第10章 动态回归与误差修正模型
本章假定变量具有平稳性。
均衡与误差修正机制
均衡指一种状态。达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制。这里只考虑平稳的均衡状态，即当系统受到干扰后会偏离均衡点，而内在均衡机制将努力使系统重新回到均衡状态。
下面通过一个例子说明系统均衡概念。以两个地区某种商品的价格为例，假设地区A中该商品物价由于某种原因上升时，该商品就会通过批发商从价格低的B地区向价格高的A地区流动。从而使批发商从中获利。这种活动将直接导致该商品在B地区的需求增加，从而使该商品在B地区的价格上涨。从A地区看，由于增加了该商品的供给，则导致价格下降，反过来的情形也是一样，从而使两各地区的该商品价格越来越接近。用该两个地区的价格数据绘制一张平面图，价格A = 价格B的直线表示此问题的均衡状态。如上所述，当价格离开这条直线后，市场机制这只无形的“手”就会把偏离均衡点的状态重新拉回到均衡状态。随着时间推移，无论价格怎样变化，两个地区的价格都保持一致。
若两个变量xt , yt永远处于均衡状态，则偏差为零。然而由于各种因素的影响，xt , yt并不是永远处于均衡位置上，从而使ut ( 0，称ut为非均衡误差。当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点。这是一个动态均衡过程。本期非均衡误差ut是yt下一期取值的重要解释变量。当ut > 0时，说明yt相对于xt取值高出均衡位置。平均来说，变量yt在T+1期的取值yt+1将有所回落。所以说ut = f (yt , xt ) 具有一种误差修正机制。
当然这种均衡不意味着一定是1比1的关系。例如中国宏观消费比问题。
“一般到特殊”建模法
分布滞后模型：如果回归模型中不仅包括解释变量的本期值，而且包括解释变量的滞后（过去）值，则这种回归模型称为分布滞后模型。例
yt = (0 + + ut , ut ( IID (0, ( 2 ) ()
动态模型(自回归模型)：如果在回归模型的解释变量中包括被解释变量的一个或几个滞后值，则称这种回归模型为动态模型(或自回归模型)。例
yt = (0 + (1 yt-1 + (1 xt + ut
动态分布滞后模型：如果在分布滞后模型中包括被解释变量的若干个滞后值作解释变量，则称之为动态分布滞后模型或自回归分布滞后模型。例
yt = (0 + ++ ut , ut ( IID (0, ( 2 ) ()
用ADL (m, n) 表示，其中m是自回归阶数，n是分布滞后阶数。对ADL (m, n,) 模型可采用OLS法估计，参数估计量是有偏的，但具有一致性。
最常见的是ADL (1, 1) 和ADL (2, 2) 模型，
yt = (0 + (1 yt-1 + (0 xt + (1 xt-1 + ut , ut ( IID (0, ( 2 ), ()
和
yt = (0 + (1 yt-1 + (2 yt-2 + (0 xt + (1 xt-1 + (2 xt-2 + ut , ut ( IID (0, ( 2 )
对于ADL (1, 1) 模型 ()，xt和 yt的长期关系是
yt = +xt = (0 + (1 xt , ()
上式称作静态模型，参数称作静态参数或长期参数。长期参数描述变量之间的均衡关系。动态模型 () 中的参数称作动态参数或短期参数。短期参数描述变量通向均衡状态过程中的非均衡关系。通过对(0 , (0 和 (1 施加约束条件，从ADL模型（）可以得到许多特殊的经济模型。下面以9种约束条件为例，给出特定模型如下：
当 (1 = (1 ( 0 成立，模型（）变为
yt = (0 ( (0 xt + ut . ()
这是一个静态回归模型。
当 (0= (1= 0时，由模型（）得
yt = (0 + (1 yt-1 + ut . ()
这是一阶自回归模型。
当 (1 ( (0 = 0 时，则有
yt = (0 + (1 xt-1 + ut . ()
xt-1是yt的超前指示变量。此模型称为前导模型。
当约束条件是 (1 ((，(1 ( - (0 时，（）式变为
( yt = (0 + (0 ( xt + ut . ()
这是一个一阶差分模型。当xt与yt为对数形式时，上述模型为增长率模型。
若 (1 = 0成立，模型（）则变为一阶分布滞后模型。
yt = (0 + (0 xt + (1 xt - 1 + ut . ()
以上所列举的例子说明实际上许多有特殊经济意义的模型都是由一个一般的ADL模型化简得到的。这种建立模型的方法是首先从一个包括了尽可能多解释变量的“一般”ADL模型开始，通过检验回归系数的约束条件逐步剔除那些无显著性变量，压缩模型规模，（在这个过程中要始终保持模型随机误差项的非自相关性。）最终得到一个简化（或“特殊”）的模型。这种方法称为“一般到特殊”建模法。也称作亨德里（Hendry）建模法。关于检验约束条件是否成立的方法将在节讨论。
在节中曾讨论，模型若丢失重要解释变量将导致回归系数的OLS估计量丧失无偏性和一致性。“一般到特殊”建模法的主要优点是能够把由于选择变量所带来的设定误差减到最小。因为在初始模型中包括了许多变量，所以不会使回归系数的OLS估计量存在丢失变量误差。虽然因为在初始模型中包括了许多非重要解释变量，从而使回归参数估计量缺乏有效性，但随着检验约束条件的继续，那些非重要的解释变量被逐步剔除掉，从而使估计量缺乏有效性的问题得到解决。
误差修正模型（ECM）
误差修正模型由Sargan 1964年提出，最初用于存储模型。1977年由Hendry-Anderson和Davidson完善。
ECM模型由 ADL (m, n, p) 模型变换而来。 下面通过ADL (1, 1) 模型推导简单的ECM模型。有
yt = (0 + (1 yt-1 + (0 xt + (1 xt-1 + ut , ( (1 ( < 1, ut ( IID (0, ( 2 ), ()
其中ut应不存在自相关和异方差。如果这个条件不能满足，可通过增加xt和 yt的滞后项或加入新的变量从而使ut满足要求。从上式两侧同时减yt-1，在右侧同时加减 (0 xt -1得，
(yt = (0 + (0 ( xt + ((1 -1) yt-1 + ((0 + (1) xt-1 + ut ()
上式右侧第三、四项合并，
(yt = (0 + (0 ( xt + ((1 - 1 ) ( yt-1 - k1 xt-1) + ut ()
其中k1 = ((0 + (1) / (1 - (1 )。在上述变换中没有破坏恒等关系，所以不会影响模型对样本数据的解释能力，也不会改变OLS估计量的性质。
上式称为ECM模型，((1 -1) ( yt-1- k1 xt-1) 称为误差修正项。( yt -1- k1 xt -1) 表示前一期的非均衡误差，由 () 式知，若yt平稳，必有 ( ( ( < 1，所以非均衡误差项的系数 ((1 -1) 必为负。说明误差修正项对 (yt有一个反向修正作用。当前一期yt，即yt-1相对于均衡点取值过高（低）时，通过误差修正项的反向修正作用，使本期 (yt减小（增加），yt 向均衡位置移动。((1 -1) 表示误差修正项对 (yt的调节速度。进一步变换 () 式
(yt = (0 ( xt + ((1- 1 ) ( yt-1 - k0 - k1 xt-1) + ut ()
其中k0 = (0 / (1 - (1 )。( yt -1 - k0 - k1 xt –1 ) 是xt和 yt的长期关系，(yt = (0 ( xt + ((1- 1 ) (•) 是xt和 yt的短期关系。
(10) 当约束条件 (1 + (0 + (1 ( ( 成立时，模型（）变为
( yt = (( ( xt + ((1 - (( [ yt-1 - k0 - xt-1 ] + ut ， ((
这是一个k1 = 1的特殊误差修正模型。
ECM模型有如下特点：
① 上述模型中的 ( yt，( xt 和非均衡误差项都是平稳的。应用最小二乘法估计模型时，参数估计量都具有优良的渐进特性。在第6章可以看到，即使变量是非平稳的，只要存在协整关系，误差修正模型也不会存在虚假回归问题。
② 误差修正模型中既有描述变量长期关系的参数，又有描述变量短期关系的参数；既可研究经济问题的静态（长期）特征又可研究其动态（短期）特征。
③ 误差修正模型中的变量不存在多重共线性问题。
④ ut是非自相关的。如果ut是自相关的，可在模型中加入(yt和(xt的足够多滞后项，从而消除ut的自相关。同时相应加大误差修正项的滞后期。
⑤ 建模过程中允许根据t检验和F检验剔除ECM模型中的差分变量。在ECM模型中剔除差分变量，相当于在原ADL 模型中施加一个约束条件。例如剔除差分变量 ( xt，相当于在原ADL(1, 1) 模型中施加约束条件，(0 = 0。
⑥ 在非均衡误差项中剔除任何滞后变量都是危险的，这将影响长期关系的表达。
⑦ ECM模型中的k0 , k1未知，ECM模型不能直接被估计。估计方法是 ⑴ 若变量为平稳变量或者为非平稳变量但存在长期均衡关系，可以把误差修正项的括号打开，对模型直接用OLS法估计。⑵先估计长期均衡关系，然后把估计的非均衡误差作为误差修正项代入ECM模型，并估计该模型。
统计量与检验方法 动态模型的若干检验方法
在用“一般到特殊”方法建立模型时的，首先应对初始模型（即对回归参数不加任何约束的动态分布滞后模型）的随机误差项进行异方差和自相关检验。对模型的其他检验都应建立在随机误差项是一个白噪声序列的基础之上。在检验约束条件是否成立的过程中逐步剔除不显著变量，化简模型，同时还要保持模型随机误差项的非自相关性和同方差性不被破坏。在这个过程中要用到许多统计量。另外，在建立模型过程中也会用到其他一些统计量与检验方法。这些统计量与检验方法的介绍见11章。
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