第 30 卷第 2 期
2013 年 06 月
阜阳师范学院学报(自然科学版) Vol. 30 , No. 2
Jun. 2013 Joumal of Fuyang Teachers College (Natural Science)
风险度量的最优控制
严钧
(扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002)
摘 要:考虑由随机微分方程驱动的价格过程的煽风险度量的最优控制问题，借助于动态规划原理，最后得到了该最
优控制问题的值以及相应的最优控制。
关键词:风险度量;随机微分方程;动态规划原理
中圈分类号: 021 1. 6 文献标i只码 :A 文章编号: 1004-4329 (2013) 02 -008 -03
Optimal control of risk measure
YAN Jun
(School 01 Mα;thematical Sciences , 1íαngzhou University , Yangzhou Jiαngsu 225002 , Chinα)
Abstract : The problem of optimal control for entropic risk measure of pricing process driven by stochastic difIerential equa-
tion is considered. By virtue of the dynamic programming principle , the value of optimal control problem and the corresponding opti-
mal control are obtained.
Key words: risk measure; stochastic difIerential equation; dynamic programming principle
目前风险度量是数理金融研究的热点，常见的
风险度量有 V@ R( Value at risk) , CV@ R( Condi-
tional value at risk) , ~摘风险度量和一致'脑风险度
量[ ].3] 等。对于风险度量的研究主要集中在风险度
量的极限性质，风险度量的统计分析，以及风险度
量的近似计算等。与这些研究结果不同，本文考虑
风险度量的随机控制问题，这方面的研究可以参见
文献[4J 。具体地，我们打算考虑由随机微分方程
驱动的价格过程的孀风险度量的最优控制问题，将
得到该最优控制问题的具体值以及相应的最优控
制。
1 预备知识
一般地，风险度量 σ( . )是满足如下性质的泛
函:
(i) 单调性:如果 X 三 Y，则 σ(X) 三 σ(Y) ;
收稿日期 :2013 -04-18
基金项目:扬州大学创新培育基金(2012CXJ003) 资助。
( ii) 现金不变d性:对任意的 mε R ，σ(X + m)
=σ(X) - m;
进一步，如果 σ( . )满足如下的拟凸'性;
( iii) 拟凸性:σ(λX + (1【 λ) Y) 三
max(σ (X) ， σ ( Y)) ，其中 λE [O ， IJ ，则称 σ( • )为
凸风险度量，我们称σ( . )是一致风险度量，如果它
还满足如下的正时齐性;
(iv)σ(λX) = λσ(X) ， λ 三 0 。
下面我们来做一些准备工作，首先来给出'脑风
险度量的定义，假设 X 是定义在概率空间
(fl ， F ， P) 上的随机变量，则 X 的情风险度量定义
如下:
e
o
(X) = 上log E( e训(1)
p
其中 ， p 是一个非负常数，根据风险管理的一般理
论，或者根据凸分析理论的变分公式，我们知道情
作者简介:严 钧(1982 - ) .男，博士，讲师。研究方向:概率论与数理统计。
第 2 期 严钧:风险度量的最优控制 9
风险度量 eρ (X) 还有如下的稳健表示:
el' (扣剖|扎 X) - 卢盹P) I (2)
其中M表示关于概率测度 P绝对连续的概率测度
的全体 ， EO( .)表示关于概率测度 Q 的数学期望，
H< Q ， P) 表示概率测度 Q关于 P 的相对'脯，其定义
如下
Q,P) = {EO(log 业) Q ~ P P) = ~ \ --0 dP
+∞ 其他
本文主要考虑随机过程 {X"O :::三:::三凹的'摘
风险度量的随机控制问题，其中
{X"O ~三 t ~ T}满足如下的随机微分方程:
dX, = X，(μu， + r(1 - u.))dt + σX，u， dB， (4)
其中 B， 为标准布朗运动 ， u， 表示控制变量，它是一
(3)
个循序可测的随机过程，满足 Jht<+ ∞ α S. ,
μ ， r 是常数， σ 是正常数 ， u， 表示投资者投资到银
行的部分，而 1 - u ， 表示投资者投资到股票等证券
的部分，根据自融资假设，投资者的财富过程
{X"O :::三 t ~ T}应满足随机微分方程(4) ，受到情
风险度量 epCX) 稳健表示的启发，我们考虑如下的
最优控制问题:
e! (log Xr ): =
J?E护(-logXT)-fH( 矿 ， P)} (5)
其中集合ME 是M 的子集，具体地，
ME = {Qu E M在|η=
叫fo u，战- ; J>;dt}}
证明 用动态规划原理[日]来解决定理中随机
控制问题，首先，定义值函数飞 (x) 如下:
V,(x) == ~~p EO"( - 10g Xr 一丰jJujdt) (7)
根据动态规划原理[8] 我们知道 ， V， (x) 满足
下面的 HJB 方程
。V.(x) ., ,
"
aV,(x) 丁厂 +?!!piMu+r(l-u)+σu2 )x 丁7+
σ与2U2 a2V,(x) u飞一-一一一τ一一了 I = 0 (8) 2 i3x~ 午'
最优控制 U 应该具有如下的形式:
(矶(x)μ-r)Z}-一一u, = - u,"".. , ( 9 ) 2 叫(元) 2 2 叫")lσz 一一-一一-+σ x- -一一一-- -一一i3x ax. p
假设飞(x) = -log x + 叭，其中 αz 是一个关于
t 的非随机函数，通过简单的计算，可以得到最优控
制是常数，即
u
_ =一一一丝」二王σ2 _ 2σ-p-l
此时， HJB 方程就转换成如下的常微分方程
(10)
+ 、.，9·* u σ + 、飞，/
曲'
u 1 ，，，‘、沪，+
..
u μ (
jmzE
、-JZA --A J't
、
AU
--
'冒
'-nu
u-7Hi u叫一2
即满足下面方程
dα~μ
_
r)2
dt -.
, 2(σ2 _ 2σ-ρ-1 ) (12)
注意到
V1' (x) =-logx+αl' = - 10g x ,
(6) 所以 αr = 0 ,
进一步，常微分方程(12) 的解为
2 主要结果和证明
主要结果如下:
定理 l
eFlog X7 >=
。可EE{EhElogX户士H( QU ,P) } =
(且一 r)2
- log Xo - rT > 空抖 -1 , T 2(σ2 _ 2σ-ρ-1)
其中最优控制为队="2~
_1 ，进一步，我
σ- .t.σ-ρ
们有
(μ _ r) 2 lim-ef(iog XT)=-r-T~P\WC .'1' 1 - 2(σ2 一 2σ-ρ-1 )。
α. = (r+= jμ _ r)2 ;-ìCt - T) 2. (σ"
-
2σ-ρ-1 ) I
对应的值函数 V， (x) 有如下的表达
v~ (x) = - 10g x +
(+jμ _ r)2;-:-)(t
- T) (1 4) 2Cσ2 _ 2σ - p -') J
最后，根据 V，( x) 的定义，我们知道 e: Clog Xr ) 与
Vo (Xo ) 相同，也就是说
小 log X r ) = Vo(Xo) =
(13 )
- 1。在 Xn-rT-jμ _ r)2 ,-:T (15) <:> --u 2 (σ2 _ 2σ-ρ-1 )
定理 1 得证。
定理 l 考虑的是单变量的最优控制问题，我们
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还可以考虑如下的双变量最优控制问题，具体地，
我们考虑如下的优化问题
(afPJLJEQj(-log XT)- 上H( 矿 ， P)} (1 6)
kρJ
其中r = 1叫a~ds < +∞ f ，A 是控制变量 u 的集
A 口，
豆豆几 =exp|lsd- 上 ra;dtf 。dP 'r , -'-"')0-'--' 2)。
我们有如下的主要结果。
定理 2
MJAFF耳xA)i EQ"(-log XT)-iH( 矿 ， P) f = } e (rXA)ρ
- log Xo - rT - 一 1 一(ι二!.)2T (17)
u 2(ρ+ 1)σ
最优控制为
α= ---1ι二三-.-_u. = ~-μ (p + 1)σ2'- - (l+ l/p) σ'
进一步
h÷(GU凯
-r-~一一(坠二主)2 。(p + 1)σ
定理2 的证明与定理 1 的证明是类似的，我们
将其省略。
参考文献:
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