第19届全国灰色系统学术会议.doc

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GM(1,1)灰数递补动态预测 王学萌 1 杜鹃 2 1) 山西省农业资源综合考察研究所 太原　030006 2) 山西大学环境与资源学院 太原　030006 摘 要 文献[1]中提出“等维灰数递补动态预测”，在许多领域得到广泛的应用，取得了较好的预测效果。但为保持“等维预测”， 使原始数据逐步减少，以致到后来成为预测灰数的滚动延伸，从理论上降低了中长期预测的可信程度。因此，本文提出不要求保持等 维的 GM（1，1）灰数递补预测方法，既有效利用新的信息—预测灰数，对模型的灰参数逐步进行修正，又保持原始数据对序列发展 态势的遗传功能，具有 GM（1，1）模型独特的灰色动态特征，解决了对 GM（1，1）模型“用一个白化方程参数进行中长期预测”的 质疑。 关键词 GM（1，1）模型，灰数递补，动态预测 Dynamic Forecasting with Recursive Compensation by Grey Numbers of GM(1，1) Xuemeng Wang1 Juan Du2 1) Institute of Integrated survey of Agriculture Resource Academy of Agricultural Science 030006 (E-mail: wxmsxty@) 2) School of Environmental and Resources，Shanxi University 03006 (E-mail: djuan819@) Abstract—The method of dynamic forecasting with recursive compensation by grey numbers of identical dimensions can be used in many fields and have better forecasting effect. Original data are becoming scarce for the keeping of identical dimensions forecasting， which reduces the accuracy of the medium and long-term prediction theoretically. A method for dynamic forecasting with recursive compensation by grey numbers of GM(1 ， 1) proposed in this paper. The grey parameters can be amended gradually with effective use of new information ， meanwhile， they maintain the genetic function of the original data on the development trend of sequence. The model has the uniquely dynamic character of GM(1，1) model and removes the doubt about GM(1，1) model forecast for medium and long-term period with a whitening equation parameter. Keywords—GM(1，1) model， grey recurrence， dynamic forecasting 1．引言 作者 1989 年在文献[1]中提出了“等维灰数递补动态预 测”。20 年来，在人口、资源、环境、交通、建筑、教育、 卫生、体育等许多领域得到较为广泛的应用，特别是对于 发展态势比较稳定、互补性较强、综合性较高的系统，取 得了较好的中长期预测效果。但为保持“等维预测”，在建 模过程中原始数据逐个被剔除，以致到后来预测值成为预 测灰数的滚动延伸，像是无源之水、无根之木，原始序列 的发展态势已淡然无存，从理论上降低了中长期预测的可 信程度。为此，本文提出不要求保持等维的“GM(1,1)灰数 递补动态预测”方法，既可以有效地利用新的信息-预测灰 数，对模型的灰参数逐步进行修正，又保持原始数据对序 列发展态势的遗传功能。从而，增强了 GM(1,1)模型独有 的灰色动态特征，解决了对 GM(1,1)模型“用一个白化方程 进行中长期预测”的质疑，并对提高模型的预测精度有不同 程度的改进。 2．GM(1,1)灰数递补动态模型的建立 GM(1,1)模型为单序列一阶微分方程。其相应的灰色微 分方程式是： (1) (1) (1)( ) ( ) dX t aX t u dt   式中， 为灰过程 的一次累加生成变 换，即： (2) 方程（1）中， 即系统的累计总量；而方程左 边第一项 为系统的逐年增量，即系统发展速度。 可见，GM(1,1)模型是描述和研究系统的存量与系统流量之 间的动态关系的微分方程。 求微分方程的解，得到时间函数 (3) 再还原， 便得到 (4) 方程（3）（4）即为 GM(1,1)模型进行灰色预测的基本 计算公式。 在进行预测时，GM(1,1)模型是通过对原始数据序列长 度的不同取舍，得到不同的预测结果，而组成一个预测值 的灰数区间，即灰靶，供决策时选择[2]。这个灰靶明显成 一喇叭型平面展开，即近期的预测灰数比较接近，即灰区 间较小，而预测的越远其预测值的灰区间就越大。特别是 第一个预测值，各个不同模型预测的结果非常接近。说明 对于一个客观系统来说，随时间的推移，未来的一些扰动 因素将不断影响系统的发展，模型的累积误差也越来越大。 所以，用 GM(1,1) 模型进行预测时，不一定建立模型后， 就用这一个模型一直预测下去，而应及时补充新的信息， 使灰度逐步降低，从而提高了预测精度。也就是说用已知 数列建立的 GM(1,1)模型只预测一个值(灰数)，然后将这个 灰数补充到已知数列之后，再建立下一个 GM(1,1) 模型， 去预测下一个值，将预测值再补充到数据序列之后，这样 逐个预测，依次递补，直到完成预测目的或达到一定 的精度要求为止。这种预测方法可称为“GM(1,1)灰数递补 动态预测”。与常用灰色数列预测和等维灰数递补动态预测 方法比较，它有如下的异同之处： ℃不要求保持等维，没有去掉原始数据，继承了原始 数据序列的基本特征与遗传功能。 ℃及时补充和利用有效的灰色信息—预测灰数，提高 了区间的白化度。 ℃每预测一步灰参数做一次修正，模型得到改进，预 测值产生的灰色动态变化之中。 这样，利用预测灰数不断修正预测模型灰参数，逐步 改进预测模型，从而能深层次体现了 GM(1,1) 预测模型的 灰色动态特征。 3．GM(1,1)模型预测结果的误差计算和比较 下面以中国总人口为例，对常用数列预测、灰数递补 预测、等维灰数递补预测 3 个 GM(1,1)预测模型的预测结 果，进行实证分析，通过误差对比，来检验与评价预测方 法的优劣。 先选择了 3 个时段，即 5 维（1996-2000 ）、7 维 （1996-2000）、10 维（1991-2000）分别建立 GM(1,1)模型， 用不同的建模方法预测到 2010 年；再将 2001-2008 年的预 测值与实际统计数比较，计算出误差。其对比结果分别列 于表 1—表 3。 (1) ( )X t (0) ( )X t (1) (0) 1 ( ) ( ) t k X t X k    (1) ( )X t (1) ( )dx t dt (1) (1)( 1) ( (0) ) at u u X t X e a a     ) (0) (1) (1)( ) ( 1) ( )X t X t X t   ) ) ) 表 1 五 维 （ 1 9 9 6 - 2 0 0 0 ） 模 型 模型 实际值 常用数列预测 灰数递补预测 等维灰数递补预测 年份 递增率 统计值 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 2001 127627 127602 25 127602 25 127602 25 2002 128453 128598 -145 128530 -77 128392 61 2003 129227 129605 -378 129460 -233 129114 113 2004 129988 130615 -627 130396 -408 129770 218 2005 130756 131636 -880 131338 -582 130372 384 2006 131448 132664 -1216 132288 -840 130918 530 2007 132129 133702 -1573 133242 -1113 131416 713 2008 132802 134744 -1942 134206 -1404 131870 932 2009 135798 135172 132280 2010 136858 136150 132656 实际值 常用数列预测 灰数递补预测 等维灰数递补预测 年份 递增率 统计值 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 2001 127627 127877 -250 127876 -249 127876 -249 2002 128453 129006 -553 128961 -508 128845 -392 2003 129227 130146 -919 130055 -828 129788 -561 2004 129988 131294 -1306 131158 -1170 130718 -730 2005 130756 132454 -1698 132269 -1513 131636 -880 2006 131448 133626 -2178 133390 -1942 132522 -1074 2007 132129 134805 -2676 134523 -2394 133372 -1243 2008 132802 135995 -3193 135661 -2859 134198 -1396 2009 137197 136811 - 135010 2010 138408 137970 135792 实际值 常用数列预测 灰数递补预测 等维灰数递补预测 年份 递增率 统计值 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 递增率 预测值 误差 2001 127627 128222 -595 128222 -595 128222 -595 2002 128453 129474 -1021 129445 -992 129343 -890 2003 129227 130738 -1511 130684 -1457 130461 -1234 2004 129988 132017 -2029 131933 -1945 131576 -1588 2005 130756 133305 -2549 133196 -2440 132693 -1937 2006 131448 134609 -3161 134468 -3020 133822 -2374 2007 132129 135922 -3793 135754 -3625 134965 -2836 2008 132802 137250 -4448 137051 -4249 136109 -3307 2009 138591 138361 137229 2010 139947 139683 138319 表 2 七维（1994-2000）模型 表 3 十维（1991-2000）模型 从上述对比结果可以看出，不论是几维模型的预测值，都 是等维灰数递补动态模型误差最小，而灰数递补动态模型 较常用数列预测模型的误差也要小些。但等维灰数递补模 型递增率收敛较快，误差有逐渐加大的趋势；而灰数递补 模型随着维数的增加，越来越接近数列预测的预测值，且 递增率随着预测的长度也逐步收敛。 4．对预测结果的分析 科学的预测可以帮助人们认识系统未来进程中可能遇 到的问题，预测的结果不同程度地反应了系统的变化规律 与发展趋势。灰色动态 GM(1,1) 模型预测是灰色系统理论 应用最广的模型之一，也是人们应用越来越多的预测方法。 这是由于它所需原始数据量较少，计算方法简单，也不苛 求数据分布的数学特征，且多是单序列，累积误差较小。 但要运用这个模型取得满意的预测结果也并非是易事，首 先要将定性分析与定量计算有机地结合起来，定性分析是 经验的综合判断、逻辑推理，是定量分析与建模的基础， 没有比较科学准确的定性，不可能建立正确的预测模型。 譬如哪些序列特征适合哪种预测方法，要有基本的评估。 其次对模型的应用，也要讲灵活性和艺术性，同一模型有 着不同的建模方法，对同一序列数据，不同的建模方法可 能得出不同的结果，这种预测结果的“非唯一性”，正是“灰” 的表现。如本文上述的实证分析可以说明这一点。 从以上 GM(1,1) 模型的几种预测结果来看，对于增长 平稳、互补性强的总人口序列的预测，“GM(1,1)灰数递补动 态预测”，虽不及“等维灰数递补动态预测”的精度，但比常 用的数列预测要好些，特别是对于一些学者提出的“灰色数 列预测用一个白化方程进行中长期预测无异于指数方程“的 质疑，这一建模预测方法，作了较好的改进，具有独特的 灰色动态的特征，不同于统计预测方法。因此，GM(1,1)灰 数递补动态预测是科学的，也是有效的。在多数情况下， 将可以取代常用的 GM(1,1)数列预测方法。 参考文献 [1] 王学萌.等维灰数递补动态预测.华中理工大学学报,1989(4)， 9~15 [2] 邓聚龙.灰理论基础.武汉:华中科技大学出版社,2002 基于 GM (1, 1) 模型的中国能源消耗预测分析 姚天祥，魏 玲 南京信息工程大学 南京 210044 摘 要 21 世纪在很大程度上可以说是以环保为核心的世纪。对能源消耗进行预测可以帮助国家在制定能源发展战略问题上提 供有效的决策依据。本文针对能源消耗的不确定性特点，运用 GM(1,1)模型对中国历年能源消耗总量进行了模拟，对模拟结果采用多 种方法进行了检验，并对未来几年的能源消耗量进行了预测。结果表明 GM(1,1)模型能够很好地模拟能源消耗数据，而且具有较高的 模拟精度。 关键词 能源消耗，预测分析，GM(1,1)模型 Forecast and Analysis of China’s Energy Consumption Based on GM(1,1) Model Tian-xiang Yao , Ling Wei Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing, 210044(E-mail: ytxnj@) Abstract—The 21st century, to a large extent, can be regarded as environmentally friendly as the core of the century. Forecasts of energy consumption can help countries in the formulation of energy development strategy to provide an effective basis for decision making. In this paper, the uncertainty of the energy consumption characteristics, the use of GM (1,1) model of China's total energy consumption over the years has been simulated, the simulation results using a variety of methods have been tested, and energy consumption for the next few years predicted. The results show that GM (1,1) model can well simulate the energy consumption data, and has a high simulation accuracy. Keywords—energy consumption, prediction analysis, GM (1,1) model 1．引言 改革开放以来，中国经济维持了高速增长。但进入新 世纪后，随着经济的发展，环境污染、能源消耗问题也越 来越突出。从能源总量来看，中国是世界第二大能源生产 国也是第二能源消费国，能源消费主要靠国内供应，能源 自给率为 94%。在 2000 年时，能源消耗量为 138 万 吨标准煤, 到 2007 年，消耗量就为 265 583 万吨标准煤， 比 2006 年增长了 %，大约是 2000 年消耗量的两倍。由 于能源消耗的快速增长，将可能成为中国经济进一步发展 基金项目：国家自然科学基金(70901041) ; 教育部人文社会科学 研究青年项目(09YJC630129);教育部博士学科点科研基金 (20093218120032 ,200802870020);江苏省高校哲学社会科学基金 项目(09SJD630059). 作者简介: 姚天祥(1971-) , 男, 河南新蔡人，博士,研究方向: 灰 色系统理论 的瓶颈。因此，建立有效的能源消耗预测模型能够为宏观 经济政策的制订提供可靠的能源消耗依据。 灰色模型是灰色系统理论的一种基本模型，一直被广 泛地应用于各门学科、各个领域的研究之中。其中，GM （1，1）模型在工业、农业、社会、经济等领域中具有很 大的应用价值。本文首先给出了 GM (1, 1) 模型的建模过 程与模型精度检验方法，其次以中国能源消耗总量为例， 对历年能源消耗进行了模拟并对我国未来 5 年的能源消耗 量进行了预测分析。 2．GM (1, 1) 模型的建立 灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息不确定性问 题的新方法。它通过对“部分”已知信息的生成、开发，提 取有价值的信息。GM（1，1）模型模型的建立步骤如下[1] 令 ，则对原始数 列 进 行 一 次 累 加 生 成 得 到 数 列 , 即 (0) (0) (0) (0)( (1), (2), , ( ))x x x x n L (0) x (1)x ，其中 。 白化微分方程为 的时间响应式为 是预测值的 1 次累加生成值，再通过 1 次 累减处理,则可得到实际的预测值： （ ） 3 模型的检验〔2〕 对于所建立的模型是否合格需要通过对模型的多种检 验来判断。只有模型检验合格后，才能应用该模型来进行 一系列的预测工作。灰色模型检验通常采用残差检验、后 验差检验以及关联检验等三种方法。 由文献[2]，根据相对误差、关联度、后检验比值和小 误差概率把预测精度分为四个等级，如表 1： 表 1 预测精度评判标准 临 界 值 精度 等级 相对误差 关联度 均方差比 值 小误差概 率 好 良好 合格 不合格 4 实证分析 中国能源消耗数据分析 我国能源 2000～2007 年消耗总量如表 2 所示，数据 来源于中国统计年鉴。 表 2 2000－2007 年中国能源消耗总量（万吨标准煤） 年份 能源消耗总量 2000 2001 2002 2003 2004 2005 224682 2006 246270 2007 265583 由表 2 可以看出，我国在 2000～2007 年这八年当中， 能源消耗总量是很大的，尤其是近几年。在 2000 年时，能 源消耗量为 138 万吨标准煤；2001 时，能源消耗量 为 143 万吨标准煤，比 2000 年增长了 %；2002 年 时，能源消耗量为 151 万吨标准煤，比 2001 年增长 了 %；2003 时，能源消耗量为 174 万吨标准煤， 比 2002 年增长了 %；到 2004 年时，能源消耗量就突 破了 200 000 万吨标准煤，比 2003 年增长了 %；2005 年时，能源消耗量为 224 万吨标准煤，比 2004 年增 长了 %；2006 时，能源消耗量为 246 万吨标准煤， 比 2005 年增长了 %；到 2007 年，消耗量就为 265 583 万吨标准煤，比 2006 年增长了 %，大约是 2000 年消耗 量的两倍。 为了更加直观地了解几年来的消耗情况，我们将该表 格转换成图表形式，如图 1 所示： 图 1 2000－2007 年中国能源消耗总量 由上中国能源消耗总量折线图显示可以看出，我国能 源消耗总量从 2000 年到 2007 年总体上是呈上升趋势的， 2000～2003 年上升的趋势比较缓慢，2003 年到 2004 年上 升幅度比较大，2004 年到 2007 年这四年当中上升的幅度 比较平均。但总的来说，我国的能源消耗是在单调递增的。 因此，可以运用本文所建立的 GM（1，1）模型对我国未 来几年能源消耗情况进行预测。从而根据预测的结果来更 好地制定能源利用计划，更加有效地利用能源。 建立模型 原始数据 以中国2000～2007年能源消耗总量（如表2所示）为原 始数据，即有： 建立预测模型 中国能源消耗总量 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 年份 能 源 消 耗 总 量 （ 万 吨 标 准 煤 ） (1) (1) (1) (1)( (1), (2), , ( ))x x x x n L t (1) (0) i =1 ( t) = ( i) , t = 1 ,2 , , x x n L (1) (1)+ a = b d dt x x 0)(1) (( 1) [ (1) / ] /ˆ att x a bx b e a    (0) ( )ˆ 1x t  (0) (1) (1)ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( )x t x t x t    1,2,...,t n  0 0C 0p (0) (0) (0) (0)( (1), (2),..., (8)) = ( , ,,, ,,, ) x x x x 通过建立预测模型，得到结果： ， 其时间响应式为： 得模拟序列、残差序列、相对误差序列、平均相对误差如 下表 3 所示： 表 3 误差分析表 年份 实际值 模拟值 残差 相对误差% 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 平均相 对误差% 实例模型检验 残差检验 由表 3 可得平均相对误差 ，那么计算 可信度为： ，因此 可以表明预测变动比较稳定，预测误差比较小。 后验差检验 计算原始数据离差： 残差离差： 则后验差比值： ，小于，小误差 频率 ，大于。参考 表1可以看出，本文所建立的模型具有很好的预测精度。 关联检验 由表 3 可以得到残差的最小差和最大差分别为 。 则可以计算出关联系数结果如表 4 所示： 表 4 各年的关联系数表 t 1 2 3 4 w（t） 1 t 5 6 7 8 w（t） 由表 4 可得关联度， ， 说明模型曲线和预测曲线具有较好的相似程度。 预测结果 通过对模型的检验可以看出模型通过了检验，因此 可以用来预测我国未来的能源消耗情况。在这里我们给 出 5 年的中国能源消耗量的预测数据，其预测值如下： 即 2008－2012 年的全国能源消耗预测值分别为 万吨标准煤、 万吨标准煤、 万吨标准煤、 万吨标准煤、 万吨标准 煤。 5 结语 由 5 年的预测结果可以看出，我国的能源消耗量还 在呈现持续上升的趋势。到 2012 年，我国能源消耗将接 近 400，000 万吨标准煤，大约是 2004 年消耗总量的两 倍。着眼于未来发展，节能减排既是当务之急更是长远 战略的要务。我国需要开展节能降耗来提高能效、减少 污染。可以通过采取优化产业结构、积极开发新能源和 可再生能源、加快发展循环经济等措施以应对可能出现 的能源危机。 参考文献 [1] 邓聚龙.灰预测与灰决策[M].武汉:华中科技大学出版社,2002. [2] 邓聚龙.灰色控制系统[M].武汉：华中工学院出版社，1985. [3] 邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉华中科技大学出版社， 1987. [4] 刘思峰,邓聚龙.GM(1,1)模型的适用范围[J].系统工程理论与实 践,2000,(05). [5] 罗党,刘思峰,党耀国.灰色模型 GM(1,1)优化[J].中国工程科 学,2003,(8). ˆ   ˆ  (1) (0) (1) (1) ˆ ( 1) ˆ ˆ ˆ( 1) ( 1) ( ) tx t e x t x t x t          1,2,...,t n (t)=%m 0 =(1- (t)) 100%=%>80%p m  8 (0)2 (0) 2 1 t=1 1 [ (t)- ] 238266609 7 s x x  8 (0)2 (0) 2 2 t=1 1 [ (t)- ] 7 s    2 1c=s /s  1 = { (t) - < }=1 p   (0)min{ (t) }=0 (0)max{ (t) }= 8 t=1 1 r= w(t) 7   ( ) (0) (0) (0) (0) (0)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( (9), (10), (11), (12), (13))oX x x x x x (,,,,) 灰数比较的可信度及其在灰区间 DEA 模型中的应用 王洁方 刘思峰 南京航空航天大学 经济与管理学院，江苏 南京 210016 摘 要 给出了灰数比较的可信度的定义和可信水平下灰数比较的相关性质。基于灰区间数比较的可信度，提出了 DEA 效率区间 求解的新算法，并用算例进行了验证。新算法的求解结果不确定性程度低，可以提供更多决策信息。 关键词 可信度，灰区间数，DEA，决策单元 Credibility degree of grey numbers’ comparison and its application in interval DEA model WANG Jiefang, LIU Sifeng Economic and management department, University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing, 210016, China Abstract—This paper give the definition of credibility degree of grey number’s comparison and its properties are given. A new algorithm for solving the efficiency intervals of DMUs is proposed based on the credibility degree and number examples were verified. The results of the new algorithm have low uncertainty level, and it can provide more decision-making information. Key words— credibility degree, grey interval number, DEA, decision making unit 1 引言 灰区间 DEA 是变量为灰区间数时, 决策单元（DMU） “相对效率”的非参数分析方法。在国外，Cooper（1999， 2001）首先研究了区间型 DEA，建立了变量包括区间数和 序数的 IDEA（imprecise DEA）模型[1]，并将其运用于韩国 移动通信公司的评价[2]；Despotis 和 Smirlis（2002）分别提 出了区间型 DEA 技术效率的求解算法[3]。国内对区间型 DEA 的研究略早于国外，郝海,杨印生,李树根（1995）研 究了灰色 DEA 模型的白化解法，将灰色线性规划的研究成 果应用于区间型 DEA 求解[4]；郭均鹏、吴育华、曾祥云、 张慎峰、李汶华等以及台湾学者 Chiang Kao 提出了一系 列区间 DEA 模型和求解算法[5]-[8]。 上述算法可分为两类。第一类将区间 DEA 模型转换为 确定性 DEA 模型，求得点效率，如灰色 DEA 模型的漂移 定位解，基于决策者满意度的区间 DEA 算法等；另一类方 法致力于求出被评价决策单元所有可能的效率指数，即效 率区间。前者的不足之处在于主观性太强，丢失了大量“已 知信息”；后者的不足在于当输入输出变量的区间范围较大 时，得到的效率区间长度也会比较大，从而大大降低 DEA 评价结果对决策单元效率大小的解释力。 本文在给出灰数比较的可信度的定义的基础上，给出 一种新的基于灰数比较可信度的灰区间 DEA 效率指数求 解方法，并用算例进行了验证。 2 灰数比较的可信度 （1）灰数比较的可信度的定义 设灰数 和灰数 的数值覆盖分别记为 和 ， 和 中元素的大小关系可分为三种： 情形 1：对任意的 ，都有“ ”； 情形 2：对任意的 ，“ ”都不成 立； 情形 3：一部分元素满足条件“ ”，一部分不满 足条件“ ”。 为了给出灰数比较的可信度的定义，首先构造集合 、 ， 、 满足条件： （1）对任意的 ，均有“ ” （2）对任意的 ，均有“ ”， 1 2 1D 2D 1D 2D 1 1 2 2,d D d D  1 2d d 1 1 2 2,d D d D  1 2d d 1 2d d 1 2d d D D D D d D 0d  d D 0d  （3） 定义 1 称 为 的可信度，记为 ，称 为 的可信度， 其中 为集合的测度，对于连续区间闭区间， 通常表示 区间长度，对离散集合， 表示元素的个数。 当 和 为 灰 区 间 数 时 ， 记 、 ， 由 数 值 覆 盖 运 算 法 则 得 ， 因 此 ， ， 。 的可信度的定义可写为： = 注 ： 情 形 1 下 ， 显 然 ， ， 此 时 ， 必然成立；情形 2 下， ，此时， 必然不成立；情形 3 下，即 ， 时， 分 别 为 的 左 端 点 和 右 端 点 ， 反映集合 中小于等于 0 的元素的“比 例”，即图 1 中的 。 当 和 为离散灰数时， 和 为离散集合，记 令 ，则 ， 为满足 的元素 个数， 为满足 的元素个数。 的可信度可写为： （2）可信水平下的灰区间数比较 定义 2 若满足条件 ， 即认为 成立，则称 为 的可信水平。 限于篇幅，本文仅分析可信水平下灰区间数的比较， 离散灰数比较的分析方法类似。 性质 1：可信水平 下（ ）， 的 充分必要条件为 证明： 性质 2：当 的可信水平 的最乐观值 0 时， 的充分必要条件为 。 当 的 可 信 水 平 的 最 保 守 值 1 时 ， 的充分必要条件是 性质 3：一般情况下， 的可信水平 取 ， 证明：按照思维习惯，若“ ”比“ ” 的 可 信 度 高 ， 则 认 为 。 而 。 因 此 ， 如无特殊说明， 的可信水平 取 。 3 基于灰区间数比较可信度的 DEA 效率区间求解 若在可信水平为 （ ）时， ， 则记为 （相应的，将可信水平为 时的 ，记为 ）。 可以看作 的临界条件（相应 的）。 的理想条件即对 的任意白化值， “ ”均成立，将 的理想条件记为 ， （相应的， 的理想条件记为 ）。 从灰区间数比较的可信度角度，求解 DEA 效率区 1 2D D D D   ( ) ) )(( e D e D e D 1  2 1 2( )    ( ) ( ) 1 )( e D D Dee   1 2   e e e 1 2 1 1 1[ , ]D a a 2 2 2[ , ]D a a 1 2 1 1 1 2[ , ]D D a a a a    1 2 2 1( ) 0 ( )e D a a a a     1 2( )e D a a  1 2   1 2( )    2 1 1 2 1 2( ) )( a a a a a a    1 2( ) 1     1 2   1 2( ) 0     1 2   1 2a a 1 2a a 1 2 1 2a a a a 和 1 2D D 1 2( )    1 2D D OA AB 1 2a a- 1 2a a-0 A O B 图 1 1 2a a ， 1 2a a 时， 1 2( )l Ä £ Ä 的几何意义示意 图 1 2 1D 2D  1 11 1 1, , ,i mD d d d L L  2 11 2 2, , ,j nD d d d L L 3 1 2ij i jd d d  3( ) ( 0),ije D d  3( ) ( 0)ije D d  3( 0)ijd  3 0ijd  3( 0)ijd  3 0ijd  1 2   3 2 3 1 3 ( 0) ( 0 ( ( ) ) 0) ij ij ij d d d             * * 1 2( ) (0 1)        1 2   * 1 2   * *0 1  1 2   1* 2 1 (1 )( )a a    1 2( )a a * 1 2( )       2 1 * 1 2 1 2( ) ( ) a a a a a a       1 2 1 2* 1 (1 )( ) ( )a a a a       1 2   * 1 2   2 1 0a a  1 2   * 1 2   1 2 0a a  1 2   * 1 2   1 2   1 2   1 2( )     1 2( )     1 2 1 2( ) ( ) 0         1 22 ( ) 1 0      1 2 1 ( ) 2      1 2   * * *0 1  1 2   *1 2  p * 1 2   *1 2 f *1 2  p 1 2   1 2   1 2 和  1 2   1 2A p 1 2 f 1 2A f 间下界的规划方程可表示为： 求解 DEA 效率区间上界的方程为： 由性质 1 知， 的 充分必要条件为： 的充分必要条件为： 。 因此，规划方程（1）等价于 规划方程（2）等价于： 当 时，规划方程（ ）可写为： 时的效率区间下界等于决策单元变量都取均 值白化值时对应的 DEA 效率。 4 算例与结语 （1）算例 考虑如下的单输入双输出的决策单元 DEA 效率评价 问题 表 1 单输入双输出 4 决策单元输入输出数据 输入变量 输出变量 1 输出变量 2 [1,3] [27,29] [20,21] [1,2] [4,6] [7,8] [2,3] [4,5] [6,8] [4,6] [30,34] [32,34] 灰数比较可信水平取 时，以决策单元 1 为 例，其效率区间下界求解方程为： 上界求解方程为： * * 1 0 1 min (1) . . ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 0; 1,2, , ; 1, 2, , o o o o o o L j n j ij j ij j j n j kj j kj j j j j E s t x x y y i s k p                          p f L L 1 0 1 min (2) . . ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) 0; 1,2, , ; 1, 2, , o o o o o o U j n j ij A j ij j j n j kj A j kj j j j j E s t x x y y i s k p                        p f L L * 1 0 ( ) ( ) ( ) o o n j ij j ij j j x x          p 1 * 0 *[ ]1 1/ ( )( 1 1/ ) o o n j ij i jj i j i j j jx x x x           （ ） （ ） * 1 (1 ) ( ) ( ) o o o n j kj j kj j j j y y        f * 1 (1 )[ (1 ) o o oj kj kj y y     * 1 1 [ (1 ) ] o n j kj kj j j j y y      * * * 1 0 * * * 1 min (1 ) . . [ 1 1/ ] ( 1 1/ ) ( 1 1/ ) 1 1 1 [ (1 ) ] [ (1 ) ] (1 ) 0; 1,2, , ; 1, 2, , o o o o o o o o o o L j n j ij ij j ij ij ij ij j j n j kj kj j kj kj kj kj j j j j E s t x x x x x x y y y y y y i s k p                                        L L （ ） （ ） （ ） 1 1 min (2 ) . . ( ( ) ( ) ( ) 1, 2, , ; 1, 2, , ; 0 o o o U j n j ij ij j n j kj kj j j E s t x x y y i s k p                    L L ） * 1/ 2  2 1 0 1 min . . [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0; 1,2, , ; 1, 2, , o o o o o o o o o o L j n j ij ij j ij ij ij ij j j n j kj kj j kj kj kj kj j j j j E s t x x x x x x y y y y y y i s k p                            L L * 1/ 2  DMU 1DMU 2DMU 3DMU 4DUM * 1/ 2  1 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 min . .2 5 2 28 5 32 28 7 33 , , , 0 LE s t                                 求得决策单元 1 的效率区间为[1,1]，同理，求得决 策 单 元 2 、 3 、 4 的 效 率 区 间 依 次 为 [ ， 1] 、 [,]、[,1]。 （2）结语 本文基于灰数比较可信度的概念，给出了计算灰区间 DEA 效率区间的新算法，新方法有如下特点： ℃ 算法简单，且为线性规划，易于计算机实现； ℃ 适当运用评价者的主观判断，使评价结果保持一定 的柔性，符合人们的思维习惯； ℃ 决策单元的 DEA 效率区间长度有一定程度的减少， 可以提供更多的评价决策信息。 需要指出的是，由于缺乏公认的灰区间数排序方法， DEA 效率区间排序问题仍需要进一步深入研究。 参考文献： [1] Cooper, ., Park, ., Yu, G.. IDEA and AR-IDEA: Models for dealing with imprecise data in DEA[J]. Management Science, 1999, 45(4):97-607. [2] Cooper, ., Park, ., Yu, G.. An illustrative application of IDEA (Imprecise Data Envelopment Analysis) to a Korean mobile telecommunication company [J]. Operations Research, 2001,49(6),807-820. [3] . Despotis, . Smirlis. Data envelopment analysis with imprecise data[J]. European Journal of Operational Research,2002, 140(1):24-36. [4] 郝海,杨印生,李树根.灰色 DEA 模型的白化解法[J]. 系统工 程,1995,13(5):63-68. [5] 郭均鹏,吴育华.区间数据包络分析的决策单元评价[J].系统工 程理论方法应用,2004,13（4）：339-342. [6] 李汶华,郭均鹏.基于决策者满意度的区间 DEA 的求解[J].管 理工程学报.2005,19（1），87-89. [7] 曾祥云,吴育华.相对有效性评价的区间 DEA 算法研究[J].天 津大学学报(自然科学与工程技术版), 2001,34(2):137 -141. [8] Chiang Kao. Interval efficiency measures in data envelopment analysis with imprecise data [J]. European Journal of Operational Research , 2006,174(22):1087-1099. 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 min . . 2 3 6 29 4 4 30 29 21 7 6 32 21 , , , 0 UE s t                                 运用灰色 GM(1,1)系统模型预测天津市污水排放量 赵娇娟 1 郝永红 2 王亚捷 3 李华敏 1 1) 天津师范大学城市与环境科学学院 天津 300387 、 2) 天津师范大学水环境与水资源重点实验室 天津 300387 3）天津师范大学计算机与信息工程学院 天津 300387 摘 要 天津是我国水资源最为紧缺的城市之一，对天津市水资源开发利用过程研究，有利于解决城市水资源短缺，实现水资源 可持续利用。本文针对天津市的污水排放进行研究，预测其发展变化过程，并提出综合利用措施。文章运用 2004-2008 年的污水排放 资料建立灰色系统 GM（1，1）模型，对天津市 2009-2030 年污水排放总量、工业污水排放量、生活污水排放量进行了预测研究，结 果表明，工业污水排放量从 2009 年的 亿吨下降到了 2030 年的 亿吨；生活污水排放量逐年递增，从 亿吨增加到了 亿吨。今后，提高工业水回用率，降低耗水量，可以进一步减少工业污水排放量；另外，完善生活污水收集处理系统，发展生活污水 回用于农业灌溉、景观用水等再生水回用系统，加强居民节水意识可有效缓解生活用水的压力。 关键词 污水排放量 灰色系统 天津市 A prediction for the sewage discharge in Tianjin city using GM(1,1) model ZhaoJiaojuan1 HaoYonghong2 WangYajie3 LiHuamin1 1) College of City and Environment, Tianjin Normal University, Tianjin 300387 2) Key Laboratory for Water Environment and Resources, Tianjin Normal University, Tianjin 300387 3) College of Computer and Information Engineering, Tianjin Normal University, Tianjin 300387 Abstract—Tianjin is one of cities severely short of water in China. It is beneficial to solve the problem of water shortage and achieve the aim of water sustainable utilization by studying the process of development and utilization of water resources. In this paper, present condition and changes in the future of sewage discharge in Tianjin are studied, and then the comprehensive measures for the water resources’ utilization are proposed. By referring to the sewage discharge data of 2004-2008 we establish the GM (1,1) model and predict the emissions of the total wastewater, industrial wastewater and domestic sewage of 2009-2030 year in Tianjin. It turns out that Industrial wastewater emissions will fall to 112 million tons in 2030, compared with 241 million tons in 2009, the emissions of domestic sewage will increase year by year , from 267 million tons in 2009 to 345 million tons in 2030. In the future, the emissions of Industrial wastewater can be reduced by improving the rate of industrial water recycled and lowering the amount of water consumed; In addition, completing the systems of domestic sewage collection and treatment, developing reusing systems of regeneration water for agricultural irrigation and landscape, and enhancing the consciousness of water-saving can effectively alleviate the pressure of domestic water. Keywords—sewage discharge GM(1,1) model Tianjin 1．引言 水资源是人类生产和生活不可缺少的自然资源，也是 基金项目：国家自然科学基金（40972165, 40572150）; 天津市自 然科学基金 09JCYBJC27500. 生物赖以生存的环境资源。随着经济社会的发展，人类对 水资源的需求不断增加，对环境的破坏日益加剧，造成了 水资源短缺、水环境恶化。水资源问题已经演变成倍受世 界关注的问题之一[1]。中国是一个严重干旱、缺水的 国家，人均水资源占有量低。全国水资源总量为 28124 亿 m3，居世界第四位，但人均占有量仅 2580m3，相当于世界 人均占有量的 1/4，居 110 位，是世界 13 个水资源最贫乏 的国家之一[2]。近年来随着人口的增加和经济的快速发展, 水资源的瓶颈问题日益突出。缓解水资源的危机已成为城 市水资源管理的中心任务，其中污水再生利用是有效的管 理措施之一。污水再生利用的途径主要有农业灌溉、工业 回用、城市景观用水和补充地下水[3]。可再生利用的污水 量主要取决于污水排放量，因而研究污水排放量对于确定 再生水量、合理配置水资源具有重要意义。 污水排放系统是一个复杂的系统，影响污水排放系统 的因素众多。自然条件、工业发展水平、居民生活质量、 城市化程度、第三产业发展状况及生活习惯等都影响污水 排放量[4]，其中有些因素（如工业用水量）的影响是确定 的，但是有些因素（如与工业发展技术相关的工业用水利 用率）的影响是不确定的。因此，利用灰色系统模型预测 分析污水排放量是可行的。 本文采用 2004~2008 年天津市的排污量作为原始序列 建立了 GM（1，1）模型，对天津市 2009~2030 年的污水 排放量进行了预测分析，旨在为合理利用再生水，缓解天 津市水资源紧缺，合理规划、管理天津市水资源，实现水 资源高效、可持续利用提供参考。 2．研究区域概况： 自然地理概况 天津市位于华北平原东北部，海河流域的下游，北依 燕山，东临渤海，地理坐标介于北纬 38°33′57″~40°14′57″， 东经 116°42′05″~118°03′31″之间，东西宽 公里，南北 长 186 公里，海岸线长 155 公里。全市面积 ， 其中平原占 %，山区和丘陵占 %。其地形南北方向 由北部蓟县山区向南逐级下降，东西方向由武清区永定河 冲积扇向东倾斜，由静海县南运河大堤向海河河口逐渐降 低。属暖温带半湿润大陆性季风型气候，多年年均气温在 12℃左右。区域多年平均降水量在 720~560mm 之间，由北 向南递减。多年平均蒸发能力约 900~1200mm，在地区上 的分布由北向南递增，干旱指数为 ~。流经天津市 的河流分属海河流域的北三河水系，永定河水系，大清河 水系，海河干流水系，黑龙港运东水系和漳卫南运河水系。 由于引滦入津工程的新建，使滦河成为了天津市的重要供 水水源。 社会经济概况[5] 天津是我国四大直辖市之一，是我国北方重要的工业 城市，也是我国首批沿海对外开放城市之一，首都北京的 门户，还是华北、西北两大地区的出海口。现辖 15 区 3 县。 2008 年全市常住人口 1176 万人，其中非农业人口 万人，当年人口自然增长率为 ‰。2008 年全市国内生 产总值为 亿元，三产比重为 ：：，人 均国内生产总值为 55473 万元。其农业属于城郊型农业， 粮食生产以小麦、玉米、稻谷为主，经济作物主要有花生、 棉花等。此外天津利用沿海优越的自然条件，大力发展了 鱼虾和贝类养殖。2008 年，农业总产值 亿元。天津 的工业门类齐全，综合配套能力强，是中国近代工业的发 祥地。2008 年实现了工业总产值 亿元。天津是当 前我国北方商贸中心城市，市场流通和第三产业发达。天 津港已与世界上 160 多个国家和地区的 300 多个港口建立 了业务联系，港口货物吞吐量实现 16182 万吨。 3、研究方法 灰色系统的概念及其研究内容 灰色系统理论是由邓聚龙教授于 1982 年创立的新理 论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。 该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫 信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信 息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行 为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统理论主要 内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空 间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、 建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系[6、7]。 本文使用 GM(1，1)模型对天津市污水排放量进行了灰色预 测分析。 （1，1）模型 GM(1,1)称为单序列一阶线性动态模型。给定原始时间 数据列： ，将原始 数据进行一次累加生成，获得新的数据列： 其中 , （1） GM(1,1)模型的微分方程为： （2） 系数向量为： Yn 和累加矩阵 B 分别为： （3） (0) (0) (0) (0)( (1), (2), , ( ))X X X X n L (1) (1) (1) (1)( (1), (2), , ( )),X X X X n L (1) (0) 1 ( ) ( ). 1, 2, , . i k X i X k i n    L (1) (1) . dX aX u dt   ^ [ , ] .Ta a u (0) (1) (0) (1) (0) (1) 1(2) (2), 1(3) (3), , 1( ) ( ), n x z x z Y B x n z n                                LL L 用 最 小 二 乘 法 求 解 系 数 a ： （4） 并代入微分方程的解，得到时间函数： （5） 又因为 则： （6） 再反原便得到： （7） 式（2）与式（7）即为 GM（1，1）模型进行灰色系 统预测的基本计算公式[8]。 4、GM（1，1）污水排放量预测模型 以 2004～2008 年天津市水资源公报公布的排污数据 作为原始序列，分别对天津市污水排放总量、工业排放总 量、生活污水排放量建立 GM（1，1）模型，求得系统参 数 a、u，并运用该模型预测了天津市 2009～2030 年连续 22 年的排污量，结果见图 1. 污水总量排放预测模型 所得污水排放总量系统参数 a1、u1 及其预测模型如下： （8） 工业污水排放量预测模型 所得工业污水排放量系统参数 a2、u2 及其预测模型如 下： （9） 生活污水排放量预测模型 生活污水主要由两部分组成，一部分由居民生活用水 产生，一部分由第三产业（即服务行业）在服务的过程中 产生。 城镇居民生活污水排放量预测模型 所得居民生活污水排放量系统参数 a31、u31 及其预测模 型如下： （10） 第三产业污水排放量预测模型 所得第三产业污水排放量系统参数 a32、u32 及其预测模 型如下： （11） 5、结果分析与讨论 污水总量预测结果与分析 如图 1 所示，2009-2030 年，天津市污水排放总量呈下 降趋势，从 2009 年的 亿吨下降到了 2030 年的 亿 吨，平均下降速率为 600 万 t/a。其中 2015 年之前，下降 速率较快，大致为 万 t/a，2016～2024 年，下降速 率为平均速率 600 万 t/a，2025 年之后下降速率变慢，大致 为 万 t/a。 另外，从图中可以看出污水排放总量与工业污水排放 量的变化情况基本一致，由此可见，城市污水排放主要受 工业污水排放的影响。 工业污水排放量预测结果分析与讨论 图 1 显示工业污水排放量逐年下降，22 年间从 亿 吨降到了 亿吨。其中 2015 年与 2023 年是工业污水排 放量速率变化的两个转折点，2015 年之前每年减少工业污 水排放 800 万吨，2016 年～2023 年每年减排 600 万吨， 2024 年之后 万吨/年。减排速率逐渐下降，变化趋 势与污水总量的变化一致。 另外，可以看出 2019 年天津市工业污水排放量将与居 民生活污水排放量相同，均为 亿吨。2020 年之后工业 污水排放量将低于居民生活污水排放量，到 2023 年时工业 污水排放量又将与第三产业污水排放量相同，大约为 亿吨。 图-2030天津市污水排放量 0 1 2 3 4 5 6 2009年 2013年 2017年 2021年 2025年 2029年 年份 排 放 量 （ 亿 吨 ） 污水排放总量 工业污水排放量 居民生活污水排放量 第三产业污水排放量 1 . ^ ( )T T na B B B Y (1) (1)ˆ ( 1) ( (0) ) ; 1, 2, ,at u u x t x e t n a a      L (1) (0)(0) (1),x x (1) (0)ˆ ( 1) ( (1) ) ; 1, 2, ,at u u x t x e t n a a      L (0) (1) (1)ˆ ˆ ˆ( ) ( 1) ( ), 1, 2,..., .x t x t x t t n    1 1 a u            ( 1) t e    2 2 a u            ( 1) t e    1 1 3 3 a u            ( 1) t e    2 2 3 3 a u            ( 1) t e   工业污水排放量的降低是必然趋势，但是其降低程度 在实际中会受到科学技术发展程度、经济社会发展的限制。 当工业污水排放量降低到一定程度之后，科学与技术的发 展与进步程度将成为其限制条件。 工业污水排放降低是我们希望看到的结果，影响工业 污水排放量的因素比较多，它主要依赖于工业规模和工业 技术水平。工业用水一方面随着工业规模的扩大而增加； 另一方面，由于社会经济的发展、水价的升高和科学技术 的进步，提高了工业用水的利用率，从而促使工业用水量 下降，两个方面共同影响工业用水量[9]。加强工业产品、 节水工艺技术的研发与投产，继续提高工业用水利用率,增 加中水回用技术的研发，加大中水回用力度，建设工业生 态园区，推行清洁生产，发展循环经济，是缓解工业用水 紧张、降低工业污水排放的必然要求与选择。 生活污水排放量预测结果分析与讨论 图 1 显示城市生活污水排放量呈增长趋势。其中居民 生活污水排放量以 亿 m3/a 的速度增长；第三产业污水 排放量，2011 年之前，以 亿 m3/a 的速度增长，2012 年之后以 亿 m3/a 的速度增长。居民生活污水排放量增 长的速度低于第三产业污水排放量的速度。 城市化发展进程的加快导致了城市人口的迅速增加， 居民生活用水需水量增大，从而使生活污水排放量增大。 而且伴随着经济社会发展水平的提升，服务业作为第三产 业发展也越来越壮大，其需水量必然增加，排污量也必然 增加。城市化过程与第三产业的发展相辅相成，城市化的 发展给城市带来了大量的劳动力，推动了第三产业的发展， 而第三产业的发展提供了大量的就业机会，吸引了更多劳 动力向城市聚集，促进了城市化发展的进程。因而合理控 制城市化发展节奏，完善城市生活污水排放、收集、处理 系统，发展生活污水回用系统，提升其回用效率对减缓水 资源压力具有实际意义，同时加强居民的环境教育，增强 社会的节水意识，合理制定水价，用经济的手段促进节水， 改进生活设施，加大节水设施的研发与投产也必不可少。 6、结语 天津市是一个缺水非常严重的城市，发展污水回用对 缓解天津市水资源短缺的压力具有重要意义。本文预测的 结果，对制定合理的工业污水、生活污水回用方案，合理 配置水资源系统具有一定的指导意义。通过对工业污水排 放量的预测，结合当前工业污水回用率以及未来的工业发 展计划可以合理预测、安排工业用水量。生活污水回用于 农业灌溉、城市景观用水等可以缓解农业需水压力，在一 定程度上满足生态环境需水的要求。 灰色系统理论为研究贫信息、不确定性问题提供了新 方法。本文的实际应用表明，灰色系统 GM（1，1，）模型 在天津市污水排放预测中具有一定的优越性，对天津市合 理制定水资源规划管理，确保水资源安全有一定的指导意 义。 参考文献 [1] 王媛，徐利淼.天津水资源承载力与经济协调发展研究[J].天津 师范大学学报(自然科学版)，2003，23（1）：68-72 [2] 陈震，陈日耀，林智虹等.水环境科学[M]，科学出版社，2006 年 4 月：9-32 [3] 马进军.城市再生水的风险评价与管理[D]，清华大学博士论 文集，2008，06 [4] 汪妮，秦涛，张刚.城市再生水需水量预测的研究与应用[J]， 干旱区资源与环境，2009，23（5）：61-64 [5] 天津市统计局编.2009 天津统计年鉴[M],中国统计出版社， 第 25 期：108-109，128 [6] 刘思峰.灰色系统理论的产生于发展[J].南京航空航天大学学 报，2004，36（2）：267-272 [7] 邓聚龙.灰色系统理论教程[M]，武汉：华中理工大学出版社， -20 [8] 郝永红，黄登宇，张文忠等.山西神头泉流量的灰色预测模型 研究[J]，水利学报，2004，02：111-114 [9] 常淑玲，尤学一.天津市需水量预测研究[J]，干旱区资源与环 境，2008，22（2）：14-19 基于 Visual C#的灰色理论建模系统及其应用 曾波 1,2 ，刘思峰 1 1) 南京航空航天大学 经济与管理学院 南京 210016 2) 重庆工商大学 商务策划学院 重庆 400067 摘 要 针对传统灰色理论建模系统存在的问题，从系统注册、模型功能、输入方式等方面对建模系统进行了重新设计和开发， 并介绍了新系统的开发思想、关键技术及操作流程, 最后以 GM(1,1)模型为例，介绍了模型的使用。该系统的开发，较大程度上降低 了科研工作者使用灰色模型的运算负担，对灰色系统理论的推广和普及具有重要意义。 关键词 灰色理论，建模系统，Visual C# Modeling system of grey theory based on Visual C# and its application Zeng Bo1, 2 & Liu Sifeng2 1) College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016 2) College of business planning, Chongqing Technology and Business University, Chongqing 400067 Abstract—with the limitations of traditional modeling system of grey theory, a novel one is redesigned and developed in the aspects of system register, model functions, fashions of entering and etc. This paper introduced the thinking, key technology and operational process of the new modeling system, and showed the use of it for the example of GM (1, 1). The novel system declines operation trouble when scholars employ grey theory to model, and has an important significance of spread and dissemination for grey system theory. Keywords—grey theory, modeling system, Visual C# 1．引言 1982 年，我国著名学者邓聚龙教授创立了灰色系统理 论[1]，目前，该理论已被广泛应用于社会、经济、农业、 气象、军事等领域，解决了日常生产生活中的大量实际问 题。方便实用的灰色系统建模软件为推动灰色系统理论的 大规模应用发挥了重要作用。随着信息技术的迅速发展， 高级编程语言的日趋成熟，以及软件应用的日益普及，灰 色系统建模软件也不断升级。 1986 年，王学盟、罗建军运用 BASIC 语言编写了灰 色系统建模软件，并出版了《灰色系统预测决策建模程序 集》；1991 年，李秀丽、杨岭分别应用 GWBASIC 和 Turbo C 开发了灰色建模软件；2001 年，王学盟,张继忠,王荣出版 了《灰色系统分析及实用计算程序》，该书列出了灰色建模 的软件结构及程序代码[2]。 上述软件都是基于 DOS 平台进行开发，已难以适应不 断更新的 Windows 视窗系统，2003 年，刘斌博士应用 开发了第一套基于 Windows 视窗界面的灰 色系统理论建模软件[3]，该软件一经问世就得到灰界专家 的广泛好评，成为灰色系统建模领域的首选软件。随着软 件开发技术的日新月异、人们操作习惯的不断变化及灰色 理论本身的不断发展完善，人们发现该系统也有不少待改 进之处，主要有： ℃ （1）数据输入过程较繁琐。单个文本框的布局 限制了数据序列的一次性粘贴；对聚类分析或者灰色决策 中大量数据的输入尤其不便；另外，单一的数据输入方式 也容易让用户感到疲倦，从而影响数据输入的效率及正确 性。 ℃ （2）模块的分类欠科学。该系统按照参与建模 的数据个数来划分模块。而模块通常应按照功能来划分而 不是按建模数据的个数来进行划分。 ℃ （3）系统不能显示计算过程。使用灰色系统理 论的绝大多数用户属于科技工作者，他们使用系统的目的 主要是进行科学研究，因此，对计算过程和阶段性结果比 较感兴趣。但原系统只能反应最终的计算结果，不能显示 计算过程。 ℃ （4）系统功能与最新研究成果脱节。灰色系统 理论是系统科学中一个非常活跃的分支，特别是最近几年， 涌现出了很多具有实用价值的研究成果，但是该系统没有 在这些成果的基础上及时进行软件升级，造成了系统功能 与最新的研究成果脱节。 ℃ （5）开发工具的选择问题。 是微 软公司开发的一套图形用户界面程序的开发工具，由于该 工具具有简单实用、功能强大等优点，所以一经推出，就 得到软件开发者的积极响应。但是，由于 是 以 Basic 为基础的 IDE（集成开发环境），而 Basic 是一门 典型的弱类型语言，它不支持继承，异常处理不完善，对 变量类型要求不严格（如变量在使用之前可以不声明）等 缺点，限制了其在精度要求较高的科学计算软件领域的应 用，所以选择 开发的灰色系统理论建模软件 难免存在不便之处。 针对传统灰色理论建模系统存在的问题，新系统（简 称 ：Grey Modeling ）从模型功能、输入 方式、计算过程、结果精度等方面进行了重新设计及开发。 2． 的特点及模块组成 的特点 灰色系统建模系统一方面需要实现模型的计算功能， 另一方面又涉及到用户的登录及注册等功能，因此本系统 充分结合了 C/S 与 B/S 模式的优点，其中 C/S 部分完成系 统的运算功能，而 B/S 部分则主要处理用户与服务器交互 的相关操作。在对原系统进行针对性改进的基础上，本系 统在设计时更注重系统的可靠性、实用性、兼容性、扩充 性、精确性以及操作界面的易用性及美观性，体现出如下 特点： （1）数据录入方便快捷 对相同类型的数据序列，系统只提供了一个长条形的 文本框，用户可以将同类型的数据序列一次性地拷贝到文 本框中；对灰色聚类及灰色决策需要大量数据的模块，采 用传统的文本框进行数据录入则稍显不便，针对这种情况， 用户先可在 Excel 文件中录入相关的数据，然后通过程序 将 Excel 的数据信息导入到系统中。系统整合了 Excel 的强 大数据编辑处理功能，实现了数据录入的方便快捷。 （2）按功能划分模块 软件工程中所谓的模块是指系统中一些相对独立的程 序单元，每个程序单元完成和实现一个相对独立的软件功 能。通俗点就是一些独立的程序段。每个程序模块要有自 己的名称、标识符、接口等外部特征。在本系统中，开发 者对灰色系统理论中的内容进行了科学的规划与整理，并 按照内容进行了功能的定义及模块的划分。 （3）向用户提供运算过程和阶段性结果 对一些计算过程比较复杂、中间结果比较重要的模块， 在系统中增加了一个专门用于存储计算过程的多行显示文 本控件。用户能够监测到输入数据在每一步骤中的变化过 程，从而对模型的运行规律有更加清晰的理解和认识。 （4）对模块功能进行了扩展 根据灰色系统各部分理论的使用情况，同时结合最新 的研究成果，在新系统中增补了一些功能。主要包括：弱 化算子（加权平均弱化缓冲算子、几何平均弱化缓冲算子、 加权平均弱化缓冲算子），强化算子（平均强化缓冲算子、 几何平均强化缓冲算子、加权平均强化缓冲算子等），灰 色关联分析（相对关联度、接近关联度），聚类分析（基 于中心点的三角白化权函数聚类），灰色预测（GM(1,n)模 型，DGM(1,1)模型），灰色决策分析（智能灰靶决策）等 内容。 （5）计算结果精度可调 不同的系统对计算结果的精度有不同的要求。在新系 统中增加了一个组合框控件 ComboBox，该控件接受用户 输入（或选择）计算结果小数点后面的位数，这样，用户 可以根据实际情况灵活设置精度。 （6）系统操作简便，易于应用 系统主要采用菜单方式和窗口界面将灰色系统理论中 常用的建模方法进行了有效的集成，用户只需具备一般的 计算机操作技能即可顺利完成，同时，系统具有较强的容 错处理能力，对用户的非法操作，系统将给予准确而详细 的提示。 （7）基于 Visual C#进行开发 C#是微软开发的一种面向对象的编程语言，是微 软.NET 开发环境的重要组成部分。而 Microsoft Visual C# 是微软开发的 C#编程集成开发环境（IDE），它是为生成 在 .NET Framework 上运行的多种应用程序而设计的。C# 功能强大、类型安全，面向对象，具有很多优点，是目前 C/S 软件的主流开发工具[4]。 的模块组成 以《灰色系统理论及应用》第五版（刘思峰等著）[5]为基 础，并结合灰色系统领域的最新研究成果，设计如图 1 所 示的 系统模块构成图。 3． 的注册系统 为了验证系统用户身份的合法性，需要用户在进入系 统前进行注册，但是，假如每次用户进入系统都需要进行 一次注册码校验，又略显繁琐。为了既能保证系统使用者 身份的合法性，同时又能满足系统使用的简便性，在系统 设计时应用基于 XML 的客户端技术进行程序处理，当用 户第一次登录的时候，系统提示需要输入注册码，提交之 后通过某种内置算法以校验注册码的合法性；当用户第二 次使用系统的时候，则可以直接跳过注册窗口进入系统主 界面，以避免用户每次使用系统需要输入注册码的繁琐。 图 1 功能模块图 图 2 注册界面 在登录时，若用户尚注册码，此时需要点击登录窗口 的“免费获取注册码”进行免费注册（B/S）。以下是系统的 注册窗口(图 2)及注册流程图(图 3)。 图 3 用户注册流程图 4． 的数据输入方式 在使用系统建模之前，需要首先向系统输入数据以及 设置系统参数， 分别提供了两种数据输入方式，即 直接通过系统提供的控件进行数据输入以及通过 Excel 文 件从外部导入数据（对需要大量数据输入的模块只提供了 从 Excel 文件导入这一种方式），现在对这两种输入方式进 行介绍。 ℃ （1）从控件中输入数据。 在 VisualC#中，有两种控件支持直接输入数据： 一 种 是 文 本 框 （ Textbox ） 控 件 ； 一 种 是 组 合 框 （ComboBox）控件。Textbox 控件是用于创建被称为文本 框的标准 Windows 编辑控件，用于获取用户输入或者显示 的文本信息。在文本框中输入数据时，用鼠标右键点击文 本框，看到（修改为：观察到）光标在文本框中闪动之后 即可进行数据输入。 Windows 窗体的组合框控件（ComboBox）主要用于 在下拉列表框中显示数据。默认情况下，ComboBox 控件 由两个部分构成：顶部是一个允许用户输入数据的文本框 （Textbox），下面部分是一个下拉列表框（ListBox），这是 一个提供给用户进行选择的选项列表。由于组合框由上部 B/S部分 统计数据 在线注册 分条件查询 C/S部分 灰序列生成 加权平均弱化缓冲算子 加权几何平均弱化算子 灰色关联分析 平均弱化缓冲算子 一般强化缓冲算子 普通强化缓冲算子 几何平均弱化缓冲算子 特殊强化缓冲算子 几何平均强化缓冲算子 加权几何平均强化算子 加权平均强化算子 平均强化缓冲算子 累加算子生成 紧邻均值生成 累减算子生成 邓氏关联度 绝对关联度 接近关联度 相对关联度 综合关联度 相似关联度 灰色聚类分析 灰色定权聚类 灰色变权聚类 中心点三角白化权聚类 灰色预测模型 GM(1,1)模型 DGM(2,1)模型 GM(1,N)模型 Verhulst模型 灰色决策分析 单目标化决策 DGM(1,1)模型 智能灰靶决策 用户获取 注册码 用户注册流程图 开始 是否首次登录 输入注册码 进入系统 进入B/S子系统免 费获取注册码 否 是 是否有注册码 注册是否成功 是 否 否 是否忘记注册码 否 查询注册码或重 新注册（需提供 另外的Email） 是 是 的文本框以及下部的下拉列表框组合而成，因此称这种控 件为“组合框”。用户在使用组合框进行数据录入的时候， 首先检查下拉列表框中是否包含自己希望录入的数据，假 如有则直接使用鼠标选中即可；否则，需要在组合框顶部 的文本框中录入数据（具体录入过程与操作文本框类似， 略）。 （2）从 Excel 文件中导入数据。 文本框或者组合框只能接受小量的数据录入，对 大批量的信息，使用文本框或者组合框，不仅数据的录入 效率低，而且容易出错。为了解决本系统中大批量数据（在 灰色聚类，灰色决策中经常需要大量信息）的录入问题， 系统借助 Excel 强大的功能，先在 Excel 表中将需要的数据 进行录入和编辑，然后再通过软件提供的接口将 Excel 表 中的数据导入到系统。Excel 是微软公司的办公软件 Microsoft office 的组件之一，是由 Microsoft 为 Windows 和 Apple Macintosh 操作系统的电脑而编写和运行的一款 试算表软件。直观的界面、出色的计算功能和图表工具， 使 Excel 成为目前最流行的微机数据处理软件。通过 Excel， 系统将比较方便地进行数据的录入。 5． 的应用——以 GM(1,1)为例 建模数据：, , , , 结果精度：小数点后 4 位； 建立 GM(1,1)模型。 Step1：输入/导入数据及设置结果精度 Step2：计算模型参数、显示计算过程 Step3：预测数据 操作界面如图 4 所示。 图 4 的应用界面 6．结束语 （1）在已有灰色系统理论的基础上,结合自己的应用 体验,开发了基于 Visual C#的灰色建模系统 ,有助于广大科 研工作者应用灰色系统进行建模和数据分析,促进了灰色 系统在应用领域的发展。 （2）本系统包含了灰色理论中主要的模型,采用面向 对象和模块化的编程思想划分各模型。随着灰色系统理论 的完善和应用研究的推广,新的模型可以不断地充实本系 统。 参考文献 [1] 邓聚龙.灰色系统(社会,经济)[M].北京:国防工业出版社,1985. 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This paper proposed to use the Distinguishing Algorithm of Gross Error based on GM(1,1) Model to deal with the intensity of HF signal, eliminate the break data influenced by the ionosphere fast fading, and to improve the precision of the middle method in statistical theory. Using MATLAB to process the identical data of HF air filed intensity. The result accurately eliminates the break data influenced by the ionosphere fast fading, and improves the precision of the middle method in statistical theory. This algorithm is used in practice. Keywords—ionosphere fast fading；HF air field intensity；distinguishing algorithm of gross error based on GM（1,1）Model；middle method instruction 1．引言 短波天波信道主要靠电离层反射，电离层是分层、不 均匀、时变的媒介，短波信道属于随机变参信道，存在着 多径效应、衰落、多普勒频移等特性。电离层的快衰落特 性对短波通信装备和干扰装备的天波信号场强有着不可忽 略的影响，天波信号场强数据表现出一种非平稳特征，利 用统计理论直接对测量数据处理存在较大误差。为降低受 电离层快衰落影响的测量数据误差和提高信号场强测量数 据中值法处理的精度，需要对电离层快衰落影响的信号场 强数据进行预处理。灰色系统理论中预测模型 GM(1,1)的 粗大误差判别算法[1]主要用于剔除测量数据中含有粗大误 差的数据，所以本文提出采用 GM(1,1)粗大误差判别算法 对短波天波场强测量数据进行预处理，剔除受电离层快衰 落影响而突变的测量数据，并通过在 Matlab 中对短波天波 场强典型数据进行处理，验证 GM(1,1)粗大误差判别算法 能否剔除受电离层快衰落影响而突变的数据和提高短波天 波场强中值法处理的精度。 2．基于 GM(1,1)外推的粗大误差判别算法[1] GM(1,1)模型[3,6] 常用的数列预测外推模型 GM(1,1)为单变量模型，是 做系统变量外推的一种有效的模型。它通过原始数据的处 理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对系统 的未来状态做出科学的定量预测外推。 令原始数列为 ， 计 算 级 比 得 到 级 比 序 列 ， 判 断 是否满足。如果满足，直接用原 始数列进行 GM(1,1)建模；否则对原始数列进行数据变换 处理（平移变换、对数变换或方根变换[3]），直到要求满足。 设 为 GM(1,1) 建模序列，则 GM(1,1)的灰色微分方程为 （1） 式中待估计参数 为 GM(1,1)的发展系数，待估计参 数 为 GM(1,1)的灰作用量， 可通过式（2）求得， 其 中 为 的 均 值 序 列 ， 为 的 AGO （Accumulating Generation Operator）序列。 （2） 另设 为参数列，且 （3） 则灰色微分方程式（1）的最小二乘估计参数列为 （4） 求得参数列 ，解灰色微分方程式（1）可以得到外推 模型式（4）。 （5） 令 （ ），可得 GM(1,1) 的相对残差 和平均相对残差 如式 （6），从而可通过式（6）得到 GM(1,1)的建模精度 。 （6） （7） 通过外推值的相对残差来评定预测值的精度。 令 , ，可 得外推值的均方差估算公式为 （8） 式中 （9） 则外推值的精度 可以表示为 （10） 基于 GM(1,1)模型的粗大误差判别算法[1] 根据灰色系统理论，由于测量数据的不确定性，测量 数据则可以视为在一定范围内的灰色量，可以利用灰色系 统的相关理论对数据进行处理。设有一组测量数据序列 ,为了进行粗大误差的判别,将原始 测量序列的测量数据按从小到大排序，形成一个新的序列 为 。很显然，重新排列后的数据 列 最 可 能 含 有 粗 大 误 差 的 数 据 首 先 就 是 和 。下面分别介绍 和 中的粗大误差 判别步骤。 中的粗大误差判别 步骤一：首先假设 和 含有粗大误差并 予以剔除，余下数据 重新写为新               0 0 0 01 , 2 , ,x x x x n L          0 01k x k x k         2 , 3 , , n    L      2 1 2 1(e , )n nk e                  0 0 0 01 , 2 , ,x x x x n L        0 1x k az k b  a b    1z k  1z  1x  1x  0x                                                   1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 2 , , 1 2 , 3 , , k m x x x x n x k x m z k x k x k z z z z n                      L L  ˆ , Ta a b                         0 2 0 2 0 2 2 2 1 3 3 1 , 1 x z x z Y B x n z n                                 M M M   1ˆ T Ta B B B Y â                     1 0 0 1 1 ˆ 1 1 1,2, , ˆ ˆ ˆ1 1 akb bx k x e a a k n x k x k x k                 L          0 0ˆe k x k x k  2, ,k n L  k  avg 1p            0 2 100% 1 1 n k e k k x k avg k n                1 1 100%p avg   11 121 21 22 T Q Q Q B B Q Q             0 1 TEE n                           20 1 1 11 22 1 1 1 2 12 0 ˆ 1 1 1 2 1 1 ak x k akx x kb Q Q akx x kb Q e                                  0 0 1 , 2 , , , , ˆ E e e e k e n e k x k x k         L L 2p         0 2 0 ˆ 1 1 100% ˆ 1 x k p x k            1,2, ,x i i n L      0 1,2, ,x i i n L    0 1x    0x n    0 1x    0x n    0x n    0 1x    0x n      0 2, , 1x i i n L 的数据列 。显然有 （11） 步 骤 二 ： 以 数 据 建 立 GM(1,1)模型，通过式（5）得到外推模型 (12） 式中 是 的 AGO 序列，参数 、 通过式（4） 求得。从而得到外推值 和 GM(1,1)的建模精度 。 步骤三：计算 相对于 的相对残差 （13） 步骤四： 中粗大误差的判别算式。若 （14） 成立，则认为 中含有粗大误差，否则认为 中不含粗大误差；式中 为判别门限， 是 、 的函数。 中的粗大误差判别 首先同样假设 和 含有粗大误差并予以 剔除，对余下数据 从大到小进行 排列，得到新的数据列 ，并有 （15） 其他步骤类似 中步骤二至步骤四。 依靠本文方法判别粗大误差时，每次只能判断第 1 个 或第 个数据。若为粗大误差则予以剔除，余下的数据重 新依上述步骤重复判断。也就是当 或 含有 粗大误差时，才继续去判别 或 ，关于 的 判 别 方 法 与 的 判 别 方 法 类 似 ， 的判别方法与 的判别方法步骤一致， 以此类推，直到所有的判别数据不含粗大误差而终止。 3 短波天波场强测量数据分析及处理 短波天波场强测量数据分析 由于电离层媒质的随机性，各径相对时延亦随机变化， 使得合成信号发生随机起伏，这种变化非常快，称为快衰 落。电离层快衰落造成短波天波信号场强测量数据的突变， 图 1 为场强测试数据典型图，图中的数据变化起伏很大， 如果直接处理这样的数据，势必造成处理结果带有很大的 误差。 图 1 短波天波场强测量数据典型图 短波天波场强测量数据处理 根据短波天波场强测量数据的分析，GM（1,1）模型 的粗大误差判别算法适合对短波天波场强测量数据的处理。 根据建立 GM（1,1）模型的条件，计算短波天波场强 测量数据的级比序列 和判 断 条件，对短波天波场强测量 数据级比序列的范围判断条件为 [,]，通过模 型条件计算，采用方根变换，共 8 次变换方可获得可以建 立 GM（1,1）模型的数据列。根据 GM（1,1）模型的粗大 误差判别算法对可建立 GM（1,1）模型的数据列进行处理， 其步骤为： 步骤一：将原始数据列从小到大排序得到新的数列， 并假设数据列中的最大值和最小值含有粗大误差。 0 200 400 600 800 1000 1200 10 20 30 40 50 60 70 采样点 幅 度      1 1, , 2x i i n L                 1 0 1 0 1 2 2 1 x x x n x n          L      1 1, , 2x i i n L                     1 1 1 1 1 ˆ 1 1 ( 1,2, , 2) ˆ ˆ ˆ1 1 a ak a a b b x k x e a a k n x k x k x k                  L  1ax  1x a b    1ˆ 1x n  p    0x n    1ˆ 1x n  ̂             1 0 1 ˆ 1 ˆ 100% ˆ 1 x n x n x n          0x n  1 2ˆ 1 ,f p p      0x n    0x n  1 21 ,f p p  1 2,f p p 1p 2p    0 1x    0 1x    0x n      0 2, , 1x i i n L      1 1, , 2x i i n L                 1 0 1 0 1 1 2 2 x x n x n x          L n    0 1x    0x n    0 2x    0 1x n     0 2x    0 1x    0 1x n     0x n       2 , 3 , , n    L      2 1 2 1(e , )n nk e    图 2 GM（1,1）模型从小到大排序的数据列 步骤二：利用除去最大值和最小值的数据列建立 GM(1,1)模型，从而判别最大值是否含有粗大误差。 步骤三：同步骤二，数据列按从大到小排列，建立 GM(1,1)模型，判别最小值是否含粗大误差。 步骤四：按步骤二和步骤三进行循环运算，依次判断 各个数据是否含有粗大误差。 根据上述步骤，得到预测幅度误差和保留数据区间[55， 1102]，此保留数据为原始数据从大到小排序的区间，如图 3 所示。 图 3 预测幅度误差和粗大误差剔除区 根据剔除粗大误差数据区域，得到在原始数据中剔除 粗大误差数据的包络如图 4 所示。 从图中可以看出，电离层造成的测量数据突变数据很 好的被检测出来，受电离层快衰落影响而突变的测量数据 已基本剔除。 图 4 原始数据中剔除数据的包络图 根据短波天波场强数据的瑞利分布规律，采用中值法 对剔除后的数据进行处理，得到如下结果：信号场强数据 在未处理前场强中值为 ，经过 GM（1,1）粗大误差 处理后的场强中值为 ；提高了短波天波场强中值 法处理的精度。 4 结束语 电离层的快衰落特性对短波通信装备和干扰装备的天 波信号场强有着不可忽略的影响，天波信号场强数据表现 出一种非平稳特征，利用统计理论直接对测量数据处理存 在较大误差。为降低受电离层快衰落影响的测量数据误差 和提高信号场强测量数据中值法处理的精度，需要对电离 层快衰落影响的信号场强数据进行预处理。本文提出了采 用灰色系统理论中预测模型 GM(1,1)粗大误差判别算法对 短波天波场强测量数据进行预处理，剔除受电离层快衰落 影响而突变的测量数据。在 Matlab 中对典型数据的处理结 果表明，GM(1,1)粗大误差判别算法能很好地剔除受电离层 快衰落影响而突变的数据，具有较好的判别精度，提高短 波天波场强中值法处理的精度，并在实践中得到应用。 参考文献 [1] 柯宏发，陈永光，吴金良．一种新的基于 GM(1,1)模型的粗 大误差判别模型[J]．系统工程与电子技术 2008 年 10 期 [2] 王正明，易东云．测量数据建模与参数估计[M]．长沙：国 防科技大学出版社，1997：24-155 [3] 余剑．高精度智能测量系统中粗大误差的处理技术[J]．测试 技术学报，2003，17（3）：258-261 0 200 400 600 800 1000 1200 采样点 幅 度 0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 x 10 -3 采样点 预 测 幅 度 差 预测幅度误差 是否剔除数据判断 剔除数 据区域 保留数据区域 剔除数 据区域 0 200 400 600 800 1000 1200 0 10 20 30 40 50 60 70 采样点 幅 度 原始数据 剔除包络 [4] Yu Jian. Gross error processing technology in intelligence measuring system with high precision[J]. Journal of Test and Measurement Technology, 2003，17(3): 258-261 [5] 邓聚龙．灰理论基础[M]．武汉：华中科技大学出版社， 2002：210-258 [6] 朱坚民，宾鸿赞，王中宇等．测量数据粗大误差的非统计判 别[J]．华中理工大学学报，2000，28（4）：17-19 [7] Zhu Jianmin, Bin Hongzan, Wang Zhongyu, et al. Non-statistical distinguish of gross errors in measurement values. Journal of Huazhong University of Science and Technology, 2000，28(4): 17-19 [8] 柯宏发，陈永光，楚振锋．电子装备试验数据的灰色处理 [J]．系统工程与电子技术，August 2005，27(8)：1409-1411 [9] Ke Hongfa, Chen Yongguang, Chu Zhenfeng. Grey processing of electronic equipment test data[J]. Systems Engineering and Electronics. Aug. 2005, 27(8): 1409~1411 [10] Ke Hongfa, Chen Yongguang, Wang Guoyu. Target Assignment Model of Electronic Equipments Based on GM(1,1) Model[J]. The Journal of Grey System, 2005, 17(3): 235-242 [11] Kun-Li Wen, Ting-Cheng Chang, Wei-Che Chang, et al. 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The Journal of Grey System, 2006, 18(1):79-83 非等间距多变量模型背景值的优化 熊萍萍 1,2 党耀国 1 杨阳 2 1) 南京航空航天大学经济与管理学院 江苏 南京 210016 2) 南京信息工程大学数理学院 江苏 南京 210044 摘 要：针对背景值的优化问题，在非等间距多变量 MGM(1,n)模型的基础上对背景值的构造方法进行了研究，结合灰色预测模 型的准指数规律，利用非齐次指数函数拟合非等间距多变量模型中各变量的一次累加生成序列，提出了一种非等间距多变量 MGM(1,n) 模型的背景值优化方法，从而提高模型的模拟预测精度。最后，应用实例验证了优化模型的有效性和可行性。 关键词：非等间距，MGM(1,m)模型，背景值，优化 中图分类号： The Optimization of Background Value in Multi-Variable Non-Equidistant Model XIONG Ping-ping1,2 DANG Yao-guo1 YANG Yang2 1) College of Economics and Management, NUAA, Nanjing 210016, China（Email：xpp8125@） 2）College of Mathematics and Physics, NUIST, Nanjing 210044, China Abstract-For the optimization problem of background value,we research from the building method of background value based on the non-equidistant multi-variable MGM(1,m) model . According to the quasi-exponential law of grey prediction model, we use the functions with non-homogeneous exponential law to fit the accumulated sequences for every variable to optimize background value of non-equidistant multi-variable MGM(1,m) model, in order to improve the accuracy of simulation and prediction. The effectivity and feasibility of optimization model is verified by an application.. Key words-non-equidistant; MGM(1,m) model; background value;optimization 1 引言 自从邓聚龙教授 1982 年首次提出灰色系统理论以来, 灰色预测模型在经济管理众多领域得到了广泛的应用[1]。 资助项目: 国家社会科学基金重点项目（08AJY024）；南京航空 航天大学科研创新基金（Y0811－091）；南京航空航天大学社科 基金（V0852-091）资助项目;江苏省社会科学基金 （08EYB005）. 作者简介:熊萍萍(1981-)，女，讲师，汉，湖北咸宁人，博士研究 生，主要从事灰色系统理论研究；党耀国(1964-)，男，汉，河南 驻马店人，教授，博士生导师，主要从事灰色系统理论与数量经 济研究. GM(1,1)模型是最常用的一种灰色系统模型, 它通过单 变量的一阶微分方程模型揭示其内在发展规律, 用于单 变量的建模和模拟预测。而多变量 MGM(1,n)模型,它从 系统的角度对各变量进行统一描述，能较好反映系统中 各个变量之间相互作用、相互联系的关系。翟军(1997) 等提出多变量灰色 MGM(1,n)模型,通过实例验证了该 模型的精度高于分别单独使用的 GM(1,1 )模型的精度 [2]。李小霞(2003)等在多因子灰色模型的几种精确级差 格式的基础上，将误差融入级差格式, 基于理想状态时 的相对误差提出了一种新的灰色模型 [3]。王丰效(2007)对 于多变量非等间距数据序列,建立了一类 GM(1,m)预测模 型 [4]。崔立志(2008)等分析了多变量灰色模型 MGM(1,n)中 的背景值构造方法,利用向量连分式理论提出了用有理插 值和数值积分中的梯形公式及外推法重构背景值, 从而可 以有效地提高模型的模拟精度和预测精度 [5]。 灰色系统模型大多建立在等间距序列基础之上，而现 实生活中所得到的原始数据有些是非等间距的序列，因此， 建立非等间距序列的灰色预测模型有一定的实际意义。目 前，不断有学者对非等间距的 GM(1,1)模型进行了研究。 王钟羡，史雪荣，罗佑新,谭冠军通过在对原始数据序列的 一次累加生成是将序列的间距作为乘子建立了非等间距 GM(1 ,1)模型预测模型 [6-9]。 由于背景值的构造方法是影响预测精度和适应性的关 键因素,对于非等间距 GM(1,1)模型,戴文战利用齐次指数 函数拟合一次累加生成序列，通过优化 GM(1,1)模型的背 景值提出了建模方法 [8]。王正新等利用非齐次指数函数对 GM(1,1)模型的背景值进行优化[10]。王叶梅等在文献[10]的 基础上通过优化 GM(1,1)模型的背景值提出了非等间距 GM(1,1) 模 型 的 建 模 方 法 [11] 。 对 于 非 等 间 距 多 变 量 MGM(1,n)模型，王丰效提出了重构背景值的方法[4]。而从 多变量 MGM(1,n)模型的白化微分方程解的形式可看出，一 次累加生成序列向量是非齐次的，因此本文利用非齐次指 数函数向量拟合一次累加生成序列向量，提出了一种优化 MGM(1,n)模型背景值的方法，用该方法可以提高非等间距 多变量 MGM(1,n)模型的模拟预测精度。 2 非等间距多变量 MGM(1,m)模型 定义 1 设序列 ， ，若间距 则 称 ，是非等间距序列。 定义 2 称序列 ， 为非等间距序列 的一阶累加生成 序列,其中 。 定义 3 称序列 为序 列 的 非 等 间 距 紧 邻 均 值 生 成 序 列 , 其 中 ， 。 设原始数据矩阵为： 式中： 表示第 个变量在 时刻的观 测值序列，即 ， ， 为非等间距序列。 对序列 , , 分别进行一次累加， 得到新生成的数据矩阵，称为原始数据矩阵 的一 阶累加生成矩阵，记为 ，则有： 其中， 为原始数据序列 的一阶累加生成序 列 ， 即 ， 其 中 ， 。 非等间距多变量 MGM(1,m)模型的一阶微分方程组 为： (1) 记式(1)为： (2) 其中， ， 式(2)的时间响应式为：  ,),(),( 2)0(1)0()0( ℃kxkxX jjj  )()0( nj kx mj ,,2,1 ℃ ,1 constkkk iii   )0( jX mj ,,2,1, ℃  )(,),(),( )1(2)1(1)1()1( njjjj kxkxkxX ℃ mj ,,2,1 ℃ )0(jX nimjklkxkx i l ljij ,,2,1,,,2,1,)()( 1 )0()1( ℃℃    )(,),(),( )1(3)1(2)1()1( njjjj kzkzkzZ ℃ )1( jX ))()(()( )1(1 )1()1( ijijij kxkxkz   mj ,,2,1, ℃ ni ,,3,2 ℃  TmXXXX )0()0(2)0(1)0( ,,, ℃                )()()( )()()( )()()( )0( 2 )0( 1 )0( )0( 22 )0( 21 )0( 2 )0( 12 )0( 11 )0( 1 nmmm n n kxkxkx kxkxkx kxkxkx ℃ ℃℃℃ ℃ ℃ )0( jX j nkkk ,,, 21 ℃ )0( jX  )(,),(),( )0(2)0(1)0( njjj kxkxkx ℃ mj ,,2,1 ℃ )0(jX )0( 1X )0( 2X )0( mX℃ )0(X )1(X                               )()()( )()()( )()()( )1( 2 )1( 1 )1( )1( 22 )1( 21 )1( 2 )1( 12 )1( 11 )1( 1 )1( )1( 2 )1( 1 )1( nmmm n n m kxkxkx kxkxkx kxkxkx X X X X ℃ ℃℃℃ ℃ ℃ ℃ )1( jX )0( jX )1( jX  )(,),(),( )1(2)1(1)1( njjj kxkxkx ℃ ,)()( 1 )0()1( l i l ljij kkxkx    mj ,,2,1 ℃ ni ,,2,1 ℃               mmmmmm m mm mm bxaxaxa dt dx bxaxaxa dt dx bxaxaxa dt dx )1()1( 22 )1( 11 )1( 2 )1( 2 )1( 222 )1( 121 )1( 2 1 )1( 1 )1( 212 )1( 111 )1( 1 ℃ ℃℃℃℃ ℃ ℃ BtAX dt tdX  )( )( )1( )1(              mmmm m m aaa aaa aaa A ℃ ℃℃ ℃ ℃ 21 22221 11211                mb b b B ℃ 2 1 )()1( tX  Tm txtxtx )(,),(),( )1()1(2)1(1 ℃ BABAkXe ktA 111 )1()( ))((1   将式(1)离散化得到： ， ， (3) 其中 ， ， 。 定理 1[12] 设非负非等间距序列 , 为 第 个 变 量 的 原 始 数 据 序 列 ， , 为 的一阶累加生成序列， , 为 的非等间距紧邻均值生成序列, 则 (1)非等间距 MGM(1,m)模型差分方程 ,， 的最小二乘估计参数列满足： ， 其中 ， 且可得参数矩阵 和参数向量 的辨识值： ， (2)非等间距 MGM(1,m)模型的响应式为： (4) (3)还原式为： ， (5) 3 非等间距 MGM(1,m)模型背景值的优化研究 非等间距 MGM(1,m)模型背景值的误差分析 将方程组(1)中 个白化方程在区间 上两 边同时积分得： 即得： ， ， (6) 将式(3)与式(6)对比发现，传统背景值计算公式实 际上是用梯形面积 ， ，记为 ， 即 用 = ， 近 似 代替 在区间 上与 轴围成的面积，传统 背景值计算公式的误差来源如图 1 所示，图中的阴影部 分面积即为误差部分。因此，用 作为 在区间 上的背景值估计得出的参数矩阵 和 参数向量 更能适应白化方程。 图 1 非等间距多变量模型背景值的优化 记 在 区 间 上 改 进 的 背 景 值 为 ， ， ； ， 。 根 据 灰 色 预 测 模 型 的 准 指 数 规 律 ， 故 可 设 jil m l jlij bkzakx    )()( )1( 1 )0( mj ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃ ))()(()( )1(1 )1()1( ililil kxkxkz   ml ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃ )0( jX  )(,),(),( )0(2)0(1)0( njjj kxkxkx ℃ mj ,,2,1 ℃ j )1(jX  )(,),(),( )1(2)1(1)1( njjj kxkxkx ℃ mj ,,2,1 ℃ )0( jX )1( jZ  )(,),(),( )1(2)1(1)1( njjj kzkzkz ℃ mj ,,2,1 ℃ )1(jX jil m l jlij bkzakx    )()( )1( 1 )0( ni ,,3,2 ℃   jTTTjjmjj YPPPbaaa 121 )(ˆ,ˆ,,ˆ,ˆˆ  ℃ja mj ,,2,1 ℃                1)()()( 1)()()( 1)()()( )1()1( 2 )1( 1 3 )1( 3 )1( 23 )1( 1 2 )1( 2 )1( 22 )1( 1 nmnn m m kzkzkz kzkzkz kzkzkz P ℃ ℃℃℃ ℃ ℃ jY  Tnjjj kxkxkx )(,),(),( )0(3)0(2)0( ℃ mj ,,2,1 ℃ A B mmijaA  )ˆ(ˆ )ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ 21 mbbbB ℃ )(ˆ )1( ikX   T imii kxkxkx )(ˆ,),(ˆ),(ˆ )1()1( 2 )1( 1 ℃ BABAkXe kkA i ˆˆ)ˆˆ)(( 111 )1()(ˆ 1   )(ˆ )0( ikX   T imii kxkxkx )(ˆ,),(ˆ),(ˆ )0()0( 2 )0( 1 ℃ i ii k kXkX    )(ˆ)(ˆ )1()1( ni ,,3,2 ℃ m  ii kk ,1    i i i i k k jmjmjj k k j dtbxaxaxadt dt dx 11 ][ )1()1(22 )1( 11 )1( ℃ mj ,,2,1 ℃ ij k k mjm k k k kjj ijij kb dtxadtxadtxa kxkx i i i i i i         11 1 )1()1( 22 )1( 11 1 )1()1( )()( ℃ ij m l k k ljliij kbdtxakkx i i     1 )1()0( 1 )( mj ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃ iij kkz )( )1( mj ,,2,1 ℃ )()1( ij kz )( )1( ij kz iijij kkxkx  ))()(( )1( 1 )1( mj ,,2,1 ℃ )()1( tx j  ii kk ,1 t dtx i i k k j 1 )1( )()1( tx j  ii kk ,1  B̂ (1)( 1)jx k (1)( )jx k (1) jx (1)( )jx t 1ik ik t )()1( tx j  ii kk ,1 )()1( ij kz dtx i i k k j  1 )1( mj ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃ T njjjj kzkzkz ))(,),(),(( )1( 3 )1( 2 )1( ℃Z mj ,,2,1 ℃ ， 。 其 中 为 待 定 常 数 ， 且 满 足 ， ， 。 则有： (7) (8) 从式(8)中我们无法直接求出 ，根据幂级数展开式得： (9) 因为发展系数 和 都很小，所以 (10) 从而可得： ， (11) 结合式(7)和(11)解得： (12) 又由初始条件可知, ，则 , ,从而得到 (13) 从而可得背景值计算公式为： ， (14) 将式(11)和式(13)代入式(14)中，得到： (15) 根 据 最 小 二 乘 法 可 得 灰 色 微 分 方 程 ， ， 的参数列为： , (16) 其中数据矩阵 和向量 分别为： ， 将式(15)代入式(16)可以得到 个变量的参数序 列 ，最后将该参数序列代 入式(5)便可求出非等间距多变量 MGM(1,m)模型的模 拟预测值。 4 应用实例 本例参见文献[13]中吸水率对纯 PA66 力学性能的 影响的数据,根据对不同吸水率的 PA66 试样进行力学 性能测试,得到 PA66 的弯曲强度、弯曲弹性模量及拉 伸强度随吸水率变化的实验数据,如表 1 所示。下面将 弯曲强度/Mpa 作为序列 ,弯曲弹性模量/Gpa 作为 序列 ,拉伸强度/Mpa 作为序列 ,建立关于 , 和 的 非 等 间 距 多 变 量 MGM(1,3) 模 型 , 并 对 , 和 分别建立单变量非等间距 GM(1,1)模 型,通过两种模型来模拟吸水率从 各变量的真 实值,并给出吸水率为 对应的预测值。 表1　吸水率对PA66力学性能的影响 编 号 吸水率 /%( ) 弯曲强度 /MPa 弯曲弹性 模量/GPa 拉伸强度 /MPa 0 1 2 0 j kta jj cebtx j   )()1( 1)( mj ,,2,1 ℃ jjj cba ，, j kka jij cebkx ij   )()1( 1)( mj ,,2,1 ℃ ni ,,2,1 ℃ i ijij ij k kxkx kx     )()( )( 1 )1()1( )0( i kkaka j k eeb ijij     )( 1)1( )( )( 1 )0( )0( ij ij kx kx ij ij ij ka ka ka i i e e e k k          11 11 ja        0 2 ! )( !2 )( 1 n n ijij ij ka n kaka kae ij ℃ ja jk   )( )( 1 )0( )0( ij ij kx kx ij ij ij ka ka ka i i e e e k k         11 11 ij ka ij ij i i e ka ka k k         )1(1 )1(1 1 1 ij kae  ja i ijij k kxkx     )(ln)(ln 1 )0()0( mj ,,2,1 ℃ ni ,,2,1 ℃ jb )(/)(1 )](/)()[( )0( 1 )0( /)( 1 )0()0()0( 1 ijij i kkk ijijij kxkx kkxkxkx ii       )()( 1 )0( 1 )1( kxkx jj  )()( 1 )0( 1 )1( kxkx jj  jjj kka j cbceb j   )( 11 mj ,,2,1 ℃ jc )( 1 )0( kx j )(/)(1 )](/)()[( )0( 1 )0( /)( 1 )0()0()0( 1 ijij i kkk ijijij kxkx kkxkxkx ii       )()1( ij kz ijij j i kckx a k    )()0( mj ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃ )()1( ij kz 2 (0) (0) (0) 1 ( ) ln ( ) ln ( ) i j i j i j i k x k x k x k     （ ） ij kkx  )( 1 )0( )()( )()](/)([)]([ 1 )0()0( 2/)( 1 )0()0(2)0( 1       ijij i kkk ijijij kxkx kkxkxkx ii ij m l k k ljliij kbdtxakkx i i     1 )1()0( 1 )( mj ,,2,1 ℃ ni ,,3,2 ℃   jTTTjjmjj YPPPbaaa 121 )(ˆ,ˆ,,ˆ,ˆˆ  ℃ja mj ,,2,1 ℃ P jY (1) (1) (1) 1 2 2 2 2 2 (1) (1) (1) 1 3 2 3 3 3 (1) (1) (1) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m n n m n n z k z k z k k z k z k z k k P z k z k z k k              L L L L L L Yj  (0) (0) (0)2 2 3 3( ) , ( ) , , ( ) T j j j n nx k k x k k x k k   L mj ,,2,1 ℃ m  Tjjmjj baaa ˆ,ˆ,,ˆ,ˆˆ 21 ℃ja )0( 1X )0( 2X )0( 3X )0( 1X )0( 2X )0( 3X )0( 1X )0( 2X )0( 3X ik )0( 1X )0( 2X )0( 3X 3 4 5 6 7 8 注：文中以吸水率作为非等间距的观测值. 本例中不难看出 PA66 的三种力学性能弯曲强度、弯 曲弹性模量及拉伸强度之间存在着一定的联系，因此可以 建 立 MGM(1,3) 模 型 ， 分 别 对 三 变 量 建 立 非 等 间 距 MGM(1,3)模型和背景值优化的非等间距 MGM(1,3)模型。 为了方便讨论，记非等间距 MGM(1,3)模型和背景值优化的 非等间距 MGM(1,3)模型分别为模型 1 和模型 2。模型 1 和 模型 2 对三个序列的模拟预测值和相对误差分别见表 2, 表 3 和表 4。 表2　两种模型对序列 的模拟预测值和相对误差 模型1 模型2 相对误 差(%) 相对误 差(%) - - - 表3　两种模型对序列 的模拟预测值和相对误差 模型1 模型2 相对 误差 (%) 相对 误差 (%) - - - 表4　两种模型对序列 的模拟预测值和相对误差 模型1 模型2 相对 误差 (%) 相对 误差 (%) - - - 从表 2,表 3 和表 4 中可看出,背景值优化的非等间 距多变量 MGM(1,3)模型具有良好的模拟精度,优化模 型 的 模 拟 预 测 效 果 总 体 上 优 于 非 等 间 距 多 变 量 MGM(1,3)模型。 5 结束语 本文主要对非等间距多变量模型的背景值进行重 构，消除背景值误差来源，从而有效的提高模型的模拟 预测精度。该模型主要应用于工程科学、社会科学，如 材料工程,遥感测绘,自动化和物理学等专业,往往由于 实验条件的限制或无法处处对自然界中的对象进行勘 测等原因,在建模时会出现非等间距序列,因此背景值优 化的非等间距多变量 MGM(1,m)模型具有一定的实际 应用价值和广泛的应用前景。 参考文献 [1] 刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用 [M].北京:科学出版社,2004. 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[13]李晖，魏莉萍，王湘明，陈以蔚. 吸水率对尼龙 66 力 学 性 能 的 影 响 研 究 [J]. 工 程 塑 料 应 用 ， 2008,36(8):64-67. 非等间距 GM(1,1)模型的时间响应函数优化方法 徐宁 党耀国 王正新 南京航空航天大学经济与管理学院,南京，210016 摘 要：针对提高非等间距 GM(1,1)模型精度的问题，从优化时间响应函数角度入手，基于一次累加序列与其模拟值之间误差平方 和最小的准则，改进了时间响应函数中的常数值的确定方法，以此来优化非等间距 GM(1,1)模型。经过实例数据模拟证明，改进的非 等间距 GM(1,1)模型的模拟精度和预测精度都有所提高。 关键词：非等间距序列，GM(1,1)模型，时间响应函数，最小二乘法 A method of optimum on time response sequence for non-equidistant GM(1,1) model Xu Ning, Dang Yaoguo, Wang Zhengxin College of Economics and Management , Nanjing University of Aeronautics and Astronautics ,Nanjing 210016 Abstract: For improving the accuracy of non-equidistant GM(1,1) model, from the prospective of optimum of time response sequence, improve the method of constant determination in response sequence with restriction of least error sum of square between 1-AGO sequence and its fitting value, and use this method to optimize non-equidistant GM(1,1) model. The example shows that , improved non-equidistant GM(1,1) model can get a higher precision in fitting and forecasting. Keywords: non-equidistant sequence, GM(1,1) model , time response sequence, least-square method 1.引 言 GM(1,1)模型是灰色系统预测理论的基础与核心，被 广泛应用于工业、农业、社会等领域[1-3]。它将系统看成 一个随时间变化而变化的指数函数，不需要大量的时间 序列数据就能够建立预测模型[4,5]。常规 GM(1,1)模型是 针对等间距序列建立的，而在实际应用领域存在大量的 非等间距序列的拟合和预测问题。文献[6]从 GM(1,1)建 模原理出发，直接采用非等间距原始序列建立 GM(1,1) 模型,总结提出了利用直接建模法的必要条件：原始序列 应 具 有 非 负 性 、 单 调 性 、 上 凹 性 ， 且 。文献[7,8]研究了时间响应函 数初始条件对模型的影响，文献[9]提出了加入辨识参数 基金项目：国家自然科学基金资助项目（70473037）；国家社 会科学基金重点项目（08AJY024）；江苏省社会科学基金资助 项目（08EYB005） 的初值修正方法来优化时间响应函数的方法；文献 [10,11]通过最小二乘法来确定常数 的形式优化了等间 距 GM(1,1)时间响应函数。本文将在以上文献研究基础 之上，根据 与其模拟值之差平方和最小的准则，提 出一种优化非等间距 GM(1,1)模型时间响应函数的方法。 优化后的非等间距 GM(1,1)模型保持了 GM(1,1)模型简 洁实用的特性，通过实例表明优化模型提高了对原始序 列的拟合和预测精度。 2.非等间距序列的 GM（1，1）模型优化 非等间距 GM(1,1)模型的建立 定义 1 设序列 其中： ，则称序列 为非等间距序列。 定义 2 设序列 2]min/[max  kk tt  c (0)X )}(,),(),({)( )0(2 )0( 1 )0()0( nk txtxtxtX ℃ 1k k kt t t const   nk ,,3,2 ℃ )()0( ktX ， 若其中 ， ，则称 序列 为非等间距序列 的一次累加生 成序列。这里，我们设 ，即 若 具有近似指数变化规律，建立连续的白化方 程（影子方程）模拟 的变化： (1) 由 构造背景值 ， 其中： (2) 将式（1）离散化，以背景值 代替式（1）中的 ，微分变差分之后得到非等间距 GM(1,1)模型基本 形式： (3) 其中， 时间响应函数的优化方法 通过式(3)估计参数 ，使用最小二乘法得 到参数序列： 代入参数估计值 带入白化方程 ，求得白化方程连续的时间响应函数 通解为： (4) 由式（4）连续的时间响应函数通解离散化后，得到非等 间距 GM(1,1)模型的时间响应函数： 其中常数 待定，以原始序列的一阶累加生成序列与其 模拟值的相对误差平方和最小为约束条件，得 则灰色微分方程的时间响应函数为 （5） 由式（5）得到还原值为： 证明如下： 约束条件：选取 ，使得原始序列的一阶累加生成 序列与其模拟值的相对误差平方和最小，即 非 等 间 距 GM （ 1 ， 1 ） 模 型 的 白 化 方 程 的通解为 ，其中 为待定常数。 根据约束条件构建一个 与其模拟值 差的平方 和函数 ： 令 ，求得 )}(,),(),({)( )1(2 )1( 1 )1()1( nk txtxtxtX ℃    n i kk ttxtx 1 k )0()1( )()( nk ,,2,1 ℃ )()1( ktX )( )0( ktX 11 t )()( 1 )0( 1 )1( txtx  (1)X (1)X (1) (1)dX aX b dt   (1)X (1) (1) (1) (1) 2 3{ ( ), ( ) ( )}nZ Z t Z t Z tL )()()( 1 )1()1()1(  kkk tXtXtZ (1)Z (1)X btaZtX kk  )()( )1()0( (0) 2 (0) 3 (0) ( ) ( ) ( )n x t x t Y x t M              (0) 2 (0) 3 (0) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1n z t z t B z t M M                ˆ ( , )Ta a b $ 1( , ) ( )T T Ta a b B B B Y  ˆ ( , )Ta a b (1) (1)dX aX b dt   atec a b tx )()1( nkce a tX ttak k ,,2,1, b )(ˆ )()1( 1 ℃  c        n k at n k at k k k e e a b tx c 1 2 1 )1( ))(( nk e e e a b tx a tX ttan k ta n k ta k k k k k ,,2,1 , ])([ b )(ˆ )( 1 2 1 )1( )1( 1 ℃          k kk k t txtx tX     )()( )(ˆ 1 )1()1( )0( nk ee e e a b tx t kk k k tatta n k at n k at k k ,,2,1 ),1( ])([ 1 )( 1 2 1 )1( 1 ℃             c    n k kkc txtxSMin 1 2)1()1(2 )](ˆ)([ (1) (1)dX aX b dt   (1)( ) at b x t c e a    c )1(X )1(X̂ ( )F c 2)1( 1 1 2)1()1( )]([ )]()(ˆ[)( k at n k n k kk txec a b txtxcF k        ' ( ) 0F c  (1) 1 2 1 ( ) n at i n at i b x t e ac e            所以，在 点 取得最小值。 令 ， 代入时间响应函数可得： 进而可以得到还原式： 3.算 例 为了便于精度比较，采用文献[6]中的实例进行计算， 建立模型。P．G．福雷斯研究了许多材料的长寿命对循 环下温度对疲劳强度的影响，从所给实验曲线中采集到 钛合金疲劳强度随温度变化的数据如表 1 所示。 对 100℃-340℃的 8 个数据进行建模，380℃下的数据 留作预测对比。应用本文方法建立模型得到时间响应函 数： 还原式为： 表 1 钛合金疲劳强度随温度变化关系 T/ 100 130 170 210 240 270 310 340 380 560 表 2 非等间距 GM(1,1)模型模拟效果表 文文献[6]的方法 本文方法 序号 实际序列 拟合值 相 对 误 差 绝 对 误 差 拟合值 相 对 误差 绝 对 误 差 1 100 560 560 0 2 130 3 170 4 210 5 240 6 270 7 310 8 340 9（预测） 380 文献[6]采用传统时间响应函数对该算例进行模拟，         n k ta ta n k e e a b tx c 1 2 1 )1( ])([ ( )F c ktt          n k at at n k k k k e e a b tx c 1 2 1 )1( ])([ nk e e e a b tx a tX ttan k at n k at k k k k k ,,2,1 , ])([ b )(ˆ )( 1 2 1 )1( )1( 1 ℃           nke e e e a b tx t tX k k k k ta tta n k at n k at k k k ,,2,1),1( ])([ 1 )(ˆ )( 1 2 1 )1( )0( 1 ℃              )()1( 1 3334835 )(x ttk ket  )1( 33348351 )()( )( )( 1 )1()1( )0( 1 kk tatt k k kk k ee t t txtx tx           C℃ 1 k T / ℃ 模拟数据和相对误差以及采用本文中优化的时间响应函 数所得模拟数据和相对误差如表 2 所示，根据定义 3 比 较两种建模方法的优劣。 （1） 模拟精度比较 为残差序列 其中， ，则相对误差序列为 . 对于 ，称 为 点的模拟相对误差， 称 为平均相对误差。优化后的时间响应函 数所得平均相对误差 %，明显低于 文献[6]中的平均相对误差 %； （2） 预测精度比较 对于 , 为 点的预测相对误 差，文献[8]预测相对误差 %，优化模型预测 相对误差为 %，预测效果优于文献[8]模型 （3） 残差平方和比较 由定义 3 计算两种方法的残差平方和 ，文 献[6]方法求得残差平方和为 ， 用优化时间响应函数的非等间距模型所得残差平方 和为 ，明显低于文献[8]所用传统非等 间距模型模拟效果； 由以上对比结果可知：优化时间响应函数的非等间 距 GM(1,1)模型比直接传统的直接建模法精度要高，这 主要是由于时间响应函数的优化，降低了误差。 4.小 结 通过实例计算对比了两种方法的模拟效果，优化时 间响应函数的非等间距 GM(1,1)模型在平均相对误差、 绝对误差平方和以及预测精度上均优于传统方法的非等 间距建模方法。对于非等间距序列建立 GM(1,1)模型， 传统方法建立的非等间距模型往往不能达到理想的模拟 精度，从时间响应函数角度入手，利用最小二乘法确定 常数 值来优化非等间距模型，可以取得较好的效果， 提高了非等间距 GM(1,1)模型对实际数据的模拟精度， 同时保持了 GM(1,1)模型简捷实用的特点。当然提高非 等间距 GM(1,1)模型的优化方法还可以从原始序列变换、 背景值改进、灰导数的改进等方面入手，也可以取得较 好的优化效果。 参考文献 [1] Deng JuLong. 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[11] 王正新,党耀国,刘思峰.GM(1,1)时间响应函数的一种优化 方法[C]. 2006 年全国灰色系统理论及其应用学术年会,北 京,344-349. )0( nk ttt n ,,2,1 )),(,),(),(( 21 )0( ℃ ℃    )()(ˆ)( )0()0( kkk txtxt  n t n n ktx t tx t tx t 1)0( 2 )0( 2 1 )0( 1 }{ )( )( ,, )( )( , )( )(           ℃ nk  )( )( )0( k k t tx t k   kt    n k tkn 1 1    8 18 1 k tk    8 18 1 k tk nk  )( )( )0( k k t tx t k   kt  9t  9t  Ts    Ts   Ts c (1) ( )x n GM(1,1)残差周期分析软件开发 王亚捷 1，郝永红 2，李华敏 3，赵娇娟 3 1) 天津师范大学计算机与信息工程学院，天津　300387 2) 天津师范大学水环境与水资源重点实验室，天津　300387 3) 天津师范大学城市与环境科学学院，天津　300387 摘 要 随着灰色系统理论的不断完善，灰色系统分析方法已经应用于水文水环境、人口、经济等各个领域。灰色系统分析以数 学建模为主要手段，计算机应用软件的开发成为发展灰色系统研究的重要课题。本文结合灰色系统应用研究进展，利用 C++语言，使 用 Visual C++ 为开发工具，开发出一套面向对象、操作方便、能够满足科技工作者使用的 Windows 平台软件。利用软件工程的思 想通过逐步求精的方法，以 GM(1,1)残差周期软件设计过程为例说明灰色系统分析软件的设计过程。用柳林泉域水文资料对该软件模 块进行测试分析，得到该软件在实际使用中的优点。 关键词 灰色系统，GM(1,1)残差周期，软件工程 Development of GM(1,1) residual periodic Analysis Software Yajie Wang1, Yonghong Hao2, Huaming Li3, Jiaojuan Zhao3 1) College of Computer and Information Engineering, Tianjin Normal University, Tianjin 300387,China. 2) Tianjin Key Lab of Water Environment and Water Resources, Tianjin Normal University, Tianjin 300387,China. 3) College of Urban and Environmental Sciences, Tianjin Normal University, Tianjin 300387,China. Abstract—Gray system is used in the field about hydrology, population and economy with the development of gray system. Owing to Mathematical Modeling is a main mean of gray system, the development of the computer software become an important task to study gray system. After analyzing recent application of grey system theory, we develop a grey system modeling software based on Windows platform by using C++ language and the development tools of Visual C++. It is object-oriented and easy to operate, and could satisfy the technology workers’ demands of simulation. We take the prcess of GM(1,1) residual periodic for an example to design the software about gray system with the thoughts of software engineering, and realize by the method of stepwise we use the hydrological data of Liulin Springs to test and analyse the software,we receive the excellence of the sofaware in-service use. Keywords—grey system, GM（1,1）residual model, software Engineering 1．引言 灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小 样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部 分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系 统运行规律的正确描述和有效控制。随着灰色系统理论以 及应用研究的深入，灰色系统理论已经在水文水 国家自然科学基金项目（资助号：40972165, 40572150）天津市 自然科学基金（资助号：09JCYBJC27500） 资源[1-7]、人口[8]、经济[9]等各个领域取得了显著的成果。 然而，至今没有一套供广大科技工作者使用的灰色系统计 算软件，在建模过程中，必须自己编写程序，这大大限制 了灰色系统理论在各个领域的应用。本研究的主要目的是 在总结不同领域灰色系统模型的基础上，开发一套面向对 象，界面友好的灰色系统软件，以方便科技工作者使用。 本文以 GM(1,1)残差周期模型的设计过程为例介绍灰色系 统分析软件开发的流程。 2．GM(1,1)残差周期模型 灰色系统的核心是灰色动态模型，灰色动态模型是以 灰色生成函数概念为基础，以微分拟合为核心的建模方法。 灰色系统理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时 段上变化的灰色量和灰过程。灰色系统理论将原始数据通 过累加生成，使隐藏的信息显露出来，使数据序列中灰色 的信息明朗化(白化)，在此基础上建立动态模型 [10-12]。 GM(1,1)模型是灰色动态模型在数据预测中最常使用的预 测模型之一。 GM(1,1)预测模型 GM(1,1)称为单序列一阶线性动态模型。给定原始时间 数据列： ，将原始 数 据 进 行 一 次 累 加 生 成 ， 获 得 新 的 数 据 列 ： 其中, （1） GM(1,1)模型的微分方程为： （2） 系数向量为： Yn 和累加矩阵 B 分别为： （3） 用最小二乘法求解系数 a： （4） 并代入微分方程的解，得到时间函数： （5） 又因为 则： （6） 再还原便得到： （7） GM(1,1)残差周期模型 残差为模型计算值与实际值之差。利用 GM(1,1)模型 进行回代检验得到的误差组成残差序列，其明显的特点是 符号正负交替出现，在一定程度上呈现出周期变化。如果 绘制成曲线图，模型的拟合曲线为单调增（减），而实际原 始数据曲线则在拟合曲线上下摆动，同样在一定程度上呈 现出周期变化[13]。因此可通过对残差序列的周期分析，依 次分段选择不同长度的周期和变幅，用正弦（或余弦）曲 线拟合残差序列，并分别计算出每个时刻的残差修正值， 计算公式为： （8） 式中 t 满足 为 残差第 周期 t 时刻的残差模拟值， 为第 周期的最大 变幅， 为第 周期的长度。然后，将残差拟合值分别叠 加到同一时刻由 GM(1,1)模型的趋势量 上，即获得 预测值的周期修正值： 这样不仅使残差值普遍减小，而且拟合曲线产生波动， 更加逼近原始数据曲线，从而提高了模型的精度。 进行预测时，同样也应考虑到未来序列的周期波动变 化。未来序列的变化周期可以参照已知序列的残差周期变 化趋势而定。振幅大小可以根据系统允许或可能变化的幅 度作合理的选择和控制。确定未来序列的周期和变幅后， 便可以计算未来各时刻的残差修正值，然后叠加到同一时 刻的预测值上，这样就使预测值落在一个灰区间中， 从而 也提高了预测的使用性和科学性[11]。 3．软件设计与实现 软件工程方法包含 3 个要素：方法、工具、过程。其 中方法是完成软件开发的各项任务的技术方法，回答“怎样 做”的问题；工具是为运用方法而提供的自动的或者半自动 的软件工程支撑环境；过程是为了获得高质量的软件所需 要完成的一系列任务的框架，它规定了完成各项任务的工 作步骤[14]。 在本软件设计中我们采用面向对象方法开发 GM(1,1) 残差周期模型，面向对象可以提高代码的重用性[14]。C++ 是一门高效实用的程序设计语言，它强调对高级抽象的支 持。C++实现了类的封装，数据隐藏，继承及多态，使得 其代码容易维护及高度可重用。在大规模应用软件开发上， 以 Windows 环境为代表的 C++类库以及组件在迅速发展， 这就方便我们开发 Windows 平台下的各种应用程序。 Visual Studio C++ 是 Microsoft 公司为 C++开发的软件 开发工具，它不但是优秀的可视化开发工具，而且它是基 (0) (0) (0) (0)( (1), (2), , ( ))X X X X n L (1) (1) (1) (1)( (1), (2), , ( )),X X X X n L (1) (0) 1 ( ) ( ). 1, 2, , . i k X i X k i n    L (1) (1) . dX aX u dt   ^ [ , ] .Ta a u (0) (1) (0) (1) (0) (1) 1(2) (2), 1(3) (3), , 1( ) ( ), x z x z Y B x n z n                                LL L ^ 1( ) .T Ta B B B Yn (1) (1)ˆ ( 1) ( (0) ) ; 1, 2, ,at u u x t x e t n a a      L (1) (0)(0) (1),x x (1) (0)ˆ ( 1) ( (1) ) ; 1, 2, ,at u u x t x e t n a a      L (0) (1) (1)ˆ ˆ ˆ( ) ( 1) ( ), 1, 2,..., .x t x t x t t n      1 2 1 ( ) sin i j j i i t j T S t A T               1 1 1 1 1 . i i j j j j j T t j T                     ( )S t i iA i iT i (0)ˆ ( )x t (0) (0)ˆ( ) ( ) ( ).x t x t S t % 于 C++的，可以充分发挥 C++语言强大灵活的特点[15]。因 此，在该设计中我们选用 Visual C++ 作为开发工具开发 该系统。下面我们将从需求分析、总体设计、详细设计、 软件测试以及软件实现等方面详细的介绍该软件开发的过 程。 需求分析 本软件的用户主要是使用灰色系统的科研工作者，因 此，需要使用面向对象的方法开发一套使用简单、方便的 软件。考虑到各个领域原始数据一般都用 Excel 保存，因 此，要求该软件可以直接读取 Excel 文件。在数据分析过 程中，该软件应该得到建模分析数据、预测数据，以及相 关曲线图像，以便用户分析查看。结果应当保存为 Excel 文件，以满足分析、存档的要求。从以上这些需求可以得 到如图 1 所示的数据流图。该数据流图清晰的说明了数据 在该软件中流动和被处理的逻辑过程[14, 16]。 图 1 系统数据流图 总体设计 该软件设计过程中，将根据需求分析阶段的数据流图 确定软件的具体实现方案，划分软件的功能模块[14]。从需 求分析阶段得到的数据流图可以看出该软件需要实现 Excel 文件的读取模块、分析建模模块、预测建模模块、生 成拟合曲线模块以及 Excel 文件保存模块。GM(1,1)残差周 期模型软件的功能层次图如图 2 所示。该层次图阐述了该 软件要实现的功能。 详细设计 详细设计的根本目的是具体确定实现软件系统功能的 技术路线，也就是说，经过这个阶段的设计工作，应该得 到目标系统的精确描述[14]。在本设计中我们将该软件进行 细化得到各个模块的流程图。 在读取数据模块中，我们必须保证正确的 Excel 文件 路径，因此我们第一步需要对 Excel 文件路径进行检验。 然后我们将 Excel 文件中的数据列名显示到建模对象选择 框中，最后通过调用读取 Excel 文件的类，将 Excel 文件中 的数据读取到数据列表中。通过该模块的操作，我们可以 为模型检验模块与数据预测模块提供方便快捷的操作方式。 图 2 系统层次图 在模型检验模块中，我们利用选用的模型对用户选择 的数据建模，得到原始数据与建模数据的误差以及模型参 数。根据误差值用户可以判断得到该组数据是否满足用户 选择的模型。该模块为生成拟合曲线模块和预测模型模块 提供了模块入口值和模型参数。 在生成拟合曲线模块中，我们根据模型检验模块得到 的误差绘出误差曲线，然后用户可以选择自动生成拟合曲 线还是手动生成拟合曲线得到模型参数，最后根据参数绘 制误差拟合曲线。该模块的流程图如图 3 所示。 在数据预测模块中，我们根据模型检验模块得到的参 数进行预测、残差分析与修正得到模型的预测值。在结果 保存模块中，我们将预测值等数据信息保存到指定路径、 指定名称的 Excel 文件中。 软件测试 软件测试是为了发现程序中的错误而对程序执行检测 的过程。在本设计中，我们采用黑盒测试方法对程序进行 检测。黑盒测试把程序看作一个黑盒子，完全不考虑程序 的内部结构和处理过程[14] 。它检验程序是否能适当地接受 GM(1,1)残差周期预测模型 数 据 读 取 模 块 数 据 读 取 模 块 数 据 读 取 模 块 自 动 生 成 自 动 生 成 自 动 生 成 数 据 读 取 模 块 自 动 生 成 自 动 生 成 数 据 读 取 模 块 用户 Excel 文件路径 提取 数据 原始数据 GM 模型 原 始 数 据 + 模 型 检 验 检 验 数 据 预 测 模 块 × Excel 文 档 或图像 预测结果 检 验 结果 模型参数 × 输入数据并产生正确的输出信息，测试运行过程中能否保 持外部信息的完整性[17]。我们根据灰色系模型，利用实际 数据进行测试将软件出现错误的可能性降到了最低。 图 3 生成拟合曲线模块流程图 软件实现 经过上述分析与设计，我们完成了 GM(1,1)残差周期 分析软件的开发，下面我们将用 1971-2007 年的娘子关泉 水流量建立 GM(1,1)残存周期模型介绍 GM(1,1)该分析软 件的实际预测操作过程。首先我们打开包含该软件的文件 夹，双击.exe 文件，打开用户操作界面，选择娘子关水流 量.xls 的文件并上传数据，选择建模对象，然后双击模拟计 算按钮，我们就得到了 1971-2007 年的模型检验值，如图 4(a)所示。然后双击生产拟合曲线按钮，我们得到了残差数 据的图像，然后双击图像上方的自动或手动生产拟合图像 按钮我们就得到了如图 4(b)所示的残差拟合曲线图像。将 根据拟合图像得到的拟合曲线参数以及预测长度等输入 图 4(a)中的预测模块中，最终获得娘子关泉 GM(1,1)残差周 期模型预测的结果。最后我们可以通过保存预测结果将预 测值保存到 Excel 文件中。 (a)残差周期模型检验结果 (b)残差拟合曲线图像 图 4 软件演示 4．结论 GM(1,1)残差周期分析软件的优点 在软件测试中，我们用实际数据对程序正确性作了检 验。在应用过程中，我们对用户操作、计算精度、出错处 理等方面进行了评价，结果认为该软件具有如下优点。 （1）操作简单便捷。本软件基于 Windows 平台开发， 只需要单击按钮、选择以及键入年份操作就可以完成建模 过程，这样使用者就不用去记忆复杂的操作命令符。 （2）计算结果精确。本软件使用 double 类型存贮中 间变量，使得中间变量误差最小，这样就降低了中间误差 对最终值的影响。 （3）出错信息处理完善。本软件自动判定用户操作是 否满足操作规范以及用户输入值是否满足模型需要，可以 减少用户出错后不知道是为什么的现象。 （4）预测结果直观。直接将各年的原始值，预测值， Auto=FALSE？ 开始 起始年份在 范围内？ N Y 生成实际曲线 输入参数 自动判定参数 Y N 生成拟合曲线 图像保存 结束 误差等直接列于数据列表中，有利于用户对比分析，得到 最优的模型。 （5）数据输入输出方式灵活。大多数原始数据都以 Excel 文件形式保存，本软件直接读取 Excel 文档，结果输 出形式也是 Excel 文档，方便了软件用户，便于保存、交 流和日后查看。 （6）残差结果图像输出。残差拟合过程使用图像输出 用户可以方便的调整残差拟合参数，以获取最优参数。 软件的可扩展性 GM(1,1)残差周期分析软件的开发过程，为日后开发灰 色系统模型提供了借鉴的方案和路线。在开发 GM(1,1)残 差周期分析软件的过程中，我们设计的类可以使用在其他 的灰色动态模型中，为日后的开发提供了便利条件。使用 C++的面向对象方法可以为程序的扩展提供方便的接口， 以便于开发一套灰色动态模型软件。 参考文献 [1] Hao Y H, Yeh T-C J, Hu C H, et al. 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GM(1,1)模型中函数变换方法的重新认识 陈鹏宇 段新胜 项翔 （中国地质大学（武汉）工程学院，湖北武汉，430074） 摘 要 分析指出光滑度概念并不能评判函数变换方法的优劣，从适宜建模序列的角度重新审视函数变换方法的优点。以传统 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型的最佳建模序列出发建立不同函数变换方法的最佳建模序列，从而确立其适宜建模序列，以原始数据 是否为函数变换方法的适宜建模序列来判断采用何种函数变换方法。依据实例分析了该方法的可行性，并给出了函数变换方法选取的 建议。 关键词 函数变换，GM(1,1)模型，光滑度，适宜建模序列 Rediscover of functional transformation methods for GM (1, 1) model CHEN Peng-yu DUAN Xin-sheng XIANG Xiang (College of engineering, China University of Geosciences; Wuhan 430074) Abstract—It is indicated that functional transformation methods for GM (1, 1) model cannot be evaluated by smoothness of modeling data. In order to evaluate a functional transformation method, the concept of suitable sequence for modeling is put forward. Based on the best suitable sequences of GM (1, 1) model and unbiased GM (1, 1) model for modeling, the best suitable sequences for different functional transformation methods are obtained. And the sequences which are close to the best suitable sequences are the suitable sequence for modeling. Which functional transformation method is used relies on whether original data is its suitable sequence for modeling. For case studies, measurement results show the correctness of new theory. And the suggestion to select a functional transformation method is provided. Keywords—functional transformation；GM(1,1) model；smoothness；suitable sequence for modeling 1. 引言 灰色预测模型是灰色理论的重要组成部分，而 GM(1,1) 模型作为灰色预测模型中最基本预测模型，已经在许多领 域得到了广泛的应用[1]。但是在某些情况下模型的预测精 度并不高，甚至预测值已面目全非。因此许多学者提出了 利用提高原始数据序列光滑度的方法来提高 GM(1,1)模型 的预测精度，也就是对原始数据进行函数变换，使得变换 后的数据光滑度高于原始数据，从而达到提高预测精度的 目的，具体包括对数函数变换[2]、指数函数变换[3]、幂函数 变换[4]、一次函数变换[5]等。 自传统光滑度概念在文献[1]中引入后，许多学者通过光滑 度序列概念及其比较原则论证了对数函数变换[2]、指数函 数变换[3]、幂函数变换[4]、一次函数变换[5] 等方法都能提 教育部留学回国人员科研启动基金，教外司留[2007]1108 号；中 国地质大学（武汉）2009 年大学生课余科研基金兴趣小组项目 高序列光滑度。文献[6]中分析了现有序列光滑性条件存在 的缺陷，提出了新光滑度序列的概念。无论是新老光滑度 序列的概念，针对函数变换方法，我们所比较的都是函数 变换后序列与原始序列的光滑度，而所指的预测精度提高 却不是针对函数变换后序列与原始序列之间的比较，也就 是说光滑度的比较与预测精度的比较对象并不一致。如果 序列光滑度的提高能缩小级比偏差[6]，则函数变换后数据 更适合于建模 GM(1,1)模型，那么所得预测精度应该会提 高，但并不表示数据还原后预测精度也会提高。预测数据 还原时实际上还存在误差和数据的缩放问题，或者说相对 误差的缩放问题，这将直接影响还原后数据也就是最终预 测结果的精度。目前光滑度的概念中并没有明确指出光滑 度与最终预测精度之间的关系，因此函数变换方法是否能 提高序列的最终预测精度还有待进一步研究。 为了寻找最终预测精度与函数变换之间的关系，本文 试图从适宜建模序列的角度重新审视函数变换方法的优点。 以传统 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型的最佳建模序列 出发建立不同函数变换方法的最佳建模序列，从而确立其 适宜建模序列，以原始数据是否为函数变换方法的适宜建 模序列来判断采用何种函数变换方法。依据实例分析了该 方法的可行性，并给出了选取函数变换方法的建议。 2. GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型 GM(1,1)模型建模机理如下： 令 为 GM(1,1)建模序列， 为 的 AGO 序列， 为 的均值(MEAN)序列 （1） 则 GM(1,1)的定义型，即 GM(1,1)的灰微分方程模型为 （2） 其中 a 为发展系数，b 为灰作用量，是微分方程的参 数。 灰微分方程白化型为 （3） 白化型响应式为 （4） 参数计算 其中 GM(1,1)模型由于本身存在缺陷，即使拟合纯指数序列 也得不到满意的结果。因此许多学者进行了分析，并建立 了无偏 GM(1,1)模型[7]。 无偏 GM(1,1)模型的统一表达式为： 令 ，取 ，有 令 由最小二乘法有 参数还原有 模型的离散响应式为 可以证明上述灰色模型具有白指数律重合性，故称为 无偏 GM(1,1)模型。 3. 不同函数变换方法 对数函数变换 令 为 GM(1,1)建模原始序列，对数变换后序列为 其中 . 对变换后的序列按照 GM(1,1)建模步骤建立模型，得 到预测值 ，通过 还原即可得到最终 预测值。 指数函数变换 令 为 GM(1,1)建模原始序列，指数函数变换后序列  0x  1x  0x  1z  1x             1 1 11 1 2 z k x k x k          0 1x k az k b          1 1d d x t ax t b t          1 0ˆ 1 1 e akb bx k x a a                     0 1 1ˆ ˆ ˆ1 1x k x k x k        1T T Ta b  B B B Y             1 1 1 2 1 3 1 1 z z z n                B M M            0 0 02 3 T x x x n   Y L， ， ，          1 1e 1 1 ea abx k x k a       1 2e 1 ea a b a     ， 2 3k n L，， ，                         1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 2 1 x x x x x n x n              L             1 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x n                B M M            1 1 12 3 T x x x n   Y L， ， ，   11 2ˆ ˆ T T T       B B B Y 2 1 1 ˆ ˆˆˆ ˆln ˆ1 a b a        ，          1 1 1ˆ 1 e a kb bx k x a a                    0 1 1ˆ ˆ ˆ1 1x k x k x k     0x               0 0 0 0ln ln 1 ln 2 lnx x x x n L， ， ，    0 1 exp()x     0x̂ k     0ˆexp x k  0x 为 其中 ， . 对变换后的序列按照 GM(1,1)建模步骤建立模型，得 到预测值 ，通过 还原即可得到最终 预测值。 幂函数变换 令 为 GM(1,1)建模原始序列，幂函数变换后序列为 其中 . 对变换后的序列按照 GM(1,1)建模步骤建立模型，得 到预测值 ，通过 还原即可得到最终预 测值。 一次函数变换 令 为 GM(1,1)建模原始序列，一次函数变换后序列 为 其中 对变换后的序列按照 GM(1,1)建模步骤建立模型，得 到预测值 ，通过 还原即可得到最 终预测值。 4 函数变换方法的实例验证 根据传统光滑度理论，以上函数变换方法都已被证明 提高了原始数据的光滑度。为了验证函数变换后光滑度的 提高并不代表最终预测精度的提高，同时为了体现本文适 宜建模数据的思想，以某大坝边坡变形监测线上的一变形 点的监测资料[8]作为函数变换的检测实例。原始数据见表 1， 分别建立 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型以及基于不同 函数变换下的 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型，所得预测 结果见表 1-5。 从表 1-5 的预测结果可以看出，无论是无偏 GM(1,1)模 型还是 GM(1,1)模型，对于每一种函数变换都存在相对误 差放大的效应，也就是最终预测精度相对于还原前的预测 精度都降低了。这就证明了本文的观点，光滑度的提高并 不一定表示最终预测精度会提高，利用光滑度概念评判函 数变换优劣并不一定合适。 对于 GM(1,1)模型，除了幂函数变换，其他函数变换 方法并未提高变换数据的预测精度，更不可能提高最终还 表 1 普通建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型 GM(1,1)模型 原始值 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 平均相对误差/% 表 2 对数函数变换建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型对数函数 变换值 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 平均相对误差/% GM(1,1)模型 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 0 0 表 3 指数函数变换建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型指数函数 变换数据 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 平均相对误差/%               0 0 00 1 2x x x nxa a a a    L， ， ， 1a     0 1 ex     0x̂ k    0ˆloga x k  0x               1 1 1 1 0 0 0 01 2T T T Tx x x x n                       L， ， ， 1T     0x̂ k    0ˆ T x k    0x               0 0 0 01 2 3ax b ax b ax b ax b    L， ， ， 0 0a b ，    0x̂ k    01 x̂ k b a    GM(1,1)模型 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 注：指数函数变换参数 a= 原数据的预测精度，因此传统光滑度的提高甚至不能 说明变换数据预测精度能提高。 对于无偏 GM(1,1)模型，本文所涉及的函数变换都没 表 4 幂函数变换建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型幂函数变 换数据 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 平均相对误差/% GM(1,1)模型 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 注：幂函数变换参数 T=2 表 5 一次函数变换建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型一次函数 变换数据 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 平均相对误差/% GM(1,1)模型 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 注：一次函数变换参数 a=-1，b=20 有提高最终预测精度。因此我们需要寻求一种新的评价函 数变化优劣的方法。 5 函数变换方法的重新认识 光滑度理论与最终预测精度之间的关系并不明确，并 不能正确反映函数变换方法的优劣，为此本文从适宜建模 数据的角度分析函数变换的优劣。 GM(1,1)模型由于本身的缺陷，其仅适合于近似低增长 率的齐次指数序列建模，这也是本文实例选取的原因，可 以看出本文实例为近似低增长率的齐次指数序列，GM (1,1)模型的预测相对误差仅为 %，精度是相当高 的。对于经过函数变换后的数据，我们也是利用的 GM(1,1) 模型建模，如果需要得到高精度的预测结果，则需要变换 后的数据接近于低增长率的齐次指数序列，如果达不到这 一点，显然不会得到高的预测精度，这就是本文实例中函 数变换降低预测精度的原因。对于无偏 GM(1,1)模型，其 适宜建模序列为近似齐次指数序列，则需要函数变换后的 数据为近似齐次指数序列，否则也不会得到高的预测精度。 如果函数变换后的数据接近于低增长率的齐次指数序列或 者齐次指数序列，则每一种函数变换将会对应于特定的原 始序列，即函数变换的最佳建模序列。下面从不同函数变 换的最终响应式来说明其适宜建模序列。 首先我们都知道变换数据的 GM(1,1)模型响应式为齐 次指数函数式： （6） 利用不同函数变换的还原方法可以得到： 对数函数变换： 幂函数变换： 指数函数变换：    0ˆ e mkx k A        0ˆexp exp e mkx k A     0ˆ e T T mTkx k A          0ˆlog log e loga a ax k m k A   一次函数变换： 相应的，当原始数据为以上形式（本文称之为不同函 数变换的特征序列）时，则函数变换后的数据为齐次指数 序列。 对于 GM(1,1)模型，虽然其不能完全拟合低增长率的 齐次指数序列，但可以达到很高的预测精度。因此如果式 （6）为低增长率的齐次指数序列，则由其还原得到的模拟 序列便是不同函数变换方法的最佳建模序列，接近于这些 类型的序列便是每种函数变换的适宜建模序列。对于对数 函数变换，其适宜建模序列为近似低增长率的二重指数序 列；对于幂函数变换，其适宜建模序列为近似低增长率的 T 次方的指数序列，也就是说经过幂函数变换，原始数据 的增长率被降低了，而 GM(1,1)模型更适合于低增长率序 列建模，这也就是本文实例中对于 GM(1,1)模型，幂函数 变换提高预测精度的实质；对于指数函数变换，其适宜建 模序列近似线性发展序列；对于一次函数变换，其适宜建 模序列为近似非齐次低增长率指数序列。如果利用函数变 换来提高模型预测精度，则需要原始数据为其适宜建模数 据。 对于无偏 GM(1,1)模型，其可以完全拟合齐次指数序 列，那么对于不同的函数变换方法，其也可以完全拟合它 们的特征序列，其适宜建模序列当然是这些特征序列的近 似序列。此时增长率便不会影响预测结果，这也就是对于 无偏 GM(1,1)模型，幂函数变换预测精度同直接建模相当 的原因。 同样对于直接建模下的 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1) 模型，其适宜建模序列为近似低增长率的非齐次指数序列 和近似非齐次指数序列，此时分析函数变换的适宜建模序 列则需利用 利用不同函数变换的还原方法可以得到： 对数函数变换： 幂函数变换： 指数函数变换： 一次函数变换： 以上便是不同函数变换方法对于直接建模下的最 佳建模序列。比如幂函数变换，如果取 ，则幂函数 的最佳建模序列同 Verhulst 模型的模拟序列一样，为对称“S” 形数据，如果 T 取其他值，其最佳建模序列还可转变为其 他类型的“S”形数据。此时 GM(1,1)模型的应用范围便拓广 到了生长曲线。对于一次函数变换，变换前后模拟序列类 型相同，GM(1,1)模型预测结果实际也相同，并不改变预测 精度，因此一次函数变换对于直接建模方法是无效的。 6 新认识的实例验证 实例 1 下面以线性发展序列 {7，12，17， 22，27}来说明函数变换的优点。对于线性发展序列，经过 前面分析，以指数函数变换得到的预测精度最高。取函数 变换参数 a=，对变换后的数据建立无偏 GM(1,1)模型 和 GM(1,1)模型，预测结果见表 6。 由表 6 的预测结果可以看出，经过指数函数变换的无 偏 GM(1,1)模型可以完全拟合线性发展序列（其误差可以 认为由计算精度造成）。对于 GM(1,1)模型，其预测精度也 相当高。至于其他函数变换方法，当然达不到这种预测精 度，本文也不再进行计算。 表 6 指数函数变换建模预测结果 无偏 GM(1,1)模型原 始 值 指数函数 变换值 预测 值 相对 误差/% 还原 值 相对 误差/% 7 0 7 0 12 -06 12 -05 17 -06 17 -05 22 -06 22 -05 27 -06 27 -05 GM(1,1)模型 预测值 相对误差/% 还原值 相对误差/% 实例 2 南京市中医院全国肛肠中心楼位于金陵路 1 号。南京 市中医院内，地上六层，地下一层，总建筑面积 10000 m2， 基坑面积约 3000m2，周长约 270 m，开挖深度 7. 0 m。该 工程基坑支护采用钻孔灌注桩加上单层钢筋混凝土支撑、 深搅桩止水的支护形式。在开挖过程中要对基坑的变形进 行监测，所以在不同地段设置了支护结构（压顶圈梁）的    01 ˆ e mkA bx k b a a a         0ˆ e mkx k A B        0ˆexp exp e mkx k A B       0ˆ e T Tmkx k A B          0ˆlog log e mka ax k A B       01 ˆ e mkA B bx k b a a a       1T      0ˆ 5 2x k k  水平位移、基坑周边建筑物的沉降变形、基坑内支撑立柱 桩的沉降、深层水平位移（测斜）、支撑轴力、结构围护桩 身应力等监测点。现选择 7 号点水平位移资料进行预测，7 号点的监测数据为压顶圈梁水平位移量，每次监测间隔时 间为 2 天，剔除前两级突变值，原始监测数据见表 7[9]。 观察原始数据发展规律实际更接近于修正指数曲线， 因此利用一次函数变换建模，并与 GM(1,1) 模型预测结果 比较。以前 8 级数据建立两种模型，预测后 4 级数据，预 测结果见表 7。 从表 7 中预测结果可以看出无论是模拟精度还是预测 精度，一次函数变换后的 GM(1,1) 模型都最高，也就是说 基坑位移的发展更接近于非齐次指数序列。而 GM(1,1) 模 型随着预测的进行，预测精度逐步降低，这便是 GM(1,1) 模型的长期预测问题，GM(1,1)模型无法长期预测的实质原 因还是其模拟序列的局限性，而函数变换可以解决这个问 题。 由以上分析可以得出具体函数变换的选择方法：首先 表 7 不同模型预测结果 一次函数变换 GM(1,1)模型 序号 原始值 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 1 2 3 4 7 5 6 7 8 平均拟合相对误差/% 9 10 11 12 平均预测相对误差/% 注：一次函数变换参数 a=，b= 观察原始建模数据的发展是接近于哪种序列类型；其次， 利用适宜于该种序列发展的函数变换方法建模，并比较模 拟精度；最后，选取最适宜函数变换方法。 7 结束语 本文通过分析指出光滑度概念并不能准确评判函数变 换方法的优劣，提出从适宜建模序列的角度重新审视函数 变换方法。根据 GM(1,1)模型和无偏 GM(1,1)模型的适宜 建模序列推导出了不同函数变换方法的适宜建模序列，并 通过实例验证了该思想的可行性，给出了函数变换选取办 法的建议。从函数变换的新角度来讲，还需进一步寻找不 同的函数变换方法，以拓广灰色预测的应用范围。 参考文献 [1] 邓聚龙.灰预测与决策（修订版）[M]. 武汉：华中科技大学 出版社，-5. 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[9] 曾婧，王伟. 基于 Usher 曲线的深基坑位移预测方法[J]. 企 业技术开发，2009，28（3）：16-18. 优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型及其应用 陈鹏宇 段新胜 项翔 （中国地质大学（武汉）工程学院，湖北武汉，430074） 摘 要 分析指出 NGM(1,1,k)模型中参数的设置不足以满足建模要求，致使模型预测精度不高，甚至失去应用价值。参照已有同 类模型的建模特点，构建了一种新的 NGM(1,1,k)模型，新模型增加了一个参数，满足建模要求。白化方程参数的优化使得模型在不破 坏定义型的情况下满足预测无偏性。将模型应用到基坑变形预测中，实例应用结果显示具模型有较高的预测精度，在变形预测中具有 一定的应用价值。 关键词 NGM(1,1,k)模型；白化方程；基坑；变形预测 New NGM (1, 1, k) model with optimization parameters of whitenization differential equation and its application CHEN Peng-yu DUAN Xin-sheng XIANG Xiang (College of engineering, China University of Geosciences; Wuhan 430074; China) Abstract—It is indicated that the number of parameters in existing NGM (1, 1, k) model is insufficient to meet the needs of modeling for the data sequences which satisfy to the homogenous exponential rule. This defect result in that NGM (1, 1, k) model has low accuracy and even lose using value. Based on the modeling mechanism of same kind of models, this paper proposed a new NGM (1, 1, k) model. New NGM (1, 1, k) model has a more parameter to meet the need of modeling. In order to eliminated the inherent simulant error of the new model but not destroy its definition, parameters of whitenization differential equation are optimized. It is applied to forecasting nonlinear development of the displacement of foundation pit accurately. For a case study, measurement results coincide with actual displacement based on optimization new NGM (1, 1, k) model. Thus, the model has a certain application value for displacement of foundation pit. Keywords—NGM (1, 1, k) model；whitenization differential equation；foundation pit；displacement forecast 1. 引言 GM(1,1)模型作为灰色预测模型中最为基本的模型，已 经在许多领域得到了广泛应用。然而，无论是传统 GM(1,1) 模型还是各类 GM(1,1)优化模型模拟序列都为齐次指数序 列，这与实际中的大量时间序列发展趋势相违背，因此 GM (1,1)模型的应用范围十分有限。为此，许多学者研究了模 拟序列为非齐次指数序列的灰色预测模型，包括 NGM(1,1, k)模型[1]、非齐次指数序列的 GM 模型[2]、灰色非齐次指数 模型[3]和近似非齐次指数序列的离散灰色模型[4]。这些模型 通过了各自的建模方法使得模拟序列为非齐次指数序列， 教育部留学回国人员科研启动基金，教外司留[2007]1108 号；中 国地质大学（武汉）2009 年大学生课余科研基金兴趣小组项目 其中以离散形式为基础建立的近似非齐次指数序列的离散 灰色模型[4]摆脱了灰微分方程到白化方程之间直接跳跃的 缺陷，具有较高的预测精度，而灰色非齐次指数模型[3]仍 存在灰微分方程与白化方程不匹配的缺陷，是存在固有偏 差的模型。作为新提出的模型，NGM(1,1,k)模型与其他同 类模型存在本质区别，由 NGM(1,1,k)模型得建模步骤可知， 其定义型只存在两个参数，而其他同类模型参数设置都为 三个。那么参数少了一个的 NGM(1,1,k)模型是否具有其他 同类模型的预测效果呢？本文通过分析指出参数的设置 是 NGM(1,1,k)模型的致命缺陷，造成了其许多时候根本无 法使用，是一种无效的预测模型。借鉴其他同类模型的参 数设置，本文建立了一种新的 NGM(1,1,k)模型。 文献[1]中 NGM(1,1,k)模型灰微分方程的白化参照了 传统 GM(1,1)模型中方法，如果新 NGM(1,1,k)模型继续采 用此方法，将会同传统 GM(1,1)模型一样存在白化方程与 灰微分方程无法匹配的问题，也就是模型存在固有偏差。 邓聚龙先生在《灰预测与灰决策》中提及“GM(1,1)白化型 本身，以及一切从白化型推导出来的结果，只有在不与定 义型有矛盾时才成立，否则无效”[5-6]。同样对于 NGM(1,1,k) 模型也存在相同的结果。如果按照传统灰色预测模型优化 方法即在改进灰导数或者背景值的基础上构造新的灰微分 方程以达到与白化方程匹配的目的[7-10]，则会破坏 NGM (1,1,k)模型的定义型。为此，本文通过优化白化方程参 数使其与灰微分方程更匹配，从而实现 NGM(1,1,k)模型的 无偏性。白化微分方程的改变以参数重构为基础，将白化 方程通解代入灰微分方程求出白化方程新参数，建立无偏 NGM(1,1,k)模型。最后将无偏 NGM(1,1,k)模型应用到基坑 变形预测中，实例应用结果显示其具有较高的预测精度， 在基坑变形预测中具有一定的应用价值。 2. NGM(1,1,k)模型的缺陷分析 NGM(1,1,k)模型建模机理如下： 令 为建模原始序列， 为 的 AGO 序列， 为 的均值(MEAN)序列 称 （1） 为基于非齐次指数离散函数的灰色预测模型（NGM(1,1,k) 模型），将一阶微分方程 （2） 称为 NGM(1,1,k)模型的白化形式。 NGM(1,1,k)模型的时间响应式为 （3） （4） 利用灰微分方程由最小二乘法，可以求得参数 其中 NGM(1,1,k)模型的建立旨在拓广灰色预测模型的应用 范围，使得模型可以适用于近似非齐次指数序列建模。因 此为了分析其缺陷，假设有原始建模数据 为非齐次指数序列，则其一次累加序列为 （5） 其中 。 对比式（3）与式（5），如果取 则有 上式说明了 NGM(1,1,k)模型所得预测结果中 β、A、B 是存在联系的，或者说独立变量只有 2 个，而 为 3 参数函数，β、A、B 是不存在直接关系的，也就 是说 NGM(1,1,k)模型的预测结果无法表达任意非齐次指 数序列，其适用范围是非常有限，甚至于根本无法应用。 为了验证 NGM(1,1,k)模型的预测无效性，以非齐次指数序 列 建立 NGM(1,1,k)模型，原始数据和预测结果 见表 1。 表 1 两种模型建模效果比较 NGM(1,1,k)模型 GM(1,1)模型 k 原始值 预测值 相对 误差/% 预测值 相对 误差/% 1 2 3 4 5 6 平均拟合相对误差/% 7 注：黑体为预测数据  0x  1x  0x  1z  1x             1 1 11 1 2 z k x k x k          0 1x k az k kb      1 1d d x ax tb t            1 1 12 2ˆ 1 e a kb b b bx k x k a a a a                      0 1 12ˆ 1 e 1 e a ka b b b x k x a a a               1T T Ta b  B B B Y             0 0 0 2 3 x x x n                 Y M             1 1 1 2 2 3 3 z z z n n                B M M      0 1e kx k A B        1 1e kx k C Bk D    e e 1 e 1 A A C D         ， 2 b b B D a a a     ， ， e 1 A B D           0x k   1e kA B   3 5k  从表 1 的预测结果可以看出，原本为了适用于近似非 齐次指数序列建模的 NGM(1,1,k)模型预测精度却连传统 GM(1,1)模型都不如，更何况本文选取的实例为非齐次指数 序列，而 GM(1,1)模型仅适合于近似齐次指数序列建模。 无论是拟合精度还是一步预测精度，NGM(1,1,k)模型所得 结果都不如人意，相对误差已经达到了 10%以上，已经没 有多少应用价值。而 GM(1,1)模型模拟和一步预测精度都 比较高，说明其在近似非齐次指数序列建模预测上也是具 有一定应用价值的。 此时再来看其他同类模型： 非齐次指数序列的 GM 模型的白化方程[2]： 灰色非齐次指数模型的白化方程[3] 近似非齐次指数序列的离散灰色模型[4]： 以上模型都是 3 参数模型，白化方程的解或者定义型 的递推结果都满足参数的相对独立，因此这些模型都可以 对近似非齐次指数序列进行建模预测，都是有效的模型。 3. 优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型 参照同类模型，NGM(1,1,k)模型必须增加一个参数， 重构如下： （6） 利用灰微分方程由最小二乘法，可以求得参数 其中 按照 GM(1,1)模型白化方法建立白化方程 白化方程的通解为 上式中 、 、 相互独立，满足建模要 求，可以作为近似非齐次指数序列的预测模型。 但是，如果按照 GM(1,1)模型白化方法则会导致白化 方程与灰微分方程无法匹配，从而使模型产生固有偏差。 如果按照传统优化方法，以改变灰微分方程为基础，则会 破 坏 了 新 NGM(1,1,k) 模 型 的 定 义 型 。 文 献 [15] 中 提 及 “GM(1,1)白化型本身，以及一切从白化型推导出来的结果， 只有在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效”。根据此思 想，本文通过改造白化微分方程使其与原始灰微分方程更 匹配，从而在不破坏新 NGM(1,1,k)模型定义型的情况下实 现预测模型的无偏性。本文从改变参数出发使白化微分方 程与灰微分方程匹配，重构白化微分方程的参数有 （7） 我们知道其通解为 （8） （9） 很容易想到如果式（8）、（9）满足灰微分方程（6）， 则此时白化微分方程与灰微分方程可以匹配。将式（8）、 （9）代入灰微分方程整理有 （10） 整理式（10）有 （11） 为了使式（11）成立，有 ， ， 则有 ，       1 1d 1 d x ax b c p p         1 1d d x ax bt c t           1 11 2 31x k x k k             0 1x k az k kb c       1T T Ta b c  B B B Y             0 0 0 2 3 z z z n                 Y M             1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 x x x n n                B M M M     1 1d d x ax bt c t       1 2e ak b b cx k C k a a a          0 1 e ea ak bx k C a     1 eaC  b a a     1 1d d x mx nt p t         1 1 2e m k n n px k A k m m m             0 11 e e m km nx k A m            1 1 21 e e e e 2 m k m k m km a n nA A A m m bk c                      1 2 1 e e 1 e 2 2 m m k m a an n an A k m m m p n a bk c m m                           1 e 1 e 0 2 m m a     an b m  22 n an p n a c m m m m          2 ln 2 a mb m n a a     ， 2 mc n n n p a a m     以上便是新 NGM(1,1,k)模型白化微分方程的参数。此 时模型时间响应式为 4. 预测无偏性验证 以非齐次指数序列 验证优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型的预测无偏 性。将 X(0)进行一次累加有 参数计算有： 其中 ， 此时对于灰微分方程参数有 ， . 将上式代入白化方程的时间响应式 有 递减有 和 完全相等，而 d、q、o 可以任意取 值，因此只要原数据序列具有近似非齐次指数增长规律， 都可以用优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型来模拟和 预测。 5. 工程应用 近年来，城市建筑的高速发展和地下空间的充分利用， 带来了大量的深基坑工程问题。深基坑工程是一个综合性、 系统性很强的岩土工程问题，既涉及土力学中典型的强度、 稳定与变形问题，同时还涉及土与支护结构的共同作用。 而变形的控制是基坑工程成败的关键问题之一，不仅关系 到基坑本身的安全问题，也影响到周边环境的安全。因此， 在基坑开挖过程中要非常重视基坑变形的监测和预测工作 [11]。基坑变形系统具有一定的灰色性、不确定性，实际上 是一个灰色系统，因此许多学者采用灰色系统预测模型对 基坑变形进行预测[11-13]。 基坑开挖引起的变形都是经历了发生、发展、到成熟 的过程。在刚刚开挖阶段，由于土体尚处于弹性阶段，随 着荷载的增加，变形几乎成直线变化；随着开挖过程的进 行，土中某些部位出现塑性区，塑性区不断扩展，导致变          1 1 12 2ˆ 1 e m kn n p n n px k x k m m m m m m                        0 1 12ˆ 1 e 1 e m ka n n p n x k x m m m m               0 2 3 4 5X dq o dq o dq o dq o dq o     ， ， ， ，   2 5 1 1 1 2 5i i i i X dq o d q o d q o             L， ， ，        1 2 2 22 2 1 1 1 T T T q o q d oqa b c q q q            B B B Y 21 1 32 1 43 1 54 1 3 2 1 2 2 5 3 1 2 2 7 4 1 2 2 9 5 1 2 2 i i i i i i i i q o d q q o d q q o d q q o d q                                                       B 2 3 4 5 T dq o dq o dq o dc o                Y 2 2 2 2 11 ln ln ln 2 22 2 1 q a qm qa q q           ，  2 2 1 11 ln ln 2 2 1 q o mb qn o qa q q q          1 1 ln ln 1 ln 2 21 2 1 o o q d o q qp o qq q q                 1 1 12 2ˆ 1 e m kn n p n n px k x k m m m m m m                  12 2ln 1 1 1ˆ 1 1 1 1 k q kq d qd dq qdx k e ok q ok q q q q                       2 0 2ˆ 1 1 k kdqx k q q o dq o q          0x̂ k    0x k 形速率也在不断增大；当开挖到底，开挖卸载完成，由于 固结以及土体的流变特性，测点的位移将随时间继续增大， 速率降低；最后达到极限稳定状态[14]。根据基坑变形特征， 短期内变形可以呈现指数曲线增长趋势，但中长期发展则 会更接近于修正指数曲线增长趋势。因此本文采用优化白 化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型对基坑变形进行中长期预 测。 南京市中医院全国肛肠中心楼位于金陵路 1 号。南京 市中医院内，地上六层，地下一层，总建筑面积 10000m2， 基坑面积约 3000m2，周长约 270m，开挖深度 。该工 程基坑支护采用钻孔灌注桩加上单层钢筋混凝土支撑、深 搅桩止水的支护形式。在开挖过程中要对基坑的变形进行 监测，所以在不同地段设置了支护结构（压顶圈梁）的水 平位移、基坑周边建筑物的沉降变形、基坑内支撑立柱桩 的沉降、深层水平位移（测斜）、支撑轴力、结构围护桩身 应力等监测点。现选择 7 号点水平位移资料进行预测，7 号点的监测数据为压顶圈梁水平位移量，每次监测间隔时 间为 2 天，监测数据见表 2[11]。剔除前两级突变值，以第 3-10 级数据建立优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k) 模型 和 GM(1,1) 模型，预测第 11-14 级变形值，预测结果见表 2。从表 2 的预测结果可以发现，从拟合精度来讲，优化白 化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型和 GM(1,1)模型都在 99% 以上，两者相差无几。但是，优化白化方程参数的新 NGM(1 ,1,k)模型预测精度明显高于 GM(1,1)模型，仍在 99%以 上，中长期预测精度并未随着预测的进行大幅降低，说明 此基坑的变形发展趋势更接近于非齐次指数序列发展。而 对于 GM(1,1) 模型，一步预测精度并不低，但是随着预测 的进行，预测精度逐步降低，这便是 GM(1,1) 模型中长期 预测不足的问题，因为其模拟序列并未正确的反映变形的 发展趋势。再看 NGM(1,1,k)模型，由于其本身的缺陷，已 经没有多少应用价值可言，预测精度大部分低于 90%，长 期预测精度甚至低于 85%，这充分说明了 NGM(1,1,k)模型 的无效性。 6. 结论 （1）NGM(1,1,k)模型参数设置不足，导致其适用范围 是非常有限，甚至于根本无法应用。参照其他同类模型， 对 NGM(1,1,k)模型增加参数，建立了新 NGM(1,1,k)模型。 （2）根据“白化型本身，以及一切从白化型推导出来 表 2 原始数据和不同模型的预测结果 模型 1 模型 2 模型 3 原始值 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 3 0 0 0 7 平均拟合相对误差/% 平均预测相对误差/% 　 　 注：模型 1 为优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型，模型 2 为 GM(1,1)模型，模型 3 为 NGM(1,1,k)模型 的结果，只有在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效”的 思想，通过优化新 NGM(1,1,k)模型白化方程参数，建立了 与新 NGM(1,1,k)模型定义型匹配的白化方程，从而实现了 模型的预测无偏性。 （3）将优化白化方程参数的新 NGM(1,1,k)模型应用 到基坑变形预测中，实例应用结果显示该模型具有较高的 预测精度，在变形预测中具有一定的应用价值。 参考文献 [1] 崔杰，党耀国，刘思峰. 一种新的灰色预测模型及其建模机 理[J]. 控制与决策，2009，24（11）：1702-1706. 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