统计学
张梅琳 教授
上海大学国际工商与管理学院
统计学教学概述
一、课程教学目的及要求
教学目的
本课程系统阐述统计基本理论、基本知识和基本技能，使学生掌握基本的定量分析方法，去解决实际问题。
2. 教学要求
(1).掌握常用的调查方法及应用；
(2).掌握对经济现象共性及异性特征的数量测定方法；
(3).掌握相对数、指数方法进行数据处理；
(4).掌握通过样本进行抽样估计和检验的推断方法；
(5).了解一些常用的预测及决策方法，包括相关、回归数量分析及时间序列等分析；
(6)．掌握常用的统计软件及应用
3. 教学重点
以下各项内容是课程的要点
（1）数据处理方法
（2）抽样调查方法、数量标志分组、统计表的设计
（3）用算术平均数、标准差及标准差系数进行数据分析
（4） 用相对数进行数量分析，综合指数的编制，因素分析方法
（5）大数定律，中心极限定律，抽样分布，置信区间
（6）检验的基本要素，区间估计与显著性检验的关系
（7）回归分析、回归显著性检验
（8）分析指标、因素分解、决策程序
（9）案例分析结合统计软件包的应用
二、课程内容简介
《统计学》是一门收集、整理和分析统计数据的方法论科学，其目的在于探索数据的内在数量规律性，以达到对客观事物的科学认识。其发展的源动力在于它不断地解决社会、经济的现实问题，目前统计在社会发展与评价、可持续发展与环境保护、保险精算、金融业数据库建设与风险管理、宏观经济监测与预测、信息技术、国民经济核算等领域开展了广泛的应用研究，这些研究赋予了统计学发展以新的活力。统计学是一门实践性很强的应用科学，在对统计数据从哪儿来和统计数据说明什么的探索回答的过程中掌握和运用相关统计理论和方法，在对统计数量分析方法的应用得到基本领会和感性认识基础上来开展分析，并掌握相应软件的应用技巧。
三、课程实践环节
本课程是一门实践性很强的课程，要求学生不仅要掌握统计学基本概念和知识，还要掌握数据处理的能力 。
本课程的实践环节包括上机实验、调查课程设计和案例分析
1、实验内容
（1）问卷调查与分析
数据的搜集和筛选及数据真实性的判别是统计工作的起点，通过问卷调查的实验锻炼，掌握基本的数据来源方式。。
（2）相关与回归分析
通过介绍相关与回归分析的一般步骤，领会其应用，为更复杂更深入的统计研究和实验打下良好的理论和实践基础。
（3）数据分析与EXCEL、EVEIEWS应用
详细、具体地训练学生的运用统计软件能力
2、实践形式
学生分组上机模拟实践,教师现场讲解与指导。特别是要对每个环节都要认真对待，仔细地领会每一步的意图和作用，并能融会贯通。要求：
（1）实践期间个人做好实践课记录。
（2）实践结束，每人写出详实的实践总结报告，包括日常表现，实践过程，个人收获以及实践体会。
(3) 实践交流，实践结束分组进行实践交流。
(4) 实践成绩将根据实践指导教师确定的实践成绩和学生实践交流的表现综合评定。
统计学
第一章 导论
第二章 统计搜集与整理
第三章 数据的汇总
第四章 统计比率与统计指数
第五章 抽样推断法
第六章 显著性检验
第七章 统计变量和统计函数
第八章 回归分析预测
第九章 时间数列
第十章 计算机在统计中的应用
第一章 导论
一、统计学的产生与发展
二、数据信息和统计学
三、数据信息处理方法
四、计算机软件的应用
主要内容
案例
一、统计学的产生与发展
产生
原始社会后期： 统计萌芽于计数活动；
奴隶制国家产生：使统计日显重要；
封建社会时期： 统计已具规模；
资本主义的兴起：统计扩展到社会经济各方面。
统 计学应运而生，统计学作为一门系统的科学，距今已有300多年的历史。
发展（三个时期）
（一）统计学的萌芽期（17世纪中－18世纪中）
1、德国的记述学派（国势学派〕
康令 （1606－1681）
阿痕瓦尔（1719－1772； 1764年首创统计学一词）
他们在大学中开设“ 国势学”采用记述性材料，讲述国家“ 显著事项”，籍以说明管理国家的方法。特点是偏重于事物质的解释而忽视量的分析。
（二）统计学的近代期（18世纪末－19世纪末）
1、数理统计学派
代表人物：法国的拉普拉斯，比利时的凯特勒。
拉普拉斯把古典概率论引进统计学，发展了概率论，推广了概率论在统计中的应用。
2、政治算术学派
代表人物：英国的威廉·配第、约翰·格朗特等。
威廉·配第的代表著《政治算术》对当时的英、荷、法等国的“ 国富和力量”进行了数量的计算和比较；格朗特写出了第一本关于人口统计的著作。他们开创了从数量方面研究社会经济现象的先例。
凯特勒把德国的国势学派、英国的政治算术学派和意大利、法国的古典概率论家以融合改造为近代意义的统计学。他是数理统计学派的奠定人，有“ 统计学之父”之称。
2、社会统计学派
代表人物：德国的克尼斯、恩格尔、梅尔等。
他们强调统计学是研究社会现象的科学，包括统 计资料的搜集、整理和分析研究，目的是要揭示现象内部的联系。
（三）统计学的现代期（20世纪初至今）
统计学的主流从描述统计学转向推断统计学。20世纪30年代R·费希尔的推断统计理论标志着现代数理统计学的确立。
60年代以后统计学发展有三个明显的趋势：
1·统计学依赖和吸收数学更多；
2·以统计学为基础的边缘学科不断形成；
3·与电子计算机技术相结合，应用范围更广，作用更大。
二、统计学的研究对象和研究方法
（一）统计包含三种涵义，两重关系
1、统计工作：调查研究。资料收集、整理和分析。
2、统计资料：工作成果。包括统计数据和分析报告。
3、统计学：研究如何搜集、整理、分析数据资料的一
门方法论科学。
统计工作
统计资料
统 计 学
工作与工作成果关系
实践与理论关系
统计学的性质：是一门适用于自然现象和社会现象的方法论学科。
统计学的研究对象：大量现象的数量方面。包括数量
特征、数量关系、数量界限等。
（二）统计学的研究对象
（三）统计学的研究方法
1、大量观察法
是指对所研究的事物的全部或足够数量进行观察的方法。它可以使影响个体的偶然因素相互抵消，显示出现象的一般特征。其数理依据是反映随机现象基本规律的大数定律。
2、综合指标法
是从数量方面对现象总体特征的概括说明。综合指标法，就是运用各种综合指标对现象的数量特征、数量关系进行对比分析的方法。它是统计分析的基本方法。
3、统计推断法
是在一定置信程度（即可靠程度）下，根据样本资料的特征对总体特征作出估计和预测的方法。统计推断是现代统计学的基本方法。
三、数据信息处理方法
1、统计总体和总体单位
总体
统计研究所确定的客观对象，是具
有共同性质的许多单位组成的整体。
无限总体：含无限多个单位
范围
有限总体：含有限个单位。
总体单位：组成总体的各个单位（或元素），是各项统计数字的原始承担者。
同质性：总体中各个单位具有某种共同的性质。
大量性：总体总是包含大量的单位。
（一）统计学的要素
特点
2、标志
标志
总体单位的属性、特征。
品质标志：用文字表示属性
分类
数量标志：用数字表示特征
不变标志：各单位具体表现 相同
可变标志：各单位具体表现 不同
指标：综合反映总体数量特征的概念和数值。
构成：指标名＋指标数值
特点：具体性；综合性
3、指标和指标体系
分类：数量指标；质量指标
描述指标；评价指标；预警指标
绝对数指标；相对数指标；平均数指标
在推断统计中：说明总体的指标也称参数。说明样本的指标称统计量。
指标体系：具有内在联系的一系列指标构成的整体。
标志与指标的联系与区别：
联系（1）一些数量标志汇总可以得到指标的数值 。
区别 （1）标志是说明总体单位特征的，而指标是说明 统计总体数量特征的；
（2）数量标志与指标之间存在变换 关系。
（2）标志的具体表现，有的用数值有的用文字表示，而指标都是用数值表示的。
统计指标
重要特点：具体性； 综合性
描述指标
评价指标
监测指标
分类
数量指标
质量指标
绝对数指标
相对数指标
平均数指标
指标体系
具有内在联系的一系列指标所构成的整体，即称为指标体系。
分类
社会指标体系
经济指标体系
科技指标体系
基本统计指标体系
是针对某项社会经济问题而制定的专项指标体系，如工业经济效益指标体系、价格指标体系等。
专题统计指标体系
4、变量和变量值
变量
可变的数量标志和统计指标。
确定性变量
分类
随机性变量
离散性变量
连续性变量
变量值：即变量的具体数值，包括标志值和指标数值
社会经济现象中许多变量，既受确定性因素影响，又受随机性及其它不确定性因素影响。要根据具体情况加以认定。
5、样本
是从总体中随机抽取部分单位所构成的集合体。
必须取自所要研究的总体；
特点
从一个总体中可抽取许多个样本，这些样本的数值是不同的，也即存在着随机的差异；
样本必须具有代表性；
样本必须具有客观性，也即排除主观因素的影响
6、推断：就是以样本信息为依据对总体的某些特
征作出预测和估计。
7、推断的可靠性：根据随机抽取的样本对总体推断所得出的结果的可靠程度，也称置信度。
（二）统计学的内容
1、描述统计
(descriptive statistic)
指搜集、整理、分析并提供统计资料的理论和方法。
主要任务：使反映客观事物的统计数据就可以一目了然，条理清晰，使用方便，可以说明现象的数量特征和数量关系。
2、推断统计
(inference
statistic)
是依据样本资料推断总体特征的技术和方法，包括参数估计和假设检验的方法。
描述统计是推断统计的前提，推断统计是描述统计的发展。
四、计算机在统计中的应用
统计信息的存储和检索
微型机的内存容量已相当可观，新的光盘技术的发展，又使计算机的容量成倍增加。
1
2
3
4
量化等级
功能包容
1
2
3
4
统计资料的分析和检验
EXCEL应用
使用“分析工具”的操作如下：单击“工具（T）”→“数据分析（D）”命令，弹出如图所示的“数据分析”对话框。
如果在“工具”菜单中没有“数据分析”命令，必须在Microsoft Excel中安装“分析工具库” 。
Microsoft Excel安装的方法是：
1、在Excel“工具”菜单中，单击“加载宏”命令。
2、从“加载宏”对话框中找到“分析工具库”选项，将其选中，然后单击“确定”按钮即可完成安装。
3、安装完成后在Excel“工具”菜单下就会新增加“数据分析”命令。
如果在上面的步骤2“加载宏”对话框中没有找到“分析工具库”选项，必须采用手工方式来进行“分析工具库”的加载 。完成Excel数据分析程序安装后，点击工具菜单中的“数据分析”，即会弹出Excel统计分析工具选择菜单（如上图）选中某一个统计分析工具，点击确定按钮，就OK了。
Eviews应用
Eviews软件是应用广泛的经济计量分析软件，尤其在金融分析、宏观经济预测、销售预测和成本分析经济领域具有非常强大的数据分析处理和预测功能。这里涉及的软件为Eviews 版本。下面介绍它的基本操作方法。
主窗口简介
软件安装后，在相应的目录下用鼠标双击图标启动程序，进入主窗口。主窗口上方排列着按照功能划分的9个主菜单选项（见下图）。
建立工作文件
Eviews要求数据的分析处理过程要在特定的工作文档（Workfile）中进行，并且该文档需要在具体数据的录入之前建立。工作文档的作用在于存储分析数据和分析结果。
点击File→New→Workfile，屏幕上出现一个工作文件定义对话框，要求用户指定序列观测数据的频率和样本大小（见图2-5-5）。
软件名称
特征
运算功能
举例
1、Minitab
2、SAS
3、SPSS
4、Statistica
分类
分类；排序
分类；排序；
有基本测量单位
有基本测量单位；
有绝对零点
计数
计数；排序
计数；排序；
加减
计数；排序；
加减
乘除
产业分类
企业等级
产品质量
差异
商品销售
额
5、Excel
6、Eviews
Eviews下载网站：
计算检验统计量：
K——处理方法种类，即列数；
n——区组数，即行数；
Rj——第j个列的秩和
设定显著性水平α，查表确定临界值：
(1)n、K不很小时；查2分布表，自由度为K-1；
(2)n、K很小时；直接查2分布表。
（3）
（4）
检验判断：
(1)n、K不很小时：
若
(2)n、K很小时：按分布表相应的临界值判断。
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第二章 数据搜集与整理
统计调查
统计整理
统计分析
有组织、
有计划地
搜集资料。
要求：准确、
完整、及时
对调查资料
去伪存真、
去粗取精、
科学分类、
浓缩简化
描述性分析
推断分析、
决策分析。
要求：定性
定量结合
统计工作的三个中心阶段
统计调查
一、调查组织方式
案例
统计调查
二、调查方案设计
报表制度
普 查
重点调查
典型调查
抽样调查
方案内容
调查表、问卷设计
制度化的
经常性调查
专门组织调查
全面调查
非全面调查
网上调查
一、统计调查的组织方式
统计报表制度
由政府部门组织，采用统一的表格，自上而下布置，自下而上报告。
任务：
搜集国民经济和社会发展基本情况的资料，为制订国民经济和社会发展计划和检查计划执行情况服务。
优点：
精心周密设计、高度统一、规范。
回收率高，内容相对稳定，便于资料积累、对比。
层层上报、逐级汇总，可以满足各部门需要。
特点：
普查
特点：
工作量大，时间性强，需要大量人力和财力。
任务：
搜集重要的国情国力和资源状况的全面资料，为政府制定规划、方针政策提供依据。
方式：
建立专门机构，配备专门人员调查。
利用基层单位原始记录和核算资料发表调查。
原则：
规定统一的标准时点。
规定统一的普查期限。
规定调查的项目和指标。
重点调查
特点：
在总体中选择个别或部分重点单位进行调查。
任务：
及时了解总体基本情况，为主管部门指导工作服务。
方式：
一次性调查；专门设计和备配人员现场调查。
重点单位指在总体中有举足轻重地位的单位，其标志值在总体标志总量中占有绝大比重。
经常性调查；同报表制度结合，用统计报表调查。
典型调查
特点：
在全面分析的基础上，有意识地选择代表性的典型单位进行现场调查。
任务：
为研究某种特殊的社会经济问题，搜集详细的第一手资料，借以认识事物的本质特征、因果关系、变化趋势。为理论和政策性问题研究提供依据。
作用：
适宜于研究处于萌芽状态事物和倾向性问题；
适宜于分析事物的类型，它们之间的差别和关系。
方法：
解剖麻雀；划类选典；抓两头。
抽样调查
特点：
1·按随机原则从总体中抽取样本；
2·以样本指标（统计量）为依据推断总体参数
或检验总体的某种假设；
3·抽样误差可以事先计算并加以控制。
调查误差
登记性误差
代表性误差
偏 差
随机误差
抽样平均误差
实际误差
统计推断中的抽样误差就是抽样平均误差。它是处于调查所固有的，是对抽样推断精确度的量度。
抽样调查的组织方式：
1·简单随机抽样（纯随机抽样）
方法：将总体单位编成抽样框，而后用抽签或 随机数表抽取样本单位。
适用：总体规模不大；总体内部差异小
2·类型抽样（分层抽样）
方法：将总体全部单位分类，形成若干个类型组，然后从各类型中分别抽取样本单位，组合成样本。
总体
N
样本
n
等额
等比例
最优
···
···
3·等距抽样（机械抽样）
方法：将总体单位按某一标志排序，而后按一定的间隔抽取样本单位。
排序依据的标志：（1）无关标志；（2）有关标志
（总体单位按某一标志排序）
······
·
·
·
·
·
·
4·整群抽样（cluster sampling）
方法： 将总体全部单位分为许多个“群”，然后随机抽取若干“群”，对被抽中的各“群”内的所有单位登记调查。
例：
优点：组织工作简便，费用节约。
局限性：调查单位过于集中在少数样本群中，限制样本在总体分布的均匀性。
适用于两类现象：一类是根据行政、地域或自然形群体；另一类是连续不断的总体。
与类型抽样的区别：主要是抽样目的有区别。
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Excel的直方图分析
直方图是描述统计的图解方法，它与其它统计定量方法相辅相成 ，共同完成汇总、揭示数据分布特征的任务。但它们一般不能正确估计总体特征（除非满足抽样有关的统计假定）。以第2章习题1为例 ，说明应用Excel进行统计频率分布和直方图等操作的步骤 。1．进入Excel并打开新工作簿，在A单元列中逐个输入原始数据，在B单元列中输入各组的分组上限，不管连续性变量还是离散性变量，分组的频数都只计算到各组上限包括的变量值数目为止。一般均取“10”的倍数减1，而分组的下限将默认为“10”的倍数。2．输入原始数据。在B1单元中输入标志名称，在B2单元中输入“59”(说明在小于和等于“59分”的变量数计在第一组的频数内，等于“60分”的变量数将计到下一组的频数内)，作为第一组的分组上限，在B3单元中输入“69”作为第二项数据，依此输入。3．从工具菜单中下拉，选择数据分析→直方图→点击确定按钮。 4．在直方图分析选项框的“输入区域（I）”中输入含有原始数据单元范围的引用(A1：An)，本例为$A$1：$A$51，更为简便的是直接用光标圈选A列的数据。此外，如果引用范围包括标志值的名称，必须勾选“标志”选项。
0
其他
2
109
5
99
18
89
18
79
4
69
3
59
频率
分组上限
5．在“接收区域”中输入含有分组单元的引用(B1：Bn)，输入包含有分组标志值单元范围的引用，本例为$B$1：$B$7，通常这些分组区间的界限(上限)必须按升序排列。 6．在“输出区域”中输入想让输出表显示其范围的左上角单元引用(必须是空的单元)，注意防止表格与图表以及原始数据的覆盖和重叠。本例取$D$1。勾选“图表输出（C）”复选框，单击确定。输出如下图表 。
第三章 数据的汇总
一、综合指标概述
二、总量指标（绝对数指标）
三、平均数指标（平均数）
四、标志变异指标
五、运用
主要内容
案例
一、综合指标概述
统计指标
统计指标是综合反映统计总体数量特征的概念和数值。
指标名称
指标数值
反映总体某一方面的质的规定性,是对总体本质特征的一种概括。
是总体量的规定性在一定时间、地点、条件下的具体表现。
二、总量指标（绝对数指标）
概念
总量指标是反映社会经济现象总规模、总水平的 总和指标。
（1）反映国情、国力和企事业单位人、财、物
的状况；
（3）是计算相对指标和平均指标的基础。
（2）是国民经济宏观管理和企业经济核算的基础性指标，是实行目标管理的工具；
作用
三、平均指标（平均数）
概念
平均指标反映同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定。
数据集中区
变量x
常用的几种平均数
概 念 计算 公 式 特 点
优点：①容易理解，
便于计算
②灵敏度高
③稳定性好
④
和
缺点：①易受极值影响
②在偏斜分布和U形分布中，不具有代表性。
1. 算术平均数
（ ）
标志总量与总体单位总数的比值
简单：
加权：
常用的几种平均数
概 念 计算 公 式 特 点
优点：①灵敏度高
②在某种不能计算的条件下，可以代替
缺点：①不易理解
②易受极值影响
③有“ 0”值时不能计算
2. 调和平均数
（ ）
标志值倒数平均数的倒数
简单：
加权：
价格（元）
合计
销售量（斤）
3
4
5
12
算术平均
求某种商品三种零售价格的平均价格
调和平均
价格（元）
合计
销售额（元）
10
10
常用的几种平均数
概 念 计算 公 式 特 点
4. 中位数
（Me）
标志值由小到大顺序排列中居中间位置的标志值位置的平均数
上限公式：
下限公式：
优点：①容易理解，
②不受极值影响
③适宜于开口组资料和不能用数字测定的事物
缺点：①灵敏度和计算功能差
②间断数Me
常用的几种平均数
概 念 计算 公 式 特 点
5. 众数
（Mo）
分配数列中出现次数最多的标志值位置平均数
上限公式：
下限公式：
优点：①容易理解，
②不受极值影响
缺点：①灵敏度和计算功能差
②稳定性差
③具有不唯一性
常用的几种平均数
概 念 计算 公 式 特 点
优点： (1) 灵敏度高
(2)受极值影响小
(3)适宜于各比率之积为总比率的变量求平均
缺点:①有“ 0”或负值时不能计算
②偶数项数列只能用正根
3. 几何平均数
（ ）
几个变量值连乘积的几次根
简单：
加权：
要点解释
权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。
权数
例
(1)
(2)
(3)
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
10
20
10
40
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
20
40
20
80
X
4
5
6
合计
频数
频率(%)
20
10
10
80
=5
=5
=
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第四章 统计比率与指数
概念
相对指标(statistical ratio)是两个有联系的指标对比的比值，反映事物的数量特征和数量关系。
（1）反映总体内在的结构特征
（3）反映事物发展变化的过程和趋势。
（2）用于不同对象的比较评价；
作用
种类
计划完成相对数
结构相对数
比例相对数
比较相对数
强度相对数
动态相对数
不同时期
比 较
动 态
相对数
强 度
相对数
不同现象
比较
不同总体
比较
比 较
相对数
同一总体中
部分与部分
比 较
部分与总体
比 较
实际与计划
比 较
比 例
相对数
结 构
相对数
计划完成
相对数
同一时期比较
同类现象比较
应用原则
（1）正确选择对比的基数；
（2）必须注意统计的可比性；
（3）相对指标要与总量指标相结合。
<案例>
概 念
总指数的编制
指数的因素分析
指数的应用
案 例
指数
指数（Index Number）是研究现象差异或变动的重要统计方法。它起源于18世纪欧洲关于物价波动的研究。至今，已被广泛应用于社会经济生活各方面；一些重要的指数已成为社会经济发展的晴雨表。
主要内容
概念
概念
广义指数：
狭义指数：
反映现象数量差异或变动程度的相对数。
例如，动态相对数，比较相对数、计划完成程度
相对数。
反映不能直接相加的复杂现象综合变动程
度的相对数。
例如，零售物价指数，消费价格指数、股价指数。
反映复杂的社会经济现象总体的综合变动；
测定现象总变动中各个因素的影响；
对多指标复杂现象综合测评。
作用：
按对象的范围分
按指标的性质分
按采用的基期分
个体指数
组指数
总指数
种类：
数量指标指数
质量指标指数
定基指数
环比指数
总指数的编制
一、综合指数
概念：
综合指数是总指数的基本形式。它是通过引入一个同度量因素将不能相加的变量转化为可相加的总量指标，而后对比所得到的相对数。
综合指数
指数化因素×同度量因素
指数化因素×同度量因素
总量指标
总量指标
＝
＝
所要研究其变动程度的
两个时期的某一经济变量
引入一个同一时期的经济量，起到媒介或权数的作用
综合指数
平均数指数
综合指数的编制
1、数量指标的综合指数（例：销售量指数）
报告期和基期的销售
量，为指数化因素
基期价格作为同度量因素
基期实际销售额
以基期价格计算
的报告期销售额
该指数说明多种商品销售量的综合变动程度。
分子、分母之差：
说明由产量变动带来的销售额的增（减）量
2、质量指标的综合指数（例：价格指数）
报告期和基期的价格
，为指数化因素
报告期销售量作为同度量因素
报告期实际销售额
以报告期销售量计算的基期销售额
该指数说明多种商品价格的综合变动程度。
分子、分母之差：
说明由价格变动带来的销售额的增（减）量。
3、其他形式的综合指数公式
拉氏公式：
派氏公式：
马歇尔—艾奇沃斯公式：
费暄的“ 理想公式”：
固定价格的物量指数：
固定物量的价格指数：
编制综合指数的一般方法原则：
（1）同度量因素与指数化因素相乘后必须是有实际经济意
义的总量指标；
（2）数量指标指数以质量指标为同度量因素；质量指标指
数以数量指标为同度量因素；
（3）同度量因素的固定时期必须以指数的经济意义为依据。
二、平均数指数
是以总量指标为权数对个体指数进行加权平均的总指数。
概念：
编制方法
1、加权算求平均数指数
通常用来计算数量指标指数（如销售量指数）
销售量个体指数
与销售量个体指数相对应的销售额占总销售额的比重
2、加权调和平均数指数
通常用来计算质量指标指数（如价格指数）
价格个体指数
与价格个体指数相对应的产品销售额占总销售额的比重
销售量指数
价格指数
比较：用哪种公式好？
实际工作中，常采用相对固定的权数。
某个经济发展较稳定时期的产值或销售额的结构。
性质
资料
计算方法
差额分析
综合
指数
平均数
指数
狭义
指数
广义
指数
全面
资料
样本
资料
先综合
后对比
先对比
后综合
分子、分母之差为
总量差异有经济意义
分子、分母之差，不形成
实际总量，无经济意义
总平均
数指数
广义
指数
分组
资料
三种形式的总平均数对比自成体系
分子、分母之差为平均数差异，有意义
指数的因素分析
一、总量指标指数的因素分析
1、方法：
这是利用综合指数的指数体系进行的因素分析。
构造有实际经济意义的指标体系：
分析对象：S=A·B （因素指标）
将指标体系转换为指数体系：
分析某一因素变动影响时，将其他因素固定：
分析相对变动影响时，也分析绝对差额影响：
方法步骤
(A1-A0) B0 ; (B1-B0) A1
A1 B0 A1B1
A0 B0 A1B0
______ ; _____
2、举例
两因素分析
产 值=产 量 ×价 格
产值指数=产量指数×价格指数
指数体系
代入资料计算得到：
%=%×%
770=400+370 (万元)
注意 ：（1）固定因素时期的选择要满足平衡的要求；
（2）因素的排序要使相邻两变量能分能合。
S= A · B · C ；
D · C
或S= A · B · C
A · E
原材料支出总额指数=产量指数×单耗指数×原材料单价指数
原材料支出总额 =产 量 ×单 耗×原材料单价
代入资料计算得到：
%=%×%×%
2420=2600-3600+3420（万元）
指数体系
多因素分析
二、平均数指标指数的因素分析
1。特点：
总平均数指数是对总平均指标变动程度的测定
（1）属于广义指数；
（2）以组平均数为基础，突出结构因素；
（3）有三种形式。
可变构成指数
固定构成指数
结构变动影响指数
2、例：
某企业成本变动总指数
（1）可变构成指数（包含组平均数变动和结构变动双重影响）
某企业报告期
和基期单位成本
报告期和基期各车间产量所占比重
即双重因素影响企业单位成本变动。
（2）固定构成指数（只反映各车间平均单位成本变动影响）
各车间报告期、基期单位成本
代入资料计算
代入资料计算
即由于各车间单位成本的平均变动带来的企业总成本的增加。
（3）结构变动影响指数
代入资料计算
报告期和基期各车间产量所占比重
即由于企业产量结构变动带来的企业平均单位成本的减少。
三个指数的关系：
可变构成指数=固定构成指数×结构变动影响指数
劳动生产率变动的差额：
三、将综合指数同平均数指数结合进行多因素分析。
混合型因素分析
例 ：某煤矿公司产量增长因素分析。
煤产量指数=劳动生产率指数×工人人数指数
代入资料计算得到：
%=%×104%
1500=14440+560（千吨）
式中的
即劳动生产率可变构成指数
代入产量指数分解式：
代入资料计算得到：
%=%×%×104%
15000=12200+2240+560（千吨）
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第五章 抽样推断法
推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。
随机原则
总体参数
统计量
推断估计
参数估计
检验
假设检验
抽样分布
案例
根据这个流程图，结合一个具体实例，说明数学建模的过程。
工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。每道工序完成时，都要对产品进行检验。粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工合格品为成品，不合格品为废品。
请用流程图表示这个零件的加工过程。
抽样分布
简单随机抽样和简单随机样本的性质
不放回
放 回
放回
不放 回
独立性和同一性
同一性
当n/N≤5%时，有限总体不放回抽样等同于放回抽样
统计量与抽样分布
统计量：即样本指标。
样本均值
样本成数
样本方差
如：
抽样分布：
某一统计量所有可能的样本的取值形成的分布。
性 质
数字特征
0≤P（Xi）1
∑P（Xi）=1
均值E（X）
方差E[x-E(x)]2
方差的平方根即抽样分布的标准差就是
推断的
抽样误差。
抽样误差就是样本平均数分布数列的标准差。
计算标准分
即将原始分数X经过线性变换转变为标准分Z。反映各原始分的平均数为中心的相对位置。
X
O
任何原始分在总体中的位
置，用Z倍的σ来测定。
计算抽样误差（以平均指标为例）
设：
样本均值的抽样分布（简称均值的分布）
抽样
均值
均值μ=∑Xi/N
样本均值是样本的函数，
故样本均值是一个统计量，
统计量是一个随机变量，
它的概率分布称为样本均
值的抽样分布。
抽 样 方 法 均 值 方 差 标 准差
（1）从无限总体抽 样和有限总体放回抽样
（2）从有限总体不放回抽样
抽样误差
抽样误差
从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正态分布。
从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？
中心极限定理：无论总体为何种分布，只要样本n足够大（n≥30），均值（ ）标准化为（z）变量，必定服从标准正态分布，均值（ ）则服从正态分布，即：
两个样本均值之差的抽样分布
抽样
抽样
估计
（1）如：
（2〕如果两个总体都是非正态总体，只要n1、n2足够大，根据中心极限定理，可知：
样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布）
抽样
成数
成数P=Ni/N
所有可能的样本的成数（ ）所形成的分布，称为样本成数的抽样分布。
抽 样 方 法 均 值 方 差 标 准差
（1）从无限总体抽 样和有限总体放回抽样
（2）从有限总体不放回抽样
根据中心极限定理，只要样本足够大， 的分布就近似正态分布。（np和nq大于5时）
抽样误差
抽样误差
两个样本成数之差的抽样分布
抽样
抽样
估计
当n1、n2都足够大时，样本成数 都近似服从正态分布，两个样本成数之差（ ）也近似服从正态分布。
P1-P2=？
一个样本方差的抽样分布
抽样
若:从一个正态总体中抽样所得到的样本方差的分布
n,S2
则
当
则
两个样本方差之比的抽样分布
抽样
从两个正态总体中分别独立抽样所得到的两个样本方差之比的抽样分布。
n1,S12
则
抽样
n2,S22
参数估计
点估计
以样本指标直接估计总体参数。
评价准则
的数学期望等于总体参数，即
该估计量称为无偏估计。
无偏性
有效性
当 为 的无偏估计时， 方差 越小，无偏估计越有效。
一致性
对于无限总体，如果对任意
则称
的一致估计。
是
充分性
一个估计量如能完全地包含未知参数信息，即为充分量
估计量
区间估计
估计未知参数所在的可能的区间。
评价准则
随机区间
置信度
精确度
随机区间
包含
（即可靠程度）越大越好。
的概率
的平均长度
（误差范围）越小越好
一般形式
或
总体参数
估计值
误差范围
△：一定倍数的抽样误差
例如：
抽样误差
一定时，
越大，
概率（可靠性）大；
随之增大，
精确度就差。
抽样组织方式和参数的区间估计
待估计参数
已知条件
置信区间
正态总体，σ2已知
正态总体，σ2未知
非正态总体，n≥30
有限总体，n≥30
（不放回抽样）
总体均值
（μ）
σ未知时，用S
σ未知时，用S
两个正态总体
已知
两个正态总体
未知但相等
两个非正态总体
,n1，n2≥30
两个总体均值之差
μ1-μ2
待估计参数
已知条件
置信区间
无限总体，
np和nq都大于5
总体成数
（p）
无限总体，
N1P1＞5, n1q1＞5
N2P2＞5, n2q2＞5
两个总体成数之差
（P1-P2）
有限总体，
np和nq都大于5
有限总体，
N1P1＞5, n1q1＞5
N2P2＞5, n2q2＞5
样本数的确定
待估计参数
已知条件
样本数的确定
正态总体，σ2已知
总体均
值（μ）
例：误差范围
简
单
随
机
抽
样
有限总体，不放回抽样，
σ2已知
总体成数
（P）
服从正态分布
有限总体，不放回抽样
待估计参数
已知条件
置信区间
正态总体
总体方差
两个正态总体
两个总体方差之比
待估计参数
已知条件
置信区间
有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）
各层nh≥30
总体均值
（μ）
有限总体不放回抽样（n等比例分配于各层）
各层nh≥30
总体成数(P)
总体
N
样本
n
均值：
平均层
内方差：
置信区间
抽样误差
估计
待估计参数
已知条件
置信区间
有限总体不放回抽样，样本群数r足够大
总体均值
（μ）
有限总体不放回抽样，样本群数r足够大
总体成数(P)
总体群数R
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
L
H
P
D
样本群数 r
估计
均值：
群间
方差：
置信区间
抽样误差
待估计参数
已知条件
样本数的确定
总体均
值（μ）
分层抽样
总体均
值（μ）
整群抽样
有限总体不放回抽样，
等比例分配样本
有限总体不放回抽样，
服从正态分布
未知用
未知用
第六章 显著性检验
基本思想
检验规则
检验步骤
常见的假设检验
基本思想
小概率原理：
如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中事件A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。
总 体
（某种假设）
抽样
样 本
（观察结果）
检验
（接受）
（拒绝）
小概率事件
未 发 生
小概率事件
发 生
假设的形式：
H0——原假设， H1——备择假设
双尾检验：H0：μ=μ0 ， H1：μ≠μ0
单尾检验： H0：μ≥μ0 ， H1：μ＜μ0
H0：μ≤μ0 ， H1：μ＞μ0
假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。
检验规则
确定检验规则
检验过程是比较样本观察结果与总体假设的差异。差异显著，超过了临界点，拒绝H0；反之，差异不显著，接受H0
差 异
临界点
拒绝H0
接受H0
c
c
判 断
两类错误
接受或拒绝H0，都可能犯错误
I类错误——弃真错误， 发生
的概率为α
II类错误——取伪错误，发生
的概率为β
检验决策 H0为真 H0非真
拒绝H0 犯I类错误（α） 正确
接受H0 正确 犯II类错误（β）
怎样确定c?
α大β就小，α小β就大
基本原则：力求在控制α前提下减少β
α——显著性水平，取值：, , , 等。如果犯I类错误损失更大，为减少损失，α值取小；如果犯II类错误损失更大α值取大。
确定α，就确定了临界点c。
①设有总体：X~N（μ，σ2），σ2已知。
②随机抽样：样本均值
③
标准化：
④确定α值，
⑤查概率表，知临界值
⑥计算Z值，作出判断
0
接受区
拒绝区
拒绝区
当检验判断为接受原假设H0时，就有可能犯取伪的错误即II类错误。犯II类错误的概率计算：
(1)先求出拒绝H0的临界值；
(2)再求得在统计量真实的抽样分布下达到临界值的概率β。
统计中，称不犯取伪错误的概率1-β为统计检验的能力或效力。
II类错误的概率β的计算
检验步骤
建立总体假设
H0，H1
抽样得到样
本观察值
1
2
选择统计量
确定H0为真
时的抽样分布
3
根据具体决策
要求确定α
确定分布上的临
界点C和检验规则
计算检验统
计量的数值
比较并作出检验判断
7
4
5
6
几种常见的假设检验
条件
检验条件量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：μ=μ0
H1：μ≠μ0
z
(2) H0：μ≤μ0
H1：μ＞μ0
(3) H0：μ≥μ0
H1：μ＜μ
z
0
z
0
正态总体σ2已知
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：μ=μ0
H1：μ≠μ0
t
(2) H0：μ≤μ0
H1：μ＞μ0
(3) H0：μ≥μ0
H1：μ＜μ
t
0
t
0
0
正态总体σ2未知(n＜30)
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：μ=μ0
H1：μ≠μ0
z
(2) H0：μ≤μ0
H1：μ＞μ0
(3) H0：μ≥μ0
H1：μ＜μ
z
0
z
0
0
非正态总体n≥30
σ2已知或未知
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0： μ1=μ2
H1: μ1 ≠ μ2
z
(2) H0：μ1 ≤ μ2
H1: μ1 ＞ μ2
(3) H0： μ1 ≥ μ2
H1：μ1 ＜ μ2
z
0
z
0
0
两个正态总体
已知
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0: μ1 = μ2
H1: μ1 ≠ μ2
t
(2) H0: μ≤ μ2
H1: μ＞ μ2
(3) H0： μ1≥ μ2
H1： μ1＜ μ2
t
0
t
0
0
两个正态总体
未知，
但相等
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：μ1 = μ2
H1：μ1 ≠ μ2
(2) H0：μ1 ≤ μ2
H1：μ1 ＞ μ2
(3) H0：μ1 ≥ μ2
H1：μ1 ＜ μ2
0
z
0
0
两个非正态体n1≥30
n2≥30
已知或
未知
z
z
条件
检验统计量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：P=P0
H1：P≠P0
z
(2) H0：P≤P0
H1：P＞P0
(3) H0：P≥P0
H1：P＜P0
z
0
z
0
0
np≥5
nq≥5
条件
检验条件量
拒绝域
H0、H1
(1) H0：P1=P2
H1：P1 ≠P2
z
(2) H0： P1 ≤P2
H1：P1 ＞ P2
(3) H0：P1 ≥P2
H1：P1 ＜P2
z
0
z
0
0
n1p1≥5
n1q1≥5
n2p2≥5
n2q2≥5
条件
检验条件量
拒绝域
H0、H1
总体服从正态分布
条件
检验条件量
拒绝域
H0、H1
总体服从正态分布
F
F
F
相关分析
回归分析
案例
第八章 相关与回归
相关和回归分析是研究事物的相互关系，测定它们联系的紧密程度，揭示其变化的具体形式和规律性的统计方法，是构造各种经济模型、进行结构分析、政策评价、预测和控制的重要工具。
主要内容
相关分析
概念
种类
线性相关
变量之间关系
函数关系
相关关系
因果关系
互为因果关系
共变关系
确定性依存关系
随机性依存关系
种类
一元相关
多元相关
负 相 关
正 相 关
线性相关
曲线相关
x
y
正 相 关
x
y
负 相 关
x
y
曲线相关
x
y
不 相 关
线性相关
相关系数
测定两变量是否线性相关？
定义式：
未分组：
已分组：
值：
|r|=0 不存在线性关系； |r|＝1 完全线性相关
0<|r|<1不同程度线性相关(0~ 微弱；~ 低度；
~ 显著；~1 高度)
符号：r>0 正相关；r<0 负相关
计算公式
相关系数的检验（t检验）
检验统计量
散点图
要研究两个变量之间是否存在相关关系，自然要先作实验，拥有一批实验数据，然后，作散点图，以便直观地观察两个变量之间的关系。
合成纤维强度与拉伸倍数的关系，24组实验。
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
回归分析
特点
线性回归
非线性回归
回归分析和相关分析的联系和区别
1·理论和方法具
有一致性；
2·无相关就无回归，
相关程度越高，回归越好；
3·相关系数和回归系数
方向一致，可以互相推算。
1·相关分析中，x与y对等，回归分析中， x与y要确定自变量和因变量；
2·相关分析中x，y均为随机变量，回归分析中，只有y为随机变量；
3·相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲线，浓度与吸光度间的关系。
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小，简称最小二乘法。
线性回归
一元线性回归模型
1·一元线性回归模型的一般形式
总体一元线性回归模型的一般形式
Y的数学期望E（Y）
随机误差
也称一元线性回归方程，是对应于自变量X
某一取值时因变量Y的均值。
未知参数
样本的一元线性回归模型和回归方程
一元线性回归模型
一元线性回归方程
截距
斜率（回归系数）
回归系数b表明自变量x每变化一个单位因变量y的增（减）量。
b与r的关系：
r＞0 r＜0 r=0
b＞0 b＜0 b=0
是理论模型，表明x与y两变量之间的平均变动关系。
（实际值）：
X对y的线性影响而形成的系统部分，反映两变量的平均变动关系，即本质特征。
随机干扰：各种偶然因素，观察误差和其他被忽视因素的影响。
的理论假定
值相互独立
服从正态分布
的方差
都相同，且
的数学期望E（ ）
x
y
2·一元线性回归模型的确定
根据实际数据，用最小平方法，即使
分别对a、b求偏导并令其为零，求得两个标准方程：
解联立方程，得到
3·一元线性回归模型拟合优度的评价
判定系数（r2）
是对回归模型拟合优度的评价。
x
y
总偏差 = 回归偏差 + 剩余偏差
r2表示全部偏差中有百分之几的偏差可由x与y的回归关系来解释。
r 的符号同 b
回归模型整体的F检验
H0：R2=0；H1：R2≠0
检验统计量
F
检验假设
4·一元线性回归模型的显著性检验
回归系数b的检验
设总体回归系数为β
H0：β=0；H1：β≠0
n≥30时
检验统计量
（β=0）
σb是样本回归系数抽样分布的标准差。通常是未知的，用其估计量 代替。
给定显著性水平α，查Z表可知其临界值 。
n＜30时
（β=0）
给定显著性水平α，查t表可知其临界值 。
0
0
Z
t
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模型检验：
模型检验主要包括方程的显著性检验（F检验）和回归系数的显著性检验（t检验）。F检验主要是针对模型拟合样本的整体效果，也就是选择的所有自变量对应变量的总体解释力度；回归系数的显著性检验则反映每一个自变量的合理性。需要指出，如果模型不满足线性回归模型基本假定条件时，各种检验的效力都将受到影响甚至于失效。
（1）F检验 在EViews中，为了方便，给出了拒绝零假设时犯错误（第一类错误或α错误）的概率，称为收尾概率或相伴概率p。若此概率值低于事先确定的著信度（如），则拒绝原假设，表示回归方程是显著的，反之不能拒绝。以后涉及的检验，大多数情况下都不用查表，只需直接查看相伴 概率即可。
（2）检验
检验用于检验残差序列的自相关性。自相关性会影响模型参数估计值不具有最优性，使区间估计和预测区间的精度较低。和 于1951年提出的一种序列自相关的方法。简称DW检验。DW检验目前是检验自相关性的最常用方法，但它只适用于检验一阶自相关性。一般只需考察计算得到的DW值落入的区间，以确定模型自相关状态。判别准则
若0≤ ≤dL，序列存在正相关；
若dL< <4- du ，序列无自相关；
若4-dL < ≤4,序列存在负相关
(3)其他指标
赤池信息准则（Akaike info criterion)简称AIC，它对方程的滞后项数选择提供指导。在特定条件下，可以通过选择使AIC达到最小值的方式来选择最优滞后发布的长度。AIC的值越小越好。
施瓦茨准则（Schwarz Criterion)简称SC，它具有与AIC基本相同的解释。
F统计量（F-Statistc)这是对回归式中的所有系数均为0（除了截距项或常数项）的假设检验。
（3）其他指标
赤池信息准则（Akaike info criterion):即AIC,它对方程中的
第九章 时间数列
时间数列（动态数列）是指标数值按时间顺序排列而形成的数列。
例 ：上海市人均国内生产总值
年份 人均GDP（元/人）
1991 6955
1992 8652
1993 11700
1994 15204
1995 18943
1996 22275
1997 25750
91
92
93
94
95
96
97
年
10000
15000
20000
25000
5000
实例
时间数列的作用
反映社会经济现象发展变化的过程和特点；
研究现象发展变化的规律和未来趋势；
不同地区、国家发展状况的比较评价和预测。
本章主要内容
时间数列的种类和编制方法
常用的动态指标
时间数列的分解和测定
时间数列的预测方法
时间数列的种类和编制方法
一、时间数列的种类
1．按指标形式分
绝对数数列
相对数数列
平均数数列
时期数列
时点数列
2．按观察数据性质与形态分
随机性数列
非随机性数列
平稳型
趋势型
季节型
二、时间数列变量和形态的识别
识别与判断方法：理论判断、经验判断、图形判断、自相关系数数列判断、差分法判断等。
常用的动态指标
水平动态指标
1·序时平均数
（平均发展水平指标）
计算公式
适用于时期总量指标和按日连续登记的时点指标数列。
说明
适用于不连续登记、间隔相等的时点指标数列。
适用于不连续登记间隔不相等的时点指标数列。
分子 和分母 按各自数列的指标形式参照上述求序时平均数。
常用的动态指标
水平动态指标
2·增长量
计算公式
逐期增长量。
说明
水平法
适用于多期增长量平稳变化的数列
总和法
适用于各期增长变化较大的数列。
累计增长量
3·平均增长量
常用的动态指标
速度动态指标
1·发展速度
计算公式
环比发展速度。
说明
水平法－各环比发展速度的几何平均数。
定基发展速度
2·平均发展速度
方程法可查《平均发展速度查对表》。
3·（平均）增长速度＝（平均）发展速度－100％
1、自相关系数
自相关指时间数列前后各期数值之间的相关关系。对自相关强度的测定便是自相关系数。
时间延迟为1的自相关系数：
时间延迟为2的自相关系数：
时间延迟为k的自相关系数：
当n很大时
（-1≤rk≤1）
2.判别准则
（1）时间数列所有自相关系数r1，r2……，rk都近似于零时，该时间数列为随机性时间数列。
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
0
1
-1
r
r值
原数列
y
t
0
（2）r1较大，r2、 r3渐次减小，r4开始趋近于零，表明该时间数列为平稳型时间数列。
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
0
1
-1
r
r值
原数列
y
t
0
（3）r1最大，r2、 r3等逐渐递减，但不等于零，表明该时间数列为趋势型时间数列。
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
0
1
-1
r
r值
原数列
y
t
0
（4）r值有周期性变化，每隔几个便有一个高峰，表明该时间数列为季节型时间数列。
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
0
1
-1
r
r值
原数列
y
t
0
1季度
2季度
3季度
4季度
三、回归模型的自相关检验
用时间数列建立的回归模型能否成立，必须通过误差项的自相关显著性检验才能作出判断。
1·构造置信度为（1－ ）的自相关系数的置信区间
如果延滞为1，2，···，K的自相关系数大部分都落在置信区间内，便可接受原假设，认为误差项为独立的随机变量。
四、编制时间数列的方法原则
1．注意时间单位（年、季、月等）的选择；
2．注意数列前后指标的可比性（总体范围、指标涵义、计算方 法、计量单位、经济内容等）。
2·杜宾－沃森检验（Duibin－Watson Test）
检验统计量
根据样本容量n和自回归阶数K，查D·W统计量临界值表。
检验规则图示：
正自相关
不能确定
负自相关
不能确定
无自相关
dL
dU
4-dL
4-du
2
若d值落在“ 不能确定”范围时，应增加样本容量或重新抽样检验。
时间数列的分解和测定
一、时间数列的构成与分解
1．社会经济指标的时间数列包含以下四种变动因素：
（1）长期趋势（T）
（2）季节变动（S）
（3）循环变动（C）
（4）随机变动（I）
可解释的变动
——不规则的不可解释的变动
2．时间数列的经典模式：
（1）加法模型： Y=T+S+C+I
计量单位相同的总量指标
是对长期趋势所产生的偏差，（+）或（-）
（2）乘法模型： Y=T·S·C·I
计量单位相同的总量指标
是对原数列指标增
加或减少的百分比
3．变动因素的分解：
（1）加法模型用减法。例：T=Y-（S+C+I）
（2）乘法模型用除法。例：T=Y/（S·C·I）
二、长期趋势（T）的测定
（一）修匀法：
1、随手法
2、时距扩大法和序时平均法
3、移动平均法
例
奇数
偶数
例
移动项数
新数列项数＝原数列项数－移动项数＋1
（二）长期趋势的数字模型
（以时间t为自变量构造回归模型）
t－时期数
按序随意编制
例
步骤：
选择趋势模型
求解模型参数
对模型进行检验
用自相关系数检验
误差项的随机性。
图形判断、差分法判断、经验判断、自相关系数数列判断等。
例
差分法：
时间数列相继数值的差异。
如：一级差分(逐期增长量)的结果大致相同。则配模型
如：二级差分的结果大致相同。则配模型
如：相继两期水平(环比发展速度)的比值相同。则配模型
最小平方法，求参数。
计算估计标准误
求置信区间
m为模型中的参数
小样本
大样本
返回
原数列
新数列
y1
y4
y2
y3
y5
y6
原数列
新数列
y1
y4
y2
y3
y5
y6
时间
时期数
数列
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
1
2
3
4
5
6
7
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
时间
时期数
数列
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
-3
-2
-1
0
1
2
3
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
时间
时期数
数列
t1
t2
t3
t4
t5
t6
-5
-3
-1
1
3
5
y1
y2
y3
y4
y5
y6
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