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分数阶离散控制系统的建模与离散控制器
李元凯 1 赵世武 2
1． 重庆邮电学院自动化学院，（400065）
2． 滁州学院物理系，（239012）
摘要： 本文对分数阶控制系统和分数阶控制器进行离散域的分析，利用
离散的分数阶微分方程得出分数阶系统模型的数学描述，并得到分数阶
PI Dl m控制器和 TID控制器的离散模型。文章最后对一个分数阶离散系统进
行建模并进行讨论。
关键词： 离散系统 控制系统 分数阶微分方程 分数阶控制器
1. 引言
真实存在的控制系统往往都是分数阶系统，而分数阶微积分是用来描述真实物理系统的
更有力的工具，然而，我们在控制理论中很少利用这种工具来分析实际系统。直到最近几十
年，随着计算技术的发展，相关研究才逐渐被重视并取得了一些成果【2】【5】【6】【7】。但
是，多数研究都是在连续域中进行分数阶系统分析的，关于分数阶系统离散分析的文献依然
非常有限【1】【3】。分数阶控制系统的时域分析表明了分数阶次的遗传性和无限记忆性，这
一点在整数阶控制系统中是不存在的。因此，对于离散分数阶控制系统，就有必要得到一种
有限项差分方程的描述形式。这种数学描述可以由数值近似方法和 Z变换得到。本文就是从
分数阶微积分方程出发，根据经典控制理论中的一般分析方法，得到分数阶离散控制系统以
及分数阶离散PI Dl m控制器和 TID控制器的数学模型。
2. 离散分数阶微积分
分数阶微积分的思想是由整数阶微积分发展而来的，至今已有三百多年的历史。微积分
的阶次在实数范围内变化形成分数阶微积分，其操作数为 a tD
a
，其中 a和 t分别为上下限。
连续的分数阶微分操作数定义为：
Re( ) 0
1 Re( ) 0
Re( ) 0
( )
t
t
a
a
d dt
D
d
a a
a
a
a
a
a
t
-
ì
ï >ïï= =í
ï <ï
ïî
ò
（1）
由分数微分操作数的定义形式（1）出发，Grünwald-Letnikov作了如下描述【6】：
- 2 -
( ) ( )
0 0
1( ) lim 1 ,
t a
h
r
ta h r
d ff t f t rh
rdt hD
a
a
a a
a
-é ù
ê úë û
®
=
æ ö
= = - -ç ÷
è ø
å （2）
其中[ ]x 表示 x的整数部分。由于极限的存在，（2）式的极限表达并非是一种直观的形式，
于是在此基础上，Riemann-Liouville对其进行了改造：
( ) ( ) ( ) ( )
11D
1
m t
m
a t
a
df t t f d
m dt
aa t t t
a
+
-æ ö= -ç ÷G - + + è ø ò
（3）
其中， 1m p m£ < + ， ( )G 为 g 函数。
一般地，a 阶微分操作数 a tD
a离散化形式用函数 1( )s x - 来表示，其中 1x - 为变换因子。
利用这个函数，我们可以得到分数阶微积分的离散表达式。对于分数阶微分方程也可以得到
相应的分数阶差分方程作为其离散形式。我们定义此函数在离散采样下 z域一阶保持，有：
1
1 1( ) zs z
T
-
- -= （4）
对 1(1 )z a-- 进行幂指数展开，于是得到 Grünwald-Letnikov定义下的 Z域表达式：
( )1
0
1| [ ( )] 1
L
LT rr T
t t kT
r
D s z z
rT
a a
a
a
é ù
ê ú é ùë û -ê ú- ë û
=
=
æ ö
= = - ç ÷
è ø
å （5）
其中 T 为离散系统采样间隔时间，L 为离散近似表达式所保留的记忆长度，[ ]x 表示 x的整
数部分， ( )1 r
r
aæ ö
- ç ÷
è ø
是分数二项式系数 rCa，它存在如下递推公式：
0 111, (1 )r rC C C
ra a a
a -+= = - （6）
文献【9】中论述了更详尽的近似方法来对分数阶系统进行连续域和离散域建模，均源
于上述 Grünwald-Letnikov定义式和 Riemann-Liouville定义式。
3. 离散分数阶控制系统
分数阶控制系统
典型的分数阶回馈离散控制系统如图 1 所示， ( )cG z 为分数阶离散控制器， ( )oG z 为分
数阶被控系统的传递函数， ( )fG z 为分数阶系统的反馈回路传递函数。U(z)和 Y(z)分别是离
散系统的输入和输出。
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图 1 分数阶离散控制系统
以上分数阶控制系统在开关始终闭合时为一连续系统，其时域模型可以由下式建立：
1 0 1 0
1 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n m m
n n m m
y t y t y t u t u t u ta a a b b bD D D D D Db b ba a a- -- -+ + + = + + + （7）
其中
0 tD D
a aº ，且 1 0 1 00 , 0n n m ma a a b b b- -> > > ³ > > > ³ ,k ka b 为
任意实数。当图 1系统的开关以频率 1/T进行采样时，系统在离散域工作，我们就需要一个
离散模型对其进行数学描述。考虑到（4）中函数
1( )s z- ，我们在 Z域得到其离散的描述：
1 0
1 0
1 1 1
1 0
1 1 1
1 0
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
m m
n n
m m
n n
b s z b s z b s zY zG z
U z a s z a s z a s z
b b b
a a a
-
-
- - -
-
- - -
-
+ + +
= =
+ + +
（8）
上式中的函数 1( )s z- 由系统的采样时间间隔 T和近似分析所取的记忆长度 L所决定，是可以
用来表示采样系统特性的。采样特性确定时，我们得到 1( )s z- 函数在a 阶次下的相应展开
式（5），带入（7）式可得：
1 01 0
1 01 0
[ / ] [ / ] [ / ]
1 0
0 0 0
[ / ] [ / ] [ / ]
1 0
0 0 0
1 1 1( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] )
1 1 1( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] )
n nn n
m mm m
L T L T L T
r r r
n n
r r r
L T L T L T
r r r
m m
r r r
L L LC y k r C y k r C y k r
T T T T T T
L L LC u k r C u k r C u k r
T T T T T T
a a a
b b b
a a aa a a
b b bb b b
--
--
-
= = =
-
= = =
+ - + + - + + + -
= + - + + - + + + -
å å å
å å
å
（9）
上式即为分数阶离散系统的差分方程描述。式中的记忆长度 L在理论上是趋于无穷的，因此
我们得到的是一个近似的离散系统表达式，由此可以对分数阶系统进行近似时域内的参数辨
识，这不在本文的讨论范围之内。
分数阶控制器
分数阶控制器有许多种，其中 PI Dl m控制器和 TID控制器较多引起人们的重视。分数阶
PI Dl m控制器最早由 Podlubny提出【8】，与其它类型的控制器相比，PI Dl m控制器能更精确
的达到系统所需的性能指针，调节灵活。然而要使该控制器用于数字控制中，就有必要研究
它在离散系统中的工作特性。根据本文上一部分所述分数阶离散系统的数学描述方法，我们
考虑图 1中 PI Dl m 控制器 ( )cG z 的传递函数：
1
1( ) ( )( )
i
c p d
TG z T T s z
s z
m
l
-
-= + + （10）
其中，积分器阶次l和微分器阶次m均为任意非负实数。 , ,p i dT T T 分别是比例器、积分器和
微分器的增益，均为常数。将（5）带入（10），可得到分数阶PI Dl m控制器离散状态表达式：
E(z) Y(z) U(z)
-
( )cG z ( )oG z
( )fG z
- 4 -
[ / ] [ ]
[ / ] [ ] 0
0
( )
LL T rri T
c p dLL T r rr T
r
TG z T T C z
C z
m
l
-
- =
=
= + + å
å
（11）
当 1, 1l m= = 时，退化为整数阶的 PID控制器，它是分数阶控制器的特例。由于记忆长度 L
的存在，上式为 PI Dl m控制器的近似表达，它由 5个系统参数和采样时间 T所控制，可以
得到比整数阶控制器更灵活的控制性能。
相比较PI Dl m控制器，TID 控制器在结构上显得更为简单，其中体现分数阶性质的 T
环节取代了比例器 P，使得整个控制器仅有一个分数阶次，有利于系统的辨识。其离散形式
的传递函数如下：
1
1 1/ 1( ) ( )( ) ( )
t i
c dn
T TG z T s z
s z s z
-
- -= + + （12）
按同样的方法将（5）带入可得 TID控制器的离散状态表达式：
1
1[ / ] [ ]
1/
0
1( )
1
t
c i dLL T rr T
n
r
T T zG z T T
z TC z
-
-
-
=
-
= + +
-å
（13）
举例
考虑图 1所示分数阶离散反馈系统，用带有限记忆的差分方程对其进行建模，设被控系
统 ( )oG z 为有限阶次，有关参数为 0 1 2 0 1 2 0 0, , ; 0, , ; 1; 0a a a ba a a b= = = ， PI D
l m
控制器
( )cG z 的相关参数为 , 0, , 0,p i dT T T l m= = ，引入单位负反馈使得系统获得理想的稳态性能
和动态性能。于是可以得出连续域的分数阶系统闭环传递函数：
2 1
2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d p p da D y t a D y t T D y t a T y t T e t T D e t
a a m m+ + + + = + （14）
将系统以 T时间间隔采样，取记忆长度为 L进行离散化，可得表示离散化系统的差分方程：
2 12 1
[ / ] [ / ] [ / ]
2 1
0 0 0
[ / ]
0
0
1 1 1( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] )
1( ) ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] )
L T L T L T
r r r
d
r r r
L T
r
p p d
r
L L LC y k r C y k r C y k r
T T T T T T
L L Ly k r e k r C e k r
T T T T
a a T
a T T T
a a ma a m
mm
= = =
=
+ - + + - + + - +
+ + - = + - + + -
å å å
å
（15）
其中， 1, 2,k = ，其二项式系数由（6）式求得。
4 结论
本文将连续的分数阶微分算子离散化，并应用于描述系统的分数阶微分方程中，得出分
数阶离散系统的数学模型。这种数学模型能够方便的进行数字控制。由于分数阶次的无限记
忆性，文中所得的离散系统差分方程是真实系统的近似描述，但只要在建模时适当选取采样
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频率和记忆长度使得系统满足一定的量化函数，就能够得到足够精度的系统描述。此外本文
还得出了分数阶 PI Dl m控制器和 TID控制器的离散化形式，便于获得分数阶离散系统的各
项性能指标。最后文章对一个闭环系统作了举例说明。
参考文献
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[7] K. B. Oldham, J. Spanier: The Fractional Calculus. Academic Press, New York, 1974.
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[9] B. M. Vinagre, I. Podlubny, A. Hernandez, V. Feliu: On realization of fractional-order
Internationale Francophone d’Automatique, Lille, Jule 5-8, 2000.
FRACTIONAL ORDER DISCRETE SYSTEM
MODELLING AND DISCRETE CONTROLLER
Li Yuankai 1 Zhao Shiwu 2
1. College of Automation, Chongqing University of Posts and Telecommunications,（400065）
2. Department of Physics, Chuzhou College,（239012）
Abstract
Analysis for fractional order control systems and fractional controllers in discrete
domain is considered in this paper. Discreted mathematic models of PI Dl m
controllers and TID controllers are built with fractional calculus. A discussion is
provided in the example of modelling at the end of the paper.
Keywords: discrete system, control system, fractional calculus, fractional
controller
