第2讲消费者理论(1).ppt

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消费者选择理论 • 目标：市场需求曲线 • 方法：个人需求曲线加总 –目标函数－偏好公理（第3章） –约束－预算约束线（第4章） –最优化－选择理论（第4章） –参数变化－个人需求曲线（第5、6章） 1 2 第 2 讲 消费者理论Ⅰ 3 理性选择公理 • 完备性 –如果 A 和 B 是任意两种状态, 一个人总是可 以确切识别下列可能性之一: • A 好于 B • B 好于 A • A 和 B 一样好 4 理性选择公理 • 传递性 –如果A 好于 B, 同时 B 好于 C, 那么 A 好于 C –假定人们的选择具有内在一致性 5 理性选择公理 • 连续性 –如果A 好于 B, 那么足够 “接近” A 的状态 也一定好于B –用于分析人们对于收入和价格微小变化的反 应 6 效用 • 给定这些假设, 可以证明人们能够将所有可 能的状态进行排序 • 经济学家称这个排序为 效用 –如果A 好于 B, 那么赋予 A 的效用超过赋予B 的效用 U(A) > U(B) 7 效用 • 效用排序在本质上是序数的 –它们表示了人们对于商品束的相对获得意愿 • 因为效用测量不是唯一的, 考虑从 A 中可 以比 B 多获得多少效用是没有意义的 • 也不可能在人们之间比较效用 8 效用 • 效用受到商品消费量、消费者心理态度、 群体压力、个人经验和文化环境的影响 • 经济学家一般关注消费数量，假设其他影 响效用的因素不变 –其他条件不变 假设 9 效用 • 假定消费者必须在消费品 x1, x2,…, xn中选 择 • 消费者的排序可以用如下形式的效用函数 表示: 效用 = U(x1, x2,…, xn; 其他因素) –这个函数对于保持排序不变的变换是唯一的 10 经济物品 • 在效用函数中, x 被假设为 “商品” –多比少好 x的数量 y的数量 x* y* 好于 x*, y* ? ? 劣于 x*, y* 11 无差异曲线 • 一条 无差异曲线 表示消费者看来无差异 的商品束组成的集合 x的数量 y的数量 x1 y1 y2 x2 U1 组合(x1, y1) 和 (x2, y2) 为消费者提供了相同水平的效用 12 无差异曲线图 • 每一点一定有一条无差异曲线通过 x的数量 y的数量 U1 < U2 < U3 U1 U2 U3 效用增加 13 传递性 • 任意两条无差异曲线能相交吗? x的数量 y的数量 U1 U2 A BC 消费者认为 A 和 C无差异。同时，消费者认为 B 和C也没有差异。传递性要求消费者应该认为 A 和 B没有差异 但是， B 好于 A，这因为 B 比A 包含了更多的x和y 14 边际商品替代率 • 无差异曲线任意一点斜率的负数被称作 边 际替代率 (MRS) x的数量 y的数量 x1 y1 y2 x2 U1 15 边际替代率 • 随着 x 和 y 的变化，MRS随之变化 –反映了消费者为了x 而交易 y 的意愿 x的数量 y的数量 x1 y1 y2 x2 U1 在 (x1, y1), 无差异曲线比较陡峭。这表示为了获得额外一单位x 人们愿意放弃更多的y。 在(x2, y2), 无差异曲线比较平缓. 这表示 为了获得额外一单位x人们愿意放弃较少 的y。 16 凸性 • 一个点集是 凸集，如果任何两个点的连线 还全部处于这个集合内。 x的数量 y的数量 U1 MRS 递减的假设等价于假设所有好于 x* 和y* 的x 和y 的组合构成一个凸集。 x* y* 17 凸性 • 如果无差异曲线是凸的, 那么组合 (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 既好于 (x1,y1)也好与(x2,y2)。 x的数量 y的数量 U1 x2 y1 y2 x1 这意味着 “平衡的” 商品束好于着重关注一种商品的 消费束。 (x1 + x2)/2 (y1 + y2)/2 18 效用和MRS • 假设一个消费者对于汉堡 (y) 和软饮料 (x) 的偏好可以表示为 • 解出 y y = 100/x • 解出 MRS = -dy/dx: MRS = -dy/dx = 100/x2 19 效用和MRS MRS = -dy/dx = 100/x2 • 注意随着 x 的增加, MRS 下降 – x = 5, MRS = 4 – x = 20, MRS = 20 边际效用 • 假设那个一个消费者具有下列形式的效 用函数 效用 = U(x,y) • U的全微分是 • 在任何一条无差异曲线上, 效用都是常数 (dU = 0) 21 推导 MRS • 因此, 我们得到: • MRS 是 x 的边际效用与 y 的边际效用的 比率 22 边际效用递减和MRS • 从直觉上看, 边际效用递减假设和 MRS 递 减有关联 –递减的 MRS 要求效用函数是拟凹的 • 这不依赖于如何测量效用 –递减的边际效用依赖于如何测量效用 • 因此, 这两个概念是不同的 23 无差异曲线的凸性 • 假设效用函数是 • 我们可以通过对这个函数取对数来简化代 数运算 U*(x,y) = ln[U(x,y)] = ln x + ln y 24 无差异曲线的凸性 • 因此, 25 无差异曲线的凸性 • 如果效用函数是 U(x,y) = x + xy + y • 对于效用函数变形没有什么好处, 因此 26 无差异曲线的凸性 • 假设效用函数是 • 对于这个例子，如下的变形比较简单 U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2 27 无差异曲线的凸性 • 因此, 28 效用函数的例子 • 柯布－道格拉斯效用函数 效用 = U(x,y) = xy 其中  和  是正常数 – 和的相对大小表示了商品的相对重要程度 29 效用函数的例子 • 完全替代 效用 = U(x,y) = x + y x的数量 y的数量 U1 U2 U3 无差异曲线是线性的。沿着无差异曲线， MRS是常数。 30 效用函数的例子 • 完全互补 效用 = U(x,y) = min (x, y) x的数量 y的数量 无差异曲线是 L形的。 仅仅当两种商品 都增加的时候效用才增加。 U1 U2 U3 31 效用函数的例子 • CES效用 (常替代弹性) 当   0 效用= U(x,y) = x/ + y/ 当 = 0 效用 = U(x,y) = ln x + ln y 当 –完全替代   = 1 –柯布－道格拉斯   = 0 –完全互补   = - 32 位似偏好 • 如果 MRS 仅仅依赖两种商品数量的比率 , 不依赖于商品的绝对数量, 效用函数就 是 位似的 –完全替代  MRS 在每点都相同 –完全互补 如果y/x > / 那么MRS = , 如 果 y/x = /就没有定义, 并且如果 y/x < / 那么MRS = 0 33 位似偏好 • 对于一般的柯布－道格拉斯函数, MRS 为 34 非位似偏好 • 一些效用函数不表示位似偏好 效用 = U(x,y) = x + ln y 35 多商品情况 • 假定包含 n 种商品的效用函数为 效用 = U(x1, x2,…, xn) • U 的全微分为 36 多商品情况 • 通过令 dU = 0，我们可以得到任意两种 商品之间的 MRS • 整理可得 37 多商品无差异曲面 • 无差异曲面是 n 维点集，满足方程 U(x1,x2,…xn) = k 其中 k 是任意事先指定的常数 38 多商品无差异曲面 • 如果效用函数是拟凹的, 满足 U  k 的点 集是凸集 –位于 U = k 这个无差异曲面上任意两点的连 线都有U  k 39 40 对于经济学方法的抱怨 • 在现实中没有人进行效用最大化所要求的 “计算” • 效用最大化模型预言了选择行为的许多方 面 • 因此, 经济学家假设人们的行为是仿佛 他 们在进行这种计算 41 对于经济学方法的抱怨 • 关于选择的经济学模型是极端自私的，而 现实中没有人的目标是完全自我为中心的 • 效用最大化模型没有禁止人们从 “做好 事”中获得满足 42 最优化原理 • 为了最大化效用, 在给定能够花费的收入 的条件下, 消费者将要购买商品和服务: –花光总收入 –两种商品之间的心理替代率 (MRS) 等于市场 上的替代率 43 一个数值例子 • 假设消费者的 MRS = 1 –愿意用1单位 x 换一单位 y • 假定价格为 x = ￥2 和 y = ￥1 • 消费者可以变得更好 –在市场上将1单位x换成2单位y 44 预算约束 • 假设消费者可以利用 I 在商品 x 和 y 之 间配置 pxx + pyy  I x的数量 y的数量 消费者仅仅能够承担阴影部分三 角形内的x和y的组合 如果所有收入花费给 y, 这是所能够 买的数量 如果所有收入花费给 x, 这是所能够买的数量 45 最大值的一阶条件 • 我们可以利用消费者的效用图来表示效 用最大化的过程 x的数量 y的数量 U1 A 消费者可以通过重新配置他的预算做得 好于 A点 U3 C 消费者不能获得 C 点，因为收入不够 U2 B 点 B 是效用最大化的所在 46 最大值的一阶条件 • 在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最 大效用 x的数量 y的数量 U2 B 47 最大值的二阶条件 • 相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除 非我们假设MRS 是递减的 –如果 MRS 是递减的, 那么无差异曲线是严格凸 的 • 如果 MRS 不是递减的, 那么我们必须检查 二阶条件以保证我们获得的是最大值。 48 最大值的二阶条件 • 相切仅仅是一个必要条件 –我们需要 MRS 是递减的 x的数量 y的数量 U1 B U2 A 在 A 点相切,但是消费者可以在 B点获得 更高的效用 49 角点解 • 在有些情况中, 消费者的偏好可能使得他们 仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最 大效用 x的数量 y的数量 在 A 点, 无差异曲线和预算约束线 没有相切U2U1 U3 A 在 A 点效用最大化 50 n种商品情况 • 消费者的目标是最大化 效用 = U(x1,x2,…,xn) 服从预算约束 I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn • 建立拉各朗日函数: L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn) 51 n种商品情况 • 内点最大值解的一阶条件: L/x1 = U/x1 - p1 = 0 L/x2 = U/x2 - p2 = 0 • • • L/xn = U/xn - pn = 0 L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0 52 一阶条件含义 • 对于任意两种商品, • 这意味着在收入处于的最优配置的时候 53 解释拉各朗日乘子 •  是消费支出额外增加一元的边际效用 –收入的边际效用 54 解释拉各朗日乘子 • 在边际点, 商品的价格表示了消费者对于 最后一单位商品效用的评价 –消费者愿意为最后一单位付多少钱 55 角点解 • 当考虑角点解的时候, 必须修改一阶条件: L/xi = U/xi - pi  0 (i = 1,…,n) • 如果L/xi = U/xi - pi < 0, 那么 xi = 0 • 这意味着 –任何其价格超过其对于消费者边际价值的商 品消费者都不会购买 56 柯布－道格拉斯需求函数 • 柯布－道格拉斯效用函数: U(x,y) = xy • 建立拉各朗日函数: L = xy + (I - pxx - pyy) • 一阶条件: L/x = x-1y - px = 0 L/y = xy-1 - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0 57 柯布－道格拉斯需求函数 • 一阶条件意味着: y/x = px/py • 因为  +  = 1: pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx • 替换进预算约束: I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx 58 柯布－道格拉斯需求函数 • 解出 x • 解出 y • 消费者配置收入中  的比率给商品x ， 比率给商品 y 59 柯布－道格拉斯需求函数 • 柯布－道格拉斯效用函数在对于实际消 费行为的解释力上有局限 –收入中配置到某种商品上的比率经常随着经 济条件的变化而改变 • 一个更加一般的函数形式可能在解释消 费决策的时候更有用 60 CES需求 • 假设  = U(x,y) = + • 建立拉各朗日函数: L = + + (I - pxx - pyy) • 一阶条件: L/x = - px = 0 L/y = - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0 61 CES 需求 • 这意味着 (y/x) = px/py • 代换进预算约束, 我们可以解出需求函数 62 CES 需求 • 在这些需求函数中, 花在 x 和 y上的收入 百分比不是一个常数 –依赖于两种价格的比率 • x (或y)的相对价格越高，花费在 x (或 y) 上的比率越小 63 CES 需求 • 如果  = -1, U(x,y) = -x -1 - y -1 • 一阶条件意味着 y/x = (px/py) • 需求函数是 64 CES 需求 • 如果  = -, U(x,y) = Min(x,4y) • 人们仅仅选择组合 x = 4y • 这意味着 I = pxx + pyy = pxx + py(x/4) I = (px + )x 65 CES 需求 • 因此, 需求函数是 66 间接效用函数 • 经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的 最优值 • 这些最优值依赖于所有商品的价格和收 入 ••• x*n = xn(p1,p2,…,pn,I) x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I) x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I) 67 间接效用函数 • 我们可以利用这些x的最优值获得间接效 用函数 效用最大值 = U(x*1,x*2,…,x*n) • 替换每一个 x*i, 得到 效用最大值 = V(p1,p2,…,pn,I) • 效用的最优水平间接依赖于价格和收入 –如果价格或者收入改变, 效用的最大值也随 之改变 68 总量原理 • 对于消费者一般购买力上的税收优于对于 某种特定商品的税收 –收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收 入 –对于某种商品的税收会减少消费者的购买力， 扰乱消费者的选择 69 总量原理 x的数量 y的数量 A U1 • 对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选 择从 A 点移到 B 点 B U2 70 • 相同数量的收入税将会把预算约束线移到 I’ I’ 总量原理 x的数量 y的数量 A B U1 U2 现在在 C 点获得最大化的效用 U3 U3 C 71 间接效用和总量原理 • 如果效用函数是柯布－道格拉斯形式的，  =  = , 我们知道 • 因此间接效用函数是 72 间接效用和总量原理 • 假设px=1,py=4,I=8 • 如果对于商品 x 每单位征收1元的税 –消费者购买 x*=2 –间接效用从 2降到 • 同样的税收将会使得收入减少到￥6 –间接效用从 2 下降到 73 间接效用和总量原理 • 如果效用函数是固定比率的，U = Min(x,4y), 我们得到 • 因此间接效用函数是 74 间接效用和总量原理 • 如果对于商品 x 每单位征收1元的税 –间接效用从 4 降为 8/3 • 相同数量的收入税将收入减少到 ￥16/3 –间接效用从 4降为 8/3 • 因为偏好是刚性的, 对于 x 的税收不会扰乱 选择 礼品赠送 75 76 支出最小化 • 效用最大化的对偶是支出最小化 –镜像，即目标和约束互换 –配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定 的效用水平 77 支出水平 E2 足够达到 U1 支出最小化 x的数量 y的数量 U1 支出水平 E1 太小了达不到 U1 支出水平 E3 允许消费者获得 U1 但是不是做到这点 的最小支出 A • 点 A 是对偶问题的解 78 支出最小化 • 消费者的问题是选择 x1,x2,…,xn 最小化 总支出 = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn 服从约束 效用 = U1 = U(x1,x2,…,xn) • x1,x2,…,xn 的最优数量依赖于商品价格和要 求的效用水平 79 支出函数 • 支出函数 刻画了在特定价格下达到给定效 用水平所需要的最小支出 最小支出 = E(p1,p2,…,pn,U) • 支出函数和间接效用函数互相联系 –都依赖于市场价格但是涉及不同的约束 80 两个支出函数 • 在两种商品、柯布－道格拉斯函数下的间 接效用函数为 • 如果我们调换效用和收入 (支出) 的角色, 我 们将获得支出函数 E(px,py,U) = 81 两个支出函数 • 对于固定比率的情况, 间接效用函数是 • 如果我们再次掉换效用和支出的角色, 我们 将获得支出函数 E(px,py,U) = (px + )U 82 支出函数的性质 • 齐次性 –同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支 出 • 一次齐次 • 对于价格非递减 –对于所有的商品 I ，E/pi  0 • 对于价格是凹的 83 E(p1,…) 因为消费者的消费模式会 改变, 实际支出会小于 Epseudo ，正如 E(p1,…) Epseudo 如果当 p*1 变化后仍然买 相同的商品组合, 消费者的 支出函数是 Epseudo 支出函数的凹性 p1 E(p1,…) 在p*1, 消费者花费 E(p*1,…) E(p*1,…) p*1 支出函数和间接效用函数 • V(px, py, I0) = U0 • E(px, py, U0) = I0 • V(px, py, E(px, py, U0) ) = U0 • E(px, py, V(px, py, I0) ) = I0 应用 • 支出函数是分析公共政策的重要工具 • 通过支出函数，我们可以货币化替代关 系，从而评价成本和收益 • 这可以规避测量效用 86 需求函数 • x1,x2,…,xn 的最优水平可以表示为所有商品 价格和收入的函数。 • 可以表示为 n 个这种形式的需求函数: x1* = d1(p1,p2,…,pn,I) x2* = d2(p1,p2,…,pn,I) • • • xn* = dn(p1,p2,…,pn,I) 87 需求函数 • 如果仅仅存在两种商品 (x 和 y), 我们可以 简化表达式 x* = x(px,py,I) y* = y(px,py,I) • 价格和收入是外生的 –消费者无法控制这些参数 88 齐次性 • 如果我们将价格和收入同时增加一倍, 最 优需求数量不会改变 –预算约束没有变 xi* = di(p1,p2,…,pn,I) = di(tp1,tp2,…,tpn,tI) • 单个消费者的需求函数对于所有价格和收 入是 零次齐次的 89 齐次性 • 考虑柯布－道格拉斯效用函数 效用 = U(x,y) = 需求函数是 • 可以观察到价格和收入全部翻番不会影 响 x* 和 y* 90 齐次性 • 考虑 CES 效用函数 效用 = U(x,y) = + 需求函数是 • 可以观察到价格和收入全部翻番不会影 响 x* 和 y* 91 收入变化 • 收入增加会引起预算约束线向外平移。 • 因为 px/py 没有改变, 当消费者获得更高 满足水平的时候 MRS 保持不变。 92 收入增加 • 如果随着收入的增加，x 和 y 的消费量增 加, x 和 y 为正常商品 x的数量 y的数量 C U3 B U2 A U1 随着收入增加, 消费者选择消费更多的x和y 93 收入增加 • 如果随着收入增加，x 的消费量下降， x 为劣等品 x的数量 y的数量 C U3 随着收入上升，消费者选择消费更少的 x 和更多的 y。 注意，无差异曲线没有展示 “奇怪的” 形状。递减的MRS 仍然成立。B U2 A U1 94 正常和劣等品 • 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I  0， 这种商品是在这个区间的正常品。 • 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I < 0， 这种商品是在这个区间的劣等品。 95 一种商品价格变化 • 一种商品价格的变化改变预算约束线的 斜率 –这也将会改变消费者效用最大化选择时候的 MRS • 当价格变化的时候，产生两种效应 –替代效应 –收入效应 96 一种商品价格变化 • 当价格发生变化的时候，即使消费者的无差 异曲线不发生改变, 他的最优选择也会发生 变化，因为 MRS 必须等于新的价格比 –替代效应 • 价格变化改变了消费者的 “真实” 收入， 因此会移向新的无差异曲线 –收入效应 97 一种商品价格变化 x的数量 y的数量 U1 A 假设消费者在 A点获得最大效用。 U2 B 如果 x 价格下降, 消费者在 B点获得最大效用 x的总增加量 98 一种商品价格变化 U1 x的数量 y的数量 A 为了分离出替代效应, 我们维持 “真实” 收入水平不便，但是允许 商品 x 的相对价格变化 替代效应 C 替代效应是从A 点向C 点的运动 消费者用商品 x 替代 商品 y，因为现在 商品x相对便宜 99 一种商品价格变化 U1 U2 x的数量 y的数量 A 收入效应发生的原因是消费者的 “真实” 收入 随着商品 x 价格变化而变化 C 收入效应 B 收入效应是从C点向B点移动 如果x 是正常品, 消费者将会购买 更多这种商品，因为 “真实”收入增加 100 一种商品价格变化 U2 U1 x的数量 y的数量 B A 商品 x 价格上升意味着 预算约束线更加陡峭 C 替代效应是从 A 到 C 替代效应 收入效应 收入效应是从 C 到 B 101 正常品的价格变化 • 如果商品是正常品, 替代效应和收入效应 相互加强 –当价格下降, 两种效应都会导致需求数量上升 –当价格上升, 两种效应都会导致需求数量下降 102 劣等品的价格变化 • 如果商品是劣等品, 替代效应和收入效应方 向相反 • 总效应方向不确定 –当价格上升, 替代效应导致需求数量下降, 但是 收入效应相反 –当价格下降, 替代效应导致需求数量上升, 但是 收入效应相反 103 吉芬悖论 • 如果一种商品价格变化的收入效应足够 强, 那么价格和需求数量将呈现正向关系 –价格上升导致真实收入下降 –因为是劣等品, 收入下降引起需求数量上升 104 概括 • 效用最大化意味着 (对于正常品) 价格下降导 致需求数量上升 –替代效应 引起消费者沿着无差异曲线运动，购买 量上升 –收入效应 引起购买量增加，因为购买力的上升允 许消费者移向更高的无差异曲线 105 概括 • 效用最大化意味着 (对于正常品) 价格上升 导致需求数量下降 –替代效应 引起消费者沿着无差异曲线运动，购 买量下降 –收入效应 引起购买量下降，因为购买力的下降 导致消费者移向更低的无差异曲线 106 概括 • 效用最大化 (对于劣等品) 对于价格变化的 后果难以作出确定性的预测 –替代效应和收入效应 移动方向相反 –如果收入效应超过替代效应, 我们就会看到吉芬 悖论 107 消费者的需求曲线 • 一个消费者对于 x 的需求依赖于偏好、 所有商品价格和收入: x* = x(px,py,I) • 如果假定收入和y的价格(py) 不变，那么 那么可以很方便地画出 x 的需求曲线 108 x …x的需求 数量上升. 消费者的需求曲线 y的数量 x的数量 X的数量 px x’’ px’’ U2 x2 I = px’’ + py x’ px’ U1 x1 I = px’ + py x’’’ px’’’ x3 U3 I = px’’’ + py 随着 x 的 价格下降... 109 消费者的需求曲线 • 消费者的需求曲线表示了一种商品的价格 和这种商品购买数量之间的关系，此时假 定其他影响需求的因素保持不变 110 需求曲线的移动 • 推导需求曲线的时候三个因素保持不变 –收入 –其他商品的价格 (py) –消费者的偏好 • 如果上述任何一个因素变化了, 需求曲线 将会移动到新的位置 111 需求曲线的移动 • 沿着一条给定的需求曲线移动是因为这种 商品的价格发生了变化 –需求量的变化 • 需求曲线的移动由收入、其他商品价格或 者偏好的变化所引起 –需求的变化 112 需求函数和曲线 • 如果消费者的收入是 ￥100, 这些函数变 为 • 我们在前面发现 113 需求函数和曲线 • 收入的任何变化将会移动这些曲线 114 补偿需求曲线 • 沿着需求曲线，消费者的效用发生变化 • 随着 x 价格下降, 消费者移向更高的无差 异曲线 –推导需求曲线的时候假设名义收入不变 –这意味着随着x的价格下降， “真实” 收入 上升 115 补偿需求曲线 • 一种不同的方法是保持真实收入 (或者效用) 不变，考虑对于px 变化的反应 –价格变化的效应被 “补偿了”，使得消费者还 是停留在同一条无差异曲线上 –对于价格变化的反应仅仅包括替代效应 116 补偿需求曲线 • 补偿 (希克斯) 需求曲线 表示了一种商品价 格和购买数量之间的关系，此时假设其他 商品价格和效用水平不变 • 补偿需求曲线是补偿需求函数的二维表示 x* = xc(px,py,U) 117 xc …需求数量上升 补偿需求曲线 y的数量 x的数量 x的数量 px U2 x’’ px’’ x’’ x’ px’ x’ x’’’ px’’’ x’’’ 保持效用不变, 随着价格下降... 118 补偿和非补偿需求 x的数量 px x xc x’’ px’’ 在px’’, 两条曲线相交，这因为此时消费 者的收入恰好足以获得效用水平 U2 119 补偿和非补偿需求 x的数量 px x xc px’’ x*x’ px’ 如果价格高于 px2, 需要补偿的收入是正 的，这因为消费者需要帮助才能留在 U2 120 补偿和非补偿需求 x的数量 px x xc px’’ x*** x’’’ px’’’ 如果价格水平 px2, 需要补偿的收入是负的 以阻止因为价格下降导致的效用上升 121 补偿和非补偿需求 • 对于正常商品, 相对于非补偿需求曲线，补 偿需求曲线对于价格变化的反应较小 –非补偿需求曲线反映了收入效应和替代效应 –补偿需求曲线仅仅反映了替代效应 122 补偿需求函数 • 假设效用函数为 效用 = U(x,y) = • 马歇尔需求函数是 x = I/2px y = I/2py • 间接效用函数是 123 补偿需求函数 • 为了获得补偿需求函数, 我们从间接效用 函数中解出 I ，然后替换进马歇尔需求 函数 124 补偿需求函数 • 需求现在依赖于效用 (V) 而不是收入 • px 的上升减少 x 的需求数量 –仅仅是替代效应 125 价格变化的数学考察 • 我们的目标是考察商品 x 的购买数量如何 随着px 的变化而变化 x/px • 对效用最大化的一阶条件求微分，可以获 得这个导数 • 不过, 这种方法很累赘，同时难以提供什么 经济含义 126 价格变化的数学考察 • 事实上, 我们可以利用间接的方法 • 回忆一下支出函数 最小支出 = E(px,py,U) • 那么, 根据定义 xc (px,py,U) = x [px,py,E(px,py,U)] –当收入恰好是获得所要求的效用需要满足的收 入的时候，两个需求函数的需求数量相等 127 价格变化的数学考察 • 我们可以对两边微分 xc (px,py,U) = x[px,py,E(px,py,U)] 128 价格变化的数学考察 • 第一项是补偿需求曲线的斜率 –替代效应的数学表示 129 价格变化的数学考察 • 第二项测量了 px 变化通过改变购买力所 影响的对x 的需求数量 –收入效应的数学表示 130 斯卢茨基方程 • 替代效应可以写成 • 收入效应可以写成 131 斯卢茨基方程 • 注意 E/px = x – px 上升￥1， 需要支出增加 ￥x –额外的￥1必须支付给每一购买的 x 132 斯卢茨基方程 • 效用最大化假说表明来自于价格变化的替 代效应和收入效应可以表示为 133 斯卢茨基方程 • 第一项是替代效应 –如果 MRS 是递减的，那么总是负的 –补偿需求曲线的斜率一定是负的 134 斯卢茨基方程 • 第二项是收入效应 –如果x 是正常品, 那么x/I > 0 • 总收入效应是负的 –如果x 是劣等品, 那么 x/I < 0 • 总收入效应是正的 135 斯卢茨基分解 • 我们可以利用柯布——道格拉斯效用函 数来说明价格效应的分解 • 商品 x 的马歇尔需求函数是 136 斯卢茨基分解 • 商品x 的希克斯 (补偿) 需求函数 • 价格变化对于 x 需求的总效应是 137 斯卢茨基分解 • 总效应是斯卢茨基识别的两种效应的总和 • 通过对补偿需求函数求导可以获得替代效 应 138 斯卢茨基分解 • 我们可以带入间接效用函数 (V) 139 斯卢茨基分解 • 收入效应的计算比较容易 • 有趣的是, 替代效应和收入效应相同 140 马歇尔需求弹性 • 大多数经常使用的需求弹性来自于马歇尔 需求函数 x(px,py,I) • 需求的价格弹性 (ex,px) 141 马歇尔需求弹性 • 需求的收入弹性 (ex,I) • 需求的交叉价格弹性 (ex,py) 142 需求的价格弹性 • 需求的自身价格弹性总是负的 –唯一的例外是吉芬悖论 • 弹性的大小很重要 –如果ex,px < -1, 需求富有弹性 –如果 ex,px > -1, 需求无弹性 –如果 ex,px = -1, 需求就有单位弹性 143 价格弹性和总支出 • 在商品 x 上的总支出等于 总支出 =pxx • 利用弹性, 我们可以确定商品x价格发生变 化之后，总支出怎么变化 144 价格弹性和总支出 • 这个导数的符号取决于ex,px 大于还是小于 -1 –如果ex,px > -1, 需求缺乏弹性，价格和总支出变 化方向相同 –如果ex,px < -1, 需求富有弹性，价格和总支出变 化方向相反 145 补偿价格弹性 • 基于补偿需求函数定义弹性有时候也是 有用的 146 补偿价格弹性 • 如果补偿需求函数是 xc = xc(px,py,U) 我们可以计算 –补偿需求的自身价格弹性 (exc,px) –补偿需求的交叉价格弹性 (exc,py) 147 补偿价格弹性 • 补偿需求的自身价格弹性 (exc,px)是 • 补偿需求的交叉价格弹性 (exc,py) 是 148 补偿价格弹性 • 马歇尔价格弹性和补偿价格弹性之间的 关系可以利用斯卢茨基方程来说明 • 如果sx = pxx/I, 那么 149 补偿价格弹性 • 斯卢茨基方程表明补偿的和未补偿的价 格弹性将会很接近，如果 –投入到 x 的收入份额很小 – x 的收入弹性很小 150 齐次 • 需求函数对于所有价格和收入是零次齐 次的 • 齐次函数的欧拉定理表明 151 齐次 • 两边同时除以 x, 得到 • 所有价格和收入的任意比例变化不改变x 的需求数量 152 恩格尔加总 • 通过将预算约束对收入（将价格看作常 数）微分，我们可以看到 153 恩格尔加总 • 恩格尔定律表明食品的需求收入弹性小 于1 –这意味着所有非食品的需求收入弹性必须大 于1 154 古诺加总 • 因为预算约束的存在，商品 x 价格变化 对于商品 y 消费量的交叉价格效应受到 限制 • 为了看到这一点，我们可以将预算约束 对 px 微分 155 古诺加总 156 需求弹性 • 柯布－道格拉斯效用函数 U(x,y) = xy (+=1) • x 和 y 的需求函数 157 需求弹性 • 计算弹性 158 需求弹性 • 我们可以看到 –齐次性 –恩格尔加总 –古诺加总 159 需求弹性 • 我们也可以利用斯卢茨基方程获得补偿 价格弹性 • 补偿价格弹性取决于其他商品(y)在效用 函数中有多重要 160 需求弹性 • CES 效用函数 (其中 = 2,  = 5) U(x,y) = + • x 和 y 的需求函数 161 需求弹性 • 我们利用 “份额弹性” 来获得自身价格 弹性 • 在这个例子中, 162 需求弹性 • 因此, 份额弹性为 • 所以, 如果我们令 px = py 163 需求弹性 • CES 效用函数 (其中 = ,  = -1) U(x,y) = -x -1 - y -1 • 商品 x 的份额 164 需求弹性 • 因此, 份额弹性为 • 如果我们再一次令 px = py 165 消费者福利 • 福利经济学中一个重要问题是找到当价 格变化后消费者福利变化的货币测量 166 消费者福利 • 评价价格上升(从px0 到 px1) 福利成本的一 种方法是比较在两种情况下获得效用U0 所 需要的花费 px0 的花费= E0 = E(px0,py,U0) px1 的花费= E1 = E(px1,py,U0) 167 消费者福利 • 为了补偿价格上升, 消费者要求一个补偿 变化 (CV) CV = E(px1,py,U0) - E(px0,py,U0) 168 消费者福利 x的数量 y的数量 U1 A 假定消费者在A点获得最大效用 U2 B 如果商品 x 的价格上升, 消费者 会在B点获得最大效用 消费者的效用从 U1 下 降到 U2 169 消费者福利 x的数量 y的数量 U1 A U2 B CV 就是需要补偿的数量 可以补偿消费者，使得其还可以获得效用 U1 C 170 消费者福利 • 支出函数对于 px 的导数就是补偿需求函数 171 消费者福利 • CV 的数量等于从 px0 到 px1的积分 –这个积分是补偿需求曲线从 px0 到 px1的面积 172 福利损失 消费者福利 x的数量 px xc(px…U0) px1 x1 px0 x0 当价格从 px0 上升到 px1, 消费者遭受福利损失 173 消费者福利 • 因为一般来说价格变化包含收入效应和 替代效应, 所以采用哪条补偿需求曲线不 是很清楚 • 我们利用来自原效用 (U0)的补偿需求曲 线还是价格变化后新效用(U1) 的补偿需 求曲线? 174 消费者剩余概念 • 思考这个问题的另外一种方式是考虑消 费者愿意付多少钱来获得在px0 交易的权 利 175 消费者剩余概念 • 补偿需求曲线之下，市场价格之上的面 积称为消费者剩余 –消费者在当前的市场价格下交易所获得的额 外好处 176 消费者福利 x的数量 px xc(...U0) px1 x1 当价格从 px0 上升到 px1, 市场的真实反应是从 A 移动到 C xc(...U1) x(px…) A C px0 x0 消费者的效用从U0降到U1 177 消费者福利 x的数量 px xc(...U0) px1 x1 区域 px1BApx0 [利用xc(...U0)] 还是 px1CDpx0 [利用 xc(...U1)] 最好地描述 了消费者的福利损失? xc(...U1) A BC D px0 x0 U0 还是U1 是合适的 效用目标? 178 消费者福利 x的数量 px xc(...U0) px1 x1 我们可以利用马歇尔需求曲线作为一 个折衷 xc(...U1) x(px…) A BC D px0 x0 区域 px1CApx0 的面 积介于xc(...U0)和 xc(...U1)定义的福利 损失之间 179 消费者剩余 • 我们将把 消费者剩余 定义为马歇尔需求 以下，价格以上的部分 –表示了消费者愿意为获得在这个价格上进行 交易的权利支付多少 –消费者剩余的变化测量了价格变化的福利效 果 180 价格上升的福利损失 • 假定的x补偿需求函数是 • 价格从 px = 1上升到 px = 4 的福利损失 是 181 价格上升的福利损失 • 如果我们假定 V = 2，py = 2, CV = 222(4) – 222(1) = 8 • 如果我们假定效用水平 (V)在价格上升后 下降到1 (并且利用这个福利水平计算福 利损失), CV = 122(4) – 122(1) = 4 182 价格上升的福利损失 • 假定我们利用马歇尔需求函数 • 价格从 px = 1上升到 px = 4 的福利损失 是 183 价格上升的福利损失 • 如果收入 (I) 等于 8, 损失 = 4 ln(4) - 4 ln(1) = 4 ln(4) = 4() = –利用马歇尔需求函数计算的损失介于利用补偿 需求函数计算的两个损失量 多种商品之间关系：两种商品 • 在仅仅有两种商品的时候所具有的关系 比较少 • 但是这种情况可以利用二维图来说明 总互补品 x的数量 的数量 x1x0 y1 y0 U1 U0 当 y 的价格下降，替代效应可能很小，以 至于消费者购买了更多的 x 和 y 在这种情况下, 我们称 x 和 y 总互 补品 x/py < 0 总替代品 x的数量 y的数量 在这种情况下, 我们称 x 和 y为总替 代品 x1 x0 y1 y0 U0 当商品 y 的价格下降, 替代效应可能很大以 致于消费者购买更少的 x 和更多的 y U1 x/py > 0 数学处理 • py的变化引起的x的变化可以利用斯卢茨基 方程表示为 替代效应 (+) 收入效应(-) 如果 x 是正常品 总效应 (模糊的) 替代和互补 • 对于多商品情况, 我们可以推广斯卢茨基 方程分析 对于任何的 i 或者 j –这意味着任何商品价格变化引起的收入效应 和替代效应会改变每种商品的需求数量 替代和互补 • 如果一种商品能够代替另一种商品使用， 那么两种商品是替代品 –例子: 茶和咖啡, 奶油和人造黄油 • 如果两种商品需要一起使用，那么它们 是互补品 –例子: 咖啡和糖 总替代和互补 • 总替代和互补这个概念包括替代效应和收 入效应 –两种商品是 总替代品 ，如果 xi /pj > 0 –两种商品是 总互补品 ，如果 xi /pj < 0 总定义的非对称性 • 总替代品和总互补品定义中不令人满意的是 具有不对称性 • 可能发生下列情况： x1 是 x2 的替代品，然 而，同时 x2 是 x1 的互补品 总定义的非对称性 • 假定两种商品的效用函数为 U(x,y) = ln x + y • 建立拉各朗日函数 L = ln x + y + (I – pxx – pyy) 总定义的非对称性 一阶条件: L/x = 1/x - px = 0 L/y = 1 - py = 0 L/ = I - pxx - pyy = 0 • 从前两个方程中得到 pxx = py 总定义的非对称性 • 将其带入预算约束, 我们可以得到 y 的马歇 尔需求 pyy = I – py – py 的上升引起在商品y上的支出减少 • 因为px和 I 未变, x 的支出一定上升 ( x 和 y 是总替 代品) • 但是 y 的支出不依赖于 px ( x 和 y 相互独立) 净替代和互补 • 净替代和互补仅仅关注替代效应 –两种商品是 净替代 ，如果 –两种商品是 净互补 ，如果 净替代和互补 • 这个定义仅仅关注无差异曲线的形状 • 这个定义因为其对称性，所以是清晰的 总互补品 x的数量 y的数量 x1x0 y1 y0 U1 U0 即使 x和y 是总互补品, 它们也可以是净 替代品 因为MRS 是递减的, 自身价 格的替代效应一定是负的， 因此交叉价格替代效应一定 是正的。如果只有两种商品， 那么一定是净替代品。 多商品之间的替代性 • 一旦效用最大化模型扩展到多商品, 许多 需求模式都是可能的 • 根据希克斯需求第二定律, “大多数” 商 品都是替代品 多商品之间的替代性 • 为了证明这一点, 我们从补偿需求函数开 始 xc(p1,…pn,V) • 利用欧拉定理 多商品之间的替代性 • 变成弹性形式 • 因为替代效应为负，所以 eiic  0, 因此一 定有