投资学 第八讲
因子模型和套利定价理论
组合选择理论的一个缺陷
马科维茨的Portfolio Selection理论
说明了如何在给定风险水平下获得最大的
资产组合收益。但是在有效边界的确立上，
需要做大量的变量估计，对计算能力的要
求非常高。
假定分析人员需要分析n种股票，则按照均值
－方差模型的要求需要估计：
– nn个期望收益个期望收益
– nn个方差个方差
– (n(n22-n)/2-n)/2个协方差个协方差
– 若若nn＝＝5050，总共为，总共为13251325个个
若若nn＝＝100100，总共为，总共为 51505150个个
若若nn＝＝30003000，总共要估计超过，总共要估计超过450450万个变量万个变量
因子模型 （Factor
model）
定义：因子模型是假设资产的收益是由
某个收益生成过程所决定的（而不是根
据Markowitz方法），而这个生成过程
则可以通过某个收益率统计公式线性地
表述出来。
依据因子的数量，可以分为单因子模型
和多因子模型。
单因子模型
若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观
经济指数。经济指数。
– 假设假设：：
– （（11））证券的回报率主要取决于该指数的变化；证券的回报率主要取决于该指数的变化；
– （（22）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险）除此以外的因素是公司特有风险：残余风险
– 例如，例如，GDPGDP增长率是影响证券回报率的主要因素增长率是影响证券回报率的主要因素。。
因子模型回归
年份年份 IIGDPtGDPt（（%%）） 股票股票AA收益率（收益率（%%））
11
22
33
44
55
66
4%
图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示
股票A的回报率。图上的每一点表示：在
给定的年份，股票A的回报率与GDP增长
率。
通过线性回归，我们得到一条符合这些点
的直线为
通过分析上面这个例子，可归纳出通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的单因子模型的
一般形式一般形式：对时间：对时间tt 的任何证券的任何证券ii 有时间序列有时间序列
其中：
– rritit在时期在时期 t t 证券证券 i i 的回报的回报
– aaii零因子零因子
– fftt是是t t 时期公共因子的取值时期公共因子的取值
– bbii证证券券ii对对公公共共因因子子ff的的敏敏感感度度(sensitivity),(sensitivity),或或因因
子载荷（子载荷（factor loadingfactor loading））
– eeitit在时期在时期tt证券证券ii的特有回报的特有回报
（）
如果只考虑在某个特定的时间的因子模型，
可以省掉角标t，从而（）式变为
并且假设
（）
假设(1)：因子f具体取什么值对e没有影响，
即因子f与e是独立的，这样保证了因子f是
回报率的惟一因素。
假设(2)：一种证券的e对其余任何证券的e
没有影响，两种证券之所以相关，仅是由于
它们具有共同因子f所致。
如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，
应该考虑增加因子或者其他措施。
对于证券对于证券ii，，由（由（）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为
其回报率的方差其回报率的方差
因子风险
非因子风险
对于证券i和j而言，它们之间的协方差为
（）
用因子模型简化组合选择过程
单因子模型：单因子模型：nn个期望收益，个期望收益，nn个个bbii，，nn个个
残差残差 ，一个因子，一个因子ff方差方差 ，共，共3n3n＋＋11
个估计值个估计值
若若nn＝＝5050，之前，之前13251325个，现在个，现在151151
若若nn＝＝100100，之前，之前 51505150个，现在个，现在301301
若若nn＝＝30003000，之前，之前450450万万＋＋ ，现在，现在90019001
一个特殊的因子模型
证券收益可以用预期到的收益和未预期到
的收益两个部分来解释，构成了
未预期到的因子变化包含已知信息的预期回报
f是证券i的因子变化，它是不可预测的。
若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时
刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法
预测t时刻的因子，即对于因子的变化没有
任何倾向——公平赌局（Fair game）
价格（收益）的不可预测，本质上是信息
的不可预测。
单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将
资产收益简单地认为仅与一个因子相关。
因而难以把握公司对不同的宏观经济因素
的反应。
– 例：公用事业公司与航空公司，前者对例：公用事业公司与航空公司，前者对GDPGDP不不
敏感，后者对利率不敏感。敏感，后者对利率不敏感。
多因子模型
双因素、三因素与五因素模型
双因素模型：双因素模型：
经济周期经济周期[GDP][GDP]和利率和利率[IR][IR]是两个最重要的系统因素是两个最重要的系统因素. .
三因素模型：三因素模型： Fama and FrenchFama and French
除市场收益外除市场收益外,,考察了公司规模大小考察了公司规模大小[SIZE][SIZE]、托宾、托宾QQ
值比值比[HML][HML]这两个因素这两个因素..
五因素模型：五因素模型：
把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比把宏观经济因素分解为：行业生产变动百分比[IP] [IP]
、预期通胀变动百分比、预期通胀变动百分比[EI][EI]、非预期通胀变动百分、非预期通胀变动百分
比比[UI] [UI] 、长期公司债券对长期政府债券的超额收益、长期公司债券对长期政府债券的超额收益
[CG][CG]、长期政府债券对短期国库券的超额收益、长期政府债券对短期国库券的超额收益[GB].[GB].
两因子模型
若只考虑一期的模型，则可以省略表示时
间的下标，从而两因子模型方程为
在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券ii ，其收益率的均值，其收益率的均值
其收益率的方差其收益率的方差
对于证券i和j，其协方差为
证券i对因子1的敏感度
多因子模型
对于n种证券相关的m（m<n)个因子，证券i的
收益可以表示为
CAPM：市场均衡条件下的最
优投资组合理论
APT：无套利均衡下因子模型
套利定价理论（APT）
套利（Arbitrage）是利用证券定价之间的不
一致，同时持有一种或者多种资产的多头
或空头，从而在不承担风险的情况下锁定
一个正收益。
三要点：
-零投入
-无风险
-正收益.
套利机会
套利机会-如果可以持有自融资的投资组合并
获得确定的正收益
arises if an investor can construct a zero
investment portfolio with a sure profit.
如果市场是有效的,套利机会将立即消失.
因为任何投资者,不考虑风险厌恶与财富状况,
均愿意尽可能多地拥有套利组合的头寸,大量
头寸的存在将导致价格上涨或下跌直至套利
机会完全消除.
两种套利方法：
– 当当前前时时刻刻净净支支出出为为00，，将将来来获获得得正正收收入入（（收收
入净现值为正）入净现值为正）
– 当当前前时时刻刻一一系系列列能能带带来来正正收收入入的的投投资资，，将将
来的净支出为零（支出的净现值为来的净支出为零（支出的净现值为00）。）。
假设现在6个月即期年利率为10%（连续复
利，下同），1年期的即期利率是12%。如
果有人把今后6个月到1年期的远期利率定
为11%，则有套利机会。
套利过程是：
1.交易者按交易者按10%10%的利率借入一笔的利率借入一笔66个月资金（假个月资金（假
设设10001000万元）万元）
2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定
该交易者可以按该交易者可以按11%11%的价格的价格66个月后从市场借个月后从市场借
入资金入资金10511051万元（等于万元（等于××）。）。
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金
额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万
元（等于×1），并用1110万元
（等于×）偿还半年期的债
务后，交易者净赚17万元（1127万元-
1110万元）。
这是哪一种套利？
套利不仅仅局限于同一种资产（组合），
对于整个资本市场，还应该包括那些“相
似”资产（组合）构成的近似套利机会。
无套利原则（Non-arbitrage principle)：
根据一价定律，两种具有相同风险的资产
（组合）不能以不同的期望收益率出售。
APT的基本假设
1、市场是充分竞争的、无摩擦的
（Perfectly competitive and
frictionless capital markets）；
2、投资者是非满足的：只要有套利机会
就会不断套利，直到无利可图为止。
－－ 不必对投资者风险偏好作假设不必对投资者风险偏好作假设
3、资产的回报可以用因子模型表示。
APT的基本原理：由无套利原则，在因子
模型下，具有相同因子敏感性（b）的资产
（或组合）应提供相同的期望收益率。
构建套利组合
Arbitrage portfolio
1、零投资：套利组合中购买证券的资金由卖
出别的证券来提供，即自融资（Self-
financing）。
2、无风险：在因子模型条件下，因子波动导
致风险，因此，无风险就是套利组合对任
何因子的敏感度为0。
3、正收益：套利组合的期望收益大于零。
用数学表示就是
Well Diversified Portfolio
Recall the return on a portfolio
remains can approach 0 with diversification
Risk associated with f is systematic or non-diversifiable
Risk associated with the ei’s is diversifiable.
We say that a portfolio is well diversified if
The Effect of Diversification
Assume (. all errors have the same var)
Let
The error is reduced by a factor of n.
As
Let’s take a look at the error term
套利定价模型
假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风
险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资
产，这样构造一个自融资组合。
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
根据条件（2），
一般形式的证明见附录
APT的意义
若bi＝0，则上式退化为无风险资产，则意味着
若bi≠0，则期望回报 随着 的增加而增大
风险因子载荷
APT的意义
若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套
利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而
使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价
线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只
要证券偏离APT定价线就会有套利机会。
APT定价线
APT的另一种表达
则称该组合p为纯因子组合(类似于CAPM的市场组合)
在两因子模型下，我们有
即
第1因子的风险价格 第2因子的风险价格
这样可将APT的表达式可以改写为
APT与CAPM的比较
APT与CAPM的一致性
若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组
合，则当APT与CAPM均成立时有
1、CAPM是一种理论上非常完美的模型，
但假设条件太多、太严格。其中关键的
假设是同质性假设和一般均衡。
APT假设少得多。基本假设是：个体是
非满足，不需要风险规避的假设！
– 只要一个人套利，市场就会出现均衡只要一个人套利，市场就会出现均衡
CAPM与APT的区别
2、在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位
（若无此，则其理论瓦解）。
APT并不要求组合一定是市场组合，可以
是任何风险分散良好的组合：纯因子组合
3、若纯因子组合不是市场组合，则APT与
CAPM不一定一致，CAPM仅仅是APT的特
例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，
CAPM与APT等价。
CAPM与APT的区别
注意二者并
不一致
由于市场组合在实际中不是总能得到，因此，
在实际应用中，只要投资基金等组合，即可满
足APT。所以APT的适用性更强！
4、APT的推导以无套利均衡为核心，CAPM则
以一般均衡 General Equlibrium 核心。
5、 CAPM属于单一时期模型，但APT并不受到
单一时期的限制。
6、在CAPM中，证券的风险只与市场组合相关。
APT承认有多种因素影响证券价格，为识别
证券风险的来源提供了分析工具。
1976 年罗斯(Stephen.
A. Ross, 1944～) 的套
利定价理论 (APT,
Arbitrage Pricing
Theory) 。
命题 ：假设n种资产其收益率m个因子决定
（m<n），即
其中，i=1,2,…,n ，j=1,2,…,m，则
附录：APT的严格证明
证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资
且无风险的组合，即wi满足下列条件
零投资
无风险
（2）
（1）
即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投
资、无风险的组合必然是无收益的，从而只
要（1）和（2）成立，则蕴含(followed)
这等价于，只要
对于任意的W，必然有
又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b11,b,b22,…,b,…,bmm线性无关，则线性无关，则
必定落在由必定落在由1,b1,b11,b,b22,…,b,…,bmm张成的向量空间张成的向量空间RRm+1
m+1中，中，
也就是存在一组不全为零的数也就是存在一组不全为零的数 使得使得
证毕。
理解： 必须落在Rm+1空间中，才能必然成立
1和bj是该空间的一组基
a
b
C
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴
含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的
二维空间上，d可以由a、b线性表示.
0
示意图：向量空间
