 ) 时，总还款额为：
好= Z Z !^6m+P+ (^ 6M-ir+f + a)+ (^6Mr+^ ) +…+
(^6M+P-2r + ^ ) +^6M+P-l(1 + r) (27 )
利息和总利息。如果第〃期不是最后一期，贝IJ
第^期的利息为：
I N
{ N - 6 m + \)-{m - 1) a r, m = \，2,…，M ， p = Q
( N - 6m - p + 1)- m a r, m = = 1,2,3,4,5
(28)
规定：当肌=〇, p=〇时，[。=〇。
如果第〃期是最后一期，则第〃期的利息分类讨
论如下：
规定：当肌=〇时，％=厂。
应用实例
( 1 ) 当 时 ，则
L n= L 6 M = A 6 M - i r ( 29 )
(2 ) + 且0〈'財 ‘^时 ，贝U
L n= L 6 M + l= A 6 M r (3〇 )
(3 ) 且 # + U 时，贝1J
L n= L 6M +p = A 6 M + p - i r ( 3 1 )
总利息分类讨论如下：
王积建以“某对夫妇计划公积金贷款3 0 万元，月
利率为 225,月还款能力为2 000元，10年还清，
每半年可提取公积金15 50 0 元还款”为例，研究并得
到一些结论w 。本文根据所建模型，在文献[4]已有结
论的基础上，继续研究以下问题：
(1 ) 如果不提取公积金还款，第7 个月的还款额
和第7 个月的利息各多少元？
(2 ) 如果提取公积金还款，第7 个月的还款额和
第7 个月的利息各多少元？
(3 )如果提取公积金还款，那么总还款期数是多
少？
( 1 ) 当A6M1< i +<2时，总利息为：
M-X 5
L = Y Z ^ 6m+p + 6^M-Ir (32)
m=0 p=0
(2 ) 且0 时，总利息为：
M - \ 5
l = Y L l 6m+p + ^ 6M-Ir +A 6Mr (33)
m=0 p=0
( 3 ) 当 ^-^香 +^，且 ^>香时，总利息为：
Z 二 X ^ Z6 _ + 6^M-ir+^6Mr + ... + ^6M+P-2r +
m=0 p=0
^ - 6 M + P - \ r ( 3 4 )
3 . 2 . 7当期利率。如果在整个贷款期6M+「7Vm1内月
利率有变动，那么由（7 ) 式得第m 次脉冲增加还款
后的周期内所对应的月利率为：
N mH p - A 6m
H p + 1)
(35)
(4 ) 提取公积金还款比不提取公积金还款减少利
息支出多少元？
(5 ) 如果要求4 年还清，那么每半年增加还款额必
须提高至多少元？
(6 )如果他们想尽可能多贷一些款，于是将每月
积攒的2 000元和公积金15 500元一起全部用于还贷，
5 年内还清，那么能够贷款多少元？
解 （1 ) 此时，益。=300 000，r= 225, ^=0,
#= 120。当m= l , /7=1时，代入（19)式的第2个公式
得第7个月还款额为H7=3 元。代入（28)式的
第2个公式得第7个月利息为L7=919 . 13元。
(2 ) 在 （1)的基础上，^ =15 500,代入（19)式
的第2个公式得第7个月还款额为H7=3 369. 14元。代
入（28 ) 式的第2个公式得第7个月利息为L7=869 . 14
元。这样比（原来不脉冲还款情况下）919. 13元减少
利息元。
(3 )确定 m, 使得 A6,〃+^0,且 A^ + ^ X )。
根据（12)式，通过尝试，当m=10, /7 = 0时，A6_ =
-5 000 <0,而当 m=9,/7=5 时，A6,"+p=13 000>0,所以
在第6 0 个月可全部还清贷款，即只需要5 年即可还清
贷款。
第 16卷 第 2 期 茹永梅：基于等额本金按揭贷款的脉冲增加还款模型 59
( 4 ) 在不提取公积金还款的情况下，由 （10)式
可知，总利息为58 5 3 5元；在提取公积金还款的情
况下，由（32)式可知，总利息为30 元。这样
可减少利息支出28 251元。
(5) M=8, WM=0,由（15)式得^=22 500,即每半
年増加还款额必须提高至22 5 0 0 元。也就是说，他们
除了提取15 500元公积金外，还需要额外拿出7 000元
用于还贷。
( 6 ) 采用A。的迭代算法。取w=l ，给定//,;=5 〇00,
给定^=15 500+2 000x6=27 500,通过迭代，当 A M39
时，得'=479 , M=<2x5。所以大约可贷
款4 8万元，比原来多贷款18万元。
5 结束语
等额本金-脉冲增加还款模型可帮助居民根据自
己的收入合理确定贷款额，并了解贷款后每期的欠款
额、剩下期数、每期还款额、脉冲增加还款额等，为居
民及时调整还贷方式提供依据，也使得银行贷款的透
明度得以提升，从而实现银行与居民购房贷款的双赢。
[ 参 考 文 献 ]
[ 1 ] 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（五）[M].长沙：湖南教育出版社，2 0 0 8 : 5 2 - 5 9 .
[ 2 ] 钱晓莉.按揭贷款模型的研究[J].数学的实践与认识，2002, 32 (5): 733-737.
[3] 2016 最新住房公积金管理条例全文[EB/0L] • (2015-U-20) [2015-12-20] . .html.
[ 4 ] 王积建.基于等额本息按揭贷款的脉冲增加还款模型[J].数学的实践与认识，201 1, 41 (3) :67-7 1.
[ 5 ] 韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：卨等教育出版社，2 0 0 5:55-68.
[责任编辑：王积建]
本刊中文校审陈增杰编审出版《增订本李孝光集校注》
1 350年)，温州乐清人，
为元代中后期重要文学家，在诗词文创作上取得卓越
成就。与杨维祯齐名，并称“李杨”。传见《元史》《两
浙名贤录》《雍正浙江通志》等。
陈增杰编审擅长古汉语训诂和古籍整理研究，功
力深厚。2 0 0 1 年担任《温州文献丛书》副主编，并承
担李孝光文集的校理工作。2 0 0 5 年由上海社会科学院
出版社出版《李孝光集校注》（编为15卷)，相继发表
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孝光交游考》《李孝光集校注补遗》《李孝光考论二题》
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集》。本书是在前述探索研究的基础上进行的，十分全
面和深入，是著者长时间致力于李孝光作品的搜辑、
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本书厘为18卷，收录李孝光诗836首、词27首、
文42首，较今纂《全元诗》多146首、《全金元词》多
5 首、《全元文》多2 0 首。注释详赡，考订缜密，采取
广博，评解多有精见。书后附录《李孝光研究资料汇
编》编为六个专题，内容丰富，足资读者参证。
坩
||本
李孝光集校注
