第一章
随机事件与概率
第三节 条件概率
一、条件概率与乘法公式
二、全概率公式
三、贝叶斯公式
一、条件概率与乘法公式
条件概率 在随机试验中，已知事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B已发生的条件下事件 A 发生的条件概率. 记作
例1 在100个圆柱形零件中，有95个直径合格，有93个长度合格，91个两项都合格. 任取1个零件测量，求下列各概率：⑴直径合格，⑵长度合格，⑶两项都合格，⑷已知直径合格时长度合格， ⑸已知长度合格时直径合格
解 令A＝“直径合格”，B＝“长度合格”，则
AB＝“两项都合格”，从而，所求概率为
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
定义1 设A，B是两个事件, 且P(A)>0, 称
为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.
定理1 (乘法公式) 由条件概率定义，得
，(
)；
，(
) .
公式推广 对任意n个事件
．
例2 一批灯泡共100只，有10只是次品．不放回地抽取3次，每次取1只，求第三次才取得合格品的概率．
解 设
“第
次取出的是合格品”，
，
则所求为
．
因为
于是由乘法公式得
．
二、全概率公式
定理2 设基本空间
是有限个两两互斥事件
的和，
即
(此时称
为
的一个划分)，且
，则
对任意事件
，有
．
B
称定理2中的公式为全概率公式．
例3 设一个仓库中有10箱同样规格的产品，其中5箱是甲厂生产的，3箱是乙厂生产的，2箱是丙厂生产的，又已知甲、乙、丙厂生产的产品的次品率分别为、、，现从这10箱中任取一箱，再从此箱中任取一件产品，求取得正品和次品的概率．
解 设
分别表示“取得的产品是甲、
=“取得产品为正品”，则
=“取得产品为次品”．于是
乙、丙厂生产的”，
．
在此例中，若已知取得的一件产品是正品，求其是乙厂的产品的概率，则为条件概率 ．
．
同理可求得：
如此求“条件概率”的方法称为贝叶斯公式．
三、贝叶斯公式
定理3 设基本空间
是有限个两两互斥事件
的和，
即
，且
，则对任意事件
，若
有
例4 某种症断癌症的试验具有如下效果: 若以A表示事件"试验反应为阳性", 以C表示事件"被论断者有癌症", 则有
设被试人患有癌症的概率为, 即P(C )=, 试求P( C | A ).
解 已知P( A|C )=,
由贝叶斯公式得
小 结
1 求条件概率时，要分清哪个事件是条件，要求哪个事件的概率；此处的“条件”是在试验的基础上又知道的事情．
2 区分“无条件”概率与“条件概率”，二者一般不等．前者一般称为“验前概率”，由贝叶斯公式求出的条件概率一般称为“验后概率”．
3 在实际问题中，乘法公式用的较多．
4 注意全概率公式的特点及应用方法．
思 考 题
等式
是否正确？
思 考 题 答 案
答：正确，证明如下：由条件概率公式得
代入第一个等式得
所以
作 业
