不同存贷利率下保险盈余的最优投资问题
摘 要
随着保险公司投资风险资产比例的不断提高，人们对保险盈余的最优投资策略问题
的研究也越来越多．本文主要讨论在不同存贷利率下保险盈余的最优投资策略问题．
本文假设保险人的投资选择是存款，贷款和股票交易，从贷款利率高于存款利率的
实际情况出发，运用随机分析理论，得到存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系下
的保险人的最优投资策略．
本文共分三章．第一章主要介绍了保险盈余投资的研究背景，以及本文的研究意义
和目的．第二章介绍了本文中的模型的主要假设以及在下文中用到的两个引理．为下文
的理论证明打下了基础．第三章重点给出了存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系
的情况下，保险人的的最优投资策略，并对这些结果给出了严格的证明．
关键词z不同存贷款利率，最优投资策略，随机风险过程，随机分析理论．
ABSTRACT
AsaiI塔urercaninvestmoreoftheir剐粥etstorisk翻jset，there御．eInorer毯Ie踟．chers
whod0r铅earc：honi础mrerinⅥ赋nleDt．Th遗paperdiscl塔∞dtheopti珈础in似瑚lent
polici锶foraninsIlllerf如ingdi融n七iIlterestra土esfor醐肮ngandborro丽ng．
Theinsurer’8choiceon碱mentcanbesavings，10anandstocktra出ng．According
tothefactthattheintere8trateonloani8higherthantheoneon跗、，in98，we璐ethe
theor)rofstochastican址ysistoaucquiretheoptimalpolicie8fbrthein8urer．
Thi8p印erhastllreech印ters．The丘rstchapteri】酏roducethehisto巧0fthei璐urer
inV馏tmenttheo巧andtheme锄in肇andpurpose8ofthispaper．Thesecondchapter
Introducethekeya踯unlption8觚d慨leInm谢hi6harev明了u∞凡lbelow．Chapter
廿lreediscllssedtheopti叫policie8fbrtheinsurerunderthe鼬出珏brentsitua．tions．
nrthermore，wehayestrictlyprovedtheseconclusio璐areright．
Keywords：di行ereIlt缅艇Ir簋trat鹄fbrs砒gandborroWing，theopt．m1越pohci鹪，
randomriskproc镫s，thetheoryof8tocih8sticana嫡8．
11l
第一节 引言 华东师范大学硕士论文1
第一节 引言
§1．1背景介绍
保险公司的利润来源包括两方面：承保利润和投资利润．从国际保险业经营趋势来
看，业务竞争日趋激烈，承保业务范围越来越宽，承保责任不断扩大，保险费率常常被
压至成本线以下，其直接后果必然带来保险公司承保业务盈利甚少，同时，投资收益占
保险利润的比例也相应的增大．在06年和07年的大牛市里，保险投资给保险公司带去
了非常可观的收入．从去年7月开始，保监会允许有资格的保险公司直接投资A股股票
的比例由原来的不超过上年末总资产的5％调到10％随着保险公司投资风险资产比例
的提高。人们对保险盈余的最优投资策略问题的研究也越来越多．
较早研究这个问题的是Br嘶mej(1995)．他考虑的模型是这样的t假设风险资本模型
由经典的Black-Shore模型刻画，保险公司的风险过程是—个带漂移的Br鲫n运动，如
何选择投资策略使保险公司的破产概率最小．他得出的结果是s在没有负债约束的条件
下，不管公司的余额为多少，最优的投资策略是在风险市场上投资定量的资金．Hipp和
Pl哪(2000)考虑了另外的情形：风险市场模型不变，风险过程由复合泊松过程代替，
他同样求出了一个最优策略，并且给出了解的存在性．上述模型都是假设利率为0．Liu
和Ⅵmg(2004)在Hipp和Plum(2000)的模型中加入了非零的利率，但是得不到
封闭解．在以后的研究中，人们通常用随机理论来研究保险盈余的最优投资策略问题．
、fj叽g和Zhang(2005)用—个带跳的扩散过程来描述风险过程，讨论了存贷利率相同
的情况下的最优投资策略问题．
§1．2本文研究的意义和目的
本文假设保险人的财富为一个随机风险过程．锣|l如，对于保险公司，这个风险过程
表示保险公司累积所得保险费减去累计财产赔偿量的余额．市场上有一种风险资产(如
股票)，保险人投资就是用自己所有的财富(包括贷款)购买股票或是银行储蓄．于是，
保险人的财富表现为一个随机过程，当财富低于某个法定水平n时，即宣告破产．由于
第一节 引言 华东师范大学硕士论文2
保险人存在着随机风险，破产总是有可能的．任取一个大于口的值6，设保险人的初始
财富为z缸<z<6)，本文在如下意义下研究保险人的最优投资策略，即在保险人的财
富达到水平n之前增至6的概率取最大值的策略．Brown(1997)也研究过类似的问题，
但其假设存贷利率相同，并且假设公司财富为时间的线性函数．诚然，存贷利率相同的
，
假设给问题的讨论带来了方便，但与实际不符．为此，本文假设贷款利率高于存款利率，
讨论了不同存贷利率下保险盈余的最优投资策略问题．同时假设保险人的财富为一个随
机风险过程．本文运用随机分析理论，得到存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系
。下的保险人的最优投资策略．
第二节 模型假设 华东师范大学硕士论文3
第二节 模型假设
§2．1模型的假设
假设一个保险人的财富满足以下随机过程
． 阢=c+讲+p以¨，t≥o，
其中c∈R为常数；p为风险溢价，满足p>o；{耐¨，亡≥o)是一个标准的布朗运
资本市场上无风险资产的价格满足以下过程
鲁=川叫删， z咄 (2)
其中r为无风险存款利率，r+J为无风险贷款利率，7．≥o，6≥o，J(·)为示性函
Jcz，={：：二三：
假设保险人可以投资风险资产(股票)．为了简便起见，假设风险资产(股票)的价
警叫md州21， (3)
其中盯≥o， {(耐11，叫2’)：亡≥o>为二维的标准几何布朗运动，相关系数为p，
假设保险人投资于风险资产的资金为，，在亡时刻，投资于风险资产的资金为五，
，兰．【^)∈D，D为可控过程，即譬厅出<oo，a．8．，对任意T<o。．
用《表示保险人在t时刻的财富，由(1)，(2)，(3)可知 ．
反《：五(pd≠+矿d耐2’)+(霹一^)p+6J(五一可)】疵+p如+pd叫n，t≥o．
矗《2(p+哆一r一6j‘t_《)】五+p+6j(五一《)】科)蹴(4)
+pd叫1’+盯五d叫劭，亡≥0．
第二节 模型假设 华东师范大学硕士论文4
由于{(叫¨，以2’)：t≥o}为一个相关的二维标准布朗运动，相关系数为p，则咒的
二次变差满足
d<x>t=(盯2露+2J町卢五+p2)班，
因此五满足
∥夕(亡，。)=吼(亡，z)+{p+眦一r一6·J(五一z)】五+P+6·，(五一z)】z)吼(亡，z)，¨
laJ
+{(ar2露+2妒p^+伊)鲰茁@，z)．
令衫表示第一次到达z的时间，则
衫=inf{亡>o：可=名)，
对任意的口，6，满足n<6，令下，=min{《，0}，我们的目标是在达到水平口之前
使达到6的概率最大，其中O≤口<z<6≤+oo．令
y，(z)=P(义二=6j‰=z)
其中y，(o)=0，∥(6)=1，y，(z)表示在到达水平口之前到达6的概率．因此，如
果存在广∈D使得
y，‘(功=supy，(。)，．
，∈D
存在，则广为最优投资策略．如果不存在广∈D使得
y(z)=8upy，(z)．
J∈D
则最优投资策略不存在．
§2．2两个引理的证明
吩，=锌篇，
第二节 模型假设 华东师范大学硕士论文5
脚，=一，则
由于
且
因此
K@)=
1
1+
yp)=
1+
／e—cm)+￡(。)】幽如
o<号r—————一
／e—cfGo)+c(J)J幽咖
1
<
一∥椭出如’
y(z)≤磁(z)．
‘
即当G(s)取最大值时y(z)取最大值，对任意s∈(口，功．证毕．
引理2。令出，：兰坐正萼霉亟
第二节 模型假设 华东师范大学硕士论文6
则当z∈(o，州时，夕(名)递减．
证明：对9(z)求导，得
当z∈(o，川时，夕(z)的导数<o，故9(名)递减．
第三节 主要结论
第三节 主要结论
华东师范大学硕士论文7
假设口<z<6，我们的目标是使保险人在到达水平口之前到达6的概率最大，下
面讨论最优投资策略问题．
本文的主要结论是。
定理：假设n<z<6，要使保险人在达到水平口之前达到水平6的概率最大，最优
投资策略为：
1．当p>r+6时，
I魂，s<s1，
，+(8)={8，8l冬s<so'
其中
2套，s>80．
一(p+乎)+、／∞一学)2+(1一矿)(旷一r2)(譬)2
S02=————————————二。————————■—————————————————一．弘十r
一囟+Q学】+~／p一譬)2+(1一矿)她2一(r+6)z】(譬)2
S12———————————————__r_—————————————=—————————————————————一．‘
正上+r+6
沈：一旦±!+
p一，-
魂=一嘴+p—r—O
2．当p=r+6时，
(a)如果p≥0，贝9
(b)如果JD<0。则
，。(8)=
s≤一譬，
一譬<8≤so，
S>SO
卯
鲫
<一
>
S
S
乳
孙，●●●，、●【
=
、l，S，I、
事
，，
鲤口
岛
‰
碰口
岛
瓠
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文8
其中
施=一半+
3．当r<p<r+6时，
(a)当(譬)2p+6)2一矿≥o且p1≤p≤砌时，
(b)当
或者
且
或
如果so<sl，则
如果sl<so，则
其中
施=一
，+(s)=
厂(s)=
(知
(知
㈠羔
+石)2一矿<o
+6)2一矿≥o
p>晚
p<见
勾，
僦z(施，钩)，
魂，
，‘(s)=
p+7．8
弘一r
+
s≤so，
印<S<Sl，
8≥sl
s≤8l，
Sl<3<S0，
s≥so
勾
岛
锪，I_l-lJ(1lIl【
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文9
m2
见2
p弘a—O
p恤O七o
pp+6)2
p(r+6)2
4．当p=r时，
(a)如果(鲁)2扣+6)2一矿≥o且船≤p≤m，则
(b)当
或者
且
或
时。
如果p≥0，则
如果pSO，则
广cs，={：譬’三三二茎：
(和r+
(知H
，’(s)=
6)2一矿<o
占)2一矿≥o
p≥以
p<伪
，·(s)：{s’
魂l，
s2sl，
S<S1．
s≥sl，
S<S1．
丝o
b
一
魂
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文10
其中
一[学一
．矽口一仃、／6(2r+艿)【(譬)2p+6)2一矿】船2————7F啊r—一
pr盯+盯、／6(2r+6)f(譬)2(r+J)2一p2】纵2————7F啊F—一
证明；当保险人在达到水平口之前达到6的概率最大时，
sup∥y(z)=o (6)
|
?j
其中y(口)=0，y(6)=1．上式等价于
8up{加+以一，．一6·J(五一z))五+(r+6·J(五一。))叫K(z)
，
’‘
(7)
’ +§(盯2詹+2缈p^+萨)％(z))=o口<$<6．
设，，(z)为最优投资策略，把广(z)带入上式得
{p+阻一九(z)】，‘(z)+J『l(z)z，K(。)+三(矿2，’2(z)+2舻卢，。扛)+俨)％(z)=o，
其中
九(z)=r+万·J(．厂’(z)一z)
由于一l<p<l且p>0。则
盯2【，’(z)】2+俨+2p盯∥，+(z)>o，
故
告叫G(删㈡，
其中 G∽垆山竺专筹器糍掣．
公式(8)从。到z积分两次得
忡旧·+饧Z霉唧<一2Z可刚ns灿卜
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文1l
{三二兰乏：三三{二≠孑三：：；二三0：
解得
把cl，c2带入(9)得m，=◆．
这样我们就可以寻找最优投资策略广(z)，使y(z)达到最大值．由引理l可知对于
任意s∈(口，z)，求y(z)的最大值等价于求G(广(s)，5)的最大值．
为了求广(s)使G(广(s)，s)达到最大值，我们对G(名，8)关于z求导，由
其中
得
G∽s)=山等导皆
^cz—s，兰r+6·，@一s，={r二反
蝴，：型型型塑篙等嵩笋掣型．
即 G如's)一两百南眦一， (1。)
砰瓦；I例一缓
墨
=
l
2
俐
粉
第三节 主要结论
(p一7’)名2+20+r8)名一(p—r)
(p—r一万)名2+2洳+(r+6)s】z一(p—r一
华东师范大学硕士论文12
2筇0+7．s)
仃
’
2+鲨虫±!!±型，
盯
z≤s，
Z>S．
然后我们用公式(10)去寻找广(s)使G(广(s)，s)达到最大值．可以分成两步；首先
在广(8)≤粤和广(s)>s两种情况下分别求出最大值疗(s)和龙(s)，然后取广(s)=
maX{片(s)，E(s))，则广(s)为最优投资策略．下面分四种情况讨论．
1．肛>r+6的情况
(i)若广(8)≤s，只需讨论G(z，s)使z≤s．
令G：(z，s)=o，由(10)得两根·
魂：一堕竺一
p—r
勿：一堡±竺+
p—r
很明显，G(z)在名∈(一oo，名l】和阮，+oo)两区间递减，在名∈(魂，勿)递增．G(z，s)
的形状如图1所示．
a翰，
图1．
，●●-l，、__-I、
=曲
中
∽
其
日
／
尸瓠
：＼‰：．
一 一}
’、、。‘L．矿矿
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文13
由于
且
可得
G(魂)<G(一oo)=0=G(+oo)<G(勿)，
，+(s)≤s，
片(s)=min{勿，s}s∈(o，6)．
即
r
舯)：{s’s鲕，
【勿，s>红
舯)；{毛外。s0’
【沈，s>so·其中——
一(p+乎)+、／(p一学)2+(1一矿)(矿一r2)(譬)2鼬2———————]再F—————一’p十r
鲫∽㈡-{纛，置lI仃2舞+2印盯勿+伊’一叫’
约=一带一√(带一譬)2+cl一矿，(譬)2
魂=一带+√(带一譬)2+cl一矿，(譬)2
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文14
且
则
即
因此
其中
因此
故
因此
Sl2
忍<0
，’(s)>s，
艿(s)=maX{魂，s)s∈(口，6)．
片(s)=
艿(s)
r
J铂，s≤盔，
1
l s， s>魂，
、
r
I魂，s冬sl，
≮
l s， s>暑l，
、
一曲+华】+知j可再j面i丽
黜㈤㈡={
弘+r+6
p+(p—r一6)魂+p+6)8
矿磕+2p80≈t+萨
p七讳s
盯2s2+2印口s+伊’
， s≤sl，
S>S1．
(iii)比较G(疗(s)，s)和G(疗(s)，s)得出最优投资策略广(s)．
由引理l可得，so>s1．
如果s<sl，由于
G(艿(s)，s)皇G(魂，s)≥G(s，s)=G(片(s)，s)
G(，’(s)，s)=
，‘(s)=忽
p+(肛一r一6)魂+p+6)s
盯2麓+2∥盯z4+p2
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文15
且
因此
且
(b)如果31≤s<so，易得
，’(s)=8
G(删's)=孬焉器万．
(c)如果s>印，由于
G(片(s)，s)=G(勿，s)≥G(s，s)=G(龙(s)，8)
，‘(s)=纫
Gc州一=蓦‰笼善．
聊㈡：r==一=m，l 2Ep+(r+6)s】z+竺竺竺』乇}旦，名>3．
％=降一
匈=降+
很明显，G(名)在名∈(一∞，绍】和‰，+∞)上递减，在z∈(筋，孙)上递增．G(z，s)的
形状如图1．由于
G(％)<G(一。o)=o=G(+Oo)<G(施)，
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文16
且
因此
即
因此
其中
因此
S02
厂(s)≤粤，
片(s)=min{翔，s’s∈(口，6)．
疗(s)=
s， s≤施，
施，S>铂．
一㈠冀
一(p+乎)+
删∽㈡={
p+，．
p+(r+艿)8
纽)若广(s)>s，只需研究G(名，s)使名>s．
令G；(名，s)=o，由(10)和(11)得
p6名=一L．
口
8≤so，
8>S0，
很明显G(z)在z∈(一oo，一譬】递增，在名∈(一譬，+oo)上递减．由于
因此
即
，’(s)>8，
舯，=max{-譬，s)
龙(s)=
8∈(口，6)．
一譬，s<一警，
8， s≥一譬．
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文17
因此
故
且
且
咖∽㈡={
p+(r+回s
(1一矿)俨’
p+(r+6)s
矿2。2+2印仃s+伊’
s<一譬，
s≥一譬．
(iii)比较G(片(8)，s)和G(龙(s)，s)，得出最优投资策略广(s)．
(a)如果J口≥o，则一譬≤o，因此
G(龙(s)，s)
p+(r+6)s
矿32+2p80s+萨’
，‘(s)
叫谗小，={
r
I s， s≤so
≮
l硒，s>80
～
p+(r+6)s
口2罐+2印盯孙+伊’
(b)如果p<o，则一譬<so且一譬>o，因此o<
，’(8)=
嘲∽㈡={
3．r<p<r+6的情况
8>S0
p+(r+6)s
≥}碑象’
盯2罐+2印矿铂+伊’
(i)若广(s)≤s，只需研究G(z，s)使zSs．
令G：(名，s)=0，由(10)得两根
勿=一
p+rs
弘～r
8>0．
s≤so，
8≤一譬，
一譬<8≤so．口 一”
S>S0．
故
，
即
印
<
◇
粤
0
，
S
丝口
<一
一
8
<一
<
s
匝矿一
碰矿
毛．
‰
．
，IlIIl，、lI●【
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文18
施：一堕竺+
p—r
很明显，G(z)在名∈(一O。，勿】和‰，+o。)上递减，在z∈(幻，施)上递增．G(2，s)的
形状如图l。由于
G(勿)<G(一o。)=0=G(+∞)<G(施)，
且
因此
即
因此
其中
因此
勿<0
，’(s)≤3，
片(s)=min{施，s)s∈(口，6)．
一㈠羔
一㈠羔
一(p+譬)+
f
G(疗(s)，s){
【
p+7'
p+ps
毋七2p808七铲’
+(p一7')施+rs
磕+2poo魂七铲
(ii)若广(s)>s，只需研究G(z，s)使名>8．
令G。(z，s)=o，由(10)得两根
约=喾等一
s≤so，
，S>SO，
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文19
．， p+(r+6)s。
铀5了iFf+，．十O一正‘
很明显，G(z)在z∈(一oo，幻】和【名lo，+oo)递增，在z∈(翔，zlo)上递减．G(z，s)的形
状如图2．
由于
且
礴鼢l
。螺夕矿、
；
＼ ∥／。影?
沁≯
图2．
G(勾)>G(一oo)=o=G(十oo)>G(魂o)，
其中G(糌，s)=o，因此
即
易得
，’(s)>s
s<翌±呸±坐
r+6一p
劈(s)=m觚{为，s)s∈(口，6)，
删=㈠兰
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文20
故
且
(a)当(譬)2(r+6)2一矿≥o且m≤p≤砌时。矗≥匆．
其中
(b)当
或者
且
或
其中
因此
S12
m2
纯=
p}上a—o
p讳O+口
pp+6)2
p(7’+6)2
疗(s)=s，
G(肌)Is)=丽卷等帝
(鲁)2(r+艿)2一p2<o
(鲁)2(r+6)2一矿≥o
p>JD2
p<pl
一㈠三
一p+华)+知j歹而j瓦i再否丽
f
G(定(s)，s){
【
p+t+6
p+弘8
盯2s2+2J印口s+p2’
s≥sI，
掣缘高警，s<s。，口2露+2印盯勾+俨’。～工’
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文21
因此
且
或者
且
或
则
(iii)比较G(片(s)，s)和G(疗(s)，8)，得出最优投资策略广(s)．
(a)如果(譬)2p+J)2一矿≥o且见≤p≤您，
(b)如果
如果so<sl，则
片(s)=s
，+(s)=
f
G(，+(s)，s){
【
s， s≤so，
铂，S>S0．
p+ps
a2毋+2p80s+伊1
s≤so，
筹‰蔫杀，sⅪ。，盯2罐+2pp盯铂+∥2’⋯U’
(等)2(r+驴一矿<o
(g)2(r+6)2一矿≥o
p>仇
p<m
f
肿)：{3’s>81'
【约，s<81．
，’(s)=
翔，
mnz(施，约)，
施，
s≤so，
S0<S<Sl，
s≥sl
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文22
因此
刚小小十zc
如果s1<so，则
且
p+(p—r一6)为+p+6)8
p讹一r磁{专霹窍，鼻(p’叫约棚
盯2名+2pp盯约十∥2’矿2瑶+2pp盯翘+伊
p+(肛一r)施+rs
础洳小，={
4．p=r的情况．
日cz，s，={一622+
，+(s)
盯2罐+2矽盯魂+伊’
8≤s1，
S1<S<SO，
s≥so
p+(p—r一6)为+p+6)s
盯2露+2印口绚+p2
p+ps
萨毋+2p8a8+铲’
p十【p—rJ施十rs
(i)若，’(s)≤s，只需研究G(名，s)使名≤s．
令G。(z，s)=o，由(10)和(12)得两根
p8Z=一生．
口
s≤sl’
8≤so，
)， so<s<s1．
s≥s1．
8l<S<SO．
8≥80．
彳≤8，
，名>S．
很明显G(名)在z∈(一o。，一明递增，在z∈(一譬，+oo)上递减．由于
因此
即
，。(s)≤s，
舯，=血n愕，s>
片(s)=
一譬，8>
s， s≤
s∈(口，6)．
一坦
盯，
一鲤
矿
(12)
匆
毋
彩、---II_J(1_--L
删
“i
^I型妻l舻咖啦¨件
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文23
因此
嘟cs?{
p+rs
(1一矿)伊’
p+rs
盯2s2+2印盯s+伊’
(ii)如果广(s)≥s，只需研究G(彳，s)使z≥s．
令G。(名，s)=0，由(10)和(12)可得两根
一[学
铀-[学+
s>一譬，
s≤一譬．
很明显，G(z)在z∈(一oo，忽1】和【名12，+oo)上递增，在名∈(zll，名12)上递减．G(z，s)
的形状如图2．由于
且
G(魂1)>G(一o。)=o=G(+oo)>G(z12)，
其中G(芈)=o，因此
即
s<翌±(：±12兰
6
龙(s)=maX{忽l，s)
劈(s)
s∈(o，6)．
8， s≥魂l，
魂I，s<魂1．
(a)如果(譬)2(r+6)2一矿≥o且册≤p≤以时，s2z11．
其中
伪=
m=
Wo—o。
≯o七。
卢p+占)2
∥(r+6)2
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文24
故
且
(b)如果
或者
且
或
其中
因此
S12
层(s)=8，
G(肿)，s)=孬老器万
(知
(知r
片(8)=
+6)2一矿<o
+6)2一矿≥o
>
<
8， s≥sl，
盈l，S<81．
一白+学)+知I万面i而i再雨面
嘲∽㈡{
2r+6
p+弘s
萨乎+2p80s+萨’
s之sl，
巍％糍篇，s<钆盯2名备+2印矿魂1+伊’。、。l’
(iii)比较G(疗(s)，s)和G(龙(s)，s)，得出最优投资策略，．(s)．
(a)如果(鲁)2p+艿)2一矿≥o且伪≤p≤m，则
片(s)=s
以
船
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文25
因此
且
或者
且
或
则
(b)如果
八班伊蓦
f
G(厂(s)’曲t
如果p≥o，则一譬so，故
且
p+rs
(1一JD2)伊’
p+rs
盯2驴+2f猡盯s+p2’
(知+
(知+
尼(s)
，’(s)
f
G(，+(s)，s){
【
6)2一矿<o
6)2一矿≥o
p>m
<胁
s， 8：三s1，
魂1，s<s1．
一譬，s≥s1，J’。：-。1，
魂l， S<s1．
p+rs
(1一矿)p2’
s≥一譬，
8≤一譬，
s≤so，
巍瓮器，s独，仃2名}l+2印盯z11+俨’。二叫’
p、-●．、、●_，
f【
第三节 主要结论 华东师范大学硕士论文26
如果p≤o，则一譬≥8l，故
因此
且
^木(s)=s
，+(s)=
f
G(，+(s)，s){
l
s， s≥sl，
魂l，S<81．
p+弘s
盯2s2+2筇玎s+伊’
p一6名11+(r—J)s
仃2z}1+2印盯z11+伊’
s≥3l，
s≤sl，
结束语 华东师范大学硕士论文27
结束语
本文假设保险人的投资选择是存款，贷款和股票交易．从贷款利率高于存款利率的
实际情况出发，运用随机分析理论，得到存贷款利率和股票投资收益在四种不同关系下
的投资者的最优投资策略．
本文只介绍了无约束的情况，我们可以假设投资者允许借款的最高上限是九(z)，假
设保险人不允许卖空，这一种情况与无约束情况的讨论方法类似，只是多了—个约束条
件
，‘(z)∈【o，s+九(s)】
本文没有讨论有约束的情况，有约束的情况和无约束的情况虽然解决问题的方法是一样
的，但有约束的情况比无约束的情况要复杂许多．有待以后继续讨论．
参考文献 华东师范大学硕士论文28
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(4)。22—28．
致 谢 华东师范大学硕士论文30
致 谢
在华东师范大学三年的学习生活就要结束了，在这期间得到了统计系吴述金副教授、
张日权教授、王文胜教授、汪荣明教授、濮晓龙教授、汤银才教授等老师的关心和帮助，
在此表示衷心的感谢．
特别要感谢的是我的导师吴述金老师，他诲人不倦的高尚师德，深厚的学术造诣和
严谨的治学态度是我毕生敬仰和学习的榜样．在毕业论文的撰写过程中，从最初的选题
到成文、修改直到最终的定稿，吴老师都给予了我无微不至的关怀和指导．虽然吴老师
人在加拿大，但通过Email和MSN等方式，吴老师给与了我耐心的指导．他高尚的师
德和人格，我将受益终生．心中感激之情，难以言表．
同时也要向我的同学表示感谢，他们在学习和生活上都给予了我无私的帮助，大家
相互切磋、交流、互相鼓励、互相进步，使彼此在学习上有了很大的提高．
最后还要感谢我的父母和家人多年来对我的无私奉献以及给予我的理解、鼓励和支
持，使得我得以顺利完成学业．
封面
文摘
英文文摘
声明
第一节 引言
§ 背景介绍
§ 本文研究的意义和目的
第二节模型假设
§ 模型的假设
§ 两个引理的证明
第三节主要结论
结束语
参考文献
致谢
