Vol. 26 No. 3
Mar. 2010
第 26卷 第 3期
2010年 3月
赤 峰 学 院 学 报（自 然 科 学 版）
Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
仓库容量有限允许缺货条件下的随机存储模型
霍丽娜
（榆林学院 数学系，陕西 榆林 719000）
摘 要：对允许缺货的随机存储问题，建立了仓库容量有限并可以租赁仓库的存储模型，给出了模型
的一般算法，较好地解决了多种商品在允许缺货条件下的最佳订货点的确定问题.
关键词：随机存贮；存储销售周期；惩罚函数法
中图分类号：O227文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2010）03- 0008- 03
1 问题的提出
企业生产需定期购进各种原料，商家销售要成
批地购进各种商品.无论是原料或商品，都存在如
何存贮的问题.库存冗余则存贮费用较高，库存短
缺则无法满足需求，影响利润，所以许多商家为了
满足市场的随机大量需求，采用租借别人仓库的方
法，但是一般租借别人仓库都比使用自己仓库的费
用高.因此，在这种情况下的实际的生产过程中，采
用有效的库存管理方法将起到调节供需余缺、保证
生产正常进行的作用，从而有力的降低不利损耗，
提高企业效益.显然，在市场经济蓬勃发展的今天，
研究这样一个可以服务广大工商界的问题的重要
性不容忽视.
2 符号说明
T 商品存贮销售周期
ki 第i种商品的库存下降速率（销售速率）
E(X) 供货时间的数学期望
s 某种商品在一个周期T中的总损失费用
S m种商品在一个周期内的总损失费用
Z 商品在一段时期内的总损失费用
t0 某一周期T的开始时刻
t1 库存商品量L售完时刻
t2 所订商品到位时刻
t3 租借仓库中商品售完时刻
t4 自己仓库中商品库存量降至L的时刻
Q0i 第 i种商品在自己仓库中的库存体积容
量
Qi 第i种商品被补充到的固定体积容量
3 模型基本假设
（1）存贮时先将商品存入自己的仓库，剩余的
存入租借的仓库.
（2）出售时先出售租借仓库中的商品，待其被
销售完，再销售存在自己仓库中的商品.
（3）假设仓库开始库存第i种商品数量为Li.
（4）当商品库存下降速率一定时，任一阶段中
商品的库存量可取其中间值.
（5）商品供货时间X虽然是随机的，但因其上
下波动不大，故可采用其数学期望E(X)作为供货时
间进行分析.
4 模型建立与求解
商家存贮销售的商品为m种，就某种商品i而
言，其循环过程中的损失费用分析如下：商品的存
贮与销售是一个周期的循环过程，故可以就其中一
个周期进行分析，商家商品的库存量变化情况如图
（1）所示.现将商品的周转周期T分为几个不同的
图1
8- -
阶段，因各阶段库存商品数量的变化规律不同而导
致损失费用变化规律不同，故首先对每个阶段进行
分析，分别得出损失费用随商品数量变化的规律，
以期通过各阶段损失费用的累加获得整个商品周
转周期内损失费用相对商品数量变化的函数.将m
种商品中每一种商品采取同样方法进行分析，然后
把所有商品的损失费累加即可求得m种商品在一
个存储周期存贮销售过程中总的损失费用[1,2,3].
由于商品的销售以体积(rivi)的方式减少，为
了方便表述，在此依据上面的思路，定义第 种商
品的库存减少速率（销售）为ki，
ki=rivi （1）
因第i种商品的库存减少速率ki恒定，且商
家在库存降至Li时开始订货，故商品的存贮与销
售周期： T=
Q-
m
i = 1
ΣLi
m
i = 1
Σki
+E(X) (2)
待货阶段：此阶段商家库存第i种商品数量
为Li,为保证正常销售，商家开始订货，但所订货物
不能立即到货，故此阶段中，商家卖出自己库存商
品，其间损失为商品在自己仓库中的存贮费用：
Li2
2ki
c2i (3)
缺货阶段：此阶段中商家库存商品已售完，
预定商品尚未到货，因此，商家此时的损失费用为
缺货损失费：
ki[(E(X)-
Li
ki
]2
2
c4i (4)
货物库存充盈阶段：在此阶段，商家预订商
品已经到货，分别存入自己的仓库和租借的仓库，
销售开始正常进行，因要节省费用，故租借仓库中
的商品优先出售，至租借仓库中商品售完.此时，商
家的损失费用为商品在仓库中的存贮费用.
租借仓库存贮费：(Qi-Q0i)
2
2ki
c3i （5）
卖租借仓库中商品时自己仓库的存贮费用：
Q0i(Qi-Q0i)
ki
c2i （6）
准备订货阶段：在此阶段，租借仓库中的商
品已出售完毕，开始出售自己仓库中所存商品，并
在库存降至Li时开始订货，而后进入待货阶段，开
始新的循环周期.此阶段中，商家的损失费用为商
品在自己仓库中存贮的费用为：
(Q0i-Li)2
2ki
c2i+
Li(Q0i-Li)
ki
c2i （7）
在一个周期中的损失费用为各阶段损失费
用的累加.一个周期内的总损失费用：
si=
Li
2ki
c2i+
ki[(E(X)-
Li
ki
]2
2
c4i+
(Qi-Q0i)2
2ki
c3i
+Q0i(Qi-Q0i)
ki
c2i+
(Q0i-Li)2
2ki
c2i+
Li(Q0i-Li)
ki
c2i （8）
因商家现有m种商品，所以在周期T内总
的损失费用为：
S=
m
i = 1
Σsi （9）
现同样以一段时期内商家总损失费用作为
最终研究对象，设这一时期为整体1，则总体损失
费用为：
Z=S
T
（10）
模型的建立
在此将m种商品在一段时间内的总体损失费
用最小作为追求的目标，建立模型.
目标函数：Min Z
.
Q0=
m
i = 1
ΣQ0i
Q=
m
i = 1
ΣQi
Qi,Q0i,si,Li≥0 (i=1,2,3,L,m
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
ΣΣ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
ΣΣ
Σ )
模型求解
此模型为有等式约束的极值问题，根据优化理
论[4]，现采用两种方法对模型进行求解，以保证求解
正确性.
拉格朗日乘数法求解
设:g1(x)=Q0=
6
i = 4
Σxi， g2(x)=Q-
3
i = 1
Σxi.
引入拉格朗日函数
Lg(Q,L,λ)=
m
i = 1
Σ1
T
si+
n
i = 1
Σλjgj(x),(n=2) （11）
对 Qi,Q0i,Li(i=1,2,3…m)，λj(j=1,2)分别求导，并
令其等于0可得方程组如下：
9- -
.
鄣Lg
鄣Qi
=0
鄣Lg
鄣Q0i
=0
鄣Lg
鄣λi
=0
鄣Lg
鄣Li
=
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
鄣
0
（12）
解以上方程组即可求得模型的最优解.
惩罚函数法求解
惩罚函数的引入
为了更好的描述约束条件被破坏的程度，定义
约束违反度函数c
(-)
(x)=(c1
(-)
(x),…,cn
(-)
(x))
T
如下：
ci
(-)
(x)=gi(x), i=1,2;
引入Courant罚函数如下：
P(x)=f(x)+δ‖c
(-)
(x)‖2
2
（13）
其中 δ>0是正常数，称为罚因子，δ‖c
(-)
(x)‖2
2
称为罚项.
这就将原模型转化为无约束的极值问题：Min
p(x)
算法步骤说明
步骤一：选定初始点为x0；选取初始惩罚因子
δ1>0（可取δ1=1），惩罚因子的放大系数 c>1（可取
c=10）；置k=1.
步骤二：以xk-1为初始点，求解无约束问题
Min{f(x)+δk‖c
(-)
(x)‖2
2
}，设其极小点为xk
步骤三：若 δk‖c
(-)
(x)‖2
2
<ε，则xk就是所求的
最优解，结束计算，否则，转步骤四.
步骤四：置xk+1=cδk;k=k+1，转步骤二.
5 仿真计算
假设有三种商品同时订货，其中v1=立方
米，v2=立方米，v3=立方米，自己的仓库用
于存贮这3种商品的总体积容量Q0=6立方米，每
次到货后这3种商品的存贮量总体积补充到固定
体积容量Q=10立方米为止，且该供应站从接到订
货通知到货物送达商场的天数X服从在1天到3
天之间的均匀分布.其余数据同问题2中相应的商
品中所列出的数据.按本文给出的模型求出这3种
商品的最优订货点L*和自己的仓库用于存贮这3
种商品的各自体积容量 Q0i(i=1,2,3)以及在订货到
达时使这3种商品各自存贮量补充到的固定体积
Qi(i=1,2,3).(注：问题 2 参见 2005 年全国部分高校
研究生数学建模竞赛B题中的问题2)
采用惩罚函数法来求解，依据上述算法，编程
计算，迭代结果收敛于下表所示的数据：
目前，许多商家为了满足市场的随机大量需
求，采用租赁别人容量有限的仓库的方法.为降低
不利损耗提高企业效益，必须采用有效的库存管理
方法.仿真数据表明：通过求解本文建立的模型，可
以较好地解决多种商品在允许缺货条件下的最佳
订货点确定的问题.
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参考文献：
〔1〕李温红.仓库容量有限条件下的不允许缺货存
储模型[J].系统工程理论方法与应用，1997，6(3)：
68-71.
〔2〕杨益民.仓库容量有限条件下的生产销售存储
模型[J].系统工程，2001，19(1)：18-23.
〔3〕钱颂迪.运筹学[M].清华大学出版社，-
385.
〔4〕袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].科学出
版社，1997.
Q1 Q01 L*1
Q2 Q02 L*2
Q3 Q03 L*3
10- -
