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第四章 显著性检验
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显著性检验又叫假设检验是统计
学中的一个重要内容 。
显著性检验的方法很多 ，常用的有u
检验、t检验、F检验和2检验等。尽管这些检
验方法的使用条件及用途不同，但检验的基本
原理是相同的。
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第一节 显著性检验的
基本原理
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一、显著性检验的意义
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如，某地进行了两个水稻品种对比试验，在相同条件下，两个水稻品种分别种
植10个小区，获得两个水稻品种的平均产量为:
我们能否根据 就判定这两个水稻品种平均产量不同？结论
是，不一定。
因为两个水稻品种平均产量
、 都是从试验种植的10个小区获得，仅是两个
品种有关总体平均数 的估计值。由于存在
试验误差 ，样本平均数并不等于总体平均数 ，
样本平均数包含总体平均数与试验误差二部分，
即
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于是，
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其中， 为试验的表面差异，
为试验的真实差异， 为试验误差。
表明，试验的表面差异 是由两部分组
成：
一部分是试验的真实差异 ；
另一部分是试验误差 。
虽然真实差异 未知，但试验的表面
差异 是可以计算的，借助数理统计方法可
以对试验误差作出估计。所以，可将试验的表面
差异 与试验误差相比较间接推断真实差
异 是否存在，即进行差异显著性检验。
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显著性检验的目的在于判明，试验的表面
差异 主要是由试验的真实差异
造成的，还是由试验误差 造成的，从
而得到可靠的结论。
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二、显著性检验的步骤
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【例4·1】 已知某品种玉米单穗重 ～N（300，），即单穗重总体平均
数300g，标准差 。在种植过程中喷洒了某种药剂的植株中随机抽取9个果
穗 ，测得平均单穗重 308g，试问这种药剂对该品种玉米的平均单穗重有无
真实影响？
（一）提出假设
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首先对样本所在的总体作一个假设。假设喷洒了药剂的玉米单穗重总体平
均数 与原来的玉米单穗重总体平均数 之间没有真实差异，即 或
。也就是假设表面差异 是由抽样误差造成的。
这种假设通常称为无效假设或零假设，记
为 。无效假设是待检验的假设，它
有可能被接受，也有可能被否定。
相应地还要有一个对应假设， 称为备择假
设。备择假设是在无效假设被否定时 ，准备接
受的假设，记为 或 。
通过检验，若否定无效假设，我们就接受备
择假设。
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（二）计算概率
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在假定无效假设成立的前提下，根据所检验的统计数的抽样分布 ，计算
表面差异
是由抽样误差造成的概率。
本例是在假定无效假设 成立的前提下，研究在 ～N（300，
）这一已知正态总体中抽样所获得的样本平均数
的分布。
第三章已述及，若 ，则样本平
均数 ， ， ，将
其标准化，得
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本例，
得
下面估计|u|≥的两尾概率，即估
计P（|u |≥）是多少？
我们知道，两尾概率为的临界值为
=，两尾概率为的临界 值
为 =，即：
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P（| |＞）
= P（ ＞）+ P（ ＜） =
u
P（| |＞）
= P（ ＞）+ P（ ＜）
=
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根据样本数据计算所得的 值为，介于两个临界 值之间，即：
＜＜
所以，| |≥的概率P介于
和之间，即
＜ p ＜
说明假定表面差异（ ）是由抽样
误差造成的概率在—之间。
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(三)统计推断
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根据小概率事件实际不可能性原理作
出否定或接受无效假设的推断。
根据这一原理 ，当表面差异是抽样误差
的概率小于时 ，可以认为在一次抽样中
表面差异是抽样误差实际上是不可能的，因而
否定原先所作的无效假设H0： ，接受
备择假设HA： ， 即认为存在真实差
异。
当表面差异是抽样误差的概率大于
时，说明无效假设H0： 成立的可能
性大，不能被否定，因而也就不能接受备择假
设HA： 。
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显著性检验的结果表明：
本例的样本平均数与原总体平均数之间
的表面差异（ ） 除包含抽样误差
外，还包含真实差异（ ） ， 即喷洒
了药剂的玉米单穗重总体平均数 与原来
的玉米单穗重总体平均数 不同。
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综上所述，显著性检验，从提出无效假
设与备择假设，到根据小概率事件实际不可
能性原理来否定或接受无效假设，这一过程
实际上是应用所谓“概率性质的反证法”对
样本所属总体所作的无效假设的统计推断。
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上述显著性检验利用了 分布来估计出
∣u∣≥的两尾概率，所以称为 检验.
三、显著水平与两种类型的错误
(一)显著水平
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用来否定或接受无效假设的概率标准叫显著水平，记作 。 在生物
学研究中常取
=，称 为 5% 显 著 水 平； 或
=，称 为 1% 显 著 水 平 或 极显著水平。
对于上述例子 的检验来说，若∣u∣＜
，则说明试验的表面差异属于试验误差
的概率p＞，即表面差异属于试验误差的
可能性大，不能否定 。统计学上把
这一检验结果表述为： “总体平均数 与
差异不显著”，在计算所得的 u 值的右上方
标记“ ”或不标记符号；
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若 ≤| |＜ ，则说明试
验的表面差异属于试验误差的概率p在—
之间，即＜p≤，表面差异 属
于 试 验误差的可能性较小，应否定H0：
，接受HA： 。统计学上把这一检验结果
表述为：“总体平均数 与
差异显著 ”，在计算所得的 值的右
上方标记“*”；
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若| |≥，则说明试验的表面差异
属于试验误差的概率 p 不超过 ，即 p
≤ ，表面差异属于试验误差的可能性更
小，应否定HH00：： ，接受HHAA：： 。统
计学上把这一检验结果表述为： “总体平均
数 与 差异极显著 ” ， 在计算所得的
值的右上方标记“* *”。
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可以看到，是否否定无效假设假设 ，
是用实际计算出的检验统计数 的绝对值与显著
水平 对应的临界 值 比较：
若| |≥ ，则在 水平上否定
若| | ＜ ，则 不 能 在 水 平 上 否
定 。
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区间 和 称为水
平 上的否定域，而区间 则
称为 水平上的接受域。
因为在显著性检验中，否定或接受无
效假设的依据是“小概率事件实际不可能
性原理”，所以我们下的结论不可能有百
分之百的把握。
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(二)两类错误
例如，经检 验获得“差异显著”的结论，
我们有95%的把握否定无效假设H0，同时要
冒5%下错结论的风险； 经 检验获得“差
异极显著”的结论，我们有99%的把握否定
无效假设H0，同时要冒1%下错结论的风险；
而经
检验获得“差异不显著”的结论，在统计学
上是指“没有理由”否定无效假设H0，同样也
要冒下错结论的风险。
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显著性检验可能出现两种类型的错误：
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Ⅰ型错误 与Ⅱ型错误。
Ⅰ型错误又称为 错误，就是把非真实的差异错判为是真实的差异，即
实际上H0正确，检验结果为否定H0。犯Ⅰ类型错误的可能性一般不会超过所选用
的显著水平 ；
Ⅱ型错误又称为 错误 ，就是把真实的
差异错判为是非真实的差异 ，即实际上HA
正确，检验结果却未能否定H0 。 犯Ⅱ类型
错误的可能性记为 ，一般是随着 的
减小或试验误差的增大而增大，所以
越小或试验误差越大，就越容易将试验的真
实差异错判为试验误差。
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显著性检验的两类错误归纳如下：
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表4-1 显著性检验的两类错误
因此，如果经 检验获得“差异显著”
或“差异极显著”，我们有95%或99%的把
握认为， 与 不相同， 判断错误的可能性
不超过5%或1% ； 若经 检验获得 “差
异不显著”， 我们只能认为在本次试验条件下，
与
没有差异的假设 H0： 未被否定，这
有两种可能存在： 或者是 与 确实没有差
异， 或者是 与 有差异而因为试验误差大
被掩盖了。
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因而，不能仅凭统计推断就简单
地作出绝对肯定或绝对否定的结论。
“有很大的可靠性，但有一定的错
误率” 这是统计推断的基本特点。
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为了降低犯两类错误的概率，一般从选取
适当的显著水平 和增加试验重复次数 来考
虑。因为选取数值小的显著水平 值可以降低
犯Ⅰ类型错误的概率，但与此同时也增大了犯
Ⅱ型错误的概率，所以显著水平 值的选用要
同时考虑到犯两类错误的概率的大小。
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对于田间试验，由于试验条件不容易控
制完全一致，试验误差较大， 为了降低犯Ⅱ
型错误的概率，也有选取显著水平 为
或的（注意，在选用这些显著水平值时，
一定要予以注明）。 通常采用适当增加试验
处理的重复次数（即样本容量）， 以降低试
验误差，提高试验的精确度， 降低犯Ⅱ型错
误的概率。
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在【例4·1】中，对应于无效假设 H0： 的备择假设为HA
： 。 HA实际上包含了 或 这两种情况。此时，在 水平上否定
域为 和 ，对称地分配在 分布曲线的两侧尾部，每侧尾部的概率
为 ，如图4-1所示。这种利用两尾概率进行的检验叫两尾检验. 为 水平
两尾检验的临界 值。
四、两尾检验与一尾检验
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%E5%9B%BE/%E5%9B%BE4%EF%BC%
%E5%9B%BE/%E5%9B%BE4%EF%BC%
两尾检验的目的在于判断 与 有无差
异，而不考虑 与 谁大谁小。
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在有些情况下两尾检验不一定符合实际情况。
例如，目前我国大豆育种工作者认为，大
豆籽粒蛋白质含量超过45%（ ）的品种为高
蛋白品种。如果进行样品含量检测 ，我们关心
的是 所在的总体平均数 大于 。
此时的无效假设仍为H0： ，但备择
假设则为HA： 。这时否定域位于 分布
曲线的右尾，即 。
例如当 =时，否定域为 。
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又如，国家规定稻米中某种农药成分的残
留物含量应低于%（ ）。在抽检中，我
们关心的是 所在的总体平均数 小于 （即
该品种属于合格产品）。此时的无效假设仍为
H0： ，但备择假设则为HA： 。
这 时 否 定 域 位 于 分 布 曲 线 的 左尾，
即 。例如当 =时， 分布的
否定域为 ，见图4-2。
%E5%9B%BE/%E5%9B%BE4%EF%BC%
%E5%9B%BE/%E5%9B%BE4%EF%BC%
一尾检验的 =两尾检验的
=。
这种利用一尾概率进行的检验叫一尾检验
。此时 为一尾检验的临界 值。
一尾检验的 =两尾检验的
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例如，
一尾检验的 =两尾检验的
=，
实际应用中，如何选用两尾检验或一尾检
验，应根据专业的要求在试验设计时就确定。
一般情况下，若事先不知道 与 谁大谁
小，只是为了检验 与 是否存在差异，则选
用两尾检验； 如果凭借一定的专业知识和经验
推测 应小于（或大于） 时，则选用一尾检
验。
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第二节 样本平均数与总体
平均数差异显著性检验
检验一个样本平均数 与已知的总体平均数 是否有显著差异，即检验
该样本是否来自某一总体。已知的总体平均数 一般为一些公认的理论数值、
经验数值或期望数值。
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如果总体 未知、且为小样本（n ≤
30），则用t检验法。
t 检验法，就是在显著性检验时利用 t
分布进行概率计算的检验方法。
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【例4·3】 晚稻良种汕优63的千粒重
＝。 现育成一高产品种协优辐819，
在9个小区种植，得其千粒重为：
、、、、、
、、、(g)
问新育成品种的千粒重与汕优63有无显著
差异？
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1、提出假设
：
：
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2、 计算t值
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＝
＝
＝
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= = =
所以
=
=
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3、统计推断
由df=n-1=9-1=8查临界t值，得：
计算所得的 < ，故p＞ ，
不能否定 ，表明新育成品种
千粒重与当地良种汕优63的千粒重差异不
显著 ，可以认为新育成品种千粒重与当地
良种汕优63的千粒重相同。
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第三节 两个样本平均数差异
显著性检验
两个样本平均数差异显著性检验，因
试验设计不同 ，分为非配对设计和配对设
计两种。
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一、非配对设计两个样本平均数
差异显著性检验
非配对设计是将试验单位完全随机地分为
两组，然后再随机地对两组分别实施两个不同
处理；两组试验单位相互独立，所得观测值相
互独立；两个处理的样本容量可以相等，也可
以不相等，所得数据称为非配对数据。这种设
计适用于试验单位比较一致的情况。
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【例4·5】 测得马铃薯两个品种鲁引1号
和大西洋的块茎干物质含量结果如 表 4-3 所
示。试检验两个品种马铃薯的块茎干物质含量
有无显著差异。
表4-3 两个马铃薯品种干物质含量（%）
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1、提出假设
2、计算t值
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其中， 、 ， 、 分别为两样本含
量、平均数； 为样本均数差数标准
误，计算公式为
当 时，
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其中， 、 分别为两样本均方。
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此例， ＝， ＝，
=6， =5
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于是
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3、统计推断
根据 ，
查附表3得： =
因为计算得的 ＝＜ ，故p＞
，不能否定H0： ，表明两个马铃
薯品种的块茎干物质含量差异不显著，可以
认为两个马铃薯品种的块茎干物质含量相同。
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注意，两个样本平均数差异显著性检验的
无效假设 与备择假设 ，一般如前所述，
但也有例外。例如通过收益与成本的综合经济
分析知道，施用高质量的肥料比施用普通肥料
提高的成本需用产量提高 个单位获得的收益
来相抵，那么在检验施用高质量的肥料比施用
普通肥料收益上是否有差异时 ， 无效假设应
为 ，备择假设为
（两尾检验）；
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在检验施用高质量肥料的收益是否高于施
用普通肥料时，无效假设应为 ，
备择假设为 （一尾检验）。
此时
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二、配对设计两个样本平均数
差异显著性检验
配对设计是指先根据配对的要求将试验单
位两两配对，然后将配成对子的两个试验单位
随机实施某一处理。
配对的要求是，配成对子的两个试验单位
的初始条件尽量一致，不同对子间试验单位的
初始条件允许有差异，每一个对子就是试验处
理的一个重复。
例如，在相邻两个小区、两个盆钵实施
两种不同处理；在同一植株（或器官）的对
称部位上实施两种不同处理；在同一供试单
位上进行处理前和处理后的对比等，都是配
对试验设计，所得观测值称为成对数据。
【例4·7】 选取生长期、发育进度、植
株大小和其他方面皆比较一致的相邻的两块
地（每块地面积为㎡）的红心地瓜苗
构成一组，共得6组。 每组中一块地按标准
化栽培，另一块地进行绿色有机栽培，用来
研究不同栽培措施对产量的影响，得每块地
瓜产量如表4-4所示，试检验两种栽培方式
差异是否显著。
表4-4 两种栽培方法的地瓜产量
（kg/㎡）
采用两尾t检验法。
1、提出假设 H0：
；
HA： 。
其中， 为第一个样本所在的总体平均数，
为第二个样本所在的总体平均数，
为两个样本各对数据之差数
所在的总体平均数， 。
2、计算t值
其中， ， 为差数标准
误， 为配对的对子数 。
本例，
[++
+(－)+(－)+(－)]
=
于是，
3、统计推断
查 附 表 3，当 时 ，
==，计算所得的 ＝＝ ＜＜
，故 p p ＞＞ ，不 能 否 定 H0：
，表明两种栽培方法的地瓜产
量差异不显著，可以认为两种栽培方法的地
瓜产量相同。
第四节 百分率资料的显著性检验
由具有两个属性类别的质量性状利用统
计次数法得来的次数资料进而计算出的百分
率资料，如结实率、发芽率、病株率、杂株
率以及一对性状的杂交后代中某一性状的植
株占总株数的百分率等是服从二项分布的。
这类百分率资料的假设检验应按二项分
布进行。
当样本含量n足够大 ， p不过小，np 和
nq均大于5时，二项分布接近于正态分布，此
时可近似地采用 u检验法（称为正态近似法）
对服从二项分布百分率资料进行差异显著性检
验。
适用于正态近似法所需的二项分布百分率
资料的样本含量n见表4-5。
（样本百分（样本百分率率）） （较小组的次数）（较小组的次数） （样本容量）（样本容量）
15
20
24
40
60
70
30
50
80
200
600
1,400
表4-5 适用于正态近似法所需要的二项
分布百分率资料的样本容量n
一、样本百分率与总体百分率
差异显著性检验
检验一个服从二项分布的样本百分率
与已知的二项总体百分率p00差异是否显
著，其目的在于检验一个样本百分率 所
在二项总体百分率 p 是否与已知二项总体
百分率p0相同 ，换句话说，检验该样本百
分率 是否来自总体百分率为p0 的二项
总体。
这里所讨论的百分率是服从二项分布的，
当满足n足够大，p不过小，np和nq均大于5
的条件时，可近似地采用u检验法，即正态
近似法来进行显著性检验；若np和nq均大
于30，不必对u进行连续性矫正。
【例4·8】 用糯玉米和非糯玉米杂
交，预期F1 植株上糯性花粉粒的百分率为
=。现检视150粒花粉，得糯性花粉
68粒，糯性花粉粒百分率 =，问此
结果和理论百分率 =是否相符？
本 例 的糯性花粉粒百分率服从二项分
布，但样本容量n=150n=150较大，np=75 np=75 、nq=75均
大于5(注意，此处假定 ，
来计算np和nq)，所以采
用正态近似法来进行显著性检验； 且要回答
的问题是糯性花粉粒样本百分率 = = 与
理论百分率 ==是否相符， 故采用两尾
u检验；由于np=75np=75、nq=75nq=75均大于 3030，不必对u
进行连续性矫正。
检验步骤如下：
1、统计假设
H0：
HA：
2、计算u值
其中, 为样本百分率， =为已知
总体百分率， 为样本百分率标准误：
其中，n为样本容量。
本例，
于是，
3、统计推断
计算所得的 ＜ ，故p＞
，不能否定H0： ，表明糯
性花粉样本百分率 ＝ 和
差异不显著 ，可以认为糯性花粉粒样本百分
率 =所在的总体百分率 与理论百分
率 =相同。
p
二、两个样本百分率差异显著性检验
检 验 服 从 二 项分布的两个样本百分
率 、 差异是否显著，其目的在于检验两
个样本百分率 、 所在的两个总体百分
率 、 是否相同。
当两样本的np、nq均大于5时，可以采
用正态近似法，即u检验法进行检验；若两
样本的np和nq均大于30，不必对u进行连续
性矫正。
【例4·9】 调查春大豆品种 A的 120
个豆荚（ =120） ，其 中 有 瘪 荚38荚
（f1=38），瘪荚率%（ ）；调查春大
豆品种B的135个豆荚（ =135），其 中有
瘪荚52荚（f2=52），瘪荚率%（ ）。
试 检 验 这两个品种的瘪荚率差异是否显
著？
本例为服从二项分布的百分率资料，样
本容量较大， =120， =135，且
均大于5 (注意，假
定 成立， 为合并样本百分率，由
(4-22)式计算)，可以采用正态近似法 ，
即u检验法进行显著性检验，要回答的问题
是两个品种的瘪荚率差异是否显著 ，故 采
用两尾u检验；由于 ， 均
大于30，不必对u进行连续性矫正。
，
检验步骤如下：
1、统计假设
H0： ；
HA： 。
2、计算u值
其中， ， 为两个样本
百分率， 为样本百分率差异标准误，
为合并样本百分率
本例，
＝1－＝
＝
＝
于是，
＝
3、统计推断
由于计算所得的 < = ，故
p>，不能否定H0： ，表明两个品
种的瘪荚率差异不显著，可以认为两个品种
的瘪荚率相同。
三、百分率资料显著性检验的连续性矫正
(一) 样本百分率与总体百分率差异显著性检验
的连续性矫正
检验一个服从二项分布的样本百分率与已
知的二项总体百分率差异是否显著 ，当满足n
足够大，p不过小，np和nq均大于5的条件时，
可近似地采用 u检验法，即正态近似法来进行
显著性检验；如果此时np和（或）nq小于或等
于30，还须对u进行连续性矫正。
将连续性矫正后计算的值记为
检验的其它步骤同【例4·8】。
(二) 两个样本百分率差异显著性检验的
连续性矫正
检验服从二项分布的两个样本百分率差
异是否显著，当两样本的np、nq均大于5时，
可以采用正态近似法，即u检验法进行检验；
如果此时两样本的np和（或）nq小于或等于
30，还须对u进行连续性矫正。
检验的其它步骤同【例4·9】。
【例4·10】调查大豆A品种20荚，其中
三粒荚14荚，两粒以下荚 6荚，三粒荚百分
率为；B品种25荚，其中三粒荚7荚，两
粒以下荚18荚，三粒荚百分率为。问两
个大豆品种的三粒荚百分率差异是否显著？
本例
＝20， ＝25，
＝14， ＝7
均大于5，可以采用正
态近似法，即u 检验法进行显著性检验，要
回答的问题是两个品种的三粒荚百分率差异
是否显著，故采用两尾u 检验；但由于小于
30，须对u 进行连续性矫正。
检验步骤如下：
1、统计假设
H0： ；
HA： 。
2、计算 值
3、统计推断
由于计算所得的 介于与之
间，故<p<，否定H0： ，两个
大豆品种的三粒荚百分率差异显著，这里表
现为A品种的三粒荚百分率显著高于B品种。
第五节 参数的区间估计
参数估计就是用样本统计数来估计总体
参数，有点估计和区间估计之分。
将样本统计数直接作为总体相应参数的
估计值叫点估计。点估计只给出了总体参数
的估计值，没有考虑试验误差的影响，也没
有指出估计的可靠程度。
区间估计是在一定概率保证下给出总体
参数的可能范围，所给出的可能范围叫置信
区间，给出的概率保证称为置信度或置信概
率 。
一、正态总体平均数 的置信区间
设有一来自正态总体的样本，包含 个观
测值 ，样本平均数 ，
标准误 ，总体平均数为 。
因为 服从自由度为 -
1的 分布，两尾概率为 时，有：
P（
在区间 内取值的可能性为
1- ，即：
对 变形得：
即
( 4-25）式称为总体平均数 置信度为
1- 的置信区间，
称为置信半径；
L1 = 和L2= 分别称为置
信下限和置信上限；
置信上、下限之差称为置信距，置信距
越小，估计的精确度越高。
总体平均数 的95%和99%的置信
区间如下：
【例4·11】 测得某高产 、抗病小
麦品种的8个千粒重，计算得千粒重平均数
=，标准误 。试求该品
种小麦千粒重在置信度为 95％ 的置信区
间。
查 附 表 3 ， 当 df =（8-1）= 7 时，
得 ， 故95％的置信度区间为：
（（－－××））g≤ ≤(+×)gg≤ ≤(+×)g
≤ ≤
说明置信度为95％时，该高产、抗病小麦
品种的千粒重在—之间。
二、二项总体百分率 的置信区间
求总体百分率的置信区间有两种方法：
正态近似法和查表法，这里仅介绍正态近似
法。
当 ，p 时，总体百分率
p的95%、99%置信区间为：
其中， 为样本百分率， 为样本百
分率标准误， 的计算公式为：
【例4·12】 调查某品种水稻 1200株
， 受二化螟危害的有200株，即
=200/1200=。试估计置信度为95%的
二化螟危害率的置信区间。
先计算样本百分率标准误 ：
置信下限L1和置信上限L2为：
L1=－×=
L2=+×=
即水稻二化螟危害率的95%置信区间为
%—%。
