第 !"卷 第 #期 运 筹 与 管 理 $%&’ !"，(%’ #
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收稿日期：)**";!!;))
作者简介：麻兴斌（!<=>;），男（回族），山东长清人，山东科技大学经管学院副教授，西安交大管理学院博士生，管理科学专业；郑艳琳
（!<?);），女，山东淄博人，山东大学应用数学专业硕士研究生。
修正的 87（!，!）残差模型在
原煤销售量预测中的应用
麻兴斌!， 郑艳琳)， 刁柏青"， 唐林炜)
（! @ 山东科技大学 经济管理学院，济南 )>**"!；) @ 山东科技大学 基础部，济南 )>**"!；" @ 山东电力集团，济南 )>**"!）
摘 要：本论文研究的是提高灰色预测模型的一种方法。首先建立主模型进行预测，得到残差序列，然后对残差
序列建模，对主模型进行修正，得到修正的 87（!，!）模型。将模型应用到原煤销售量的预测中，其精度明显提
高。
关键词：灰色预测；残差 87（!，!）模型；残差序列；原煤销售量预测
中图分类号：A)?) @ ! 文章标识码：0 文章编号：!**?;"))!（)**#）*#;*!!*;*#
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UHYM H UHCD U%SM& N% V%RMTHPN，HDS :HCD H RMUHCDCD: PMJ9MDTM’ 1OMD LM MPNHE&CPO HD%NOMR U%SM& %D NOM EHPCP
%V RMUHCDCD: PMJ9MDTM N% HUMDS NOM UHCD U%SM&，P% NOHN LM :HCD NOM HUMDSMS RMUHCDCD: U%SM& %V 87（!，!）’
1OCP U%SM& CP 9PMS CD V%RMTHPNCD: T%H& PH&MP，HDS NOM HTT9RHTX CP T%DPCSMRHE&X CUQR%WMS’
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* 引言
煤炭市场供大于求已是不争的事实，以销定产、以产定人已成为煤炭企业的基本经营策略。企业在制
定生产计划时，需要以市场需求量为基本依据，所以准确预测煤炭需求量是制定科学可行的生产计划的重
要环节。而目前确定计划产量的方法，是以上一年的产销量为基础，适当增加一定的数额（一般是百分之
几）作为计划年度的产量，较为先进的用专家评议法确定。这些方法的缺点是具有较多的盲目性和主观
性，缺乏对市场变化规律和突发因素对市场影响的定量描述。所以，我们需要一个科学可靠的预测工具对
未来市场进行预测。
万方数据
! 煤炭市场的特征与灰色模型 "#（!，!）
煤炭市场是一个复杂多变的系统，它存在于社会经济系统中，决定了它对经济体系的依赖。同时，他
还受到诸如质量品种、价格等客观因素的影响，和用户满意程度、销售人员素质等主观因素的影响。这些
因素的综合影响，是煤炭市场出现以下特征：!历史延续性。企业产品的市场占有率具有稳定性，预测期
内的销售量受历史上各期销售量的影响。"变化的规律性。影响销售量的各种因素的发展变化具有内在
的规律性，综合影响的结果也具有规律性。#不确定性。由于突发因素的影响，产品的销售量会在一定的
范围内波动。
灰色预测是灰色理论的重要组成部分，它是针对不确定性系统，利用灰色过程通过数的生成（即通过
对原始数据的处理）来寻找数据的规律。灰色预测的基本模型 "#（!，!）已被广泛应用于许多领域，如工
农业、经济、生态、地震及管理等［!，$］。但是有些情况下，它的精度达不到要求，因此为了提高模型精度，经
常采用残差 "#（!，!）模型做模拟及预测。但是，根据张大海等［%］的分析，"#（!，!）模型本身还存在一定
的理论缺陷，影响了模型的模拟精度，所以有必要对残差 "#（!，!）模型进行修正。在这篇文章里，我们构
建了修正后的残差 "#（!，!）模型，并应用于原煤销售量的预测中，取得了令人满意的预测效果。
$ 修正的 "#（!，!）残差模型
! " # 主模型
设 !（&）’｛"（&）（ #）( # ’ !，$，!，$｝为非负序列，其中 "（&）（ #）!&，# ’ !，$，!，$；!（!）’｛"（!）（ #）( # ’
!，$，!，$｝为 !（&）的 ! ) %&’ 序列，其中
"（!）（ #）’ "
#
( ) !
"（&）（ (），# ’ !，$，!，$；
*（!）’｛+（!）（ #）( # ’ $，%，!，$｝为 !（!）的紧邻均值生成序列，其中
+（!）（ #）’ & ,* "（!）（ #）+ & ,* "（!）（ # ) !）；# ’ $，%，!，$
则 &-（!，!）模型即为如下的灰色微分方程
"（&）（ #）+ .+（!）（ #）’ /［,］ （!）
用最小二乘法可求解参数列 0. ’（.，/）1 ’（212）) !213 （$）
其中 2 ’
) +（!）（$） !
) +（!）（%） !
- -
) +（!）（ $）
!
，3 ’
"（&）（$）
"（&）（%）
-
"（&）（ $
）
。参数 ) . 称为发展系数，/ 称为灰色作用量。
（!）的时间响应序列为：
0"（!）（ # + !）’ "（!）（4）) /( ). 5.（4 ) # ) !）+ /. ；# ’ !，!，$［%］
其中 4 ’ !，!，$。注意到 0"（!）（!）’ 0"（&）（!）’ "（&）（!），则利用一次累减可得还原序列
0"（&）（ # + !）’ 0"（!）（ # + !）) 0"（!）（ #）’ "（&）（4）) /( ). （ 5.（4 ) # ) !）) 5.（4 ) #））；# ’ !，!，$ ) ! （%）
! " ! 残差修正
记 6（&）’｛5（&）（ #）’ "（&）（ #）) 0"（&）（ #）( # ’ !，$，!，$｝为残差序列，选择适当的残差尾段"（&）’｛5（&）
（#）( # ’ !，!，$｝，!# (# $ ) %进行 &-（!，!）建模，来对主模型（%）进行修正。若"（&）不是非负序列，则
首先应进行正化处理［*］：
记 "（&）! ’ "（&）!（ #）’ 5（&）（ #）+ $ -./
(# 7# $
5（&）（ 7） ( # ’ (，!，{ }$ （,）
并记非负序列"（&）! 的 ! ) %&’ 序列为"（!）! ，将"（!）! 当作原始序列进行 &-（!，!）建模，由（%）式可求出"（!）!
的预测序列 0"（!）! ，再经过 ! ) 8%&’ 及正化处理的逆过程，得到
05（&）（ # + !）’ "（$）!（4）
/"
.( )"（ 5."（4 ) # ) !）) $5."（4 ) #）+ 5."（4 ) # + !））) $ -./(# 7# $5（&）（ 7），# ’ (，!，$ （*）
!!!第 ,期 麻兴斌，等：修正的 "#（!，!）残差模型在原煤销售量预测中的应用
万方数据
其中｛!（!）"（!）# ! $ "，"，#｝为!（"）" 的 " % $%& 序列，’!、(!为模型参数。
则主模型（&）的预测公式可修正为
)*（’）!（ + ( "）$ )*
（’）（ + ( "）(#（ +）),（’）（ + ( "） + $ "，"，#［)］ （*）
其中 #（ +）$
’ + + " % "
" +" "{ % "
& 原煤市场需求量预测
为了配合企业以产定人经营决策的实施，在确定生产人员数量之前需要对企业的产量进行预测。因
为本企业一直实行以销定产的方针，企业的产量也就是销售量。以下是企业近几年的需求量的原始数据：
表 ! 近 "年的原煤需求量数据［*］
,-./0 " 120 3-1- 45 64-/ 307-83
序号 " ! & ) 9 * :
需求量（吨） ""’";: ""’9’’ ")’’** ""&:*; ""9’** "’*9;’ """)&)
序号 ; <
需求量（吨） <9!:: "’"’;’
现对预测期的原煤需求量（即产量）进行预测。
# $ ! 建数学模型模
取序号为 " % ;的数据，记
-（’）$｛""’";:，""’9’’，")’’**，""&:*;，""9’**，"’*9;’，""")&)，<9!::｝
" % $%& 序列为
-（"）$｛""’";:，!!’*;:，&*’:9&，):)9!"，9;<9;:，*<*"*:，;’:*’"，<’!;:;｝
由（!）式得
)’ $（’，(）. $（’ /’&&*<，" /&’;&:: = "’9）.
由（&）式得
)*（’）（ + ( "）$（ *（"）（!）( & /::&"*)9 = "’*）（ ,’ /’&&*<（! % + % "）% ,’ /’&&*<（! % +））；+ $ "，"，9
)*（’）（"）$（ *（’）（"）
以下是 ! 取不同的值时预测的平均相对误差
表 % 取不同 ! 值对应的平均相对误差
,-./0 ! 120 ->0?-@0 ?0/-1A>0 0??4? -664?3A8@ 14 >-?A4BC >-/B0 45 !
! " ! & ) 9 * : ;
#$（0） 9 /:; : /9* * /&& 9 /<; * /!) 9 /<" * /*< 9 /:<
从表中可看出，当 ! $ "时平均相对误差最小，相应的还原序列为
-D（’）$｛""’";:，"!9’’: /*，"!’;** /’，""*;*" /*，""!<;< /<，"’<!)* /9，"’9*!: /’，"’!"!: /9｝
残差序列为
1（’）$｛’，% ")9’: /*，"<!’’ /’，% &’<& /*，!’:* /"，% !*** /9，9;’: /’，% *;9’ /9｝
取残差尾段
!（’）$｛"<!’’ /’，% &’<& /*，!’:* /"，% !*** /9，9;’: /’，% *;9’ /9｝
先按（)）式对!（’）作正化处理，得到非负序列
!（’）" $｛&!<’" /’，"’*’: /)，"9::: /’，""’&) /9，"<9’; /’，*;9’ /9｝
其 " % $%& 序列为
!（"）" $｛&!<’" /’，)&9’; /)，9<!;9 /)，:’&"< /<，;<;!: /<，<**:; /)｝
然后将!（"）" 看作原始序列进行 %2（"，"）建模，来修正上面的还原序列。
由（9）式得
)!（’）$｛"<!’’ /’，"&:& /&，% &<!< /*，% "<&< /&，)9* /&，&&&< /;｝
由（*）式，得
!"" 运 筹 与 管 理 !’’)年第 "&卷
万方数据
!!（"）! #｛$$"$%&，$’(""& ")，$*""))，$$%’+* ",，$",")" "+，$"&+"& "$，$")"%+ "+，$"(*)& "*｝
由以上步骤知，预测公式为
#$（"）!（ % - $）# . + "&&+ / $"
)（ & . " ""++& % . & . " ""++&（ % . $））- ’ "+((( / $"(（ &" "$%(*（ % . ’）. ’&" "$%(*（ % . +）
- &" "$%(*（ % . *））. $+&"$，% # ’，! （&）
! " # 模型精度检验
模拟值的残差序列为
’ # &（ %）# $（"）（ %）. #$（"）!（ %）0 % # $，’，!，{ }(
#｛"，. $*("&，"，. **)) ",，)""( "&，. &’& "$，(+(" "&，. $"$," "*｝
相对误差为
"" #
$
% #
%
% ) $
&（ %）
$（"）（ %）
# " ""*%
$（"）（ %）的均值和均方差分别为
$$ # $% #
)
% ) $
$（"）（ %）# $$’%(, "&(，*$ )
$
%#
)
% ) $
（ $（"）（ %）+$$）%
’ ) $$&&(
&（ %）的均值和均方差分别为：
&& # . ’+$) ",)，*’ # ))&( ",
均方差比值 , # *’ - *$ # " "(&
小误差概率 . # / 0 &（"）（ %）.&& 0 1 " ")&*( *{ }$ # " "%&(
可知所建模型合格［*］，可以用来做预测。
! " ! 预测
将 % # %代入（&）式，可得序号为 ,的市场需求预测值为 $"*&%& " %’&")’’’’(，比较真实值 $"$"%" 可
知，预测值的模拟精度为 ,) "++0，说明该模型的预测效果是令人满意的。
将 % # ,代入（&）式，可得未来一年的市场需求预测值为 $")*%(吨。
* 结论
根据此模型应用的结果，可以得出以下结论：
（$）经过修正的 12（$，$）残差模型的精度大大提高，完全符合对煤矿企业销售量的预测。
（’）利用灰色模型对销售量进行预测，需要的数据较少。根据灰色系统理论，只需要知道连续 (年以
上的数据就可以建立该模型，并进行预测。
（+）对原始数据做累加生成时，一般来说做一次累加生成就可以进行建模，当然，如果数据波动较大，
也可以选择做两次累加生成，如在残差修正时就是在选取的残差尾段基础之上做了两次累加生成，从而提
高了数据列的有序性。
（*）对主模型进行残差修正时，残差尾段的选取会影响到模型的精度，应根据影响因素的作用，选择适
当的残差尾段建模，从而提高模型模拟精度。
（(）根据灰色系统理论的“新信息优先原理”，在建立模型时要尽量将新信息填充到数据列中［&］，这样
建立的模型才符合时效性。
参考文献
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万方数据
