Chap4. VNM（冯诺依曼-摩根
斯坦）效用函数与风险升水
§1.不确定性与选择公理
§2.冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数
§3.风险度量、确定性等值与风险升水
本章要点
§1.不确定性与选择公理
一、不确定性
经济活动中始终存在着决策的不确定性。
不确定性和风险是一个不同的概念，奈特在
《风险、不确定和利润》（1916）第一次区分
了经济活动中不确定性与风险，不确定性是客
观的，指行动的结果总是被置于某种概率之下，
而风险主要是指主观上的认识能力。
不确定性可以用数学语言进行描述。主要用数
学期望函数和方差。
彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具
有收益的不确定性。可以用式子 表示。
如它会产生两种结果。
二、单赌和复赌
单赌：设有n种可能的事件结果，
则单赌集合可写成：
也可以简写为：
复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博。
高产20% 正常40% 低产40%
雨量大20%
雨量中50%
雨量小30%
奖品是产量的分布，它们又具有不确定性，而成为
赌局本身。
【完备性与传递性公理】对两种不同的结果，
消费者的偏好为：
三、不确定条件下的选择公理
【连续性公理】差异很大的两个不确定结果的
某种加权结果会等同于某个确定的中间结果。
【独立性公理】假定消费者A与B之间无差异，
设C为任一个另外的结果。如果一张彩票L1会以
概率P与(1-P)带来结果A与C，另一张彩票L2以
概率P与(1-P)带来结果B与C，那么，消费者会
认为这两张彩票L1与L2无差异。
例：
设A=获1000元,B=获10元,C=死亡。对大多数
人，1000元>10元>死亡。
设10元为一确定的状态。则必定存在概率
0<P<1，使得：
【不相等公理】
当且仅当：
消费者严格偏好于L2。
§2.冯诺依曼—摩根斯坦效用函数
一、VNM效用函数定义
1.期望
结果1 结果2
概率 收入 概率 收入
佣金制 2000 1000
固定薪水制 1510 510
推销员的收入
2.期望效用
则对应的期望效用函数为：
则消费者更偏好于g1，当且仅当
期望效用函数的作用：当消费者面临不确定性
时，可用期望效用最大化分析消费者的行为。
期望效用函数或VNM效用函数
二、期望效用函数
即用消费者心里那个ai使与某个单赌等价的最
好事件发生的概率来定义u(ai)。
例：
设A=(a1,a2,a3)=(10元,4元,-2元)C=死亡。
当a1发生的概率P为多少时，消费者认为
a1(i=1,2,3)与(P,a1, a3)无差异?
如果该消费者回答：
因此，可定义：
比较单赌格局：
消费者偏好于
单赌的期望效用：
单赌的期望收入：
§3.风险度量、确定性等值和风险升水
一、风险度量
事件A的风险度量：
结果1 离差 结果2 离差
工作1 2000 500 1000 500
工作2 1510 10 510 990
实际收入与期望收入的离差
工作1的平均离差：
工作2的平均离差：
平均离差=P1×结果1的离差+P2×结果2的离差
通常风险以方差或标准差（方差的平方根）来度量：
二、对风险的主观态度
效用函数的凹性与经济含义
效用函数的凹性：
含义：表示通常情况下人们是“风险规避”
的。
风险规避者
风险偏好者
风险中立者
定义
在g中风险规避 在g中风险偏好在g中风险中立
绝对风险规避系数：由决策者的效用函数的曲
率表示的。由于它是对一个财富水平下的风险
的度量，所以又被称为是局部绝对风险规避度
量。这在于说明在财富收益水平绝对量上的增
加或损失。
风险规避程度
三、确定性等值、风险升水及其应用
确定性等值是完全确定的收入量，此收入水平
对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用
水平，即CE满足：
风险升水：是收入P，当一个完全确定收入减去
P产生的效用仍等于不确定条件下期望的效用水
平，即： 。或单赌g含的风险相
当于使一个确定的收入E(g)减少了P。
或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g)转
化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由于
面临风险付出的代价。
O
例：假定 。令单赌中赢h和亏h各有
50%的概率，设消费者原来的资产水平为w。求
CE与风险水平P。
例6：一种彩票赢得900元的概率为；若输，
只获得100元，概率为。若消费者的效用函
数形式为 ，问该消费者愿意出多少钱
购买这张彩票？风险升水是多少？
消费者的出价应按CE给出，即
例7：某消费者的效用函数为： 。
w0=9000，h=8000（火灾后损失大部分财产）,
发生火灾的概率α=。求消费者愿意支付的
保险价格R与保险公司在消费者支付R时的利润。
保险公司付赔额度为4000元，保险费为5900元，
保险公司的利润为1900元。
例8：设风险规避的个人初始财产为w0，其效用
函数具有VNM性质。如购买汽车保险，假定遇
上车祸，财产损失为L；若遇上车祸的概率为
，他会购买多少保险？
购买保险的数额取决于对每一元保险值收取多
少价格。保险的公平价格指使保险公司期望利
润为零的价格。
保险的公平价格（1元价值的保险的收费）等于
车祸发生的概率。
投保人的目标是使期望利润最大化。设x为购买
的保险额。
效用函数严格为凹， 单调，于是边际
效用相等意味着等式两边的财产量相等。
在公平保险价格下，投保人为风险全部投保。
在公平保险价格下，财产状况为：
没遇上车祸 遇上车祸
不买保险下，财产为一期望值：
