论子总体估计法在企业价值评估中的应用
王建辉
(中元国际资产评估有限公司)
2004年12月3013中国资产评估协会发布了《企业价值评估指导意见》(试行)，自2005
年4月1日开始实施。贯彻落实《企业价值评估指导意见》(试行)，提高执业水平，规范执
业行为，维护社会公共利益和资产评估各方当事人的合法权益，提高社会公信力，是评估实
践的迫切需要。
一、理论简介
挪威统计学家凯尔(A．N．Kiaer)于1895年在瑞士伯尔尼召开的国际统计学会
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第二篇 企业价值评估却
(InternationalStatisticalInstitute，以下简称“ISI”)第五次大会上，正式提出使用“代表性调
查方法”代替全面调查的建议。他指出：“调查结果的准确性不是取决于调查单位的多少，
而是取决于取得正确代表性的方法”，即调查单位对总体代表性的高低。凯尔的“代表性调
查方法”在统计历史上首次引入了“抽样”的概念，引起了国际统计学界的关注。不过在当
时，凯尔的建议不仅没有得到大多数统计学家的认可，反而遭到激烈的反对。经过1897年
和1901年两届ISI大会的激烈争论，在1903年召开的ISI第九届大会上，凯尔的主张得到人
会的大多数统计学家的认可。ISI成立了一个专门委员会充分研究凯尔的“代表性调查方
法”，在承认和接纳抽样方法的同时，推荐了两种选取代表性样本的方法：一是概率抽样
(probabilitysampling)，二是判断抽样和目的抽样，属于非概率抽样(non—probability
sampling)。波兰统计学家尼曼(J．S．Neyman)于1934年提出的分层抽样的最优分配、比估计
和回归估计理论，在理论的层面上彻底证明了概率抽样(probabilitysampling)比非概率抽样
更加合理、更加优越，从此概率抽样成为世界各国统计调查的基本手段之一，在世界各国得
到了广泛的应用，其范围包括社会、经济、科技等各个领域。
所谓抽样调查(SurveySampling)是指按一定程序从研究对象的全体(总体)中抽取一
部分(样本)进行调查或观察，获取数据，并以此对总体的一定目标作出推断。总体
(Population)就是我们研究中所有单位在某一标志上的标志值的集合。它包括两个基本构成
要素，一是单位，二是标志值。样本(sample)是从总体中采用某种抽样方法抽取的部分单
位某一标志值的集合。它也包括两个基本构成要素，一是单位，二是标志值。
由于样本是随机向量，且样本的各分量之间是相互独立的，因此，可以构造样本的函
数，§=F(Yl，Y2，⋯Y。) (1)
Y1，y2，⋯⋯，y。为样本单位，若0不含任何未知参数，则称0为一个估计量，估计量
是一个随机变量，当样本取定以后，将样本的观察值代入估计量，就得到估计值。估计量的
概率分布称为抽样分布，它由估计量的所有可能取值及相应的概率构成，抽样分布完整地描
述了估计量作为随机变量的概率分布规律，是抽样估计的基本依据。在抽样调查中，要准确
知道估计量的分布是不可能的，但数理统计为我们提供了可以适当使用的抽样分布定理，这
些定理为抽样估计提供了科学基础。这些定理主要包括正态分布的再生定理和中心极限定
理。
所谓正态分布的再生定理是指如果总体服从正态分布，对于独立同分布样本，样本平均
数服从正态分布。
即有：
垃型～N(o，1)
,／v(Y)
(2)
所谓中心极限定理是指对任意分布形态的平均数为u，方差为孑的总体进行随机抽样，
当样本容量充分大时，则独立同分布样本平均数的抽样分布逼近期望值为u-，方差为《的正
态分布。
u：2U (3)
≯2006中国昆明国际评估论坛优秀论文集
d：=2(N—n)／(N一1)n (4)
凡是调查就一定存在误差，误差或大或小总是存在的，不可能完全避免。抽样调查中，
误差包括抽样误差和非抽样误差，非抽样误差不是由抽样调查引起的，它不仅存在于抽样调
查方法，也存在于其他调查方法。抽样误差是由于采用样本估计总体而产生的误差，样本只
是总体的一部分，用局部数据作为总体数据的估计不可能完全正确。但是抽样误差是可以计
算并可以加以控制。抽样调查采用随机抽样原则抽样，不仅排除了选择样本单位时主观因素
的干扰，使样本对总体有较高的代表性，更重要的是使估计量服从某种已知的概率分布，这
样不仅可以计算抽样误差，而且根据需要可以将其控制在任意小的范围内。通常样本量愈
大，则抽样误差愈小，确切地说，抽样误差与样本量的平方根大致成反比。
企业价值评估人员在进行企业价值评估的过程中，不仅需要对企业的总体参数进行估
计，而且经常需要对总体的各组成部分进行估计，统计学中称这种感兴趣的部分或类为子总
体(subpopulation)或研究域(domainofstudy)，因此，有必要研究子总体估计法在企业价值
评估中的应用。
为讨论问题及表述公式的方便，我们采用如下的约定和记号。设Y代表总体总值，窜代
表总体总值的估计值，N为总体单元数，它是已知的，总体分为L层，以h代表层的编号，
L
h=1，2，3，⋯，L。第h层的子总体单元数为Nh，它是未知的，∑Nh=N，第h层的子样
h=1
土
本量为nh，并且∑nh=n，砥、Yj分别代表第h层子总体和子样本第i个单元的指标值。
h=1
Yh、Yh分别代表第h层子总体均值和子样本均值，Yh、它h分别代表第h层子总体总值和子
总体总值的估计值，f是代表总体的抽样比，Ph代表第h层子总体单元数占总体单元总数的
比例，Ph代表第h层样本量占样本总量的比例，E代表数学期望，V代表方差，v代表方差
的估计值。
由于子总体单位数Nh未知，因此，即使估算出子总体均值的估计值Yh后，仍然无法估
算子总体总值的估计值它h。那么，如何估算子总体总值的估计值它h及总体总值的估计值它
呢?下面介绍估算子总体总值及总体总值的方法。其基本思路是首先采用随机抽样程序从总
体单元数N中随机抽取样本量FI，然后根据事先确定的分类标准，确定每一子总体的样本量
nh，调查确定样本量n的所有指标值Yi，再根据相应的计算公式确定每一子总体的总体总值
的估计值及子总体方差的估计值，然后将所有子总体总值的估计值相加就可得到总体总值的
估计值，将所有的子总体方差的估计值相加就可得到总体方差的估计值。根据实际情况构造
适当的统计量，调查者通过对样本的调查结果获得样本数据，然后将样本数据代人统计量计
算统计值，作为相应总体指标的估计量。这既是抽样调查的一个必要的工作内容，也是数理
统计的精髓所在。
子总体估计法的计算公式为：
IllI
th=(N∑Yi)／n (5)
i=l
隧嘲
第二篇 企业价值评估&
E(它h)=Yh
即譬h是Yh的无偏估计
々=∑窜。
V(重h)=N2(1一f){(Nh一1)s}／(N一1)+NPhQhY；／(N—1)}／n
V(々h)=N2(1一f’[妻(yi一∥+nphqh引／n(n—1)
E[v(窜h)]=v(它。)
即v(ih)是V(它h)的无偏估计。
f=n／N
Ph=Nh／N
Qh=1一Ph
Ph2nh／n
qh=1一Ph
二、具体应用
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
下面具体介绍评估人员如何利用子总体估计法对企业的应收账款及销售收入进行分类分
析、估算及核实，如何利用子总体估计法履行应有的专业判断。
(一)应用子总体估计法对企业的应收账款进行分类、分析、估算及核实
<企业价值评估指导意见>(试行)第十五条明确规定：“注册资产评估师应当尽可能获
取被评估企业和参考企业经过审计的财务报表。无论财务报表是否经过审计，注册资产评估
师都应当对其进行分析，履行应有的专业判断程序。”
评估人员不仅关心应收账款的总值是否正确，而且更关心应收账款分类数据是否正确，
不同期限的应收账款其回收能力不同，其评估值相应亦不同。这是评估人员对企业价值进行
评估所必须了解的内容。即使企业提供了应收账款的分类数据，评估人员也需要对企业提供
的应收账款的分类数据进行分析核实，履行应有的专业判断程序。
评估人员首先采用随机数字表的方法，从总量为2800笔应收账款中随机抽取了171笔
应收账款，调查分析确定每一笔应收账款的数额，并根据事先确定的分类标准进行适当的分
类，然后根据相应的公式进行计算。具体分类标准、抽样结果及计算结果见表1。
表1 应收账款分类标准、抽样结果及计算结果表 单位：万元
子总体总量 子总体总量 子总体总量
序号 账龄 样本数 平均数 子样本标准差
估计 方差 标准差
1 一个月内 4l 33．38 2．86 22409．50 8877273．56 2979．48
∥2006中国昆明国际评估论坛优秀论文集
续表
子总体总量 子总体总量 子总体总量
序号 账龄 样本数 平均数 子样本标准差
估计 方差 标准差
2 六个月内 32 24．69 1．76 12936．98 4039582．95 2009．87
3 一年内 30 18．36 3．32 9018．95 2192452．97 1480．69
4 两年内 28 16．93 2．62 7762．06 l746409．76 1321．52
5 三年内 21 26．39 2．23 9074．46 3273789．34 1 809．36
6 三年以上 19 13．28 1．68 4131．56 767089．36 875．84
7 合计 171 65333．50 20896597．94 4571．28
假设根据评估人员的要求，企业已提供了应收账款的分类数据，企业提供的应收账款分
类数据见表2。
表2 企业提供的应收账款分类数据表 单位：万元
序 号 账 龄 应收账款
1 一个月内 22698．50
2 六个月内 13154．98
3 一年内 9163．95
4 两年内 7885．06
5 三年内 9074．46
6 三年以上 4187．56
7 合计 66102．50
设显著性水平为5％，则置信度为95％，分位数为1．96，置信区间为U±1．96v，11代表
各子总体及总体的最佳点估计值，v代表各子总体及总体的标准差的估计值，评估人员计算
的各子总体及总体的置信区间计算结果见表3。
表3 各子总体及总体的置信区间计算结果表 单位：万元
序 号 账 龄 置信下限 子总体总量估计 置信上限
1 一个月内 16569．73 22409．50 28249．27
2 六个月内 8997．63 12936．98 16876．33
3 一年内 6 116．79 9018．95 11921．11
4 两年内 5171．88 7762．06 10352．23
5 三年内 5528．11 9074．46 12620．80
6 三年以上 2414．92 4131．56 5848．19
7 合计 56373．79 65333．50 74293．21
第二篇 企业价值评估帑
比较表2和表3，我们可以发现：企业提供的应收账款分类数据均在各子总体的置信区
间内。因此，我们有95％的把握断定：企业提供的应收账款分类数据是可靠的；反之，如
果企业提供的应收账款分类数据不均在各子总体的置信区间内，则我们有95％的把握断定：
企业提供的应收账款分类数据是不可靠的，需要企业重新提供新的应收账款分类数据。如果
企业未提供应收账款的分类数据，我们也可以应用子总体估计法对企业的应收账款分类数据
进行可靠的估计。我们还可以应用子总体估计法对各子总体的评估值及标准差进行估值，汇
总得出总体的评估值、标准差及一定置信水平的置信区间。
(二)应用子总体估计法对企业的销售收入进行分类分析、估算及核实
《企业价值评估指导意见》(试行)明确规定：“注册资产评估师在对具有多种经营业务、
涉及多种行业的企业进行企业价值评估时，应当针对各种业务类型，分别进行分析。”实际
上，为准确预测企业未来的销售收入，不仅不同业务类型的销售收入需要分类，有时根据评
估工作的需要，同类业务的销售收入也需要再次进行适当的分类。
评估人员在实际工作中，所面临的具体情况非常复杂，会计核算水平参差不齐，执行的
具体会计政策、会计估计亦不尽相同。企业日常会计核算资料往往满足不了评估人员预测企
业未来销售收入的需要。例如一些大型图书零售企业一般仅按图书和音像两类商品进行日常
会计核算，而在业务管理上却对图书按社会科学、经济管理、文学、艺术、医药卫生、生
活、建筑、科技及计算机等进行分类，导致日常会计核算与业务部门之间分类的不一致，这
对预测企业未来的销售收入带来一定的困难。由于各企业自身特点、市场竞争格局、社会需
求、企业所在地区等方面的差异，不同种类的图书(或音像)销售收入的发展规律及变化趋
势各异，仅依据企业会计部门提供的收入汇总数据(仅按图书和音像进行粗分类)，对企业
未来图书(或音像)的销售收入进行预测，这必然降低未来销售收入预测的精确度。然而，
图书种类繁多，大型图书企业经营的图书可多达几十万个品种，如果要求企业按评估人员的
要求提供各类图书的分类收入数据，是一件比较困难的事情。在这种情况下，如何快速准确
地将图书(或音像)的销售收入进行适当地再分类，对企业未来图书(或音像)销售收入预
测起着非常关键的作用。下面具体介绍如何应用子总体估计法对企业的销售收入进行分类分
析及估算。
评估人员首先采用随机数字表的方法，从总量为3200笔销售收入中随机抽取了222笔
销售收入，调查分析核实每一笔销售收入的情况，并根据事先确定的分类标准进行适当的分
类，然后根据相应的公式进行计算，具体分类标准、抽样结果及计算结果见表4。
设显著性水平为5％，则置信度为95％，分位数为1．96，置信区间为u±1．96v，U代表
各子总体及总体的最佳点估计值，v代表各子总体及总体的标准差的估计值。评估人员计算
的社会科学、经济管理及文学等分类销售收入置信区间的计算结果见表5。如果企业提供了
销售收入的分类数据，也可以采用子总体估计法计算各子总体的最佳点估计值、标准差估计
值及一定置信水平的置信区间，观察企业提供的销售收入分类数据是否均在相应的置信区间
内，以判断企业提供的销售收入的分类数据是否可靠，以确定是否接受企业提供的销售收人
舻2006中国昆明国际评估论坛优秀论文集
的分类数据作为预测企业未来销售收入的基础。
表4 销售收入分类标准、抽样结果及计算结果表 单位：万元
序号 图书类别 样本数 平均数 子样本标准差 子总体总量估计 子总体方差 子总体标准差
l 社会科学 61 64．63 5．81 56827．82 36285631．19 6023．76
2 经济管理 52 61．79 4．92 46314．67 29769902．01 5456．18
3 文学 46 45．81 4．23 30374．92 15021484．56 3875．76
4 艺术 32 58．23 3．94 26859．24 18130858．82 4258．03
5 其他 31 48．67 3．21 21748．04 12331445．32 3511．62
6 合计 222 279．13 22．11 182124．68 111539321．91 10561．22
表5 分类销售收入及总收入置信区间计算结果表 单位：万元
序号 图书类别 置信下限 子总体总量估计 置信上限
1 社会科学 45021．26 56827．82 68634．38
2 经济管理 35620．55 46314．67 57008．78
3 文学 22778．44 30374．92 37971．40
4 艺术 18513．50 26859．24 35204．99
5 其他 14865．27 21748．04 28630．80
6 合计 161424．70 182124．68 202824．67
三、子总体估计法在企业价值评估其他方面的应用
子总体估计法在企业价值评估过程中的用途比较广泛，限于篇幅，下面仅指出其在以下
五方面的作用，而不作具体论述。
(一)子总体估计法不仅可以对总体参数及分类参数进行合理估计，而且通过利用调查
所获得的资料，与原有数据的比较分析，计算出调整系数后，还可以对总体参数及分类参数
的原有数据进行合理调整。
(二)如果企业执行的会计制度不符合<企业会计制度>，那么评估人员也可以采用子总
体估计法对企业的会计报表的有关数据及相应的经营成果参数进行适当的调整。
(三)事业单位改制为企业单位，由于事业单位与企业单位执行不同的会计制度，评估
人员也可以采用子总体估计法调整事业单位的会计报表的编制基础，并对相应总体参数及分
类参数进行适当地调整，作为预测未来收益的基础。
(四)利用子总体估计法不仅可以估计子总体总值，而且可以估计出子总体平均值及相
应的单元数。
睦幽
第二篇 企业价值评估～
(五)利用子总体估计法还可以对企业提供的主营业务成本、管理费用、销售费用、其
他业务收入及其他业务成本等进行分类分析、估算及核实。
参考文献
[1]赵俊康：<统计调查中的抽样设计理论及方法>，中国统计出版社2002年版。
[2]冯士雍等编著：<抽样调查理论与方法>，中国统计出版社1998年版。
[3]贾怀勤编著：(应用统计>，对外贸易教育出版社1994年版。
[4]倪加勋等编著：《应用统计学>，中国人民大学出版社1993年版。
