极值和相关性理论及其在固定比例投资组合保险策略中的应用
山东大学硕士学位论文
极值和相关性理论及其在固定比例组合保险策略中的应用
孟口口
(山东大学数学学院，济南，250100)
摘要
在金融投资市场中，我们需要特别关注极端事件发生的可能性，进而关注这些极
端事件对市场可能造成的影响．极值理论能够很好的刻画由底分布的上尾(或下尾部)
确定的在一个高(低)闭值以上(下)关于底分布的超阈值}生质，近年来被越来越多的
专家学者应用到金融风险管理中去，并逐渐建立起了一套完善的统计方法，通过极端
次序统计量或超阈值来估计底分布的尾部或参数函数．
在风险管理中，风险价值VaR是目前金融市场中广泛应用的风险度量方法。风险
管理更注重的是低概率的灾难性损失，传统的VaR方法直接从整个收益率的分布出
发，忽略了极端事件发生的情况。在风险价值VaR中引入极值理论，重点考虑收益率
的尾部特征而不是整个分布，能更合理更科学地度量风险，已经被越来越多的应用到
风险管理中来．
同时，由于金融市场中各个体间存在复杂的相关关系，因而需要分析各种相关结
构对市场可能造成的影响．相对于简单的线性相关系数，应用关联函数Copula可以
更全面度量投资组合产品间的相关关系。建立在Copula基础上的VaR方法则更好的
度量了组合的风险价值．
当下，金融危机引发全球金融市场动荡，投资者蒙受巨额损失，更使实体经济受
到严重冲击，投资机构及对资本市场依赖性较强的企业又重新开始深入研究投资的组
合保险策略．由于目前我国金融市场品种不多，保本基金中广泛应用CPPI(Constant
ProportionPortfolioInsurance)策略，其所具有的低风险及收益稳定的特点，在当前
金融危机蔓延，金融市场动荡的背景下，受到更多产品设计及投资者的青睐．
CPPI策略是通过丧失部分获利空间为代价，来实现对风险的防范和本金的保证，
能有效的应对市场的下跌．但是市场的下跌往往伴随着剧烈波动，为了发掘波动的市
场中的获利潜能，本文通过VaR的计算、市场趋势的判断及资本有效前沿理论的应
用，对市场做进一步深入的研究，从而改进CPPI策略中的最低要保金额及固定比例．
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新策略首先强化组合保险的目的，然后根据均线技术和市场的动能对市场做出判断，
及时变动放大倍数，并在对风险合理科学度量的基础l二，积极管理风险．
本文通过大量模拟数据及我国金融市场实例的分析，验证了新策略在经历一些市
场周期后，能比CPPI策略提高投资组合的收益。
关键词：极值，copula，风险价值(vaR)，固定比例投资组合保险(CPPI)
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ExtremeValueandCopulaTheorywiththe
ApplicationinConstantProportionPortfolio
InsuranceStrategies
MengFanyu
SchoololMathematics，ShandongUniversity．
Jinan，Shandong,250100。P，R．China
ABSTRACT
Inlhefinancialinvestmen!．1IlaI'ket，weneedtopayattent，iontothepossibility
ofextremesituationsandtheirinfluenceswhichmightaffectthemarket．Extreme
ValueTheory(EVT)hastheadvantageinexplainingthepropertiesofsuperthreshold
aboutbottomdistributiondeterminedbythetailtheofthebottomdistribution．The
uppertailorthelowertailofthebottomdistributioncorrespondstothepartlarger
thanhighthresholdorlessthanlowthresholdrespectively．Inrecentyears．moreand
moreresearchersapplyEVTtofinancialriskmanagementandsetupperfectstatistical
methodgradually．Thatistoestimatethetailorparametricfunctionofthebottom
distributionbyextremeorderstatisticorsuperthreshold．
Intheriskmanagement，theRiskofValue(VaR)isawidelyusedmethodforrisk
measurement．RiskmanagementfoCUSeSmoreoncatastrophic10SSoflOWprobability．
ThetraditionalVaRmethodwhichstartsfromthedistributionofthewholerateof
returnomitsextremesituations．Thec11aracteristicsofthetailabouttherateofreturn
话thekeyconsiderationbutnotthewholedistributionwhenEVTisappliedtoVaR．
Duetothemeasurementforriskfromamorereasonableandscientificrespect．EVT
becomespopularinriskmanagement．
Inthemeanwhile)tileanalysisforallkindsofcorrelativestructurewhichmight
affectmarketisnecessarybecauseofthecomplicatedrelativeconnectionbetweenevery
lmitinthefinancialmarket，Comparedtosimplelinearcorrelationcoefficient．correla．
tionflmctionCopulacanmeasuretheconnectionbetweeninvestmentportfolioproduce
comprehensively．Furthermore，thecomputationofportfolioVaRisintroduced．
·V·
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Atpresent，thefinancialrisktt。iggerstheglobalstormingoffinancialIIItH’ketwhich
resultsinthebathofinvestorsandsevereimpactoneconomicentity,sothatthe
investmentorganizationsandtheenterpriseswhichrelytoolmlchonca．pitaltnarket
begintodelvenloreportfolioinsurancestrategyofinvestnlent．TileCPPI(Constant
Pt·oportionPortfiflioInsm·aIR·e1whichtakesIOWl‘iskftll(1stableretlll‘nsisi)opulai’
alnongmoreandmoreproductsdesignandinvestorsunderthesil，uationof‘thespread
ofthe、globalmlall(·ialcrisisall(1Illeconwllsi(mofthefinancialinarket．
CPPIistorealizeguardagainsttheriskandguaranteeforprincipalattileprice
oflosingS()rileoftheI)I’ofitnlargintocopewithtilemarketfa．11：butsomesevere
fluctuationscomealongmarketfall．Inordertoexploretheprofitpotentialinthe
nmrket．thisthesisnlHkesfuI’ttlerr【、searchest)llfinan(’ialmarketbythecomputationof
VaR，．judgmentofInarkettren(1andtheat)i)licationofeffectiveandleadingtheoryof
capital，andimprovestheFloorandConstantProportioninCPPI．Thenewstrategy
intensifiesthepm·poseofcombinedinsurance，lnakesdecision0I!marketbymoving
averagemethodandmarketdynamics，changesamplification[actorsandmanagerisk
activelyonthebasisofseienl，ificmeasuremen!，onrisk．
ThisthesisCOllfirlnsthatlhenewstrategyworksbetterinimprovingthemargins
ofinvestmentportfoliothanCPPIdoesaftersomemarketperiodsviadatasinmlation
andsampleanalysisoffinancialmarketinChina．
Keywords：EVT，copula，VaR，CPPI
原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独
立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不
包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研
究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明
的法律责任由本人承担。
论文作者签名： 渤 日 期：兰掣：堇：!刍
关于学位论文使用授权的声明
本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学
校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论
文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分
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保存论文和汇编本学位论文。
(保密论文在解密后应遵守此规定)
论文作者签名： 戡师签 期：掣’
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1．极值理论的历史
第一章 引言
§1．1极值理论的历史及应用
1824年，J．B．JFourier最早开始对极值进行讨论，他认为与正态分布的均值
偏离了二个标准差的平方根的三倍的概率大约为五万分之一，因此可能完全忽略
这类观测．Helmert在1877年则指出，此类问题的讨论与样本量密切相关．当样
本量趋于无穷时，自然会有更多的机会使样本最大值出现在分布的尾部，则样本
的最大值也应趋于无穷．因此，极值理论就要讨论样本量同极值大小之问的关系。
1922年，德国的统计学家L．VOIIBortkiewicz第一个明确了提出极值问题，他
研究了正态分布的样本极差，说明了来自正态分布的样本最大值是具有新的分布
的随机变量．此后一年，统计学家R．vorlMises、E．L．Dodd及L．H．CTippet先后
研究了正态及一般分布的样本最大值问题。1927年，M．Fr芭chet发表文章指出有某
种共同性质的最大值可有相同的渐进分布．1928年，R．A．Fisher与L，H．C．Tippet
的文章被认为是极值分布渐进原理的基础，即在此文章中首次提到极值类型定理
的三个渐进分布．
1936年，R．vonMise．s提出最大次序统计量收敛于极值分布的简单有用的充
分条件；1943年，B．Gnedenko给出了类型定理的严格证明，建立了严格的极值理
论，给出了极端次序统计量收敛的充分必要条件。最后，DeHaan通过进—步研究
将这些结果联系起来，完全解决了吸引场问题．
可以看到，极值理论的讨论从最初的仅研究独立同分布随机变量最大值、最
小值的渐进性质，发展到研究次序统计量的分布性质，进而研究由底分布的上尾
(或下尾部)确定的在一个高(低)阈值以上(下)关于底分布的超阈值性质；反
之，底分布的尾部或参数函数则可通过极端次序统计量或超阈值用统计方法进行
估计．
2．极值理论的应用
极值理论在近代工程、环境及风险管理问题应用中都有成功的例子，在许多
领域都有广泛的应用．
．1．
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·在近代工程中的应用
瑞典物理学家和工程师W．Wcibull第一次强调极值概念对描述材料强度
的重要性。而英国棉业协会的F．T．Peirce则第一个将样品强度与檄值分布联
系起来．而在信息技术迅猛发展的今天，研究并解决网络阻塞现象，提高通讯
质量，极值理论有广泛的应用需求。
·在环境问题中的应用
E．．J．Gumbel首次提出，将极值理论应用于某些曾经用经验方法考虑过的
分布，用极值理论成功解释了工程界研究了很久的洪水统计分布，以后又用于
其他气象现象及异常观测值的统计问题。近几年，我国自然灾害频发，仅2008
年就发生了雨雪冰冻灾害及5．12汶川大地震两大罕见自然灾害，此外，每年
都有地区遭受不同程度的水灾、旱灾等多种灾害。如何通过对历史极端自然现
象的数据记载，应用极值理论分析灾害发生的可能性等情况，尽力减少灾害造
成的损失是非常重要和有意义的研究。
·在风险管理中的应用
金融市场最典型的极端事件就是当前的由次级债危机引发的全球性的经
济危机，这场危机由最初的小范围的金融危机，逐渐演变为大量银行、企业倒
闭，经济大衰退的全球经济危机，其影响之广以达历史之最，全球经济均面临
着严峻的挑战。对金融市场的风险进行有效管理，是保证金融市场健康有序发
展的重要条件。而风险管理的基础就是进行有效的风险度量．目前进行风险度
量中，VaR及极值理论是被广泛应用的方法．本文在第三章将会讨论基于极值
及Copula理论的VaR的计算方法．
§1．2 Copula理论的历史与应用
1．Copula理论的历史
．2．
自1940年Hoeffding最初提到Copula，到1959年，Sklar认为可将一个联合
分布分成k个边际分布与一个Copula函数．Copula以函数的形式反映了变量间
的相关性。但直到20世纪90年代末，随着计算机技术的迅猛发展和多元统计建
模问题的广泛应用，Copula方法作为多元统计中度量相关关系的工具，开始被人
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们广泛重视和应用．H．．Joe的著作MultivariateModelsandDependenceConcepts
和R．13．Nelsen的AnIntroductiontoCopulas两本书对Copula的研究成果进行
了总结．
2．Copula理论的应用
由于Copula函数是由随机变量的整个联合分布得到的，它反应了随机变量问
的所有相关关系，所以它与普通的线性相关度量方法相比利用了更全面的数据信
息并提供了更完整的相关性信息．因而Copula理论可用于任何需要度量随机变量
间相关关系的场合．
具体到金融领域来讲，Embrechets，McNeil和Straumann(1999)首次将Cop-
ula引入金融风险管理领域，随后BouyeE，DurrlemanV和NikeghbaliA(2000)
系统介绍了Copula在金融领域的一些应用．
Copula在风险管理、投资组合、资产定价等方面用着重要的用途．在金融风
险管理中正确刻画金融资产收益的联合分布是非常重要的问题，Copula函数则可
以刻画出其联合分布函数。近年来信用衍生产品有了极大发展，成为转移和规避
信用风险的主要工具，应用Copula模型亦可用来模拟和定价信用衍生产品．
§1．3优化CPPI策略的现实意义及投资组合保险的历史
1．现实意义
2007年2月，美国抵押贷款风险浮出水面，至7月问引发全球金融市场动
荡，形成了广为关注且影响深远的次级贷危机，进而造成全球金融机构巨亏．转至
2008年3月，美联储投入2000亿美元救市，贝尔斯登、雷曼兄弟两大投资银行相
继在危机中倒下，美国银行收购美林，美国五大投资银行成为历史．2008年9月
6日，美国政府正式接管濒临破产的房屋抵押贷款巨头房利美(FannieMae)和房
地美(FreddieMac)，同月，更将美国国际(AIG)国有化，以避免更大范围金融危
机的发生。尽管如此，金融危机波及范围越来越大，以华盛顿互惠银行为首的众多
商业银行倒闭．直至2008年底，这场由次级贷危机引发的金融危机最终引发了新
一轮的经济危机，全球六大央行联手降息，各国不断提出新的救市措施．
．3．
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而此次金融危机的影响反映在金融市场中，即股票指数的大幅下挫，国际原
油期货价格的大跳水以及众多国家在应对危机时采取的货币贬值策略。虽然各大
救市措施不断施行，但危机影响似乎并未结束。市场信心飘忽不定，由于金融危机
造成的影响则仍未可估，股票指数价格起起伏伏，市场进入新一轮的震荡行情。
在我国，2008年前三季度GDP增长速度达到9．9％，第四季度增速大幅下降
至6．8％，众多中小企业尤其是面向出口企业面临生存压力。金融市场中，上证A
股指数则从最高的6164点一度最低跌至1664点。针对国际金融危机的蔓延和国
内经济形势的不断低落，中央提出扩大内需促进经济平稳较快发展的一揽子计划，
包括增大政府投资等一·系列经济促进措施和经济发展目标．
面对当前的金融市场状况，投资者如何保证投资资产在下行或震荡的行情中
较少损失甚至有所收益，并在市场回暖时能参与获取利润，是值得思考和解决的
重要问题．
2．投资组合保险的历史
．4．
在当前爆发经济危机，经济发展陷入停滞、衰退时期，金融机构的投资策略也
纷纷转为在保障投资人的资产价值的基础上，追求资产的进一步增值。由于投资
组合保险理论的基本思想是牺牲部分上涨时期利益，锁定损失在一-一定水平下，因
而投资组合保险策略开始被广泛研究与应用。投资组合保险理论兴起于80年代的
美国，但由于90年代以来金融市场及金融衍生品市场的空前繁荣和发展，这一理
论逐渐被淡忘。但在当前尤其是市场下跌与震荡的情形下，这一理论又被广泛应
用．
投资组合保险理论分为两类(PeroldandSharpe，1988；Rubinstein，1985)t
(a)基于期权的投资组合保险策略(option-basedportfolioinsurance，OBPI)，以
BlackandScholes(1973)期权定价公式为基础，如欧式保护性卖权(protective
put)策略、复制性卖权(syntheticput)策略等．
(b)由股票和无风险资产组成的组合保险策略，依据自身的风险偏好程度，藉由简
单参数的调整形成的投资组合保险策略。如买入持有(buy-and．hold)策略、固
定比例投资组合保险(constantproportionportfolioinsurance，CPPI)策略、
时间不变性组合保障(time-invariantportfolioprotection，TIPP)策略、停损
策略(stop-lossstrategy)、固定组合(constantmix)策略等等。
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由于投资组合保险的最初思想来自与股票与看跌期权的组合，所以OPBI策
略的可行性显而易见．但由于现阶段国内金融市场中相关衍生产品种类较少，仅
凭期权并不能良好对冲投资股票风险．而Rubinstein和Leland(1981)利用Black-
Scholes期权定价公式，提出可以股票和无风险资产复制期权．但对Blaek-Sdloles
公式中波动性的估计却一直是备受困扰的问题。
Black，Jones和Perold(1986)提出了同定比例组合保险策略，由于该策略仅需
简单的参数调整即可达到投资组合保险的目的，同时又能体现不同的风险偏好，成
为大型基金公司特别是保本基金首选的投资策略．
EstepandKrizman(1988)在CPPI策略基础上提出了TIPP策略，差别在于
将CPPI策略中随时间以无风险利率增长的最低要保金额，变为以一固定要保比
例(FloorPercentage)设定某一时刻的要保额度，若投资组合总价值上涨则要保
额度也随之提高，若组合价值下跌则保持原来的要保金额。因而可见TIPP是较
之CIPP更保守的投资策略．
§1．4．1本文的目标
§1．4本文的目标与安排
本文希望通过对极值及Copula理论的系统探讨，总结和发展建立在极值及Copula
理论基础上的VaR的计算方法，特别是针对资产组合的VaR的动态计算方法．
在此基础上，希望通过对CPPI策略进行优化，达到在下跌或震荡行情中，投资
收益能够显著提高，而在上涨行情中收益牺牲较少的目的．
最后，通过对最低要保金额的假设使得改进后的策略更加稳健，而基于VaR的计
算与市场前沿有效理论优化对固定比例的调整使得投资收益在市场各阶段均有了显著
提高，达到了上述目标．
．5．
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§1．4．2本文的安排
·第一章引言
对极值及Copula理论的历史等内容作了详细介绍；并对VaR，的应用及CPPI
策略优化的现实意义等作了说明。
·第二章极值及Copula理论概述
对极值及Copula理论的理论架构及基本概念进行了总结和概括，对文章中涉
及的概念方法进行了解释和简要证明。
·第三章极值及Copula．理论在VaR计算中的应用
详细阐述了VaR的计算方法，特别说明了极值理论在计算单因子VaR时的
优势，并提出了应用Copule。计算组合VaR的方法。
·第四章基于VaR的CPPI策略优化
给出了CPPI策略优化方法，并通过模拟及实证分析论证了优化后的策略在
投资收益E较原策略有了显著提高。
·第五章全文总结
总结了本文的主要工作和主要结论，同时也对本文尚未解决和可进一步探讨
的问题进行了阐述。
．6．
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第二章 极值及Copula理论概述
§2．1极值理论的基本数学描述
§2．1．1极值分布的类型
设x-，％，⋯是独立同分布的随机变量，分布函数为F(x)(称为底分布)，对自
然数佗，令
／14,,=max{X1'．一，K}，‰=min{Xt，⋯，％)(2．1．1)
分别表示礼个随机变量的最大值与最小值，则
尸(^磊≤X)=P(X1≤X，⋯，j0≤z)=F”(z)，z∈Ⅱt
P(m。≤z)=1一P(m。≥z)=1一[1一F(z)】住，X∈R
这里豫表示所有实数的集合．如果已知分布函数F(z)，就可精确求出最大值和最小
值的分布函数，但实际中，罗常为未知的，则转而研究m。与A磊的极限分布。若记
A=(z：0<F(x)<1)，矿2磐AA，zt2翳Az∈ 正c^
称集合A为分布F的支撑。z‘和z。分别为分布F支撑的上端点和下端点．显然，对
所有X。≤X≤X+都有
P(％≤z)=F“(z)_0，礼一oo
如果F的上端点矿有限，即矿<。0则当z≥z+时，有
P(坛≤z)=F”(z)_1，礼一。o
即，不论z是否有限，当n_o。时，最大值M分布的极限只能是0或1，这种退化
分布是没有意义的，因此不直接讨论最大值的渐进分布。类似于处理礼个随机变量之
和的中心极限定理，我们试图通过对竹个随机变量最大值M。的规范化变换，以了解
最大值分布的性质．
。7．
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定理2．1．Fishe'r’-Tippett极值类型定理
设X1’．～：％是独立同分布的随机变量序列，若存在常数列a。>0和k，使得
，慨P(必≤z)：H(z)。z∈R (2．1．2)arB—400 ，^ 、
成立，其中H(z)是非退化的分布函数，则H必属于以下三种类型之一：
，型分布：
HI(Z)=exp{一e1)，一x<z<+o。；
II型分布：
爿。cz；。，={曼p。一z～。，，三萋：：Q>。
III整务奄：
H。cz；仃，={；ip{一(一z)一“】．’三至：：n>。
其中I型分布称为Gumbel分布，II型分布称为Frdchet分布，III型分布称为Weibull分
布，这三种分布统称为极值分布(extremevaluedistribution)。当仃=1时，H2(z；1)，Hz(x；1)
分别称为标准Frdchet分布与标准Weibull分布。称a。，bn为规范化常数．
三种极值分布类型Hi(x)，／／2(x；c卫)，Ha(x；d)存在非常密切的关系，可验证知：设
X>0，则
X～H2兮logX。一Hl兮一X一1～凰
进一步引入位置参数弘和尺度参数盯后，给出极值分布的统一形式：
定义2．1．广义极值分布
脚一沪e斗(⋯孚)珧)’l州⋯沙>。
其中弘，f∈R，口>0．称日为广义极值分布(generalisedextremevaluedistribu．
tion)，简记为GEV分布，∈为形状参数．
广义极值分布与三种极值分布的对应关系如下：
1．当f=0时，因Jim日(z；p，仃：‘)=Hi(x；∥，盯)，则日(z；p：叽∈)表示极值I型分布．
￡—+oo
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2．当f>0时，取Ot=1店，则日(z；p，盯，∈)表示极值II型分布，其位置参数和尺度
参数分别为肛一n盯和0／．0"．
3．当f<0时，取OL=一1／f，则日(z；p，叽f)表示极值III型分布，其位置参数和尺
度参数分别为弘+00r和＆盯．
性质2．1．GEV分布口(z；弘，呸∈)的数学期望和方差分别是
E(X)=p+盯(r(1一∈)一1)／‘，‘<1，
Var(X)=cr2(F(1—2‘)一F2(1一《))／∈2，∈<1／2
证明：由Galiimlt函数的定义和性质可得，略．
性质2．2．GEV分布的p(o<P<1)分位数为
酃=p一仃(1一(一logp)一‘)／4
当∈=0时，即Gumbel分布的P分位数为
％=p—O-log(一logp)
在风险管理中，称损失分布F(x)的P分位数％为风险价值VaR(ValueatRisk)，
它表示未来特定一段时间内损失超过％的概率为1一P，在第4章中我们将会重点讨
论VaR的计算方法．
定义2．2．对给定的分布函数F(z)，若存在序列a。>o)，{6。)，使得
F”(‰z+b。)=F(z)，
则称分布函数F(z)是最大值稳定的(max-stable)．
由式2．1．2知，若F(x)是最大值稳定的，相应的A磊的分布仍然是F(z)．Embrechts
P等(1997)证明了分布函数F(x)是最大值稳定分布，当且仅当F(x)是三种极值分
布之一．
．9．
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定义2．3．设xl，．．．．K。是独立同分布的随机变量序列，分布函数为F(x)，则对
于2．!．z式定义的A厶，若存在常数列{％>oJ，协。)，使得
恕尸(警。)=，魄州anX-4-b,i)圳z)
成立，则称随机变量X(或X的分布函数F)属于极值分布H(x)的最大值吸引场
(maximumdomainofattraction)。记作x∈BID。4(ri)或F∈^，D。4(H)
§2．1．2广义pareto分布
定义2．4．平均超出量函数
设Xl，⋯，X。是独立同分布的随机变量序列，分布函数F支撑的上端点为z+，对
某固定的大值扎<z+，称为阈值(threshold)，若咒>“，则称它为超阈值(exceedance)，
称置一71,为超出量忙zrPss，J。不难得到
R(z)=尸(X-u≤z1．)(>“)=兰生气掣，z≥。
称咒(z)为随机变量X份布函数列的超过闷值乱的超出量的分布函数，简称超出
量分布。对应的密度函数为
m)=帮，z≥。
而
蜀硝(z)=P(x≤zIx>乱)=帮，z≥“
称为随机变量x份布函数F，的超阈值分布函数，对应的密度函数为几1(z)=器，z≥锃
称e(u)=E(X—UIx>U)为X的平均超出量函数(mean∞cessfunction吖鄹．
§2．1．2．1广义Pareto分布的定义
仅根据最大值建立的模型不能充分利用数据中包含的极值信息，我们进而考虑超
过阈值U的那些观测值K，这可用超阈值分布或超出量分布函数来描述．但F(x)常
常未知，则希望找到超出量的极限分布。
．10．
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定义2．5．若随机变量X的分布函数为
G∽印矧一(·+f孚)一戌力¨州州"。：
则称X服从广义Pareto分布，简记为GPD或GP分布．其中，p∈R为位置参
数，仃>0为尺度参数，∈∈R为形状参数。
定义2．6．广义pareto分布的类型
若用。表示形状参数，广义pareto分布可分为
记为G1、G2、G3：
Gtcz；肛：Q，={三，一e一孚'
∞岍￡)_11．一(等)一，
ParetoI型、lI型、III型务奄。务矾
z≥“，
z<0：
z≥p+矾
(卫>0：
z<p+盯，
似铘一班h爿。蓦一--(7⋯扎
易验证，广义极值分布与广义Pareto分布间存在密切的关系：当log甄>--1时，
有Q=l十log凰．
定义2．7．广义Pareto分布的密度函数为
舡舶畎)=吾(1+∈孚)。居～，z≥¨+∈(z-u珈>。
§2．1．2．2广义Pareto分布的性质
性质2．3．设随机变量X服从广义Pareto分布G(z；盯，∈)，则当‘<1／七时，
刚卜岳篇善后t
．11．
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性质2．4．广义Pareto分布的超出量分布函数仍是GP分布，且形状参数不变。
性质2．5．广义Parcto分布G(z；tt．仃．‘)的平局超出量函数为币归掣，
其中，当0≤f<l时，"tt>Ⅳ．当∈<0时，肛≤U≤It一仃／f．则P(“)为"it的线性函
数。
§2．2 Coupla基本数学描述
§2．2．1 Copula基本概念
定义2．8．Copula定义
如果一个二元函数C：12一f，对所有的t，t∈f，它满足以下两个条件?
J．c(t，0)=c(o，t)=0，c(t，1)=c(1，t)=1j
2．对于』中任意的Ul，U2，Vl，V2，且Ul<U2，Vl<V2有C(U2，u2)一C(u2，u1)一
C(ul，V2)+C(u2，V2)≥o；
则我们称G@，u)为二维Copula．
等价的，可以说Copula是一个边缘在【0，1】上的均匀分布的二维分布函数在，2
山的限制．且很容易推广到多维情况．我们说一个n维Copula，就是一个12维随机变
量的分布函数，它的所有边际分布都为【0，11上的均匀分布．
定理2．2．Sklar定理
假设一个多维分布函数H的边际分布函数为F1(z1)，F2(z2)，⋯，R(z。)，则存在
一个Copula函数C(ul，⋯，乱。)满足，
日(z，，⋯，z。)=c(F1(z·)，⋯，R(z。))
如果R(z1)，如(z2)，⋯，R(z。)是连续的，则Copula函数是唯一确定的．反之，如
果C是一个Copula，且乃(z1)，忍(z2)，⋯，R(z。)是分布函数，则上面定义的函数
H(xl，⋯，Xn)是分布函数，且对应的边际分布函数为蜀@1)，如(z2)，⋯，％(z。)．
．12．
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Sklar通过定理说明了；设X，y是具有联合分布函数的随机变量，它们的边缘分
别是F(z)，G(!，)，则存在唯一的与之对应的Copula使：H(x，Y)=c(F(z)，G(可))成
立．Copula将x，】厂的联合分布函数H(x，Y)与其边际分布联系了起来，展现了联合分
布函数由它们边缘分布生成的变化特性．
从Sklar定理，我们还可以写出Copula．一种最简单的计算方法，这里只写出二维
形式，
瓯，。=日(矸1(u)，巧1(u))
命题2．1．Copula性质
设X，y使具有Copula呶Ⅳ的连续随机变量．设Q，p分别在RanX，RanY严格
单调，
J．若Q，p分别在RanX,RanY上严格单调递增，则
C0(x)，口(1，)(t正，u)=Cx，y(“，秒)
2．若Ol在RanX上严格单调递增，p在RanY上严格单调递减，则
(蠢(x)，∥(y)(¨，V)=札一Cx，l，(u，l—V)
3．若n在RanX上严格单调递减，∥在RanY上严格单调递增，则
C2(x)，fl(y)(U，")="一Cxx(1一牡，V)
名．若Q，卢分别在RanX,RanY上严格单调递减，则
G(x)：p(1，)(“，V)=U+u一1+Cx，y(1一t正，1一V)
证明：只证明(2)即可，其它完全可以类推得出．
设只，G1，F2，G2分别表示x，y'o(x)，p(y)的分布函数，因为Q是单调增加的，所以
易(z)=P(理(．x)≤z)=P(XSQ。1(z))=F1(o一1(z))
同样道理，
G2(y)=P(fl(Y)≤Y)=P(Y≥p一1(可))=1一P(Y≤p一1@))=1一G1(箩)
．13．
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从而，
G(矾卯，)(R(z)，Gz(∥))=
所以有，
尸(rV(x)≤z，／3(Y)≤秒)
p(x≤，t一1(：r)，】’之∥一1(!，)1
一，j(n一1(z))一魄y(声j(。一1(z))，G，(旷1(y)))
=忍一魄，y(最(z)，l—G。(妙))，
瓯(z)．fl(∥)(“，u)=“一Cx，v(U，1一"11)
§2．2．2 Copula类
§2．2．2．1椭球Copula函数
·GaussianCopula
设X，y都为标准正态分布，且相关系数为P，啡(z：耖)表示它们的联合分布，边
际分布为圣(z)，圣(y)，则二维GaussianCopula定义如下，
％。(“，口)=西，，(西一1(仳)，西一1@))，
GaussianCopula写成积分的形式为，∞川=仁、∞仁1‘砷而杀唧t样灿以
·Student—LCopula
设x，Y都为自由度为Ⅳ的标准t分布，且相关系数为P，tv,p(z，y)表示它们的联
合分布，边际分布为0(z)，t，(可)，则二维Student—tCopula定义如下，
喏P(乱，V)=tv,p(t21(u)，t；-1(口))．
Student—tCopula写成积分的形式为，帆归f’r’而知”错∥哪怕asa瓦
．14．
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§2．2．2．2ArchimedeanCopula函数
定义2．9．ArchimedeanCopula
设砂：【0，1】一【0，+∞】为连续严格递减的凸函数，西(o)=+。。，咖(1)=0，且有连
续、严格递减、凸的逆函数≯一1：【0，+。。】一【0，l】，≯-1(+∞)_0，矽-1(())=l，则
c(“：u)=庐一1(≯(“)+妒(u))
称为由西生成的ArchimedeanCopula，妒称为该Copula的生成元，
从上面定义我们可以看出，选择不同的生成元，就可以得到不同的Archimcdcan
Copula族．这就使得我们的对于多元ArchimedeanCopula的研究，简化到对于其生
成元的研究上．ArchimedeanCopula族种类很多．而且目前为止，我们知道的常用的
Copula都属于某一个ArchimedeanCopula族，如Ⅱ=C(u，u)=UV，它对应的生成
元为毋(t)=一In￡；Frechet—Hoeffding下界W(u，")=max(u+V—l，o)，它对应的生
成元为1一t，都是ArchimedeanCopula族一员．下面我们对ArchimedeanCopula族
中最常用的三类单参数ArchimedeanCopula组给出介绍．
1．GumbelCopula
如果我们取定生成元加(￡)=(一Int)8，(021)，则由ArchimedcanCopula定
义得到GumbelCopula，
曝。(u，")=exp{一【(一lnu)口+(-lnv)9P)，
这类Copula函数最早是由Gumbel(1960b)提出的一类Copula函数．显然，当
伊=1时，瓯=II；当0_+。o时，q孑=M，其中M为F1+echet—Hoeffding上
界，即M=min(u，u)．
2．ClaytonCopula
如果我们取定生成元咖(t)=亡～一1，(0>O)，则由ArchimedeanCopula定
义得到ClaytonCopula，
％(珏，")=∞卅+移一一1)。1p，
这类Copula函数最早是由Clayton(1978)提出的一类Copula函数．显然，当
0=0时，曙=l-I；当0一+o。时，％严=M．其中，M为Frechet—Hoeffding上
界，即M=min(u，u)．
．15．
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3．FrankCopula
如果我们取定生成元勘(￡)=一ln(等≥三{)，(口∈re)，则由Archimedeanc。p—
ula定义得到FrankCopula，
∞舢)=一万1tn(，+壁；g型)，
这里的Copula函数最早出现在n。ank(1979)年的一片非统计研究文献中，这类
Copula函数的一些统计性质最早是由Nelsen(1986)和Gcnest(1987)给出的．显
然，当0=0时，僻，=n；当0一一"X9时，簖尹=w；当0_+∞时，c．舻=JII』，
其中，^f为Prechet—Hoeffding卜界，即111=min(u，u)，W为Frechet—Hoeffding
下界，即W=max(u+u一1，o)．
§2．2．3相依性
1．线性相关系数
设(x：y)为一个二维随机向量，则(x，Y)的线性相关系数为，舭∽=舞器，·
其中，Cov(X，Y)表示(x，y)的协方差，Vor(z)，Var(Y)分别表示随机变量x，y
的方差．线性相关系数P是描述随机变量相依性的一种最常用的方法，其在椭球
世界中是一种普遍的测量手段，计算方便直观．但对相依性的描述往往假设随机
变量为线性相关，且其在严格递增非线性变化下是变化的，从而产生了下面的秩
相关系数．
2．秩相关系数
秩相关性反映的是变量闻的单调相依性(monotonicdependence)，因此其在非
线性单调变换下保持不变，具有良好的统计性质，要优于传统的线性相关．秩相关
系数中最具代表性的是Kendall’s7_和Spearman’sP．这里，我们只介绍Kendall’s
7-进行Copula函数相关计算和参数估计．Kendall’s7．的定义为，
丁=P((Xl—M)(恐一硷)>0)一尸((x·一M)(恐一K)<o)，
其中，(x1，M)?(xa，M)为从总体(x，y)中的两个iid的样本．若设C(u，秒)为
(x，y)的Copula，
Kendall’s下可以写为，
7-=4／／c(u，v)dC(u，")一l，
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在实际研究样本数据时，Kendall’S丁的估计为，
． c—d
T=一．c+d。
其中，C为样本变量相协的个数，d为样本变量不相协的个数．
§2．2．4Copula参数估计
在Copula建模过程中确定了边际分布之后，需要选择确定的Copula函数形式及
合适参数．Copula函数的估计有两种方法：参数方法和非参数方法．
·参数估计
参数估计法分两步，
1．先是根据单个资产收益率的样本序列{筑}，令边际分布函数及边际密度函数
为尻(z)，得到对应Copula的边际样本只(执)(i=1，2；t=1，⋯，佗)
2．再使用对数似然函数进行极大似然估计：
l=攀∑Inc(Fl(z。)，尼(轨)；口)，n厶J ⋯⋯。。‘
t=l
·非参数估计
非参数估计方法是不假设边缘分布的具体形式，而是直接利用基于样本的秩
相关系数Kendall’s丁t估计出Copula的参数向量．例如可以计算对于椭球Copula
函数有，
p=s．m(孔
根据上式，就能得到GaussianCopula和tCopula的参数估计芦．同样道理，对于
ArchimedeanCopula同样可以得到参数和Kcndall’s7．的关系．如下表所示，
磊心芝 Gallssiant GumbelClaytonFrank相关系数～＼
2．一1，、 2．一1，、 cJ c，
I+o(Dl(护)一1)
丁 一SIll‘l纠；sm1㈣ 口+1 而7r
其中，。t是。ebye函数，即，。-(口)=Z8吾(et一1)出
．17．
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建模过程中的参数估计方法与非参数估计方法并不存在绝对的优劣，当样本
数据较多时，使用极大似然估计可能更精确；但是当样本数据中存在异常点，或者
不清楚边际分布时，选择非参数估计方法比较明智．下面采用非参数估计的方法
进行建模。
．18．
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第三章 极值及Copula理论在VaR计算中的应用
§3．1 VaR的定义
风险价值(ValueatRisk，VaR)是指在未来的‘个特定时期(一天、一周或一年
等)内，当基础资产价格发生不利变化时，在一定的置信度下，所持头寸可能产生的最
大损失．
§3．2极值理论在单因子VaR计算中的应用
§3．2．1传统计算方法
历史模拟法
。历史模拟法”是计算过去一段时间内的资产组合风险收益的频度分布，通过找到
历史上一段时间内在既定置信水平c【下的最低收益率，得到资产组合的VaR值．“历
史模拟法”假定收益随时问独立同分布，以收益的历史数据样本的直方图作为对收益
真实分布的估计，分布形式完全由数据决定，不会丢失和扭曲信息，然后用历史数据
样本直方图的p一分位数据作为对收益分布的p一分位数波动的估计．由于我们并不
一定直接就能找到我们所要求的分位点，所以对历史数据不能直接得到的分位点我们
用插值法来计算．
由于这样做我们把历史数据的地位视为相同，在这种做法实际中是不合理的．通
常我们更倾向于对最近的数据加上较大的权值，因此我们引入改进的历史模拟法．
步骤是：
1．分别对投资最近k期的收益率n，rt-1，r￡～2，⋯，rt-七十l赋予权值
研1--,k，高九⋯，鲁一一．研’研¨，⋯，研¨。
2．对收益率序列按升序排列．
3．从最低的收益率开始，加总权数直到5％，从而得到5％处对应的VaR．
．19．
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实际中A常取0．97。
二．方差一协方差法
“方差一协方差”法同样是运用历史资料，计算资产收益率的VaR值，其假定该
资产的收益率服从正态分布。
其基本思路为：
1．利用历史数据汁算资产组合的收益的方差、标准差、协方差；
2．假定资产组合收益足正态分布，可求出在一定置信水平下，反映了分布偏离均值
程度的临界值；
3．建证与风险损失的联系，推导VaR．值。
设某一资产组合的收益率在单位时间内的均值为弘，标准差为盯，R～Ⅳ(弘，口)，
又设Z，为置信水、Fo下的1临界值，根据正态分布的性质，在Ot概率水平下，可能发
生的偏离均值的最大距离为，t一磊，即VaR=肛一磊
但是上面两种方法都有其局限性，他们都假设现在的分布与历史上的分布相同，
第二种方法还假设数据服从正态分布，从实际收益率来看，大部分收益率都是厚尾的，
因而}：面数据处理起来虽然简便，但是并不合理的。
三、EWMA方法
上面的VaR计算尤其是方差方法，它是假定收益率服从正态分布，并且他们
的波动性是不变的。现在我们放松要求，假设波动率是随时间变化的，我们来看一
下，J．P．Morgan在1995年提出的Riskmetrics模型，它实际上是IGARCH的一个特
殊情况：
仃；=入盯生l+(1一A)(n一1一成)2
1 ￡一1
其中，觑=Fj∑Yt一{，一般设这里的A为0．97．
“
一t=1
§3．2．2 GARCH模型计算VaR
这个方法首先假定模型服从GARCH模型，残差的分布可选(正态或t或GED)，
然后求得触和O"t，求得残差的5％分位点，从而求得VaR。为了更加精确的模拟实际
分布，我们可用一些其它由GARCH衍生的一些模型，如GJR，EGARCH，GARCH—t
和EGARCH—t模型。
．20．
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§3．2．2．1GARCH模型介绍
其中：
q=吼UL，UL～N(0，1)，i．i．d
P Q
疗=七+∑Gt九+∑山t乙
i-----1 J=1
P Q
∑Gi+∑如<1
1=1 i=1
七>0
Gi≥0i=1，2，⋯，尸
如≥0 J=1，2，⋯，Q
§3．2．2．2GARCH模型在VaR中的应用
我们对对数收益率进行分析，若它不服从正态分布，则验证其收益率的自相关和
偏相关系数，若它的自相关系数和偏相关系数都是很快下降于零的，而平方自相关系
数并不是很快的趋于零，说明虽然这个时间序列是不自相关的，但是它和前面也不是
独立的，即存在ARCH效应。
应用GARCH对收益率序列进行拟合，然后检查其残差序列，可以看到残差序列
的自相关系数和偏相关系数，若残差甲方的自相关系数很快趋于零，则我们这样进行
的拟合是合理的．
此外，对于时间长度的选取，一般认为，一到两年的数据是合理的．
．2l·
一缸如
M∑两
+龟+o玑≯
R∑州
+CI|纨
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§3．2．3用极值分布计算VaR
风险管理会更注重低概率的灾难性损失，然而一卜面的方法我们都是忽略了极端事
件，而直接从整个收益率分布出发．而极值分布的重点就在于考虑收益率的尾部特征
而不考虑整个分布，因此被越来越多的用在风险管理中。
我们这里用到两种方法来计算VaR，即BlockMaxima模型与Peaks0verThresh-
old模型。南极值类型定理可知，当划分的区域中的元素个数趋于无穷时，最大值服
从广义极值分布，并且当阀值趋于无穷时，超过阈值的点服从广义Pareto分布。这样
我们通过拟合超过某个阈值“的分布，进而得到全体的分布和分位点，从而求得VaR
值。
§3．2．3．1BlockMaxima模型
设有样本xl，弼，⋯，％。BlockMaxima方法将这Ⅱ111个数据分成111段，每
一段中有n个数据，求出每一段的最大值^厶1，Mkz，⋯，A厶。，最大值即服从参数为
(，，-．仃的广义极值分布，用极大似然法估计出(，，c．仃，
Kp，o-；Mnl，螈2，⋯，A厶。)=∑Inh；∥：。(n‰)
：刊n叫1+1／()壹(1+(竽)
一妻(1+(竽)
取(∈，扛，子)使得f(0，豇，a)=maxGIL,af((，p，盯；地1，M幽⋯，螈。)即可。
此外，对于mll组数据的分段也很重要，i1太小，精度不够；i1太大，则m较小，
估计出来的方差变大，实际中要在两者问权衡。
由于VaR实际上是极值的一个分位点，则可利用上面估出的极值分布来计算VaR
的值．
已估出
fI=exp(一(1+e孚))一}，
．22．
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它的上g％的分位点对应豇+等((一1rt(1一g％))一‘一1)，即得到用GEV估出的置信水
平为l—q％的liaR值：
y。R=豇+箬((一lI·(1一q％))一‘一1)．
§3．2．3．2PeaksOverThreshold模型
假设x1，．磁，⋯，K～Ei．i．d，F∈MDA(段)，对于那些比阈僵大的数据用GPD
进行拟合：
1．设定阙值珏；
2．比较样本和u，设共帆个元素超过阈值，将超过阈值的元素重新记为戈。，盅，禹⋯硫；
3．做变换巧=南一U，利用GPD来拟合{K)．
1nL((，∥：H，⋯，‰)=∑ln9(，卢(匕)
：一帆p_(1+1／()釜1n(1+(萼)
j=z P
其中p>o，1+<号>o·取p：(使得上面的似然函数取最大即可·
假定前面已经估计出参数<，p，记为0，p，下一步就需讨论如何来拟合整体，及如
何算得原来函数的分位点。可以看到若X>让。
尹(z)=P(X>xlx>u)P(X>仳)
=P(X—U>z—ulx>u)P(X>U)
=R(z—u)F(u)
而对于元(z—u)，可近似看做哦．pX--U)，而户(u)可由经验估计卢(钆)=等得
到，从而声(z)=等(1+∈丁X--U)一．
对于＆≤l一等，相应的Q分位点为
豇(F)---u+Z。。瓦n(1一Q)-e-1)
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则对于损失的鬣信度为0．95的VaR，可以求得：
啪=u+箬((耙．()5)-L_1)
§3．2．3．3GARCH-GEVVaR
以上方法均为静态计算VaR，，这种无条件极值理论虽然直接研了究金融资产收益
率分布的尾部，但是它忽略了金融资产收益率分布是时变的，即假设资产收益率是独
立同分布的。ARM人-GARCH模型虽然采用了条件均值和条件方差，可以得到动态的
VaR，但却关注整个分布，而不是直接对风险管理所关心分布的尾部进行建模。
McNeil等探讨了把极值理论和GARCH进行组合的可能性。在遵循卜述研究思
路的基础上，把极值理论和GARCH模型进行组合，建立基于GARCH和极值理论的
金融资产风险度量方法。
1．利用原始数据用伪极大似然(QML)方法佑计ARIVlA—GARCH模型的参数，得到
，上￡：盯t·tt·
2．利用极值理论，计算随机扰动项rt的VaRZ?。
3．根据前两步的结果，来计算原始数据的VaR，VaR。=舭+吼刃。
§3．3 Copula在组合VaR计算中的应用
本节主要将上章Copula的技术应用到投资组合的VaR上
§3．3．1优化投资组合选取
§3．3．1．1计算方法
设x、Y表示两个股票的收益率，找到合适的分配比例p，使得组合，px+(1一e)Y
的VaR最小，其中0≤∥≤1．这里考察的是“=o．05时的VaR，即是95％置信
水平下的最大损失．假设。、芗的边缘分布分别为日(z)和最白)，具有Copula函数
c(R(z)，如(可))，则投资组合风险度量VaR的值很容易求出，即，
r f
P(f{fx十(1一／OY≤札)=／／dC(R(z)，F2(!，))，
‘， ‘，px+(1一』{)l，≤“
．24．
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在运用Copula模型汁算投资组合VaR时，vaR的解析式一般不易求出，因此需
要用MonteCarlo模拟法来计算VaR值．从而可以得到不同的分配比例p下的VaR
值，选择最小的那个VaR值对应的分配比例，就是最优投资组合．
计算步骤如下：
1．选择合适的Copula族，并且由非参数方法(具体方法见上一章Copula的参数估
计)估计出选定Copula的参数，主要参考指标就是计算上面给的5种Copula的
对数似然函数，
lk=moaX∑ln‰(Fl(xt)，易(‰)；p)，
t一1
其中k=l，⋯，5分别表示5种Copula族．再选择对数似然函数最大的那个
Copula，来拟合给定的数据．
2．由选定的Copula，产生其对应的随机数(锄，虢)，i=1，⋯，3000
3．由(x，y)收益率序列，分别计算它们的经验分布函数R(z)，B(3，)，从而也可以得
到他们的反函数耳1(z)，巧1(可)．
4．由第2步产生的Copula随机数，做变换，
既=耳1(ui)，Yi=G-1(饥)，
从而得到模拟的3000个收益率序列，再代入给定的∥值得到模拟的3000个投资
组合的收益率序列，
ri=卢娩+(1一roy,，
5．由核估计的方法得到收益率序列机)．的VaR值，方法如下．在任意点z出的核估
计密度估计，
，(z)=磊1乙．-2-,姒]x-厂ri)，
其中h为窗宽，钆=3000，g(o)为核函数，这里取高斯核．于是可以证明，要想求
出样本{n)的5％分位点(VaR)，只要计算，
e“m肛e曲去喜Kc警，=去喜圣c半一，
其中，西(·)为标准正态分布函数，窗宽常取h=35n_1／5．从而要计算VaR只要
解一个非线性方程即可，用二分法或牛顿法都可以很容易解出VaR．
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6．重复卜面(2)．(5)步骤100次，取得到的ⅦR的均值作为给定∥的VaR值．
7．更换不同的f，，仍然重复上面(2)一(6)步骤，从而可以得到不同／，下的VaR．值，画
出图像，得到最小VaR，对应得∥值，即最优投资组合．
§3．3．1．2应用实例
这黾，我们取2002年12月一2{)09年4月中国联通股票收益率序列共1500期数
据，取2002年12月．2009年4月招商银行股票收益率序列共1500期数据，分别记为
(r⋯r2。)，作为样本．想要求出在未来一段时问内的投资于这两支股票的分配比重．
、
1．先分别计算收益率序列rlt：rzt的经验分布函数，Fl(a：)：r2(y)，如下图所
E忡咄“CDF“r1 Emp71caICOF叫72
示，
图3．1：r1，r2的经验分布函数
由非参数方法得到Kendall’S7-为，
丁=0．4127
2．带入第二章的5种Copula，得到对应的参数估计及对数似然函数为，于是从表
Gaussiant GumbelClaytonFrank
口 0．60380．60381．7027 1．40544．3387
l 一233．0962．1．4322．117．5522—276．6335．92．6018
中可以看出选择t-Copula最能拟合样本数据，可以很容易得到t-Copula的密度
．26·
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函数和分布甬敦。如下阿所
圈32 t-Copt*l++的密度雨数和分布两数
3于是选择t+-Copula，模拟100狄，每次模拟3000十样奉，分别给定不同的F，得
到不同的、愠估计。如F图。
图33：在不同口值下的Ⅵ皿值
显然可以看出口取069时，能使VaR最小．从而分别在中国联通和招商银
行投资分配比重为o69／03I时候能得到最大收益
习受
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§3．3．2 Copula在固定投资组合的VaR计算中的应用
在上一节中，我们通过估计的C叩ula计算最优投资组合．其实Copula还可以计
算固定投资组合的VaR．
同样设，x，y表示两只股票，{搦，阢}(i=l，⋯，他)表示其对应的收益率，对于
同定投资比例／3／(1一p)想求出佗+l天收益率的VaR．步骤如下：
1．应用上一节完全同样的方法，由{zt，犰)(i=1，⋯，n)估计出(x，y)的Copu|a
及对应的参数，及它们各自的边际分布．
2．由MonteCarlo方法生成3000对(X，y)的样本，通过核密度估计的方法得到样
本的5％VaR，．
§3．4 VaR的回测
只有被证明为相当准确的VaR模型，才是有用的，要做到这一点，使用者必须通
过比较预期损失水平和实际损失水平，对风险模型的有效性进行系统的核查。由于这
种核查或检验是事后进行的，也称为后验测试(Backtesting)．我们主要有下面三个方
法：
1．失败频率检验法
我们假设计算VaR的置信度为C，实际考察的天数为丁，失败天数为Ⅳ，则
失败频率为Ⅳ／T。零假设P=P+．这样对VaR的准确性的评估就转化为检验失
败频率P是否显著不同于P+．从而我们可以构造似然比检验：
LR=一21n[(1一p+)(T一Ⅳ)p‘Ⅳ】+21n[(1一Ⅳ／T)T一Ⅳ(N／T)T】
在零假设条件下，统计量LR服从自由度为l的x2分布。由此可给出置信区间，Ⅳ
过大说明我们的VaR过于冒险，Ⅳ过小说明我们的VaR偏于保守，两者都是不
合适的．
．28．
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2．区间预测法(有条件的覆盖模型)
．．卜面考虑回测时我们忽略了数据的时间变化，然而例外只可能和时问的关系
紧密相连，这样模型则可能会失效。Christofersen对上述回测方法进行了改进，扩
充了一项￡尼础以保证偏离量在每个时刻都是独立的．
其思想如下表所示：
条件
前一天
无例外 例外 无条件
当天，
无例外 TOO=To(t一丌o)TOO=乃(1—71"1)T(1一丌、
例外 T01：=T07toT11=n71"1717r
总计 死 正 T=To+噩
如果今天的例外情形是发生在独立于前一天的时间，那么第二栏和第三栏的
式子应该是一样的。则相应的测试统计量为：
L览。d=～21n[(1—7r)(如o+rlo)7r(T01十T11’】+2fn【(1—7fo)7们7roY01(1一丌1)T10丌}11
则条件覆盖的测试总统计量为：
己冠。=LR。+厶R。d
它近似服从)(2(2)分布。这是如果LR>5．99，则我们就会以95％的置信水平拒
绝模型．
3．概率分布型预测模型
上面的基于例外的模型仅考虑了整个分布的一个分位点，我们下面将上面方
法推广刘多个分位点．方法如下：选择[o，1】间的一系列概率P．风险管理系统每
天报告在不同置信水平下的VaR．观测一定长的时间，并将观测值低于VaR，的
总数记为Ⅳ1，低于yoRz的记为Ⅳ2，依次类推。用Kuiper统计量：
K=m叩￡【批／T—A】-4-maxiPi一旭／纠
来检验估计出来的与实际的是否完全匹配，则可通过上式得到统计量的值并给出
拒绝域．
．29．
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§3．5 VaR的局限性
虽然VaR方法得到广泛应用，但其局限性也是显而易见的：
1．由于VaR方法衡量的主要足市场风险，因此如单纯依靠VaR方法，就会忽视其
他种类的风险如信月l风险等可能造成的损失。
2．VaR，值表明的是一定置信度内的最大损失，但并不能绝对排除高于VaR值的损失
发生的可能性。例如假设一天的99％置信度下的VaR=1000万美元，仍会有1％
的可能性会使损失超过1000万美元。这种情况一旦发生，给经营单位带来的后果
就是灾难性的。
3．VaR在数学上不具有次可加性。次可加性即假设二种证券X1，X2组成的组合X，+
％，应有VaR(X1+X2)≤VaR(X1)+VaR(X2)，即在条件相同时，组合的损失
应不大于各个证券损失之和．这种要求在实际中是显而易见的，但此不等式在计
算时却并不一定成立。
因此在金融风险管理中，VaR方法并不能涵盖一切，仍需综合使用各种其他的定
性、定量分析方法．
．30．
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第四章 基于VaR的CPPI策略优化
§4．1固定比例组合保险策略简介
由于金融衍生品种的匮乏，国内保本基金大都采取固定比例组合保险(CPPI：constant
proportionportfolioinsurance)策略，该策略基本原理就是用无风险资产的收益作为
可以损失的风险资本，并以此作为风险资产的投资去赚取更高的收益．CPPI是由
Bla威、Jone熔和Perold于1987年提出的，是一种进行资产配置和构建投资组合的
方法，旨在防范下方风险，提供本金保障。
Black，Jones&Black(1987)提出的CPPI策略是基于一系列市场条件的假设的；
1，假设市场为广义的Black-Schole8市场，市场由风险资产和无风险资产组成；
2．市场为无摩擦市场，即无交易成本，无买卖空限制，交易可连续进行；
3．风险资产不付红利，其价格过程服从It5随机微分方程：
警：弘(t)出+盯(t)dBt，了_一pk。，u。中a ’
弘(￡)为瞬时期望收益率，盯(￡)为瞬时波动率。B为定义在概率空间(Q，，，P)上的
标准布朗运动(或几何布朗运动)；
4，无风险资产的价值过程服从
其中，n为无风险利率．
孥：rtdt，一：=1’‘11．1．忍 ”一’
当p(t)，盯(t)，n都为与时间无关的常数，即u(t)=p，o(t)=or，rt=r时，市场
即为Black-Scholes市场．
固定比例组合保险策略(CPPI)将资产分配在无风险资产和风险资产上，风险资
产投资额度不超过放大倍数乘以组合资产总值与最低要保金额的差额：
At=Dt+最
Et=m(At—R)
(4．1．1)
．31·
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其中，A为￡期的投资组合总价值，D，为￡期的无风险资产价值，磊为￡期的风
险资产价值，"t为放大倍数，放大倍数愈大风险偏好程度愈高，E为，期的最低要保
金额(Floor)，即投资者能承受的资产变动的最低限度，一般情况下是与期初资产／lt，
有关的量。实质上，CPPI策略t期的要保金额，就是易在当前时刻的折现。最低要
保金额为
尻=昂×er(t-T)， (4．1．2)
则E=E一，×∥，其中r是无风险利率(本文采用银行一年定期存款基准利
率)，T是整个投资期限的时长，矸是投资的最终要保金额。t期的缓冲额度(Cushion)
为CL=A。一R。投资组合全部价值与最低要保金额之间的差额表示对最低要保金额
提供有效保护的保护层。同定比例组合保险策略通过动态调整资产组合，以保证风险
资产的损失额不超过投资者的可承受能力．
定理4．1．对于CPP，策略，在上述市场假设下，缓冲额度也是一个几何布朗运
动，漂移项为m(u—r)+r，波动项为mcr．
证明：CPPI策略卜t日寸刻的资严总值At瓶足随机微分方程：
dA=最瓦dSt+(At一邑)瓦dRt=mG酉dSt+(A—mG)r砒，
dG：dA—dE：7礼G譬+(A。一mG)r出一rE疵，
鲁=m酉dSt+(1-m)础
：m∽班+盯dBt]+(1一m)rdt (4·1．3)
=『m(／z—r)+r1dt+mcrdBt
在CPPI策略下，资产的总价值A由上式决定的缓冲额度和以无风险收益增长
的R之和决定．
．32．
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§4．2固定比例组合保险策略的缺陷及改进
§4．2．1 CPP[策略缺陷
CPPI投资组合保险策略对风险的防范和本金的保障，是以丧失部分获利空间为
代价的，在实际运作中有缺陷t
1．固定的放大倍数，在上涨行情中会错失有效跟踪标机会，限制获利潜能；
2．在震荡行情中未提供利润保护机制，较大的市场波动，会造成帐面盈利将消散；
3．当总资产降到保值底线后，所有的风险资产头寸都将被卖出，即使市场再出现反
弹，也没有重新参与的机会．
§4．2．2CPPI策略改进
通过对原CPPI策略的分析，发现造成上述缺陷有两方面的原因：
1．首先，放大倍数恒定的假定，造成上述缺陷l，2；
2．其次，在CPPI策略中，几乎恒定的要保金额鼠，造成上述缺陷2，3；
因此，针对这些缺陷，本文试图在上述两个方面改进此策略。
1．对最低要保金额的惩罚设定
我们期望当资产组合的当前价值高于初始价值时，随着资产增值的程度的提
高，相应提高要保金额E，并且提高的幅度越来越大，从而提供更好的利润保护
机制，防止在市场波动时利润的快速消散．此外，根据风险忍受程度和对市场的判
断，将期末的要保金额折现后所得R，适当降低，以增加市场反弹的情况下重新
参与市场的机会，但根据CPPI策略的稳健操作思路，降低后一般假定不能低于
原来的90％。
所以本文对E做了以下改进，将E设为A的一阶导数单调递增的函数
R=Fr×er(t-T)×(竿)。， (4．2．1)
定理4．2．在按彳．2．J式薅定的新的尻条件下，缓冲额度变为漂移项为
m(p—r)+，．『AA一,只-‘E拿L、“],"删)9ma的新的布朗运动．
证明：
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其中a>1是一个常数，此时
tlCt=dAt～dR
=mG瓦dSt+(4t—mG)删t一，’R(龛)。班(4．2．2)
一G等⋯。Grdt+7"[At-$t(龛o)。卜
西dCt一百dSt-mrdt+r『铧卜
刮tt-r)dt+rf辑b础@删
改进后，缓冲额度的波动项不变，漂移项随着组合资产价格的变化而变化．为
了达到保本的目的，本文在以下的改进策略中E降低后不小于原策略下鼓的
90％，也就是说当组合资产价格上涨时，减小其漂移项，价格下跌不超过10％时。
增大其漂移项，如果下跌幅度达到10％，要及时止损。
引入这种机制后，在没有账面盈利的情况下，可以获得重新参与到市场中的
机会，在有超额盈利的情况下，提高要保金额，增强利润保护；另一方面本文通过
动态调整放大倍数，进一步发掘市场潜能．
2．对m的调整改进原则
很自然的，针对由于固定的m值所导致的模型缺陷，我们希望根据当前资产
价值的状况对饥进行调整，当资产总值有增大趋势时，将m也增大，这样能够挖
掘上涨行情中资产获利的潜能；当资产总值有减小趋势时，将m也减小，这样就
可以降低下跌行情中利润消散的程度。同时，上述对最低要保金额的设定，虽然保
护了利润不会快速消散，但也使得在上涨行情中的投资更加保守，因而降低了获
利潜能，也使得对m的调整非常必要．
可以看到，对a的调整，如果要求调整后的最低要保金额不能低于调整前的
最低要保金额，尽管丧失了一些重新参与市场的机会，但是没有增大资产组合的
风险。而对m的调整，当增大m时，放大乘数变大，就是将资产分配到风险资产
上面的比例增大，无疑增大了投资的风险．但是如果增大的风险可以度量，就可以
根据对风险的度量，对其进行控制，在可控的风险下调整仇值，提高资产组合的
收益。
．34．
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由于无风险资产和风险资产的比例并不是经常发生变动的，必须在一定时间
内维持恒定的比例，以避免出现过激投机行为．所以在原策略中，放大倍数一定的
情况下，随着安全垫价值的上升，风险资产投资比例将随之上升，一旦投资组合现
实净值向下接近价值底线，系统将自动降低风险资产的投资比例．所以，基金管
理人一般只在市场发生剧烈变化的时候，才对基金安全垫的长期放大倍数进行调
整。虽然(4．2．1)式中对E的设定，使得风险投资比例并不一定随着A的增加而
增加，但是出于对既有利润保护的目的，我们也并不希望过于频繁的调整m．
§4．2．3具体的改进方法
1．a的确定方法
(a)根据最低要保金额、无风险资产的预期收益率和风险资产的预期到期最大亏
损，算出在市场出现预期最不利的情况下，为了达到最低要保金额，放大乘数
m的最大值，以此作为投资初始的m值；
设银行一年期基准利率为r，无风险资产的预期年收益率为R，风险资产
的预期到期最大亏损比例为L，期初投资总额为凡，到期最低要保金额为毋，，
期限为T．
则有
Do扩’+Eo(1一L)≥片
由于Ao=Do+Eo，Eo=m(Ao—Fo)=rn(Ao—FTe-rr)，
上式等价于
， Fr—AoerTm≤西再瓦≯巧万j厕
(b)使用(4．2．1)式确定的改进后的R，通过组合中风险资产及无风险资产的历史
价格，可对每个固定的m，a求得累积收益率，给出变化的仇，a，用数值办法
找到累积收益率最大时的m，a取值疣，a。
2．在可控的风险下调整m值
(a)对于上文确定的侥，期初令m=瓶；
(b)分别计算风险资产价格前5日、10日、15日、20日价格的平均值
坛(t)，Mlo(t)，^厶5(t)，M20(0；
计算风险资产价格的动量值Dr(0，动量值的计算方法见本文附录。
．35．
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(C)如果
S(￡)>A毛(f)>．Allo(t)>A，15(￡)>A‰(≠)，
且DY(t)小T-DY(t一21：t—1)的上四分位数，则将in乘以^1；如果
s(t)<^凫(，)<^，Ⅲ(，)<M15㈤<地，(≠)，
且DY(t)小于DY(t一21：，一1)的上四分位数，则将1711除以62。61．62根据
不同的组合分别确定；
(d)计算风险资产的VaR，值，然后计算使得下一个交易日无风险收益能覆盖风险
资产VaR的最大的竹tv。开，如果"zv。开小于上步中更新的m值，则把Ill更新
为m矿。R．
具体来说，调整113．时，具有不同风险偏好的投资者，根据自己的风险忍
受程度计算出·定置信水平下一定时期风险资产的VaR值，通过资产的配置，
使无风险资产的收益等于或者覆盖风险资产的VaR，即
．36．
易×eVaR(EO一最≤Dte“一Dt，
由此式确定了D。后可以得到最大的m值
At—D￡m一2硒’
本文通过构造一个带约束条件的资产组合有效前沿，求解优化问题，对m
进行修正。
优化问题为：
。 A￡一Dc舅六mD。三簿Et ∽2q￡2×■寺 (4‘2‘4)
B=蜀艚∽驯365×(龛)8
其中VaR(Et)是风险资产历的VaR值，Dt是组合资产A分配到无风
险资产上的数量，rl是无风险资产在第t天的收益率，?'2是风险资产在第t天
的收益率。
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§4．3．1模拟组合的构建
§4．3数据模拟分析
为了充分验证改进后的策略是否有效，本文在产生风险资产价格的时，用了三种
不同的几何布朗运动参数见下表．
表4．1：风险资产的三种几何布朗运动参数
其中p1>P,2>p3，肛l>0，p3<0，肛l>0表示市场从长期来看有上涨的趋
势，，z2的绝对值比较小表示市场处在一个相对稳定的阶段，，t3<0表示市场有下跌的
趋势，盯3>盯1>0"2，一个有明显趋势的市场波动率相对大些，下跌的市场比上涨的市
场波动率更大些。
另外，假定无风险资产的年收益按连续复利有r=0．025，并用matlab产生模拟
数据，分别构造1000组风险资产和无风险资产的三类500天的模拟价格．
§4．3．2In与a的选取
假定投资者最终要求保本95％，根据最终的保值金额，按无风险连续复利0．025
折现到期初，
则
晶=Fr×er(‘一T)／365=0．95×Ao×e-O．025x500／365=0．9180×Ao，
Eo=0．0820mAo，Do=Ao一0．0820mAo，
然后根据无风险资产的年收益为按连续复利为0．025，风险资产按置信水平95％
的最大亏损为
L节黑强刚．V．厕3--丽乩36嘶-1．9252叽
．37．
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如果市场出现最不利的情形，则在投资期末资产总价值为
蹋×PL+Do×e0．025x500／365=0．0820mA(1XeL+1．0348×(Ao一0．0820mAn)，
为了保证期末总资产不小于o．95A{】，由J-式得到Ⅲ的最大值分别为(表4．2)：
表4．2：不同组合III的最大值
在确定了Ill的最大值后，按照前文设定的三种市场状态参数，对产生】000组风
险资产的价格，然后结合无风险资产的价格，分别求出使得每组风险资产和无风险资
产在新策略下收益最大的a值，在三种不同的状态下a的甲均值见表4．3：
§4．3．3动态调整放大倍数
对于不同的组合，确定了a和初始的m值之后，为了挖掘组合在上涨的行情下的
活力潜能，本文以下用GARCH-EVT方法对风险资产的VaR进行动态计算，进而动
态调整1Yl值．
对风险资产分别服从每种参数状态下的布朗运动各生成1000组模拟数据进行测
算，调整后的策略与调整前的策略组合最终收益的甲均值和直方图比较如下：
表4．3：不同组合a的优化值
．38．
竺圣奎兰至圭兰竺堡兰
表4．4：两移(调整后组台平均收益比较
-l三匦三受!五三至；丁_五五网
。．．．．一．．．．．I．．
．I
图4l不同策略下组合最终收益的直方图
■■■■■■■I
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一-
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II¨■ll¨聃啪蚋瑚。"
啪
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本文通过模拟计算发现，不管原来的策略，还足本文修正的策略，需要把握f节场
在长期的一个趋势，确定策略的风险放大乘数，并根据当前的市场状况做调整，在上
涨的行情下增大tn值，在下跌的行情下减小tIl值，但是应用这螳策略的结果并不随
着市场市场的趋势的改变而改变，而且随着市场的波动的改变而改变的，一个波动比
较大的市场，应用这些策略，尤其足调整后的策略，会带来更大的收益，而凡能够度量
组合的风险并进行有效的控制．
§4．4．1 组合选取
§4．4 实证分析
根据我国市场债券和股票的特点，本文选取了有代表性的市场指数来构建两个组
组合一：用中债全价指数(0371．CS)作为无风险的投资组合，用上证50指数
(000016．SH)作为风险投资组合；
组合--．用中债全价指数(0371．CS)作为无风险的投资组合，用沪深300指数
(000300．SH)作为风险投资组合；
由于我国股市和债市的指数的计算日期不完全相同，所以选取2006—12—1至2009—
3-16日三个指数都有收盘价的交易日共555个。(数据来源：Wind资讯)
§4．4．2组合收益分析
§4．4．2．1组合中不同资产收益的相关性
在金融风险管理中刻画金融资产收益的联合分布是一个很重要的问题，一般说金
融资产的收益分布是厚尾分布，其联合分布函数可以通过Copula函数来刻画．运用
Copula函数模型，可以把随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究。首
先根据已有的数据分别找到它们收益的经验分布，作为边缘分布。经验分布是一个阶
梯函数的形式，建立这些阶梯函数的逆函数：
．40．
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图4．2：组合中各部分收益的经验分布的逆函数
在整个社会资金供给量相对稳定的前提下，如果股市行情看涨，股票收益率提高，
资金在利润的引导下必定从债券市场转向股票市场，反之亦然．但是债券的收益和股
票的收益并不存在强相关性，组合一上证50指数收益和中债全价指数收益的相关系
数为．0．0532，Kendall’Stau为o．0104，组合二沪深300指数收益和中债全价指数收益
的相关系数为．0．0331，Kendall’Stau为0．0093．
‘
本文分别对两个组合中两个指数收益建立t-copula模型，用MATLAB得到线性
相关参数和t分布自由度参数的估计，及相应t-copula的Kendall’8rankcorrelatiom
表4．5：组合一、二中风险资产及无风险资产的相关关系指标
．41．
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图4．3：组合一收益的相关关系
图4．4：组合二收益的相关关系
Copula反映的是不同资产收益的相依关系，与不同资产的价格的度量单位无关，
因为不同的价格度量单位变化只是一个线性变化。这种相依关系和不同资产在组合中
占的比例也是无关的，因为不同资产的收益反映的是资产随市场地波动，与资产数量
．42．
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没有关系．本文出发点是要洒过组合巾资产比例的有效的调整，使得组合有更高的收
益．又鉴于组合中不同指数的收益分布相关性很小，对组合的调整是一种随机调整，即
根据市场的髓机波动效应进行的调整，因此以下简单的把整合组合的收益看作一个髓
机过程．对其进行分析．
§4 4．22 7n，ct的调整殛组合收益分析
从2006-12-1开始。到2009-3-16为止．根据最终的保值金额，折现到期初，i殳
R=矸XP叶7=0．95×Ao×p-2删噼=0．8971xAo
则Eo=01029m山，Do=山一01029mA0
然后本文假设在投资期初预计无风险资产的年收益为4％，风险资产的最大亏损
为30％，在JI匕预期下，如果rl『场出现最不利的情形，则在投资期末资产总价值为
晶×(1—30％)十风一⋯⋯=01029mAo×(1—30％)+‰一01020mAo)eo⋯2⋯
为了保证期末总资产不小于o95^0，由上式得到m≤34625．
如果在投资期限内，不对"l进行调整，即严格按照固定比例投资组合保险进行投
资，那么不同的m值和。值对应的组台最终收益如下图所示：
po,,fdloId删m＆“
竺塑圭兰丝兰
圈45组合一累积收益率与m．n的关系
poMPo]i02sel“tm＆4
图46组合二累积收益事与m，n的关系
由优化程序分别得到组合一和组合二的最优的ml=34625，al=17和小2=
34625．以=158，在m的限制条件下，组合的收益最大．对于这两个组合，当m和
n取得最优值时时，按每个交易日组合资产的收盘价格计算的组合资产价值，与CPPI
策略下资产组合资产的变化比较如下图所示，
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图4．7：组合资产的价值变化
可以看到，这种改进在一个震荡的行情下，明显提高了资产组合最后的总收益，但
却分享不到风险资产上涨行情带来的超额利润，所以本文一下将对改进a后的策略做
进一步的调整，以期分享风险资产上涨带来的收益．首先给出组合整体的收益率，
．45．
5
2
5
●
5
2
0
∞a一暑II∞u。苗一。ji>暑一事苎言>oIl0J=金当甚aJ基
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rcIu⋯_xlnEfPH
图48-组合收益率
做出它们的直方阿，并分别用正态分布和广义极值分布进行拟合
j?j一蕊缴
圉49．组台一收益牢分布的直方图
∞肿Ⅲo
m∞
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portfolio2
一 }——mtI盯IdataII—GEvfit
· I—normal血}
心．一；
图4．10：组合二收益率分布的直方图
显然两组收益率都有尖峰厚尾的特征。在风险管理中要注重低概率的灾难性损失，
极值分布的重点就在于考虑收益率的尾部特征而不是整个分布，因此被越来越多的应
用到风险管理中去。本文用广义pareto分布来拟合两组收益率分布的尾部，中间部分
的分布函数由Gaussian核平滑方法得到：
．47．
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．48．
1
0．9
0．8
0．7
O．6
O．5
O．4
O．3
O．2
O．1
O
portfolio1
-0．015-0．0I -0．005 0 0．005 0．01 0．015 O．02
return
图4．11：组合一收益率分布的拟合
portfolio2
fetul'n
图4．12：组合二收益率分布的拟合
五善oBq2山
古专cI四D2山
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§4．4．3风险度量
另外本文根据组合收益的QQ图，并用kstest检验的结果，也得到收益率不服从
正态分布，
日
．皂
善
§0．5
兰
兰0
雪
∞-05
口 l
星
§0．J
兰
兰 。
薯
”吨5
图4．13：组合收益的正态检验及自相关系数、平方自相关系数
但是根据收益率的自相关系数和平方自相关系数，自相关系数很快下降于0，而
平方自相关系数没有很快趋于0，说明收益率序列存在ARCH效应．用GARCH—EVT
方法来计算资产组合的VaR：
．49．
p|di"；2=o
8一#=j口
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portfolio2
图4．14：GAR，CH．EVT法计算资产组合的VaR
通过几组测算，根据失败频率检验结果，得到了两个组合在使用GARCH—EVT时
阈值的经验值。组合一VaR测试的失败次数为29次，占5．23％，组合二的失败次数
为28次，占5．04％，都接受计算VaR时置信水平P=95％的假设。
§4．4．4 动态调整放大倍数
在此基础上，本文根据GARCH．EVT方法对VAR的动态计算，来调整m值，使
得资产组合能有更高的收益。关于VaR值与m的关系，或者是VaR值与组合中资产
不同比倒R之间的关系，梁冯珍，钟君，史道济(2007)《尾部相关性对投资组合VaR
的影响分析》中的结果表明，组合的VaR僵也并不完全随着波动率较大的资产在组合
中的占比增大而增大。
鉴于这种不确定性和计算的可行性，本文将优化问题4．2．4做简单变化，将使总资
产中无风险资产的收益等于或者覆盖整个风险资产的VaR变为使总资产中无风险资
产的收益等于或者覆盖整个整个资产的VaR
．50．
AtXeVaR(At)一At≤Dte”一Dt，
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由此式确定了Dt后可以得到最大的Ill值
具体的优化问题为：
Af—D￡m一2砸’
maxLJtc”+乜，e一
。 At—D￡s·￡·m2瓦=百Dt≥A×等 (4．4．1)
R=娲×er∽驯365×(会)口
其中VaR(At)是资产组合A和风险资产毋的一个随机组合的VaR，值，7_l是无
风险资产在第t天的收益率，r’2是风险资产在第￡天的收益率．
§4．4．4．1根据市场状态调整
本文对历史的行情数据做分析，根据风险资产价格的5日、10日、15日、20日均
线及动量线，得到对市场状态的划分如下图所示：
．51·
山东大学硕士学位论文
图4．15：组合资产的市场状态判断
把2006-12—1至2009—3—16日的证券市场走势按整体走势分为三个阶段：
表4．6：证券市场历史行情分段
2006一12一l2007．10．：{()220 上涨
‘2《l(}7．1I)-．{1)2008．Io-923() 下跌
2008-10-92009—3一16105 震荡
本文首先根据每日计算的VaR，值，调整头寸使得组合的最大损失后的资产仍高
于最低要保金额，然后根据不同市场状态下VaR值的变化情况，来进一步修正m值，
调整两种资产的比例．当m增大时，风险资产的比例增大，当m减小时，风险资产的
比例减小。由于本文对同定比例组合保险策略的要保金额的计算进行了调整，风险资
产与无风险资产的比例R和m值没有了线性关系，下图是不同的／D,值和t期不同投
资组合总价值相对应的R值：
图4．16：R与At，m的关系等高线图
然后根据前面划分的三个市场阶段，分别计算按照固定比例组合保险策略，不同
．52．
山东大学硕士学位论文
的m值下组合的收益：
O
_o
-0
图4．17：仇不变时，不同m时组合的收益
可以看出，在上涨的市场下，m值取的越大，组合的收益越高，在下跌的行情中，m
值越大组合的损失也就越大，在震荡的行情中，m值越大，组合的不确定性就越高。另
外m值的增大，相应的资产组合中风险资产的比率也增大j也使得组合的VaR值增
大．所以要在组合VaR值和组合损益中找出来一种平衡关系．
§4．4．4．2根据VaR值进一步调整
经计算，VaR出现极端情况，需要对m进行调整的，组合一有14次，组合二有
17次：
．53·
帕I_C3_p—o>o母_拿gflj
．：
：
∞uJrq￡o>召兰T1昌rIU
∞暑暑2
o>召量T19T1U
山东大学硕士学位论文
g
，
苗
porlfolio1
portfolio2
图4．18：m调整后，投资组合的收益率
经过两次调整之后，和CPPI策略下组合的收益做比较如下：
．54．
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图4．19：不同策略下投资组合的收益率比较
综上，通过动态调整放大倍数m和VAR值出现极端情况下的处理，本文的方法
明显提高了固定比率组合保险策略的收益．
。55．
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第五章 全文总结
由于金融市场中数据的厚尾特性，应用极值理论往往能够更好的反映数据的本来
面貌；而应用Copula理论则可在纷繁芜杂的金融市场个体中探寻本质的相关关系，得
到事物问的本质联系，从而能够站在较高的视角上观察和分析问题。本文说明了极值
及Copula理论在金融市场中应用的重要性，同时给出了应用极值及Copula理论的
VaR计算方法，并说明了由此进行计算较之其它方法的优越性。在对cI，l，I策略的优
化改进中，对最低要保金额的新的设定，提高了策略操作的稳健性；对in的调整遵循
了以VaR计算进行风险控制的原则，达到了在稳健操作基础上提高投资收益的目的，
具有较强的实用价值。
由于时间仓促，本文仍有多方面工作有待改进。首先，在动态调整m取值过程
中多次优化问题，进一步优化程序，希望针对较复杂的组合仍能快速得到优化结果；
其次，对CPPI策略的优化，欠缺理论卜对其有效性的精准证明；再次，极值及相
关性理论可在金融中有更多的应用，如对导致此次金融危机的次级贷金融衍生产品
CDO、CDS的研究探讨；最后，应在实际应用的同时，进一步寻求理论的发展，如
ZhengjunZhang(2()08)提出了一种新的商相关系数，包括针对尾部的商相关系数和
在此基础上提出的新的copula结构，并在金融计算中得到了较好的结果．
．56．
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附录
风险资产价格动量 对于一个风险资产，选取它们的成交价格数据
s(t—i)，i=0，1，2，3，⋯，
再选取一组kl，k2，‰，‰，本文选取5，10，15，20，按照下面方法生成平均价格
瑚)：垒等型
然后计算陋(t)，尬(￡)，必∽，鹏(￡)，尬(￡)1的均值M(t)和标准差S(￡)，用
㈣=等
来衡量均线系统的离散程度，本文将州：垒掣
称为风险资产价格的动量值．
．57．
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．59．
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致 谢
在本文定稿、付梓之际，我要衷心感谢我的导师魏刚教授，感谢魏老师在近-三年
的时间里在科学的道路卜给予我的悉心培养和教导，感谢魏老师对我论文的耐心指导。
魏老师研究问题具有独特的视角、治学严谨、知识广博，教学指导深入浅出，对待学生
亲切和蔼。魏老师对待科研热情充满探索之心，对待生活积极充满仁爱之心，这种热
情积极的精神，不仅使我在硕士研究生_三年受益匪浅，且定会时刻激励我在今后的生
活工作中保持热忱乐观之情。对魏老师的辛勤付出，谨在此致以深深的敬意和感谢!
有幸在彭实戈院士领导下的金融基地完成我的硕士学业，衷心感谢彭实戈院士。
他广博而精深的知识，敏锐的洞察力和独到的见解让我深深的折服。衷心感谢金融基
地各位老师，感谢他们在我学习生活中给予的热情指导和无私帮助。
感谢我的同窗好友邵伟、贾淑芹、祁涛、李敏、常秦等，感谢他们一直以来给我的
热情帮助，本文很多内容都来源于和他们共同的学习探讨，感谢他们在我论文写作的
过程中给予的无私帮助。感谢王晓贞在本文的成文过程中给予的关心和帮助，感谢他
在数据整理、处理等多方面提供的帮助和指点．
感谢数学学院硕士研究生2006级的全体同学，三年的同学时光让我从他们身上
学到了许多宝贵的品质，并感谢他们在学业和生活上给予我的帮助。
特别感谢我的父母，他们对我的帮助、理解和爱护是我人生道路上的路标和动力；
深深感谢我的朋友们，他们给予我无微不至的关怀，激励着我不断的努力和前进。
．60．
封面
文摘
英文文摘
声明
第一章引言
§极值理论的历史及应用
§ Copula理论的历史与应用
§优化CPPI策略的现实意义及投资组合保险的历史
§本文的目标与安排
§本文的目标
§本文的安排
第二章极值及Copula理论概述
§极值理论的基本数学描述
§极值分布的类型
§ 广义pareto分布
§ Coupla基本数学描述
§ Copula基本概念
§ Copula类
§相依性
§ Copula参数估计
第三章极值及Copula理论在VaR计算中的应用
§ VaR的定义
§极值理论在单因子VaR计算中的应用
§传统计算方法
§ GARCH模型计算VaR
§用极值分布计算VaR
§ Copula在组合VaR计算中的应用
§优化投资组合选取
§ Copula在固定投资组合的VaR计算中的应用
§ VaR的回测
§ VaR的局限性
第四章基于VaR的CPPI策略优化
§固定比例组合保险策略简介
§固定比例组合保险策略的缺陷及改进
§ CPPI策略缺陷
§ CPPI策略改进
§具体的改进方法
§数据模拟分析
§模拟组合的构建
§ m与a的选取
§动态调整放大倍数
§实证分析
§组合选取
§组合收益分析
§ 风险度量
§ 动态调整放大倍数
第五章全文总结
附录
参考文献
致谢
