基于分数Brown运动的欧式几何平均亚式期权定价.pdf

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华中科技大学硕士学位论文基于分数Brown运动的欧式几何平均亚式期权定价姓名：潘建平申请学位级别：硕士专业：运筹学与控制论指导教师：梅正阳2010-05-24 华中科技大学硕士学位论文摘要随着金融全球化一体化，标准期权已很难满足市场的需求，而奇异期权(ExoticOptions)比标准期权在实际使用中更灵活有效的特点吸引了大量投资者,其中亚式期权(AsianOptions)正是的一种具有代表性的奇异期权。由于亚式期权能有效的化解投机者短期行为带来的股价短期异常波动风险，因此受到了投资者的青睐，但由于其路径赖特征，使得亚式期权的定价与标准期权的定价相比呈现出比较大的不同，其定价问题远比其他期权定价复杂。考虑资本市场具有分形的特性，本文以股票作为标的资产研究其服从分数Brown运动的亚式期权定价问题,采用这种模型比传统的由标准Brown运动驱动的亚式期权定价问题更具现实性,更适合解决实际资本市场中的金融问题。本文第一章介绍了亚式期权的产生与发展，探究了期权定价理论的各种方法；第二章是本文的理论基础，介绍了分数Brown运动的定义及其性质，探究了金融中分数Brown运动的逼近理论，然后综述了近些年来学者将分数Brown运动运用于期权定价的相关成果；第三章是本文的核心内容，首先介绍了用一个半鞅过程逼近基于分数Brown运动的、不是半鞅的价格过程，获得了以股票作为标的资产的期权价格过程的随机微分方程，其次在Hurst(1/2,1/3)下推导了欧式几何平均亚式期权的定价模型，最后在欧式几何平均亚式期权的定价模型的基础上分别推导了连续情形下固定执行价和浮动执行价的欧式几何平均亚式期权的定价公式，进而得到了欧式几何平均亚式期权看涨-看跌的平价公式。关键词：亚式期权分数Brown运动欧式几何平均亚式期权定价傅里叶变换I 华中科技大学硕士学位论文AbstractWiththeintegrationofthefinancialglobalization,standardoptionhasbeendifficulttosatisfythedemandofthemarket,-termunusualfluctuationofthestock,-dependent,thereexistsdistinguishesdifferencebetweenAsianoptionpricingmodelandstandardoptions,,thispaperstudyingAsianoptionpricingthatthestockpricefluctuationfollowsafractionalBrownianmotionismorerealisticandmoresuitabletosolvethefinancialissuesintherealcapitalmarket,,wereviewtheemergenceanddevelopmentofAsianoptiontheory,andexploreseveralcurrentmethodsofpricingoptionatpresent;ThetheoreticalbasisofthispaperisthesecondchapterwhichintroducesthedefinitionandnatureofthefractionalBrownianmotion,explorestheapproximationtheoryofthefractionalBrownianmotioninfinance,andreviewsscholarachievementsofapplyingthefractionalBrownianmotiontooptionpricinginrecentyears;-martingaleprocessbasedontheapproximationofthefractionalBrownianmotionthatisnotase-martingaleprocess,secondly,andderivethepricingmodelofEuropeangeometricAsianOptionswhenH(1/3,1/2),finallyonthepricingmodelofEuropeangeometricAsianOptions,wededucewiththefixedpriceandtheII 华中科技大学硕士学位论文floatpriceofEuropeangeometryaverageAsianoptionpricingformula,:Asianoptions,fractionalBrownianmotion,EuropeangeometricaverageAsianoptionpricing,FouriertransformsIII 独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本论文属于保密□，在_____年解密后适用本授权书。不保密□。（请在以上方框内打“√”）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：年月日日期：年月日 华中科技大学硕士学位论文1绪论期权理论概述近些年来，金融衍生市场的全球化发展，金融衍生资产作为资产保值与避险工具在国际金融市场上应用非常广泛，而期权(Options)[1]就是其中被广泛使用的一种重要金融衍生品工具。期权作为一种创新的金融衍生品工具，它不仅增强金融市场流动性，而且促进了金融市场的发展，完善了市场机制。期权是一种选择权，规定期权的买方向卖方支付一定数额的期权金后，拥有在一定时间内以一定的价格购买或出售一定数量的标的物（如股票、期权合约）的权利。根据期权行使时间的不同，期权可以分为两类：欧式期权和美式期权。其中欧式期权只能在到期日执行，而美式期权可以在期权有效期内任何时候执行，在实际操作时一般是在有效时期内对持有者最有利的时刻行权。在期权到期日相同的前提下，美式期权比欧式期权提供了更大的灵活性。因此，美式期权通常要求买方向卖方支付更高的期权金。按照期权选择权利的不同，期权又有两种类型：看涨期权和看跌期权。看涨期权的持有者有权在某一确定时间以事先约定的价格，从看涨期权合约的出售者那里购买一定数量的标的资产。看跌期权的持有者有权在某一确定时间以事先约定的价格，向看跌期权合约的出售者出售一定数量的标的资产。期权合约中事先约定的价格被称为执行价格或敲定价格，合约中的日期被称为到期日或执行日。与期货不同，期权赋予其持有者做某件事情的权利，持有者不一定行使该项权利，即持有者拥有权利决定是否执行期权合约而不需要承担义务。由于期权赋予了期权合约持有人一种权利而非义务，即期权合约持有人有权决定是否执行期权合约，因此期权在到期日价值一定大于或等于零，这样现在就必须以一定的价格才能买到期权。研究期权定价实际上是研究如何确定期权的价值，而1 华中科技大学硕士学位论文期权的价值等于其内涵价值和时间价值之和。其中内涵价值是根据期权执行价格与标的资产的市场价格的两者之差而确定的价值，而时间价值是由于期权未到期而拥有的选择权的价值，若期权合约距到期日的时间越长，期权价值就越高。因此对于如何确定期权价值一直是期权研究的核心问题，也是金融工程研究的重要对象。亚式期权简介期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。因此，金融市场出现了人们广为熟悉的欧式、美式期权外，还出现了大量由普通期权派生出的一般在场外市场交易的新品种，即非标准化的衍生证券，我们称其为奇异期权(ExoticOptions)[2]。奇异期权中大多数都具备路径依赖特征，即期权价格不仅依赖于其到期日标的资产价格，而且取决于标的资产价格在期权有效期内的变化路径。亚式期权(AsianOptions)[3]正是其中的一个代表性产品，同是也是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。亚式期权是20世纪90年代在总结实物期权(RealOptions)[4]、虚拟股票期权和优先认股权等期权实施的经验教训基础上推出的，从此亚式期权为代表的奇异期权成为了学术界研究的热点问题。亚式期权也称为平均价格期权，其到期收益依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的价格平均值。根据取平均的方式不同，亚式期权分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权。在对价格进行平均时，可以采用某时间段上一些离散点平均值，也可以采用某段时间资产价格的连续平均。假设0为初始时刻，T为到期时刻。对于离散情形，设S1,S2,,Sn为标的资产在0,T上n个不同时刻t1,t2,,tn的价格，则有算术平均价格1An为：AnS1S2...Snnn1/n几何平均价格Gn为：GnSii1对于连续情形，则有算术平均价格MT为：M1TTSdtTt02 华中科技大学硕士学位论文几何平均价格1TJT为：JTexplnSdtTt0根据结算方式的不同，亚式期权又可分为平均价格期权和平均执行价格期权，其中平均价格期权又称为具有固定执行价格的亚式期权，是以期权有效期内标的资产某段时间内的平均价格代替欧式期权中到期日的标的股票的价格，而平均执行价格期权又称为具有浮动执行价格亚式期权，是以期权有效期内标的资产某段时间内的平均价格作为执行价格。若用T表示到期时刻，ST表示标的资产到期日的价格，JT表示标的资产在有效期内的平均价格，K表示到期日的执行价格，VT表示亚式期权到期日收益，则在连续情形下各种形式的亚式期权的持有者在到期日的收益情况如下：欧式算术平均亚式期权[5](1)具有固定执行价格的看涨期权的收益为VcTmaxJTK,0(2)具有固定执行价格的看跌期权的收益为VpTmaxKJT,0(3)具有浮动执行价格的看涨期权的收益为VcTmaxSTJT,0(4)具有固定执行价格的看跌期权的收益为VpTmaxJTST,0欧式几何平均亚式期权[5](5)具有固定执行价格的看涨期权的收益为VcTmaxJTK,0(6)具有固定执行价格的看跌期权的收益为VpTmaxKJT,0(7)具有浮动执行价格的看涨期权的收益为VcTmaxSTJT,0(8)具有固定执行价格的看跌期权的收益为VpTmaxJTST,0在实际市场交易中离散情况比较多见，在理论研究中也有离散模型，一般利用数值计算或者近似处理的方法来计算，如张凌、杨旭娟、王宏梅[6]利用蒙特卡洛模拟法通过Matlab编程模拟了算术平均亚式期权定价，并表面在维数较高情况下多元3 华中科技大学硕士学位论文控制变量法能有效地提高模拟的精确度；由于离散情况在数学上处理起来不方便，因此在理论研究中更大的是研究连续情形。近几年，一些学者们在B-S模型的基础上研究了亚式期权定价的许多方法，如许端、蔡金绪[7]讨论了在不同的概率分布下近似估计亚式期权的定价公式；金春红、陈德燕[8]利用一阶矩和二阶矩讨论了离散时间下平均亚式期权的定价问题，并得出了在极限条件下其结论与连续时间平均价格的亚式期权定价结论一致；师丽娟、魏杰琼[9]利用测度变换与鞅方法得到了连续时间下固定执行价的几何平均亚式期权的精确定价公式；姜礼尚[10]通过微分方程法详细地研究了亚式期权定价问题；叶小青、蹇明、吴永红[11]利用保险精算法给出标准欧式亚式看涨期权定价的近似解析式；阳小红[12]讨论了在Hurst指数H1/2,1与标的资产价格服从分数Brown运动假设下推导了几何平均亚式期权满足的偏微分方程，通过求解带终值的偏微分方程得到了几何平均亚式期权定价公式。期权定价理论的产生与发展传统期权定价方法在Black-Scholes以前，最早的期权定价模型的提出应当归功于著名数学家Poincare的学生、法国Bachelier在1946发表了他的博士论文“投机理论”(TheoryofSpeculation，1900)[13],首次利用标准Brown运动来对股票价格波动进行描述，假设股票价格过程是一个漂移项为0和方差项为2的纯标准Brown运动，从而得出到期日看涨期权价格公式为：SKSKSKPS,tSNKNtttt其中PS,t表示t时刻写在标的资产股票上期权的价值，S表示股票在t时刻的价格，K表示期权到期日的执行价格，N表示累计标准正态分布函数，表示累计标准正态分布的密度函数。从金融市场的实际情形来看，Bachelier提出的期权定价模型的主要缺陷是假设4 华中科技大学硕士学位论文在纯标准Brown运动下股票价格会出现负值和股票预期收益变化为零，这一假设与实际金融环境是不符合的，而且没有考虑资金的时间价值。-Scholes期权定价Black-S[1]choles的期权定价理论假设条件如下：(1)标的资产价格变动比例遵循一般化的标准Brown运动，该假设等价于标的资产价格服从对数正态分布；(2)允许使用全部所得卖空衍生资产；(3)没有交易费用和税收；(4)不存在无风险套利机会；(5)无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。Black-Scholes期权定价方法的基本思想是：标的资产价格及写在其上的期权价格都受到同一个随机因素的影响，两者遵循相同的标准Brown运动。如果通过构造一个包含恰当的期权和标的资产的投资组合，可以消除随机因素标准Brown运动，标的资产与期权的盈亏可以相互抵消。由于这样构成的投资组合是无风险的，因此在不存在无风险套利机会的情况下，该投资组合的收益应等于无风险利率r，由此可以得到期权价格的Black-Scholes微分方程：PSS2,tP,t122PS,trPS,trSS0tS2S2PST,Tmax0,STK其中PS,t表示t时刻写在标的资产价格看涨期权的价值，T表示期权的有效期，r表示无风险利率，2表示标的资产收益的波动率，描述的是标的资产价格的波动程度，K表示期权到期日的执行价格。该方程的表达式中不含参数预期收益率，从而不包含任何反映投资者风险偏好的变量。由于风险偏好对期权定价不产生影响，因此，所以投资者都是风险中性的假定是没有必要的，通过求解偏微分方程可得欧式看涨期权的定价公式：PSr(Tt),tSNd1KeNd2其中11dSK21ln/(r)Tt,d2d1Tt。T2t期权定价方程可以用来引导估计和制定各种金融衍生产品的价格，是各种金融5 华中科技大学硕士学位论文衍生产品估价的有效工具。可以认为Black-Scholes的期权定价方法是现代期权定价理论的又一创举。自从Black与Scholes的论文发表以后，由、和[14]等一些学者相继对这一理论进行了重要的推广并得到了广泛的应用。二叉树方法二叉树期权定价模型是由、和[14]于1979年首先提出的，现已经成为金融市场中最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。其基本思想是：把期权的有效期分为若干个足够小的时间间隔，在每一个非常小的时间间隔t内，假定标的资产的价格过程从开始S运动有两种方式：上升和下降。在上升过程，运动到比现值高的值Su的概率为p，在下降过程，运动到比现值低的值Sd的概率为1p，其中u1,d1。如图t时间内标的资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu和fd。考虑单步二叉树模型，由于标的资产价格的收益服从正态分布，运用风险中性rt定价原理，可以求得edute，dte,p，从而得到期权的定价公式ud为rtfepfu1pfd对于一般的情形，需要采用多步二叉树方法来求解期权的价格，通过计算机的6 华中科技大学硕士学位论文运算处理可以近似的求得期权的价格。从理论上,当t0时,二项分布便趋于正态分布，因此二叉树模型可以逼近Black-Scholes模型。模拟方法及其他方法MonteCarlo[15]模拟方法是一种对欧式衍生资产估值方法，其基本思想是：假设已知标的资产价格服从的分布，然后把期权的有效期限分为若干个小的时间间隔，借助计算机的帮助，可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股价的变动和股价一个可能的运行路径，这样就可以计算出期权的最终价值，这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本，用该变量的另一条路径可以获得另一个随机样本，更多的样本路径可以得出更多的随机样本。如此重复上千次，得到T时刻期权价格的集合，对所有随机样本进行简单的算术平均，就可求出T时刻期权的预期收益X，用无风险收益率r折现就可以得到当前t时刻看涨期权的价格PSr(Tt)t,teESTXt其中PSt,t表示期权在t时刻的价格，r表示无风险利率，E表示T时刻t期权的预期收益。MonteCarlo模拟方法的优点在于它能够应用于标的资产的预期收益率和波动率的函数形式比较复杂的情况，而且模拟运算的时间随变量个数的增加呈线性增长，其运算是比较有效率的。但该方法的局限性在于只能用于欧式期权的估价，而不能用于对可以提前执行合约的美式期权，且结果的精度依赖于模拟运算次数。目前除了传统期权定价方法、Black-Scholes期权定价方法、二叉树期权定价方法、MonteCarlo模拟方法对衍生资产进行定价外，还是有限差分方法、确定性套利定价方法、区间定价方法与套利定价方法。总之，期权定价方法的研究还在不断的探讨与发展，从实际应用上看期权是复杂多变，因此对深入研究复杂期权定价有重要的理论与实际意义。论文研究背景及内容自从Black-Scholes期权[1]定价公式被提出后，这一公式被广泛地应用于金融市7 华中科技大学硕士学位论文场资产的定价研究，但是这一定价公式是建立在有效市场假设之上的。近年来，众多学者对股票市场的大量实证研究[16][17][18]结果表明，股票市场价格变化并不符合正态分布，而呈现出一种“尖峰、胖尾”分布；同时，股价之间也不是随机游走的，而是在不同时间存在着长期相关、自相似等特征。这些特征与标准的Brown运动存在一定的差距，而分数Brown运动正好具有这种特征，即它的特征指数及尺度参数很好地刻画金融市场波动性、股票价格过程及“尖峰、肥尾”分布等。1996年P[16]eter提出了分形市场的假设，发现分数Brown运动来刻画资产价格的变化更符合实际金融市场。众多学者在分形市场的假设下做了大量的工作，2003年Hu以及Elliott-Hoek[19]等对Hurst指数属于1/2,1的分数Brown运动进行了研究，利用Wick积，获得了分数Brown运动下的Girsanov公式、Clark-Ocone混沌展开公式以及Ito公式等，但是由于Wick积在金融市场中难以找到实际对应物，因此2005年B-H对Wick积的使用提出了质疑。另一方面，由于分数Brown运动不是一个鞅过程，分数Brown运动市场并不是无套利的，因此一般市场无套利假设是不成立的，这也是研究分数Brown运动市场的困难所在。针对分数Brown运动市场的特殊性质，Thao[20]在2006年对分数Brown运动驱动的随机微分方程进行了某种近似，将基于分数Brown运动的、不是鞅的资产价格过程用一个半鞅过程逼近。这种逼近为分数Brown运动市场的研究找到了一个方向，因此半鞅过程逼近的分数Brown运动模型的金融资产衍生品的定价有了新的发展，Thao利用半鞅过程逼近的分数Brown运动模型讨论了Hurst指数属于1/2,1的分数Brown运动，且证明了此时基于分数Brown运动市场是无存在套利机会的。本文研究了Hurst指数为(1/3,1/2)用逼近分数Brown运动驱动标的资产价格过程，探究了写在标的资产上欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程，结合亚式期权到期日不同的结算方式，推导了连续情形下固定执行价与浮动执行价欧式几何平均亚式期权定价公式以及看涨-看跌的平价公式。由于本文模型更接近于实际的金融市场，所以欧式几何平均亚式亚式期权定价的相关结果更具有实际意义。8 华中科技大学硕士学位论文本文主要内容如下：第一部分：引言主要对期权理论进行了概述，介绍了亚式期权的产生与发展以及期权定价的各种方法；第二部分：介绍了分数Brown运动的相关知识及数学工具Fourier变换，重点讨论了金融中分数Brown运动的逼近；第三部分：讨论了连续情形下欧式几何平均亚式期权定价，重点探究了欧式几何平均亚式期权定价模型，详细地推导了连续情形下固定执行价欧式几何平均亚式期权定价公式与浮动执行价欧式几何平均亚式期权定价公式，以及不同执行价下欧式几何平均亚式期权看涨与看跌的平价公式。9 华中科技大学硕士学位论文2分数Brown运动与Fourier变换分数Brown运动简介在实践中，人们发现在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类随机过程，并不断地寻找各种模型来模拟此类随机过程，而其中BenoitMandelbrot[21]和VanNess在1968年首次提出的分数Brown运动模型是使用最广泛的一种，它具有自相似行、非平稳行两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性，而股票市场具有自相似或长记忆等分形特性，因此可以利用分数Brown运动来描述股票市场资产价格过程。定义：设0H1，Hurst参数为H的分数Brown运动是定义在概率空间,F,P的一个连续随机过程BHt:0,R满足：(1)BHt以概率1连续，且BH00；(2)对任意非负实数t,s，有BHtsBHsN02H,t，即增量BHtsBHs服从均值为0，方差为2Ht的正态分布。分数Brown运动是一个具有平稳增量的连续的零均值Guassian过程：10111BHHtHH(t)ts2s2dWts2dW，t00H1ss2其中W为标准Brown运动，H0,1，为Gamma函数。当H1，BH(t)即s2为标准Brown运动。性质[22]：设BH(t)为分数Brown运动，则有：2(1)EB2HH(ts)BH(t)s；10 华中科技大学硕士学位论文21(2)EB2H2H2HH(t)BH(s)tsts；2(3)BH(t)的样本路径是连续的，但BH(t)以概率1不可微；(4)分数Brown运动为自相似过程，即对任意0，过程BH(t)与过程BH(t)有相同的有限维分布；(5)当1/2H1时,BH(t)具有持久性，即过去的增量与现在的增量呈正相关关系，随H逐步逼近1，其持久性趋势越强。若令nEBH1,BHn1BHn,有n；若0H1/2时，BH(t)具有反持久行，即过去的增量与现在的增n1量呈负相关关系，H距离0越近，这种反持久性行为的强度越大；若H1/2时，BH(t)即为标准Brown运动，表现为随机游走特性。分数Brown运动的逼近引言随着分形几何理论的发展，分形几何理论在动态技术系统领域的应用非常广泛，特别在金融市场领域的应用取得了巨大的成功。分形几何理论假设金融市场资产价格过程可以用分数Brown运动刻画，分数Brown运动最早是由BenoitMandelbrot和VanNess提出的。它是一个连续的Gaussian过程,具有长期相似性与持久性，体现在金融市场就是自相似性。分数Brown运动仅依赖一个参数Hurst，而不同参数Hurst的取值，它会表现出不同相关性。当H1/2，则BH(t)退化为标准Brown运动；当H1/2，则BH(t)既不是Markovian过程，又不是半鞅。故可认为分数Brown运动是标准Brown运动的一个延伸与扩展，而分数Brown运动与标准Brown运动之间的主要区别为：分数Brown布朗运动中的增量是不独立的，而标准Brown运动中的增量是独立的。由于Mandelbrot给出的分数Brown运动表达式过于复杂，在实际应用时较为11 华中科技大学硕士学位论文不便，于是Nua[23]lart建议在分数随机分析中用1tBHts2dW代替BH(t)。t0s因为10BHH1H1B(t)ts2s2tHdW,由于BH(t)不是一个2s半鞅，所以B也不是一个半鞅，因此在分数随机分析中使用B代替BttH(t)是合理的。分数过程B的逼近t考虑从逼近的观点，研究金融市场中由B驱动的资产价格过程。上节已经讨论t了分数Brown运动B不是一个半鞅，在实际金融市场中应用较为困难，本节将利用t一个半鞅过程逼近B。t定义[24]：对任意的0，定义B：ttB(ts)dW,H(0,1/2)(1/2,1)，H1t0s2定义[25]：设XX为一右连左极适合过程，称X为半鞅，如果X可作如t下分解：XMA，其中M为局部鞅，A为适应有限变差过程。引理[24]：随机过程B,t0是一个半鞅。tThao将B重新表述为tBdWWt，其中1(ts)dW。tt0ssss0s引理[24]:在L2()中当0时，B收敛到B，并且对于t0,T是一致收tt敛的。该引理表明，对任意正数0，有BB。分数Brown运动驱动的股票价格模型考虑经典股票定价模型，假设在t时刻股票的价格为S，它满足如下的随机微t分方程：dSSdtSdW,t0,Ttttt(2-1)Stt0S012 华中科技大学硕士学位论文其中和是正常数。方程(2-1)的解是一个Markovian过程S：t2(ttW)tSSe2t0这个过程被称为几何Brown运动。在金融股票市场中，大量的研究表明资产收益率的分布具有“尖峰、胖尾”的特征，且股价变化也不是随机游走，而是呈现不同程度的长期相关性。因此可以用分数Brown运动来刻画股票价格过程的过程。取代(2-1)，我们考虑下面的模型：dSSdtSdB,t0,Ttttt(2-2)SStt00其中B为分数Brown运动，H(1/2,1)。方程(2-2)是一个分数随机微分方程。t而与方程()相应的分数逼近模型定义如下：dSSdtSdB,t0,Ttttt(2-3)SSt00t其中0，B为B的半鞅逼近，S为S的一个逼近过程。tttt在分数随机模型(2-2)中，若H1/2，则B不是一个半鞅，故没有鞅测度，因t此基于该模型的市场此时存在套利机会。若此时市场是基于分数逼近模型(2-3)，则方程(2-2)的解S可以由半鞅B驱动的逼近分数模型的解S逼近，利用B为一半tttt鞅，可以判断此时市场是不存在套利机会，采用逼近方法为模型研究提供了另一种研究思路。引理[24]：考虑逼近分数模型：dSSdtSdB,t[0,T]tttt(2-4)S0St0t对于任何正数0,资本市场不存在套利机会。13 华中科技大学硕士学位论文引理[24]：假定H0,1，则1Ht(t)(1)limlim0；0t（）Ht0tloglogtloglogtPB(2)(tlimsupHVH)1。t0(t)loglogt其中VH(2-2H)cos(H)/H(12H)。分数Brown运动与期权定价自从FisherBlack与MyronSchol[1]es关于期权估值的经典论文发表后(1973)，期权定价理论与模型研究一直是金融工程的主要研究领域之一。正因为FisherBlack与MyronScholes期权定价模型的开拓性贡献，使期权定价理论和模型方面的研究取得了重大发展。但是由于Black-Scholes模型假设前提过于严格,因此根据实际具体情况需要，学者们对Black-Scholes模型做了很多方面的修改，比如考虑有交易费用、支付红利[26]等等情况下的期权定价。期权定价的许多方法都是把标准Brown运动当做随机源,其中BlackandScholes(1973)、Merton(1973)的经典论文就是基于标准Brown运动的。到目前为止，标准Brown运动良好的性质仍然吸引了很多学者把它当做研究对象的随机源。然而，一些事实表明标准Brown运动与实际金融市场不相符。关于标准Brown运动来自实证研究的批评至少有以下两个方面：一方面，实证表明实际金融市场的分布并不是Gaussian过程。最近几年很多学者在这方面做了大量的研究工作，特别Levy过程的理论表明金融市场中资产价格过程可用Levy过程来刻画，但是基于Levy过程的随机过程的封闭解仍然不是Gaussian过程，而且使用起来不是很方便。另一方面，观察到的实际金融市场表现出相关性、长期记忆性与自相似性。因此，本文在经典的Black-Scholes定价模型中用一个具有长期记忆的过程来代替标准Brown运动，最简单的修正就是引入分数Brown运动作为随机性的来源。因此，许多学者把主要的精力放在分数Brown运动情形的研究上。其中CiprianN]ecul[27a利用分形几何的知识推导出了H(1/2,1)时分数Brown运动下的欧式几14 华中科技大学硕士学位论文何看涨期权在t时刻定价公式：C()(t,S(t))S(t)N(d1)KerTtN(d2)S2(t)2H2Hln()r(Tt)(Tt)dK21，T2H2HtS2(t)ln()(T2H2Hrt)(Tt)dK22T2H2Ht其中r为无风险利率，S(t)表示t时刻股票的价格，K为到期日T执行价。1996年P[16]eters把分数Brown运动引入金融市场后，很多学者发现分形市场是有套利的，这与实际金融市场中金融现象是符合的，但为了研究上处理，Benth(2003[28]),Elliott和VanderHeek(2003[29]),Hu和ksendal(2003)[19]提出了用wick型积分代替传统的Ito积分，证明在wick型积分下分数Black-Scholes是无套利的。引进分数Brown运动修正后的模型使得资产的价格行为更接近现实市场的运作规律，从而更有实际意义，因此关于Black-Scholes模型的修正问题仍然是金融工程中研究的课题。变换Fourier变换是数学上重要的三大积分变换之一，它不仅在数学的许多分支，而且在工程技术与金融领域中都具有极其广泛的应用。在金融市场中，金融衍生品满足的微分方程一般比较复杂，其求解相对比较复杂，而利用Fourier变换可以简化求解过程。根据Fourier变换的重要性质，对求解的偏微分方程两端取Fourier变换，将其转化为象函数的代数方程，求出象函数，然后根据Fourier逆变换就得出原方程的解，从而就较好的解决了金融衍生品定价问题。本节主要介绍Fourier变换的定义及相关引理。定义：对任意定义在,上的连续可导且绝对可积的函数fx，定义其Fourˆiwxier变换为fwfxedx，对任意定义在,上的连续可导且15 华中科技大学硕士学位论文绝对可积的函数fˆw，定义其1Fourier逆变换为ˆiwxfxfwedx。2定义：设fx,y是定义在RR上的二元函数且对每一个变量都满足一维Fourier变换的条件，则称ˆiwxwyfw1,w2fx,ye12dxdy为fx,y的二维1Fourˆwiwxw2yier变换。称fx,yfw1,22e1dw1dwˆ2fw1,w2的二维为2Fourier逆变换。引理[30]：22设fffx,y,则有x2y2iw1xwe2ydxdyw2w2ˆfx,y2fw1,w。2本章小结标准Brown运动一直是期权定价研究工作的一个理论基础，然而越来越多的金融实证分析表明股票市场具有自相似或长记忆等分形特性，这导致了大量由Brown运动驱动的定价模型不符合真实的市场。分数Brown运动已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法。在以股票作为标的资产的期权定价研究中,研究股票价格服从分数Brown运动的期权定价,更符合实际的金融环境，也更具有现实意义。分数Brown运动在期权定价理论中的应用是一个新的课题，也是一个发展很快的研究领域。本章介绍了分数Brown运动的定义和主要性质，探究了分数Brown运动的逼近以及分数Brown运动驱动的股票价格模型，回顾了分数Brown运动与期权定价的知识，最后介绍了Fourier变换的定义及相关引理。16 华中科技大学硕士学位论文3连续情形下欧式几何平均亚式期权定价引言亚式期权是20世纪90年代根据金融市场的需要而设计的，由于亚式期权的价格一般比标准期权便宜，因此亚式期权相对于欧式期权对某些公司更具吸引力，在投资银行、信托公司、保险公司等许多金融领域有着广泛的应用，因而其定价具有非常重要的意义。近些年来，众多学者在标准Brown运动驱动资产价格的模型假设下研究了亚式期权定价的数学方法。李立亚[31]利用偏微分方程方法推导出了连续情形下固定执行价的亚式平均定价公式；师丽娟、魏杰琼[9]利用测度变换与鞅方法得到了连续时间下固定执行价的几何平均亚式期权的精确定价公式；张凌、杨旭娟、王宏梅[6]利用蒙特卡洛模拟法通过Matlab编程模拟了算术平均亚式期权定价，并表面在维数较高情况下多元控制变量法能有效地提高模拟的精确度。本章主要研究一类分数Brown运动驱动资产价格模型的欧式几何亚式平均期权定价问题，除非特别说明，总假设所讨论的Hurst指数H(1/3,1/2)，由于半鞅[25]总是可以分解为有限变差过程和鞅过程，因此，本文假设能用一个鞅过程B逼t近分数Brown运动B，鞅过程B驱动标的资产价格过程(如股票)用St表示。为tt了简便，首先介绍鞅过程B驱动标的资产价格过程的相关理论及结论，推导了写在t标的资产上亚式期权满足的偏微分方程，再结合亚式期权到期日不同的收益函数，详细的推导了在连续情形下具有固定执行价和浮动执行价的欧式几何平均亚式期权定价公式，最后得出欧式几何亚式平均期权看涨与看跌的平价公式。金融市场标的资产近似价格过程对股票市场的大量实证[32][33][34]研究结果表明，股票市场价格变化并不符合正态分布，而呈现出一种“尖峰、肥尾”分布；同时，股价之间也不是随机游走的，而是在不同时间存在着长期相关、自相似等特征。这些特征与标准Brown运动存在一定17 华中科技大学硕士学位论文的差距,而分数Brown运动正好具备这种特征，即它的特征指数及尺度参数很好地刻画金融市场波动性、股票价格一般行为过程及“尖峰、肥尾”分布等。因此可以利用分数Brown运动来描述股票市场资产价格过程。学者E[16].验证了从1972年1月到1990年12月日元对美元的日汇率服从Hurst参数的估计值H的分数Brown运动，和[35]验证了电费价格可用Hurst参数约为的分数次布朗运动来建模，由此可见在实际市场中，市场的特征指数H既有H(1/2,1)，也有H(0,1/2)的情况。对于参数H满足H(1/2,1)，在第二章中已经证明此时的市场是不存在套利的，市场中标的资产的近似价格过程满足(2-3)式。若市场的特征指数H(0,1/2)时，仍假设股票价格模型满足(2-3)式，那么以股票为标的资产的价格过程的随机微分方程就不具有(2-3)式的结构，不再是由两项构成而是由三项构成。由于存在H(0,1/2)的市场，因此研究该问题是有意义的，为了解决这个问题作如下假设。假设金融市场中标的资产的近似价格过程St满足如下随机微分方程：2dStStdtStdBStdB(3-1)tt其中0，、、分别为常数，B为一鞅过程，St是股票价格过程Stt的一个逼近过程。为书写方便，本文仍把St记为St，则(3-1)式转化为如下随机微分方程：2dSSdtSdBSdB(3-2)tt若标的资产的近似价格过程满足(3-1)，chen等[36]已经证明此时的市场是不存在套利的。引理[37]：若随机过程St满足(3-2)式所刻画的随机微分方程，随机函数YtfSt,t对St二次可微，对t一次可微，则YtfSt,t满足如下随机18 华中科技大学硕士学位论文微分方程：12dY22ffSdtfSdBSftsstSfdB(3-3)ssst2引理表明，当随机过程St满足随机微分方程(3-2)的形式时，其函数fSt,t也具有相似的随机微分方程的结构，这一结果在金融衍生产品定价中具有十分重要的意义。推论：当H1/2时，函数YtfSt,t满足如下随机微分方程为1dY22fSfSfdtfSdB(3-4)tsssst2推论表明，当Hurst指数H1/2，由B驱动的随机微分方程(3-6)将会退t化为由标准Brown运动驱动的微分方程。连续情形下固定执行价的欧式几何平均亚式看跌期权的定价本节主要讨论连续情形下固定执行价的欧式几何平均亚式看跌期权的定价问题。首先，利用分数逼近过程驱动资产价格过程假设，通过构造投资组合、利用无套利原理推导了写在标的资产股票上欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程，其次，结合欧式几何平均看跌期权到期日收益函数得到带终值的欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程，通过函数变量替换与求解Possion公式，从而推导出连续情形下固定执行价的欧式几何平均亚式看跌期权的定价，最后基于上述的方法得出连续情形下欧式几何平均亚式看涨与看跌的平价公式。在讨论欧式几何平均亚式期权定价方程之前，给出基于分数Brown运动市场期权定价理论7个假设条件：(1)无风险利率r为一个常数且对所有到期日T都相同；(2)允许使用全部所得卖空衍生证券；(3)在衍生证券的有效期内没有红利支付；(4)不存在不无风险套利机会；(5)市场不存在交易费用和税收，所有证券交易可以无限制细分；(6)证券交易是连续的；(7)股票价格近似过程满足(3-1)式。在上述7个假设条件下，考虑金融市场上存在三种资产可能性，一种是无风险19 华中科技大学硕士学位论文资产（如债券），满足：dM(t)rM(t)dt(3-5)另一种是写在标的资产股票A的亚式期权，其中股票A价格的近似运动过程S(t)满足如下随机微分方程：2dSSdtSdBSdB(3-6)tt为了对冲风险，找到了一种风险资产股票B，且股票B价格的近似运动过程满足如下随机微分方程：2dS11Sdt1SdBSdB(3-7)t1t定理连续情形下固定执行价的欧式几何平均亚式看跌期权的定价公式1*2VS*tTtT**p,J,tKNd1JSexprTtNd2(3-8)2其中TKntSTtT**2lnlJ/r/2Ttd***1d2Tt，d*2*Tt2*Tt2*Ttrr，22T3T证明：第一步：求写在标的资产股票上欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程。由于亚式期权价格依赖于一个连续的几何平均的路径变量J，属于路径依赖期t权。设亚式期权价格为VVtS,J,t。其中1JexplnS(u)du。ttt0t构造投资组合:V(S,J,t)wSwS，其中w、w1分别为持有股票A和股tt11票B的比例，则在很短时间间隔t内，投资组合的收益变化为VwSw1S1(3-9)选择适当的w、w1，可消去(3-9)中的随机项，利用风险中性原理，有20 华中科技大学硕士学位论文rt(3-10)联立(3-9)、(3-10)，有VwSw1S1rV(S,J,t)wSwSt(3-11)tt11利用引理，有wSwS2twSBwS(B)o(t)(3-12)ttwS211w11S1tw11S1Bw11S1(B)o(t)(3-13)ttJ1VSV222(rSVV)tSVB[SVSVSS](B)o(t)(3-14)tSJStStt2由(3-9)、(3-12)、(3-13)、(3-14)得，wJr(VSw1S1)t(VrSVVSwSwttSJ111)t1SwSwB2S2(SVS111)(VSVtSSS22wS1w1S1)(B)o(t)(3-15)t对(3-15)两边同时除以（）Htloglogt，同时让t0，利用引理中的结论(1)及H(1/3,1/2)，则有SVSSw1S1w10(3-16)再对(3-15)两边同时除以（）2Htloglogt，同时让t0，利用引理中的结论(2)及H(1/3,1/2)，则有12S2VSSSVSwS1w1S10(3-17)2最后对(3-15)两边同时除以t，同时让0t，则有wdJr(VwS1S1)VrSVVSw1S1wtSJ1(3-18)dt联立(3-16)、(3-17)，解得w2VS2211VS1SVSS21132wSVSS12S11121 华中科技大学硕士学位论文其中w1为负值，表示卖空股票B的数量占投资组合总数的w1份。将w、w1代入(3-15)化简得，欧式几何亚式期权满足的偏微分方程为VVJ1222VVSrSrV0(3-16)tJt2S2S其中,,,1,1,1均为常数且满足：(1r)1(r)0。211第二步：求解结合欧式几何平均看跌期权到期日收益函数得到带终值的欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程。本文选取路径变量J为股票价格过程的连续几何平均，则J(t)关于t的导数为tdJ1t1tlnSJlnSlnJexplnSuduSdutttt()lndt02(3-17)0utttt将(3-17)式代入偏微分方程(3-16)式得V2plnSlnJVp1V22pVpJSrSrVp0(3-18)ttJ2S2S其中Vp为欧式几何平均亚式看跌期权价格，S、J分别为St、Jt的简写，后文无特别说明，沿用该记号。又欧式几何平均亚式看跌期权在到期日T的收益VpTmaxKJT,0(3-19)结合(3-18)、(3-19)，有固定执行价的欧式几何看跌平均亚式期权1:0S,0J,0tT的定解问题：V2plnSlnJVp1VpVpJ2S2rSrVp0ttJ2S2S(3-20)VpJT,TKJT下面求解(3-20)定解问题。22 华中科技大学硕士学位论文首先，将(3-20)转化为一维抛物线方程的Cauchy问题。做如下变量代换：令tlnJ(Tt)lnS，VpU，其中UU,t。T则关于J,t的偏导数分别为lnJlnStTt1JTJ1TtSST那么Vp关于J,t的偏导数分别为VpUUlnJlnJttTTVpUtJTJVpTtUSTS2V2T2ptUTtUS2TS2TS2将上述各阶导数带入(3-20)式得U21T22tU12TtUrrU0t2T22T其终值条件：UVpKJmaxKetTtT,0tT于是固定执行价的欧式几何平均看跌亚式期权转化2:,0tT上一维抛物线方程的Cauchy问题：23 华中科技大学硕士学位论文2U1T22tU12TtUrrU0t2T22T(3-21)U,TmaxKeT,0其次，利用变量替换将一维抛物线方程的Cauchy问题转化为热传导方程的Cauchy问题(3-21)。作函数替换WUtet(3-22)t将(3-22)代入(3-21)方程得W22T22tWTtW'''trtrtW02T22T再令2Tt'rt02Tr't02Tt'tT(3-23)T0T0T0解微分方程(3-23)可得122trTt2T2trTt(3-24)13tTt3T2于是(3-24)函数变换下，(3-21)的定解问题转化为热传导方程的Cauchy问题：24 华中科技大学硕士学位论文W22W022(3-25)W,0Ke利用文献[38]中结论可知，(3-25)式的解可用Possion公式来表示：2yW1lnKyee22,tKdy(3-26)22最后，求解(3-26)式中的W,t。2yW1lnKy,tKee22dy2222KyylnK21lnK2y2edyee2dy2222记W,tI1I2，22Kyy其中lnK1lnKIe221dy，yIee222dy22222Ky先计算第一个积分KI1，有lnI221edy22K2ln1yK22edy2KNlnK2其中N为标准正态分布的累计概率分布函数。2y同理，有1lnK2yIee22dy22222y2elnKe22dy2225 华中科技大学硕士学位论文222lnKu令yu，则221221Ieedu22222eNlnK22y于是W1lnKy,tKee22dy2222KNlnK2lnKeN(3-27)22将WUte，tJTtnSt，t，ln()l，VTpU带入(3-27),得1*2V*tTtJSTpSJtKNd*,,1exp*rTtNd2(3-28)2证毕。定理表明，本文固定执行价欧式几何平均亚式期权定价公式与标准欧式几何平均的亚式期权定价[39]公式不同之处在于：本文中期权定价公式中的各种参数*r、*2、d*1、d*2都与参数有关。不同的取值，会影响期权价格，因此在考虑期权进行定价时要考虑参数选取的影响。推论连续情形下固定执行价的欧式几何平均亚式期权的看涨—看跌平价关系tt2221CTTTtTtS,J,tPS,J,texprTtJSexpTtrK6T22T证明：令WWS,J,tCS,J,tPS,J,t，则W在0S,0J,0tT满足如下终值问题：26 华中科技大学硕士学位论文W2lnSlnJW122WWJSrSrW0ttJ2S2S(3-29)WJKKJJKtT下面求解上述的终值问题的解WWS,J,t。首先，对方程tJ(Tt)lnS(3-31)作变换ln，T则(3-29)化简为W在,0tT上的终值问题：W21T22tW12TtWrrW0t2T22T(3-30)WeKtT其次，令WAteBt，将W带入到方程(3-30)中，并比较方程两端的系数得21'2Tt12TtAtAtrAtrAt02T2T'BtrBt0(3-31)AT1BTK解含终值的微分方程(3-31)得22T2tTtAtexpTtrr6T22T(3-32)BtKexprTt将(3-31)带入W得22WT2tTtexpTtrrKexprTt6T22T再将tlnJ(Tt)lnS带入W得TCS,J,tPS,J,t27 华中科技大学硕士学位论文tt22T21tTtexprTTTtJSexpTtrK(3-33)6T22T证毕。利用固定执行价欧式几何平均亚式期权平价公式，易知固定执行价欧式几何平均亚式看涨期权定价公式。连续情形下浮动执行价的欧式几何平均亚式看涨期权的定价上节本文讨论了固定执行价的欧式几何平均亚式看跌期权的定价问题，推导出了其定价公式以及相对应的看涨与看跌的平价公式。本节主要讨论连续情形下浮动执行价格的欧式几何平均亚式看涨期权的定价问题。考虑浮动执行价格的欧式几何平均亚式期权定价与实际更加符合，在实际的金融市场中浮动执行价格的灵活性更大，更适合广大的投资者的需求，因此研究这类亚式期权定价更具实际意义。本节结合欧式几何平均看涨期权到期日收益函数得到带终值的欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程，先函数替换将带终值的欧式几何平均亚式期权满足的偏微分方程化为带终值问题的二维Cauchy问题，再通过Fourier变换将二维Cauchy问题转化为代数方程来求解，最后将得到的相关结果回代即可得到连续情形下浮动执行价格的欧式几何平均亚式看涨期权公式。定理连续情形下浮动执行价格的欧式几何平均亚式看涨期权的定价公式tTtVrTtNMJTSTMcS,J,tSe02eNM1(3-34)222233其中MTtTt0r22T6T22233M3J22Tt1tlnrTt22T33tS26T2M3J222tlnrTt2T33tS2证明：选取路径变J为股票价格过程的连续几何平均，则J(t)关于t的导数为t28 华中科技大学硕士学位论文dJ1t1tlnSJlnSlnJexplnSuduSdutttt()lnudt(3-35)t02t0tt将(3-35)式代入偏微分方程(3-10)式得VSJV2VVclnlnJc12S2crScrV0(3-36)cttJ2S2S又浮动执行价欧式几何平均亚式期权在到期日T的收益VcTmaxSTJT,0(3-37)结合(3-36)、(3-37)，有浮动执行价格的几何平均亚式看涨期权在1:0S,0J,0tT的定解问题：VS2lnlJV22VVcnJc1ScrScrV02cttJ2SS(3-38)VcTSTJT下面求解(3-38)定解问题。首先，将(3-38)转化为一维抛物线方程的Cauchy问题。作如下变换：令1Jln，VSU，其中UUc,ttS则关于S,J,t的偏导数分别为lnJlnStTt1JTJ1TtSSTV关于S,J,t的偏导数分别为cVcUUSttt29 华中科技大学硕士学位论文VcU1SJtJVcUU1U1USStSt2V22cU11USS22tStS将它们带入方程(3-38)得U1122U121Ur20t222t2t其终值条件：U1JV11eTtTctTtTSS于是连续条件下浮动执行价的几何平均亚式看涨期权定价问题转化为如下一维抛物线方程的Cauchy问题：U212U21Ur20,,0tTt222t2t(3-39)Ut,t1e,tT由于方程(3-39)的一阶项系数中同时包含,t，所以对于Cauchy问题(3-39)无法求得其解的显式表达式，为了求得连续条件下浮动执行价的几何平均亚式看涨期权的显式解。其次，作函数变量变换：xlnStlnJTtlnSyTVUx,y,t则VcUtt30 华中科技大学硕士学位论文VcUyUtJyJyTJVcUxUyU1UTtSxSySxSyTS2V2222cU1U1TtU1UTt22222SxSxySTSxSyTS2UTt1UTtxyTSSyTS2将它们带入(3-38)得U22T22222tU2TtUUTtUUrrU0t2T2yTxy22x2Tyx222即UTtUTtrUrU0t2T(3-40)yx2Tyx其终值条件：UVxyJStTctTtTee(3-41)联立(3-40)、(3-40)，有浮动执行价的几何平均亚式看涨期权转化为在区域xyR22,,0tT上求解二维的Cauchy问题：U22T2tUTtrUrU0t2Tyx2Tyx(3-42)Uxyx,y,tee,tT最后，用二维的Fourier变换及引理[29]求解二维的Cauchy问题(3-42)。由二维Fourier变换的定义，有Uˆixy,,tUx,y,tedxdy对方程(3-42)两边作Fourier变换,从而得到Uˆ关于t的函数满足如下常微分方程(,为参数)：31 华中科技大学硕士学位论文dUˆ22T2tUˆTtirTUˆrUˆ0(3-43)dt22T对初始条件作Fourier变换，得到UˆTUˆ0,(3-44)解常微分方程初值问题(3-43)、(3-44)得Uˆ,,tUˆpK22KK20,ex123iK4K5K6(3-45)222其中KT23tTtKK1Tt,2,24T36T3222KTtK4rTt,5r,K6rTt222T对(3-45)式求Fourier逆变换得Ux,y,tU0a,bGxa,ybdadb(3-46)其中Uab0a,bee1GK22KK2123iK4K5K6iuvu,veedd2(3-47)2为了计算(3-47)积分：令1ˆˆ，1ˆˆ2K12K3又K22KK32121ˆ2=ˆˆˆ22K2ˆ2ˆ22K1K3K22ˆK112ˆ2K1K3K1K332 华中科技大学硕士学位论文记KKKuKvc211，c2，c45，KK2113K1K332K12K3K4uK5vc42K12K3则积分G1ˆ22uKcicˆve613dˆc2ˆic4ˆ,eedˆ42K1K322c3c41cˆ1iˆc1ˆiK62c12ceede2ˆ42dKK1322Kcccce614238c1ce2(3-48)42c1c2222记T2T33ttg0r22T6T23223322Ttg1(yx)TrTt22T33t26T32g222(yx)TrTt2T33t2将(3-48)带入到(3-46)得Ur(Tt)xgy(xy0,,t)eeN(g2)eeN(g1)(3-49)再将tJTtlnSxlnS，lny带入到(3-49)，经简化得TtTtVrTtTTMcS,J,tSeNM2JSe0NM1(3-50)证毕。定理表明，浮动执行价[40]的欧式几何平均亚式期权定价公式依赖t时刻股票的价格过程St、股票的波动率、路径变量Jt、期权有效期T以及参数，33 华中科技大学硕士学位论文与标准欧式几何平均亚式期权定价公式相比较多出了一个参数。推论连续情形下浮动执行价的欧式几何平均亚式期权的看涨—看跌平价关系tt23T221tTtCS,JTT,tPS,J,tSJSexprrTt6T222T证明：设CS,J,t与PS,J,t分别为亚式看涨和看跌期权的定价。令KKS,J,tCS,J,tPS,J,t，则K满足如下终值问题(3-51)：KS2lnlnJK122KKJSrSrK0,0S,0J,0tTttJ2S2SKS(T),J(T),TS(T)J(T)下面求解(3-51)终值问题的解KKS,J,t。作函数变换：tlnJTtlnSxlnS，y，KKex,ey,t(3-52)T将(3-52)代入(3-51)得2K2T2tKTtrKrK0t2Tyx2Tyx(3-53)Kxyee,tT设KCxDytete，将其代入(3-53)并比较系数得C't0D222TtTt'tDtrDtrDt02T2T(3-54)CT1DT1解(3-54)终值问题得34 华中科技大学硕士学位论文Ct123T22tTt(3-55)BtexprrTt6T222T将tnJTtlnS，lxlnSy代入KCxyteDte得TCS,J,tPS,J,ttt1CtSDtJTSTtt23221TtTtSJTSTexprrTt6T222T即tt23221TtTtCS,J,,,JTSTtPSJtSexp2rrTt6T22T证毕。推论表明，根据连续情形下具有浮动执行价格的欧式几何平均亚式看涨与看跌期权平价关系，若已知浮动执行价格的欧式几何平均亚式看涨(看跌)期权期权的价格，易得出浮动执行价格欧式几何平均亚式看跌(看涨)期权的价格。本章小结亚式期权定价问题一直是许多学者研究的问题，从考虑基于标准Brown运动的B-S模型的定价研究到对B-S模型进行修正的研究，比如带有交易费用、支付红利的几何平均亚式期权定价等，还有各种近似的方法的算术平均亚式期权定价等等。本章考虑金融市场具有分形的特性，从资产价格模型的刻画出发来研究基于Hurst指数H1/3,1/2的欧式几何平均亚式期权的定价问题，详细地推导了连续情形下欧式几何平均亚式期权定价公式，包括固定执行价格和浮动执行价格的欧式几何平均的期权定价公式，给出了看涨与看跌期权的平价公式。35 华中科技大学硕士学位论文4总结与展望金融衍生工具的定价在金融工程中具有重要地位，由于在所有的衍生工具中，亚式期权交易非常普遍，所以对亚式期权定价一直是研究的热点问题。本文第一部分简要介绍了期权的一般理论，详细地陈述了亚式期权的定义及近几年的研究成果，回顾了期权定价理论的产生和发展，介绍了期权定价的各种方法。第二部分介绍了分数Brown运动产生与发展以及其重要性质，重点介绍了分数Brown运动的逼近，利用一个半鞅过程逼近基于分数Brown运动的、不是半鞅的资产价格过程以此来刻画金融市场中资产行为特性，获得了比较好的结论，然后回顾了近些年来众多学者关于资产价格过程基于分数Brown运动的期权定价的研究成果，最后简要的介绍了Fourier变换这一数学工具。第三部分是本文的核心，主要是研究了连续情形下欧式几何平均亚式期权定价研究，首先利用逼近分数Brown运动驱动标的资产价格过程作为切入点，研究写在标的资产上亚式期权满足的偏微分方程，其次结合亚式期权在到期日不同的结算方式详细推导了连续情形下具有固定执行价的欧式几何平均亚式期权定价公式及看涨与看跌的平价公式，和连续情形下具有浮动执行价的欧式几何平均亚式期权定价公式及看涨与看跌的平价公式。因此，在以股票作为标的资产的期权定价研究中，研究股票价格服从分数Brown运动的期权定价比传统的由标准Brown运动驱动的期权问题更具有现实性，更适合解决实际资本市场中的金融问题。本文在研究基于分数Brown运动平均亚式期权定价问题中，作者认为在两个方面的研究上还有可以进一步研究。首先，对基于分数Brown运动平均亚式期权定价模型的推导方法可以推广到其他的奇异期权的定价研究，将会得到一些新的结论，其次，本文仅仅研究几何平均的亚式期权，而实际中算术平均亚式期权应用更加广泛，因此对于算术平均亚式期权的定价研究也更能满足实际的需要，这些研究将会更符合实际的金融环境，为金融市场中资本定价提供进一步的理论依据与指导。36 华中科技大学硕士学位论文致谢完成这篇论文，首先我要对我的的导师梅正阳老师表示深深的谢意。本文的选题、课题研究及学位论文是在梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。在攻读硕士学位期间，梅老师治学严谨，学识渊博，无论对待工作还是生活都是充满热情、认真负责。他敏锐的思维、严谨的治学精神、精益求精的工作作风深深地感染和激励着我。梅老师不仅在学业上给我以精心指导，而且还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向梅老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。在毕业论文的创作过程中，梅老师在百忙之中抽出时间指导我搜集文献资料，帮助我理清论文写作思路，对我的论文提出了诸多宝贵的意见和建议，还仔细地一遍遍的帮我修改论文，使我受益匪浅。我还要感谢在论文写作过程中给我很大帮助的同学：祈改珂、王同柱、程菊林、谢冬长，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难，解决写作过程中的每个疑惑，直至本文的顺利完成。感谢所有给予我帮助的老师与同学们，在此请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢支持我学习的父母亲以及在背后一直支持我的爱人，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师与同学们表示衷心地感谢！37 华中科技大学硕士学位论文参考文献[1]BlackF.&[J].JoumalandpoliticalEconomy,1973,05-06(81):637-654.[2][M].WorldScientificPublication,1998.[3],[J].JournalofAppliedProbability,1995,32(4):1077-1088.[4]Copeland,[M].Texere,NewYork,2001.[5]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京,高等教育出版社,2003.[6]张凌,杨旭娟,王宏梅.亚式期权定价的控制变量法蒙特卡罗模拟[J].科技创业刊,2007,12:107-108.[7]许端,蔡金绪.亚式期权估值的最新进展[J].预测(理论与方法研究),1996,(6):40-43.[8]金春红,陈德燕.亚式期权定价模型的研究[J].辽宁大学学报(自然科学版),2003,30(2):100-101.[9]师丽娟,魏杰琼.基于鞅方法的几何亚式期权[J].科技资讯,2008，1(5):240-241.[10]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京,高等教育出版社,2003.[11]叶小青,蹇明,吴永红.亚式期权的保险精算定价[J].华中科技大学报(自然科学版)，2005,(3):25-26.[12]阳小红.分数布朗运动下几何平均亚式期权定价[J].科技信息,2009,4(2):12-13.[13],“Theoryofspeculation”[J].(translationof1900Frenchedition),TheRandomCharacterofStockMarketPrices,Cambridge,Mass.:MITPress,1967.[14]Cox,,[J].JournalofFinance,1976,31: 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