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空间闭口薄壁梁单元弹性模型
王晓峰，杨庆山
（北京交通大学土建学院，北京 100044）
摘要：以作者前面对开口薄壁梁单元的研究为基础，基于 Timoshenko 梁理论和 Benscoter
闭口薄壁杆件理论，建立了具有内部结点自由度的空间闭口薄壁梁单元模型，考虑了弯曲和
扭转的耦合作用、横向剪切变形以及翘曲剪应力等因素的影响。通过编制的相应有限元程序，
对自由端受横向集中荷载和扭矩作用的悬臂梁进行数值分析，并将计算结果与已有的理论解
和有限元解进行对比验证。结果表明所建立的闭口梁单元具有很好的计算精度,求得的位移
场与理论解和 ANSYS的壳单元解基本一致。
关键词：空间薄壁梁；闭口截面；有限元；剪切变形；弯扭耦合；翘曲剪应力
中图分类号：
An elastic beam element with closed thin-walled cross
section
Wang Xiaofeng, Yang Qingshan
(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract：Based on the Timoshenko’s beam theory and Benscoter’s thin-walled member theory, a new
elastic beam element with closed thin-walled cross section is proposed by extending authors’ previous
research on the open thin-walled beam element. Effects of the flexureal-torsional coupling, shear
deformation and warping shear stress are all included in the new elastic beam element model.
According to the finite element program from the proposed beam model, a cantilever under transverse
loading and torsion is studied. The results are compared with analytical solutions and ANSYS solutions
to validate the present element model. Comparisons indicate that the proposed element is accurate and
the derived displacement field agrees well with solutions of relevant theories and those of ANSYS.
Key words：spatial thin-walled beams; closed cross section; finite element; shear deformation;
flexure-torsion coupling; warping shear stress
0 引言
薄壁截面梁在土木工程中应用非常广泛，如常用的工字钢、槽钢等型材由于其截面厚度
与截面高度的比值通常都小于 ，因此在计算中都可以看成是薄壁梁。当薄壁梁跨高比很
小时（小于等于 6，即短粗梁）在横力弯曲下需要考虑剪切变形的影响。从文献来看，薄壁
梁单元中考虑剪切变形影响的方法，主要有 3种：①对弯曲转角采用独立插值的方法[1-3]（C0
型 Timoshenko 梁单元）；②基于 Hellinger-Reissner双场变分原理的方法[4-5]；③修正厄米特
插值函数的方法[6]等。
与实体截面梁的一个不同之处在于薄壁梁的抗扭刚度很小，当截面有一个非对称轴而在
该方向有横向荷载作用时会发生弯扭耦合现象。通常考虑弯扭耦合影响的方法是通过分析薄
壁梁横截面上任意一点与剪心的运动关系，建立该点关于剪心的横向位移场[4,7]，包含了扭
转引起的分量。
另一个不同之处在于，薄壁截面梁发生约束扭转时，产生翘曲正应力和翘曲剪应力，翘
曲剪应力也将对其变形产生一定的影响（尤其是对于闭口薄壁截面梁在翘曲约束区域附近，
基金项目：国家自然科学基金重点支持资助项目（90815021）；北京交通大学人才基金资助项目
（C11RC00020）
作者简介：王晓峰（1973—），男，讲师，主要研究方向：薄壁梁的有限元研究以及薄膜褶皱，
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影响显著）。但从文献来看考虑翘曲剪应力影响的薄壁梁单元模型鲜有提及。
因此，本文以先前开口薄壁梁单元的研究为基础，基于 Benscoter理论，建立了空间闭
口薄壁截面梁单元，考虑了翘曲剪应力、剪切变形以及弯曲和扭转变形耦合作用等因素的影
响，并编制了相应的有限元计算程序，通过算例将计算结果与已有的解析解和有限元数值解
进行对比，验证该单元模型的正确性和精确性。
1 插值函数的选取
空间薄壁梁单元的单元位移场可以写为
{ }0 s s x y zu v w θ θ θ θ=u 。 (1)
式中： 0u 为截面形心的轴向位移； s s,v w 为截面剪心在其主惯性轴方向的平动位移； zyx θθθ ,,
为截面对 zyx ,, 轴的转角；θ为翘曲角。
根据文献[8-11]，单元位移场可以通过结点位移表示为
0uNu ⋅= (2)
式中， N 为形函数矩阵，且
[ ]TTTzTyTxTwTvTu θθθθ NNNNNNNN = ， (3)
{ }T0 TiTe uuu = ， (4)
{ }T00 jzjyjxjsjsjjiziyixisisiie wvuwvu θθθθθθθθ=u (5)
为外部结点位移向量；
T
d d d d d d
d d d d d d
i s s s s x x
ym zm m
i i j j i j
v w v w
x x x x x x
θ θ θ θ θ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
u (6)
为与单元间位移协调无关的内部结点位移。
2 位移和应变
薄壁梁截面上任意一点 P 的位移可以分解为两部分：一部分为沿截面法线方向的位移
（Hu等，1996）：
)()()()()(),( 0 xsxyxzxuxsu zy θωθθ −−+= 。 (7)
式中：ω为扇性坐标，对于闭口截面有 B '0 0( )d ( )d
s s
x
h s h s
G t
τω θ
Ψ= − = −∫ ∫ ，h 为剪心到 P
点切线方向的距离， Ψ 为扭转常数， t为截面壁厚， Bτ 为布莱特剪应力，G为剪切模量，
s为沿截面中线的自然坐标。另一部分为截面平面内沿截面中线切向的位移[7]：
s
zw
s
yvhxs ssx ∂
∂+∂
∂+= θξ ),( 。 (8)
将式(7)和式(8)写成矩阵形式为
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00
0000
0001
uΨuNΦuΦu
Φ
Φ
uu
⋅=⋅⋅=⋅=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
−−
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
ξ
ω
ξ
u
h
s
z
s
y
yzu
。(9)
于是单元应变可以表示为
00
2
1
0 uBuB
B
uN
ΦNΦ
N
Φ
ε ⋅=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂⋅+⋅∂
∂ ∂
∂⋅
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
xs
x
u
u
sx
x
ξ
γ
ε 。 (10)
式中，B为几何矩阵。
3 单元刚度矩阵
根据经典变分原理，空间薄壁梁在不考虑体力情况下泛函的矩阵形式为
Fuσε T0
T d
2
1 −= ∫
V
VΠ 。 (11)
式中：σ为应力向量，且 { }Tsxx τσ=σ ；F 为结点力向量。考虑到
Dεσ = 。 (12)
式中， ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
G
E
0
0
D ，为弹性矩阵；以及泛函的驻值条件可得单元的刚度矩阵为
FuK =0 ， (13)
式中，
∫=
V
VdT BDBK 。 (14)
4 算例验证
根据所建立的空间闭口薄壁截面梁单元模型，编制了相应的有限元计算程序，对横力弯
曲和扭转作用下的悬臂梁进行了数值分析，并将计算结果与材料力学和薄壁杆件结构力学的
解析解以及 ANSYS的有限元数值解进行对比，验证该梁单元的正确性和精确性。
横力弯曲
图 1所示为一悬臂梁自由端受过截面剪心的横向荷载 N1000=Q 作用；材料弹性模量为
27 N/ ×=E ；泊松比为 =µ ；截面型式如图 2所示。
200
x
A B
Q
y
图 1 悬臂梁受横向荷载作用（单位：cm）
Fig. 1 A cantilever under transverse loading
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10
12
0
y
z
10
22
0
y
z
(a) (b)
图 2 截面型式（单位：cm）
Fig. 2 Section styles
计算结果对比如表 1所示，表中，单元数表示有限元求解所划分的数目；Section a表示
截面型式为图 2（a）；Section b表示截面型式为图 2（b）；vs为横向位移，θz为弯曲转角。
表 1 结果对比
Table 1 Comparison of calculation results 表 1和表 2标题请考虑区分
Section a Section b
方法 单元数
vs/10-2cm θz/10-4rad vs/10-2cm θz/10-4rad
材料力学 － 5 1 6× 0
Shell181 1 952 6 2 9 2
本文模型 4 0 1 3 0
Beam189 4 2 5 8 2
从表 1可以看出，由本文模型计算得到的弯曲转角与材料力学的解析解是完全相同的。
而由于本文模型考虑了剪切变形的影响，因此计算的横向位移要比材料力学的解答略大一
些。整体上，本文模型计算结果与材料力学的理论解和 ANSYS的 Shell181壳单元的数值解
非常接近，精度明显优于 Beam189梁单元。
扭转
图 3所示为自由端受扭矩 cmN1000 ⋅=T 作用的悬臂梁，材料常数与算例 1完全相同，
截面型式如图 2所示。将该悬臂梁采用本文所建有限元模型的分析结果与薄壁杆件结构力学
初参数法得到的理论解以及有限元软件 ANSYS 中的 Shell181 壳单元和 Beam189 梁单元的
数值解进行对比，如表 2所示。
200
x
A B
y
T
图 3 悬臂梁受扭矩作用（单位：cm）
Fig. 3 A cantilever under torsion
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表 2 计算结果对比
Table 2 Comparison of calculation results
Section a Section b
方法 单元数
θx/10-6rad θ/10-8rad θx/10-6rad θ/10-8rad
初参数法 － 5 1 4 3
Shell181 1 952 6 4 6 9
本文模型 4 4 7 8 1
Beam189 4 0 4 9 6
从表 2可以看出，本文模型的计算结果与初参数法的理论解答以及 Shell181壳单元的数
值解非常接近，较 Beam189梁单元具有良好的计算精度。
5 结 论
本文以先前的开口薄壁梁单元研究为基础，建立了空间闭口薄壁梁单元，考虑了横向剪
切变形、弯曲和扭转变形的耦合作用以及翘曲剪应力等因素的影响，由经典变分原理，推导
出相应的单元刚度矩阵。通过编制的相应有限元计算程序，对受横向力和扭矩作用的悬臂梁
进行分析，并将计算结果与材料力学和薄壁杆件结构力学的理论解以及 ANSYS的 Shell181
壳单元和 Beam189 梁单元的数值解进行对比，验证其正确性和精确性。结果表明，本文模
型的计算结果与材料力学和薄壁杆件结构力学的理论解以及 Shell181 壳单元的数值解非常
接近，计算精度良好，优于 ANSYS的考虑翘曲影响的 Beam189梁单元。
参考文献
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