武汉科技大学硕士学位论文分数布朗运动下红利亚式期权定价姓名：徐娟申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：王志明2010-11-01
武汉科技大学 硕士学位论文 第I页 摘 要 期权定价理论历来都是现代金融学的核心研究内容之一，传统的期权定价的方法都是基于经典的Black-Scholes期权公式，而此公式的假设条件是标的资产价格变化服从由标准布朗运动驱动的随机微分方程． 但是近些年，通过大量研究发现，金融市场中标的资产价格或多或少都有某些依赖性和相关性．也就是说，以前假设股票价格变化服从标准布朗运动的假设条件过于理想化，得到的结果和实际金融活动有很大的偏差．若用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述标的资产价格，更符合实际金融市场． 很多学者利用分数布朗运动随机分析理论研究了期权的定价．本文正是基于分数布朗运动这一理论，研究了带红利的亚式期权的定价问题，结合拟-条件期望及拟-鞅等相关理论，得到了几何平均亚式期权的定价公式．对分数布朗运动环境下的期权定价模型进行了推广． 最后，考虑到几何平均亚式期权的定价公式稍显复杂，而且算术平均亚式期权由于其未定权益具有轨道依赖特性，没有得到它的解析的定价公式，所以给出了分数布朗运动环境下带红利的亚式期权定价的一种简单数值模拟方法． 关键词：分数布朗运动；拟-条件期望；拟-鞅；亚式期权；红利．
武汉科技大学 硕士学位论文 第II页 Abstract Option pricing theory is always one of the core research contents of finance. The traditional study of option pricing methods are based on the classical Black-Scholes options formula， and one of the assumptions of this formula is that stock price changes obey stochastic differential equation driven by standard Brownian motion. But in recent years，many scholars have found that the financial market bid asset prices have certain dependence or correlation in short-term or long-term， that is to say， previously hypothesis is too idealistic that the share prices obey standard Brownian motion conditions. The obtained results have very big deviation in actual financial activities. A more reasonable way is to use stochastic differential equation driven by fractional Brownian motion to describe the stock price, which is more actual in financial markets. Many scholars use fractional Brownian motion stochastic analysis theory studied option pricing. This paper using fractional Brownian motion new theory， discussed the Asian option pricing. Combining fitting - conditional expectation and fitting - martingale related theory， got geometry average Asian option pricing formula， generalized the option pricing model under the environment of fractional Brownian motion. Finally，considering the geometry average Asian option pricing formula is slightly complex，and arithmetic average Asian option can not get its analytical pricing formula since its contingent claimed characteristics rely on its rail， this word put forward a simple dividend Asian options pricing numerical simulation method under the environment of fractional Brownian motion. Key words: fractional Brownian motion; fitting-conditional expectation; fitting– martingale; Asian option; dividends.
武汉科技大学 硕士学位论文 第1页 第一章 绪论 背景说明 在数理金融学中，对期权价格的研究一直都占有相当重要的地位．期权交易最早始于股票期权，已有数十年历史，现在的利率期权、外汇期权、股指期权等都是在股票期权的基础上，在20世纪80年代初创立的新的投资工具．期权定价理论的产生要比阿罗-德布罗的新古典一般均衡分析早半个多世纪．巴舍利耶假设股票价格服从漂移布朗运动，从而建立了第一个期权定价公式[1]．1973年，以Black-Scholes公式为标志的期权定价理论是现代金融学的一个里程碑． 在金融市场中，期权就是投资者与证券发行商之间的远期合同，期权持有者在合同规定的到期期限，有权获得合同确定的未定权益．期权合约是合约持有者有权按预定价格买入或卖出某项资产或货物．期权赋予合同持有者某种权利，但合同持有者并不一定必须行使该权利．期权有欧式期权和美式期权之分，欧式期权是期权合约中所规定的到期日才能执行的合约，而美式期权是在到期日之前任何时间均可执行的期权． 期权的价值称为期权费，它是期权获得者必须付给卖期权方的费用．期权的最基本功能是使投资者可能调整其基础资产的投资风险．比如，将无风险资产和股票指数买入期权进行组合开始，投资者就可以获得一个有保证的最低收益率，又能享有股票增值的期望收入． 期权定价理论在金融理论和金融实际中被广泛地加以应用．当今世界经济复杂多变，风险随处可见，围绕套期保值的期货、期权及其它衍生金融工具，已经成为经济发展必不可少的工具．目前我国金融体制还不十分健全，资本市场不完善，但可以预知，随着我国经济和金融市场的发展，金融产品的创新定会成为我国资本市场成长的重要组成部分．尤其是在如今世界经济全球化的国际环境下，对规避资本市场风险的金融衍生产品市场的研究是非常重要的．加强对期权定价理论的研究可以帮助我们设计更有效的风险管理方法，确定正确的投资及融资决策，为我国资本市场的发展做出重要的贡献[3]． 迄今为止，我国尚未形成独立完整的期权市场，但这并不意味着期权定价理论在我国没有用处．现实生活中，与公司财务关系最密切的一些金融资产如股票、可转换债券及认股权证等，均蕴含了期权的思想．应用期权定价理论对这些金融资产进行定价，对我们准确把握公司价值，分析公司的投资和融资问题，以及对公司进行资产重组、兼并和收购等均具有重要的现实意义[4]． 由于期权合约灵活多样，适于创造，又有一个庞大的场外交易市场，因此就涌现出了大量的经过普通期权派生出来的新品种，以满足金融市场的特殊需要．亚式期权就是其中的重要的代表性产品，它产生于20世纪90年代，是一种依赖标的资产价格路径的期权，即它在到期日的收益依赖于期权整个有效期内的标的资产的平均价格．由于普通欧式期权到期日的价值与路径无关，只和到期日的股价有关，因此很难防止有人故意操纵到期日的
武汉科技大学 硕士学位论文 第2页 价格从中套利．而与路径相关的亚式期权就可以可以缓解这种投机行为．而且，亚式期权比标准期权价格更便宜，可以用来对冲在指定时期内的风险．亚式期权在国际贸易、基金公司、保险公司等许多金融领域有着广泛应用，因而其定价也具有重要意义[4]．但是，由于涉及价格路径，亚式期权的定价要困难一些．所以国内外很多学者在亚式期权的定价方面，作出了很大的努力，也取得了很大的成绩． 国内外相关研究状况 第一个关于期权的理论是由法国数学家路易斯．巴舍利耶在1900年首先提出的．他认为，在完全公平竞争的情况下，期权价格与到期日合约的平均损益相等．这类期权定价理论有很大的不足之处，它要求期权价格依赖于标的资产未来价格的概率分布和投资者的风险偏好，而实际金融市场中，资产价格概率分布和投资者的风险偏好是根本无法事先观测和准确估计的，这就限制了这些公式在实际金融生活中的使用，也使得这些理论没有得到很好的发展．一直到1973年，Black和Scholes才使人们能够更好地通过无套利机会来理解期权理论与期权定价模型．这种理解要求两个理想的条件：市场的时间和市场的价格必须是连续的． Black—Scholes模型是解析方法的典型代表，得到了广泛的应用，而且这个模型还可以用实际数据进行计量分析．此模型的基本假设为股票的价格服从对数正态分布，进而推导出欧式期权的定价公式． 随着对期权定价研究的进一步加深，人们对定价理论的实用性的要求也更高，这也促使了期权定价的快速发展．现在，很多学者已经致力于寻求更少的的假设条件和更符合实际的模型的研究，提出了分数布朗运动随机分析理论，推广了Black—Scholes公式，下文将会详细叙述两种理论的发展状况． 另外，亚式期权是场外交易中最受欢迎的新型期权之一，是在金融市场的不断发展完善中逐步形成的．它既有传统期权的普遍优点，又有其优于传统期权的特点．关于亚式期权的定价问题也一直是金融领域的热点．亚式期权有几何平均亚式期权和算术平均亚式期权两种类型，对于这两种不同的亚式期权，不同的学者应用不同的方法进行研究，具体研究方向即分为两种，基于标准布朗运动和基于分数布朗运动．由于标准布朗运动理论的提出更早，因此发展也更成熟，研究取得的成果也更多．而基于分数布朗运动的研究尚处于初始阶段，成果相对较少一些．总而言之，这些优秀成果，极大地丰富和发展了亚式期权定价理论． 基于标准布朗运动随机理论的研究 传统的期权定价理论都是基于Black-Scholes期权定价公式的，其假设条件之一就是标的资产价格服从由标准布朗运动驱动的随机微分方程． 布朗运动随机过程方法开辟了现代金融研究的一条新路，用罗伯特．C．莫顿的话说就是，随机布朗运动分析为现代金融研究开启了另一扇大门．将布朗运动与资产价格变化
武汉科技大学 硕士学位论文 第3页 联系在一起，进而建立起基于布朗运动的随机过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位．迄今为止，大多数学者的观点仍认为，资本市场是随机波动的，随机波动是资本市场最根本的特征，是资本市场最基本的状态． 布朗运动分析理论假设股票价格S(t)满足方程dS(t)=m(t)S(t)dt+s(t)S(t)dW，其中tm(t)为股票平均回报率，s(t)为股票收益波动率，W为风险中性概率空间上的标准布朗运t动．要得到期权定价的显式解，首先要利用Itoˆ随机积分来构造无套利市场模型，由此得到期权的无套利价格所满足的Black-Scholes偏微分方程，解此偏微分方程即得期权定价的Black-Shcoels公式[4-8]． Black-Shcoels公式的理论意义在于，它可以证明证券价格在到期日下跌到执行价格以下再多也不会给期权持有者造成更多的损失，但是，如果届时此价格很高的话，期权持有者会获得更大的利益．另外，该结论把期权价格与风险之间的关系论证得如此非常透彻，这也是Black-Shcoels公式对现代金融分析的巨大贡献，同时也对研究货币政策与金融市场波动问题具有非常重要的参考价值．在期权定价公式中并没有非常清楚地表现出股票的预期收益率，其结果是反映在股票价格上．关于未来股票价格预期的任何变化，将导致股票价格变动，因此期权价格也会发生变动．但是，对给定的任一股票价格，不必知道股票的预期收益也可以推导出期权的价格，这也是Black-Shcoels期权定价公式的一个重要优点． 实际上，期权定价理论可以用来讨论所有的价值取决于不确定的未来资产价值的类似期权的商品．许多金融合约内在地包含着期权．在家庭融资中，当利率下跌时，提前清偿权使房主有权与贷款人重新商洽利率；汽车租约赋予消费者在租期结束时按预定价格购买汽车权利，而不是义务．Black-Shcoels期权定价理论应用广泛而相应的假设很少，模型的一些变量参数可以通过观察或者可以按照历史数据估计得到，另外，模型的通用性很强，可以适用于其他期权或者类似期权的定价中[3]．这些优点使得此公式有很强的实际应用性，并且得到了社会的广泛关注，进而不断推动其发展与成熟． 基于Black-Scholes模型，国内外学者做了大量的工作，使得期权定价理论得到了很大的发展，并逐步完善．亚式期权是现代金融市场上重要的工具，其到期收益与一段时间内的标的资产的平均价格息息相关．鉴于本文主要讨论亚式期权的定价公式，所以以下主要介绍关于亚式期权定价的相关成果． Kemna&Vo[9]rst通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式．几何平均亚式期权可以用一个明确的解析式来计算，因为如果标的资产价格服从对数正态分布，那么价格的几何平均值也服从对数正态分布．因此，就能够得到几何平均亚式买入和卖出期权的价格． Edmond Levy [10]利用几何布朗运动将亚式期权的定价转化为常规欧式期权的定价，从而计算出了精确算术平均价格近似值．Curran在同年提出了一种基于几何调节方法的近似算术亚式期权方法．这个模型着眼于我们所学的几何分布以及标的资产价格在特定点的值．通过对每个时间点上的数取自然对数．我们就可以得到在几何分布下的标的资产价格，
武汉科技大学 硕士学位论文 第4页 最后求积分计算． Hu [11]ll&White在二叉树的模型上增加一个结点，然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值，最后通过后向折现计算出了亚式期权价格．但是，这种方法不能保证收敛性． Rogers&Shi [12]提出了用有限差分法来解亚式期权问题，他们根据比例缩放的性质，将平均亚式期权价格计算简化为解一个二元抛物线偏微分方程．但是这种方法适用于较低的波动率和较短的到期时间．ChalasaniJha&Varikooty (1997)在Rogers&Shi模型的基础上修改了用来估计期权条件期望的随机变量z，得出了亚式期权精确解的下界．Chalasani，Jha& Varikooty(1998)使用三叉树法计算了离散的亚式期权，而Thompson(2000)改进了此方法，使之更精确[13]． 曲军恒[14]在Black-Scholes经典模型的基础上，研究了有固定敲定价格的亚式期权，并根据有交易费的普通欧式期权的定价公式，推导出了有交易费用的非线性的亚式期权定价模型．然后再化简、分析相关的方程，在特定的假设条件下，把比较复杂的非线性的期权定价模型转换为Cauchy问题，并通过计算，得到了考虑交易费用的亚式期权定价公式． 罗庆红，杨向群[15]研究了具有固定敲定价格的几何型亚式期权在任意有效时刻的定价问题．根据高斯随机变量的和及其极限仍然服从高斯分布的性质，得出股票价格的几何平均值仍服从高斯分布，然后用鞅方法得出了几何型亚式期权在任意有效时刻的定价公式，重要的是公式中反映了以前的市场信息． 郭娜，刘新平[16]在标的资产价格服从标准布朗运动的前提下，考虑标的资产支付红利，利用鞅方法得到了具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式． I 朱海燕[17]运用概率的方法，对非风险中性意义下支付红利的几何平均亚式期权的定价模型进行了研究，并给出了该亚式期权的解析表达式．该模型在风险中性意义下包含了原始的Black—Scholes模型所推导的几何平均亚式期权的定价公式． 柳洪恩，孔繁亮[18]在市场无套利的假设下，讨论了Black—Scholes模型的一般情形．研究了具有固定敲定价格的几何型亚式期权在任意有效时刻的定价问题．利用鞅方法得出了几何型亚式期权在任意有效时刻定价的解析表达式，并由此得出其看涨看跌平价公式． Black-Scholes公式的应用广泛，如风险管理方法的设计，融资和投资策略等；①期权定价公式可用于一般衍生物期权定价；②期权定价理论及其公式可用于债务定期和贷款担保；③期权定价理论及其公式可用于投资决策.一般来说，凡是具有期权特点的问题（已知目标，求初始投资）都可以利用Black-Scholes期权定价理论和方法进行研究[19]. 这些相对简单、精确、且容易计算的公式使得计算欧式买入卖出期权变得十分简单，这可能是由几何布朗运动构造出的价格模型比较简单，且Black-Scholes公式中不出现漂移系数μ，但有时候它对真实市场模拟的并不精确[17].B—s模型也存在着一些不足之处[3]： 1．Black-Scholes模型是假设股票价格的概率分布为对数正态分布，但是实际上，股票的价格变化时不确定的，如果其分布与对数正态分布的差别太大，就会出现很大的偏差． 2．Black-Scholes模型假定过去的股票价格波动率代表现在或将来的变化．然而实但是
武汉科技大学 硕士学位论文 第5页 在实际金融市场中，这些数据是处于变化之中的，此时通过Black-Scholes期权定价模型得到期权价格很可能与实际有很大的不同． 3．理论上，Black-Scholes公式的模型假设条件相对较弱，但是其与现实资本市场还是有很大的差别：因为市场是由各种各样的不同的投资者参与形成的，每个人都有各自的特点，即使在特定条件下假设其符合一定的通用的规律，也很难将其概括为严格意义上的数学模型． 基于分数布朗运动随机理论的研究 一直以来，国内外对Black-Scholes模型的研究都在进一步深入，关于股票价格模型的实证和理论、Black-Scholes期权定价模型的研究仍然处于重要地位，其已经取得的成果为期权定价理论的进一步发展以及更广泛的应用研究提供了良好的条件[20]． 近几年来，通过大量研究发现，金融市场中标的资产价格或多或少都有某些依赖性和相关性．所以，更加合理的假定是股票价格的变化满足以下微分方程 dS(t)=S(t)[mdt+sdBH(t)]， 其中{BH(t),0≤t≤T}为分数布朗运动，H(0<H<1)是Hurst参数(如果H1=，即为2标准布朗运动)．所以可以说标准布朗运动其实是分数布朗运动的一种特殊情况，分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性，能更加准确地反映金融市场的特性，实际研究也发现大多数股票价格的Hurst参数H1≠，这更加说明了以前的Black-Scholes模型所假设的股票2价格的变化过程太过于理想化，所以更加符合实际的是用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述股票价格．由Benoit Mandelbrot和Van Ness提出的分数布朗运动模型是具有自相似性、非平稳性两个重要性质，可以揭示许多自然现象和社会现象的内在特性．分数布朗运动特征是时间相关函数，即有持久性或反持久性,即通常所说的具有“长程相关性”，不能用通常的随机理论来分析．分数布朗运动中的增量不是独立的，而布朗运动中的增量是独立的． 在实际金融市场中，大多数人在接收到信息的时候不会立即做出决策，而会进一步确认信息，而且不等到趋势特别明显就不会轻易做出决定．这样，为证实一个信息发展趋势所需的确认时间是不同的，由此产生的信息处理的不均等的过程就很可能会导致一个有偏的随机游动．曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动．这也可以说明，金融市场是服从分数布朗运动的，传统的布朗运动理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形．分数布朗运动可以对具有分形特征的自然现象的高阶的近似逼真的描述，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似．将两者联系起来使我们进入了一个全新的金融市场领域． 分数布朗运动随机过程的如下特点，也证明了上述结论． (1)分数布朗运动不是马氏过程，也不是半鞅，因此可以通过它来描述半鞅随机过程和
武汉科技大学 硕士学位论文 第6页 马氏过程所无法描述的复杂数学模型． (2)分数布朗运动是一类高斯过程，标准布朗运动其实就是分数布朗运动的特殊情形，因此分数布朗运动理论更能代表更一般的情况． (3)分数布朗运动具有长程的相关性，这也符合实际金融市场的特点，因为未来某时刻股票的价格既与其现在的价格相关，也与过去一段时间的价格相关．Brody，Syroka和Zervos指出了气温可以很好地用Hurst参数约在0．6到0．7之间的分数布朗运动驱动的O-U过程来建模[20]． Duncan ， Hu Y（2000），Bender C（2003）等学者通过对分数布朗运动的随机积分相关理论的研究和分数布朗运动的模拟，已经得到了很好的结果．发展了与分数布朗运动相对应的Ito公式及Girsanov定理等[21]． 刘韶跃，杨向群[22]利用关于分数布朗运动的随机分析理论，给出分数布朗运动环境下欧式未定权益定价模型．在此基础上，建立了具有随机寿命的欧式未定权益定价模型，并得到一些具体的欧式未定权益定价公式． 薛红，王拉省[23]在假设股票价格变化模型服从由分数布朗运动的情况下，建立了分数布朗运动环境下金融市场数学模型，并通过分数布朗运动相关理论和未定欧式未定权益的定价方法，得出了欧式未定权益的定价公式，进而得到吧欧式最值期权价格的价格定价公式以及看涨看跌期权的平价关系． 刘韶跃，方秋莲，王剑君[24]在基础标的资产价格受多个分数次布朗运动影响的条件下，分别在无红利支付和有红利支付且无风险利率r(t)及红利率d(t)为非随机函数的情况下求出了各种混合期权的定价公式． 孙玉东，薛红[25]假设标的资产价格变化服从分数布朗运动驱动得到微分方程，利用偏微分方程的方法对欧式期权的定价进行了推广．在假设无风险利率、股票波动率以及红利率都为时间t的函数的条件下，利用分数布朗运动的Ito公式，得到欧式未定权益的一般Black—Scholes偏微分方程，并通过求解偏微分方程得到了欧式期权定价公式． 由于亚式期权定价的复杂性和特殊性，基于分数布朗运动的亚式期权的研究目前还不太成熟．阳小红[26]在标的资产价格服从几何分数布朗运动模型假设下，使用偏微分方程的方法推导了几何平均亚式期权的定价问题． 本文研究内容 尽管已有不少学者研究了基于标的资产价格服从分数布朗运动驱动的微分方程的期权定价，并取得了一些成绩，但还远远不够，还有许多关于各类期权定价的更实际的问题更有待解决，更需要人们的重视与投入．这正是目前国际上研究的热点．许多文献在讨论亚式期权定价问题时，都没有考虑标的资产有红利支付的情况．而实际上，如今的股市如火如荼，特别是2007年，股市异常火爆，出现了分红鼎盛时期．因此，在期权定价模型中加入红利因素，也有很强的现实意义． 本文假定期权标的资产价格服从由分数布朗运动驱动的随机微分方程，利用分数布朗
武汉科技大学 硕士学位论文 第7页 运动的随机分析理论，结合拟-条件期望和拟-鞅等相关概念，对亚式期权定价理论作了一些研究．全文分为五章． 第一章绪论，主要介绍了期权定价理论的历史与现状，以及本文研究的主要内容． 在第二章中，主要是一些预备知识，介绍了分数布朗运动概念、关于分数布朗运动的随机积分及有关性质，拟-条件期望和拟-鞅的定义． 第三章，我们首先给出在分数布朗运动环境下金融市场的描述以及未定权益的定价，其次研究了分数布朗运动环境下带红利的几何平均亚式期权的定价问题，得到了不同情况下的几何平均亚式期权定价公式． 第四章，考虑到几何平均亚式期权的定价公式稍显复杂，而且算术平均亚式期权没有解析的定价公式，所以提出了分数布朗运动环境下带红利的亚式期权定价的一种简单数值模拟方法． 第五章结束语，总结了本文在分数布朗运动环境下期权定价理论的主要工作，以及还需进一步研究的一些问题．
武汉科技大学 硕士学位论文 第8页 第二章 预备知识 分数布朗运动的介绍 分数布朗运动是由Kolmogorov1941年于在希尔伯特空间框架中定义和研究的，并命名为Wiener螺线，初步形成其理论雏形．后来，Mandelbrot和VanNess在1968年提出了“分数布朗运动”的概念及其构造方法[27]． 定义 (Ω,F,P)是完备的概率空间，H∈(0,1)为固定常数，具有参数H的分数布朗运动是一高斯过程{BH()}={BH(,);∈,∈Ω}，且满足： t∈R+twtR+w(1)BH(0)=EBH(t)=0，对所有t∈R+； 1(2)EBHHHH(t)BH(s)={222t+s−t−s} s,t∈R+． 2E表示关于概率测度P的期望，R+={s:s>0}．H即称为Hurst参数． 如果H1=，则BH(t)为标准布朗运动，用B(t)表示； 2如果H1>，则BH(t)是持久的或有长程关联性，即 2r(n)=E{BH(n)⋅BH(n+1)−BH(n)}>0，对所有n=1,2,K +∞且∑r(n)=∞． n=1如果H1<，则BH(t)是反持久的，即 2r(n)<0， +∞且∑r(n)=∞． n=1分数布朗运动的另一个重要的性质是自相似性，对任意的H∈(0,1)和a>0，BHH(a)∈+=aB(t)tRt∈R+有相同的有限维分布． 分数布朗运动的上述实用性质使得它成为许多领域应用中的一个非常有用的工具[22]． 分数布朗运动的积分及有关性质 分别赋予(S)，(S∗)以射影拓扑及归纳拓扑，则(S∗)是(S)的对偶． 分数次白噪声WH(t)是BH(t)在(S∗)中的导数． 定义[28]假设F(w)=∑aaHa(w),G(w)=∑bbHb(w)均属于(S∗)，则定义Wick积 abF◊G(w):=∑aabbHa+()=∑(∑aab)Hg(), aga+b=g
武汉科技大学 硕士学位论文 第9页 ∞并且假设X∈◊◊(S∗),则Xn=X◊XL◊X(n个)，1expX=∑X◊n（如果级数收敛于(S∗)）． n=0n!定义[28] 假设Y:R→(S∗)使得Y(t)◊WH(t)在(S∗)中可积，则称Y关于分数次布朗运动BH可积，且定义 ∫Y(t,w)dBH(t):=∫Y(t)◊Wtdt． RH() （） R为Y(t)=Y(t,w)关于分数布朗运动BH的随机积分或Y(t)的分数次Itoˆ积分． 用经典的关于标准布朗运动的Skorohod积分来刻画式（）如下： ∫Y(t,w)dB(t)=∫Y(t)B(t)RH． R上式右端表示关于标准布朗运动的Skorohod积分． 另外，记t∫Y(s)dBH(s)=∫Y(s)I[0,t](s)dBs，如0RH()t∫BH(s)dBH(s)=∫BH(s)◊WH(s)ds 00td =∫BH(s)◊BH(s)ds 0ds1 =B◊2 H(t) 21212 =BHH(t)−t． 2对分数Itoˆ积分，有下列性质[29]： (1)ERY(t)dBH(t)=0∫； (2)如果Y∈L1,2H(R)，且0<H<1，有 E=E2(RY(t)dBH(t)∫R(MHY(t))dt∫+E2H2∫R∫RD(MY)(s)D(MY)(t)dsdt． tHsH注：此即为分数Itoˆ等距性公式． 特别地，如果Y=∈L2fH(R)且0<H<1，则有 EY222(R(t)dBH(t)=R[MHf(t)]dt=f∫∫H． 为方便起见，通常将积分形式简单记为其对应的微分形式．例如，如果a(⋅),b(⋅)为局部有界确定性函数，X(0)为初始条件，则有 ttX(t)=X(0)+∫a(s)X(s)ds+∫b(s)X(s)dBH(s)， () 00简记为dX(t)=a(t)X(t)dt+b(t)X(t)dBH(t)． () ()式可改写为
武汉科技大学 硕士学位论文 第10页 dX(t)=a(t)X(t)+b(t)X(t)◊WH(t) dt =X(t)◊[a(t)+b(t)WH(t)]， 此方程的解为 ttX(t)=X(0)exp[∫a(s)ds+∫b(s)dBH(s)] 00tt1X2(0)exp{∫a(s)ds+∫(s)dBH(s)−00∫R[MHb(s)I(0,t)(s)]ds} 2tt1t=X02()exp{∫a(s)ds+∫b(s)dBH(s)−∫[Msds． () 000H()]}2需要指出的是，如果b(s)=b为常数，则有 t1Xt=Xxp{22H()(0)e∫a(sds+bBs−bt． 0H()}2同样地，如果微分方程()的初始条件改为X(t0)，t0>0为确定性的，则对t0>0，有 tt1X2(t)=X(0)exp{∫a(s)ds+∫b(s)dBH(s)−00∫[M0Hb(s)]ds}． 2显然，如果b(s)=b为常数， X(t0)(t0>0)为初始条件，则对t0>0， t1X2H2H(t)X(t)exp{∫a(s)ds+b[BH(t)−BH(t]−b[t−t]}． 00)02引理(分数型Itoˆ公式[30])设f(s,x):R×R→R且1,2f∈C(R×R)，并假设 t∂∂2tH−1∫及2f(t,BH(x)),f(s,BH(s)ds0∫f(s,B(s)sds均属于L2()∂s0∂x2HP，则 tt∂f(t,B(x)=f(0,0)+∫f(s,BH(s)ds+f(s,BH(s)ds0∂∫． 拟-条件期望和拟-鞅 设有概率空间(S'(R),F,P)，使得BH(t)在P下为一分数布朗运动．设Lˆ2(RnH)表示关于其n个变量对称且2f2<∞的函数空间，对2ˆnf∈LLˆnH(R)H(R)，定义累次积分 ⊗n∫fdB:=n!∫f(s1,L,sn)dBH(s1)LdBH(sn)． Rns1<L<sn∞定义[29]设G=∑g⊗n∫(s)dB()RnnHs∈G，则G关于FH(t)=s{BH(s),0≤s≤t}的拟-条件0期望定义为 ∞E[G]:=E%[G|FH(t)]:=∑g⊗∫(s)I[0,t](s)dI(0n,t)(s)dB(s)． () tRnnnH0其中，In(0,t)(s)=I(0,t)(s1)LI(0,t)(sn).称G∈G为FH(t)可测，如果 E%[G]=G． () t
武汉科技大学 硕士学位论文 第11页 注意到E%[B(t)]=B(s)≠E[B(t)|FH(s)]tHHH． 定义[29]如果G(t)∈G(∀t)，并且有E%[G(t)]=G(s)(∀t>s)，则称FH(t)适应过程G(t,w)s为拟-鞅． 由拟-条件期望的定义可知，有下列结论： 引理[30] 1)BH(t)为拟-鞅； t2)如果1,2f∈LH(R)，G(t)=∫f(s)dBH(s)，则G(t)为拟-鞅． 0引理对任意0<t<T和l∈C，有 l2l+2−2E%lBTBHH(t)(Tt)H()H[e]=e2． t证明：令a(t)=0,b(t)=l，X(0)为确定的值，由（）式有 X(t)=X(0)exp◊(lBH(t))． 122 X(0)expH[(lBH(t)−lt)． 2又由（）式，有 tt% E[X(T)]=X(t)∫ldB(s)X(t)=∫lX(s)dBtHH(s)． 00由引理有% E[X(T)]=X(t)． t将（）式代入上式两边，即证明了引理的结论． 引理[30] 设f为一满足E[f(BH(T))]<∞的函数，则对任意t<T， 12(x−BH(t))E%[f(B(T))]=∫exp[]f(x)dx．tHR2pT2H−t2HT2t2H()2()2推论1x−[30](()) E%[I(B())]=∫exp[]dx． tAHA222H2H2p(TH−tH)2(Tt)
武汉科技大学 硕士学位论文 第12页 第三章 带红利的亚式期权的定价 比普通欧式期权或美式期权盈亏状态更复杂的衍生证券通称为新型期权，它们是由金融机构设计出来以满足市场特殊需要的金融产品，亚式期权即为其中的一种．亚式期权的报酬依赖于资产在某一段时间内的平均价格．平均价格看涨期权的报酬是max(S−K,0)，save平均价格看跌期权的报酬为max(K−S,0)，sa其中S是按预定的方法计算的资产的平均vesave价值．平均价格期权比常规期权便宜．并更适合公司财务主管的某些需求．比如某美国公司的财务主管期望在明年内平稳地收到德国子公司的1亿马克的现金流，他可能对能保证该年内平均汇率高于某水平的平均价格看跌期权感兴趣[31]． 分数Black-Scholes模型的建立 设(Ω,F,F,P)是一个具有s−流的概率空间，BtH={BH(t):t>0}是(Ω,F,P)上的分数布朗运动，F为BtH(t)生产s−流(即F=F(t)).现在考虑一无摩擦的金融市场tH，即 （1）资产的交易时间和额度是连续的； （2）不存在交易费用和税收； （3）对资产的交易没有约束，如可以买空、卖空等； （4）借贷利率相同且可无限借贷； 并且该市场仅包含两种证券，一种无风险资产即债券与一种有风险的标的资产如股票，设债券价格M(t)满足 dM(t)=r(t)M(t)dt;M． () (0)=1标的资产价格S(t)满足 dS(t)=m(t)S(t)dt+s(t)S(t)dBH(t),0≤t≤T, () S(0)=x则称此市场为分数Black-Scholes模型． 如果m,s为常数，则称S(t)为几何分数布朗运动，且有 s2S=m+s2H(t)xexp[tBH(t)−t]． () 2考虑一个资产组合q(t)=(u(t),v(t))，其中u(t),v(t)分别表示在t时刻债券和标的资产的持有量，并均为F适应过程，则相应的财富过程为 tqz(t)=u(t)M(t)+v(t)S(t)． () 如果对所有的t∈[0,T]，qz(t)下有界，则称q为可行的.陈q为自融资的．如果 dqz(t)=u(t)dM(t)+v(t)dS(t) =u(t)dM(t)v(t)dS(t)[m(t)dt+s(t)dBH(t)]， ()
武汉科技大学 硕士学位论文 第13页 即财富的改变仅来源于资产M和S价格的改变. q进一步假设zt)−v(t)S(t)r(t)=r为常数，由于(u(t)=M(t，所以 )qqm−rdz(t)=rz(t)d(t)+sv(t)S(t)[dt+dBH(t)]， sm−rBH(ˆt)=t+BH(t)， () s则BˆH(t)在概率测度Pˆ下为分数布朗运动，且Pˆ满足 dPˆw12()=exp{<f,w>−f}． dP2因此，在概率Pˆ下，有 s2S=ˆ2H(t)xexp[rt+sBH(t)−t]， () 2dq()=qztrz(t)dt+sv(t)S(t)dBˆH(t)． () 故由分数型Iˆto公式有 d−q(er=e−rtz(t)sv(t)S(t)dBˆH(t)， () 即 −qtrt=+−rsez(t)z∫esv(s)S(s)dBˆH(s),0≤t≤T， () 0并由分数型Iˆto积分的性质有 Eˆ−q[erTz(T)]=qz(0)=z． () 其中Eˆ表示在概率Pˆ下的数学期望．则不存在这样的资产组合q(t)=(u(t),v(t))，使得在qqz(0)≤0时，有z(T)≥0且Pˆq(z(T)>0)>0．所以文中定义的市场是无套利的．并且我们称概率Pˆ为风险中性概率． 另外，假设未定权益F∈L2H为FT可测随机变量，则可以找到一个资产组合q(t)=(u(t),v(t))和初始投资z,使得Fw=Zq,z()(T,w), 结合（）即可得 −Trt=+−rseFz∫esv(t)S(ˆt)dBH(t)． 0为此，对e−rtF应用分数型Clark-Ocone定理[25]，用BˆH(t)代替BH(t)有 −Trt=ˆ−rt[]+E%−rTHeFEeF∫[eDˆF]dBˆ(t)． ttH0其中ˆE，E%，DˆH分别为在概率Pˆ下的数学期望、拟-条件期望和随机梯度．因此， tt=q=Eˆe−rtzZ(0)[F]． ()
武汉科技大学 硕士学位论文 第14页 此式即为未定权益F在0时刻的风险中性定价公式，并且由 v=−1e−r(T−t)s−1E%DH(t)S(t)[ˆF]． () tt决定了资产组合q(t)，也就是说，对任意这样的未定权益F均是可复制的，所有，市场为完全市场，()式为F在t=0时的风险中性定价． 引理[30] 在风险中性概率测度Pˆ下，未定权益F∈L2H为FT可测随机变量在t=0时刻的定价为 =q(0)=ˆ−rtzZE[eF]． () 欧式未定权益的一般定价 现在我们考虑一Iˆto型分数次Black-Scholes市场仅有两种证券，一种无风险资产即债券与一种有风险的标的资产如股票．设(Ω,F,F,P)是一个具有s−流的概率空间，其中F是tt由分数次布朗运动BH(t)产生的自然s−流，P为风险中性概率测度．其中债券价格满足方程 dM(t)=rM(t)dt， 其中r为无风险利率;标的资产价格满足方程 dS(t)=rS(t)dt+sS(t)dBH(t)， 其中，s为标的资产的瞬时波动率，并且r,s为已知常数． 在风险中性概率测度P下，有 dS(t)=rS(t)dt+sS(t)dBH(t),S(0)>0,0≤t≤T， 即 1ST=S−s22H−2H()(t)exp{r(Tt)(Tt)+s(BH(T)−BH(t))},0≤t≤T． 2我们运用拟-鞅方法，得到分数次风险中性定价公式．分别用E、E%表示在风险中性t概率测度Pˆ下的数学期望和拟-条件期望．． 引理 任意有界FT可测未定权益F∈L2(ˆP)在任意时刻t∈[0,T]的价格为 F=e−r(T−t)(t)E%[F] () t证明：由于市场是完全的，所有存在未定权益的复制自融资资产组合(u(t),v(t))，其价值为 F(t)=u(t)M(t)+v(t)S(t)， 而由上文有 F(T)=F， 由于 F(t)=u(t)dM(t)+v(t)dS(t)， 则有 dF(t)=rF(t)dt+sv(t)S(t)dBH(t)，
武汉科技大学 硕士学位论文 第15页 上式两边同时乘以e−rt并积分，则有 trFrse(t)=F(0)+s−∫ev(s)S(s)dBH(t),0≤t≤T， 0另外有 −Trt=−rt+−r%HeFE[eF]e∫E[DF]dB(s)， sSH0又因为P为风险中性概率，有F(0)=E−[erTF],所以有 E%DHF=ser(T−s)[]v(s)S(s),0≤s≤T． ss则有下式 −TrtrseF=F(0)+s−∫ev(s)S(s)dBH(s), 0从而有 TE%−rT=+%s−rs[eF]F(0)E[∫ev(s)S(s)dB(s)]． ttH0由引理，得 TtE%−rsrs[ev(s)S(s)dBH(s)]=−∫∫ev(s)S(s)dBH(s)． t00则可以推出 e−rt F()=E%[e−rTtF]． t现实金融市场中，对普通欧式期权的定价有深入的研究，下面给出普通欧式期权的分数型Black-Scholes公式． 引理[30]如果到期日为T，无风险波动率s和利率r都是常数，那么欧式买入期权在t∈[0,T]时的价格为 c=Nd−Ke−r(T−ttStS)(,()(t)(1)N(d2)． 欧式看跌期权在t∈[0,T]时的价格为 pS−−+r(Tt)(t,(t)=S(t)N(d)Ke−−1N(−d2)． 21xy−N(y)=∫edx为标准正态分布函数，以下均同． −∞2p其中 S22H2H(t)s(T−t)ln+r(T−t)+d=K21， sT2H−t2HS22H2H(t)s(T−t)ln+r(T−t)−d=K22． sT2H−带红利的几何亚式期权的定价 亚式期权是现代金融市场中应用广泛的一种奇异型期权．与常规期权不同的是，亚式
武汉科技大学 硕士学位论文 第16页 期权的收益取决于有效期内某段时期的金融资产价格的平均值，用该平均值代替常规期权中的敲定价格或到期的资产价格，来决定是否执行期权，以及执行期权时的收益大小.亚式期权有算术平均亚式期权和几何平均亚式期权.算术平均亚式期权定价没有解析的公式，由于知识所限，结合前人的工作，本文只讨论带红利的几何平均亚式期权的定价．在不同的情况下，得到了其定价公式． 假定亚式期权执行价格为K，到期日为T，几何平均亚式看涨期权的未定权益为f(S(T))，相应的价格分别为c(t,S(t))，则有 +1Tf(S(T)=exp∫lnS(u)du−KT， （） 0看跌期权未定权益为f(S(T))，相应的价格为p(t,S(t))，则有 +1Tf(S(T)=K−exp∫lnS(u)duT0． （） 由（）式有 s2S=Sxp+s2H (t)(0)e[rtBH(t)−t]． 2定理如果波动率s为常数，无风险利率和红利率均为时间t的确定性函数，分别记为r(t),q(t)，则几何平均亚式看涨期权的价格为 T2Cs∗p∇2H2HT(t,S(t)=Xexr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)N(d1)−Kexp{−∫r(v)dv}N(dt2)t2其中 1T−ttX=exp∫lnS(u)duS(t)T， tT02T2H+12H+12H+22H2(t)T−t+s∗−=1−sH+TT2H22H2H(21)(t)2(H+1)T(T−t )Tu(()())2212122∫∫rv−qvdvdusTH+−H+H∇(t)str=tt−， T(Tt)2T(2H+1)(T−t)2T22H2HlnX−lnK+∇r(T−t)+s∗(T−t)d=t1， 1s∗T2H−t2H()2lnX−lnK+∇r(T−t)d=t2． 1s∗T2H−t2H()2证明：当r(t),q(t)为非随机函数时，有 dS(t)=(r(t)−q(t)S(t)dt+sS(t)dBH(t)． 即
武汉科技大学 硕士学位论文 第17页 t1SSxp22H(t)(0)e∫(r(v)−q(v)dv+sBts=H()−t． 02对于几何平均亚式看涨期权损益 +1Tf(S(T)=exp∫lnS(u)du−K， T0令tI=∫lnS(u)du，则 t0+11TT−tf(S(T)=expI+lnS(u)S(t)du+lnS(t)−K=(XY−K+)． TtttT−t其中t1XT=exp∫lnS(u)duS(t)T，Y=1exp∫lnS(u)S−(t)dut．注意到现在tTTt时刻是t时刻，则X是已知的，它是时间t的确定函数，则有 t1TS(u)Y=exp∫lndut TtS(t)Tu122H2Hexp∫∫(r(v)q(v)dvs(ut)+s(B=−−−H(u)−BH(t))du Ttt21Ts2T2H+1−2H+1s22H(t)t(T−t)sT=exp∫(r(v)−q(v)dvd−exp∫(BH(u)−BH(t))dut2(2H+1)T2∇sT =exp{r(T−t)}exp∫(BH(u)−BH(t))du． Tt令sTz(t)=(BH(u)−BH(t))du，根据分数型Ito公式 T∫tT(BH(T)−BH(t)du=T(BH(u)−BH(t)−∫udBH(u)，则有 E[z(t)]=0， 22sTE[z(t)]=Es(BH(T)−BH(t)−∫udBH(u)T tTTs2EB212=(H(T)−BH(t)EdWuBH(u)udBH(u)+E(udBH(u))∫∫tt∫． t 由分数型Ito等距公式可得 EBT−B222(()(t=THtHHH))−， TT1E∫dBu∫udBu=T2H+1−t2H+1H()H()()， tt2H+1TTTEudBu21=uvfuvdudv=T2H+2−t2H+2(H()(,)()， ∫t∫∫tt2(H+1)从而有下式
武汉科技大学 硕士学位论文 第18页 2H+1−2H+12H+2−2H+222=2H2H2(Tt)TtE[z(t)]s(T−t)−T (2H12T2)(H1)2T2H+1−2H+12H+2−2H+222H2H(t)Tt =s(T−t)1− TH+T2H2+2H−2H(21)(t)2T(H1)(Tt) =s∗22−t2 (THH)， 则sTz(t)=∫(BH(u)−BH(t))du～N(0s*2T2H−t2H,()． （） TtTc(t,S()=exp{−∫r(v)dv}E%[28] [f(S(T))]tt+Txp{r(v)dv}1eE%=∫exp∫lnS(u)du−KttT0 T=exp{−r(v)dv}E%(XYK+∫t)ttt T∇=exp{}%()()∫(erT−teztrv)dvE(XK+ttt令a=X{∇−}=s∗2T2H−t2Hexpr(Tt),b()，则 t{TctS=p}%z(t)(,()ex∫r(v)dvE(aeK+)tt {Tp}+∞y+1y2=ex−∫r(v)dv∫I(ae−K)ex{ayp−dy t−∞e>K}2pb2b{T}+∞y1y2=exp∫r(v)dv∫Kaeexp−dy− tlna2pb2bT2{}+∞1yexp−∫r(v)dv∫Kexpdy tlna2pb2bK(ln)−blnb=ex{Tpa−r(v)dv+aN−)−exp−∫r(v)dv}KN(−)． （） 2tb将a=X{∇−}b=s∗2T2−t2HexpHr(Tt),()，代入式（），有 tc(t,S(t))K222(ln)−s∗(TH−tH)∗22H2H{∇Ts(T−t)Xexpr(Tt)t}=exp{∇−−∫r(v)d+Xexpr(T−t)N−t}222t2HHs∗(Tt)KlnTXexp∇r(T−t)t−exp{−∫r(v)dv}{}KN(−ts∗2T2Ht2H()
武汉科技大学 硕士学位论文 第19页 s∗2T2−t2K−X−∇rT−t−s∗222()∇lnlnTH−tHTHH()()=Xexpt−∫r(v)d++r(T−t)N−tt2s∗2T2Ht2H()∇{TK}lnK−lnX−r(T−t)−exp−∫r(v)dvN−t ts∗2T2Ht2H()s∗2∇T=X2H2Hexpr(T−t)−r(v)dv+(T−t)N(d1)−Kexp{−∫r(v)dv}N(d)．t22t定理证明完毕． 推论如果波动率s为常数，无风险利率r(t)和红利率q(t)均为时间t的确定性函数，则几何平均亚式看跌期权的价格为 Ts∗2pp∇2H2HT(t,S(t)=−Xexr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)N(−d1)+Kexp{−∫r(v)dv}N(−d2)tt2各参数之值同定理． 证明：由于 Tp(t,S()=exp{−r(v)dv}%∫E[f(S(T))]． tt又由式（），有 +1Tf(S(T)=K−exp∫lnS(u)du T0再结合定理（）的证明过程，则有 +{T}1Tp(%t,S()=exp−∫r(v)dvEK−exp∫lnS(u)duttT0 T+∞y1y2 =exp{∫r(v)dv}∫I(K−a+e)expt{ayeK}−dy −∞<2pb2bKT2{}ln=K1yexp−∫r(v)da∫exp−dy− t−∞2pb2bKT2{}ln1exp∫r(v)dva∫ayyeexpdy t−∞2pb2bKlln−bTTKb=exp{−∫()}()−exp−∫()+arvdvNarvdvN() （） tt2再将a=X{∇−}=22H−2Hexpr(Tt),bs∗(Tt)代入式（），有 tTKlnK−lnX−∇r(T−t)p(t,S(t))=exp{−∫r(v)dv}Nt ts∗2T2H−t2H()
武汉科技大学 硕士学位论文 第20页 s∗2T2Ht2HKX∇22H2HT(−)ln−ln−r(T−t)−s∗(T−t)−Xexp−∫rvd+∇vrT−+t()(t)N(tt2s∗2T2Ht2H()∗2K∇s=xp{−()dv}N−dXp2H2Herv()exr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)N(−d)． t12证明完毕． 注1：由定理和推论即可得到几何平均亚式看涨和看跌期权的平价关系为 TTs∗2+{−∫}=+∇2H2Hc(t,S(t)Kexpr(v)dvp(t,S(t)Xexpr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)t．tt2证明： Tc(t,S(t)+Kexp{−∫r(v)dv} ts∗2=X∇2H2HTexpr(T−t)−r(v)dv+(T−t)N(d1)−Kexp{−∫r(v)dv}N(d2) t2t{T+Kexp−∫r(v)dv} tTs∗2=X∇2H2HTexpr(T−t)−r(v)dv+(T−t)N(dt1)+Kexp{−∫r(v)dv}(1−N(d2)) t2tTs∗=Xxp∇T−−2H2Her(Tt)∫r(v)dv+(T−t)N(d)+Kexp−t1{∫r(v)dv}N(−d2)． t2t又有 ∇Ts∗22H2Hp(t,S(t)+Xexpr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)t t22{}Ks∗xp∇2H2H=e−∫r(v)dvN(−d)Xexpr(T−t)−∫r(v)dv+(T−t)N(−d) t12Ts∗X∇HH+expr(T−22t)−∫r(v)dv+(T−t)t t2T2=Kexp{−∇Ts∗∫r(v)dv}N(−d+Xp22)T−−H2Hexr(t)∫r(v)dv+(T−t)(1−N(−d1)) ttt2TTKs∗2=exp{−∇∫r(v)dv}N(−d2)+Xxp2H2Her(T−t)−r(v)dv+(T−t)N(d)．t1tt2等式两边相等，证明完毕． 下面在定理的基础上，考虑以下两种特殊情形： （1）无风险利率为常数，设为r，红利率q(t)均为时间t的确定性函数； （2）无风险利率和红利率均为常数，分别设为r和q． 定理如果波动率s和无风险利率r均为常数，红利率q(t)为时间t的确定性函数，则
武汉科技大学 硕士学位论文 第21页 几何平均亚式看涨期权价格为 s∗2∆2H2Hc(t,S(t)=Xexp(r−r)(Tt)(Tt)N(d1)Kexp{r(Tt)}N(dt−+−−−−2)． 2其中， Tus2HrTq(v)dvdus22H+1t2H+1∆(−t)+∫∫(T)r=−tt−， TT(T−t)2T(2H+1)(T−t)X−K+∆−+s∗22H2Hlnlnr(Tt)(T−t)d=t1， 1s∗T2H−t2H()2lnX−lnK+∆r(T−t)d=t2． 1s∗T2H−t2H()2X2,s∗的值同定理. t 证明：由于无风险利率r为常数，则股票价格满足方程 dS(t)=(r−q(t)S(t)dt+sS(t)dBH(t)． 即 t12S=02H(t)S()exp∫(r−q(v)dv+sBH(t)−st 02令tI=∫lnS(u)du，则 t0+11TT−tf(S(T)=expI+∫lnS(u)S(t)du+lnS(t)−KTt， tT依然令1−ttX=exp∫lnS(u)duS(t)T， tT01TS(u)Y=exp∫lndut TtS(t)1Tu122H2Hexp∫∫(rq(v)dvs(ut)s(B=H(u)BH(t))duT−−−+− tt2Ts2T2H+1−2H+1s22H(t)t(T−t)sT=exp∫(r−q(v)dvd−exp(BH(u)−BH(t))dut2(2H+1∫)T2∆sT =exp{r(Tt)}exp∫(BH(u)BH(t))du． Tt由式（）有 令sTz(t)=(BH(u)−BH(t))duN0sH−tH,(T T∫～*222()t由于无风险利率为常数，则由引理（）有 c(t,S(t)=exp{−r(T−t)}E%[f(S(T))] t
武汉科技大学 硕士学位论文 第22页 +1T =exp{r(Tt)}E%−exp∫lnS(u)dut−KT0． 结合定理的证明过程，并令a=X{∆−}b=s∗2T2H−t2Hexpr(Tt),()，则 tS{}%()(,(t)=exp−ztctr(T−t)E(ae−K+)t +∞cy+1y2(t,S(t))=exp{−r(Tt)}∫I−{y(ae)exp−dy −∞ae>K}2pb2b+∞y1y2=exp{−r(Tt)}∫Kaeexp−dy− lna2pb2b2+∞1yexp{−r(Tt)}∫Kexp−dy lna2pb2bK(ln)−blnb=exp−(−)+−)−exp{−T−t}KN−arTtaNr()()． （） 2b再将a=X{∆−}s∗222exp(t),b=(TH−tHrT)代回式（），即有 tKK(ln−blnbc(t,S(t))=expa−(−)+−)−exp{−(T−}−arTtaNrt)KN() 2bs∗2T2H−t2HK−X−∆−−s∗22H2H∆()lnlnr(Tt)(T−t)=XexprrTt(−)(−t+N t2s∗2T2Ht2H()lnKlnXr(Tt)exp{−rT−}−t(t)KN−−∆−−( s∗2T2H−t2H()s∗222∆(THtH)=Xexp(r−r)(T−t+N(d1)−Kexp{−r(T−t)}N(dt2)． 2证明完毕． 推论如果波动率s和无风险利率r均为常数，红利率q(t)为时间t的确定性函数，则几何平均亚式看跌期权价格为 s∗2∆2H2Hp(t,S(t)=−Xexp(r−r)(T−t)+(T−t)N(−d1)+Kexp{−r(T−t)}N(−d2)． t2其中，各参数之值同定理． 证明过程可类似定理． 注2：由定理和推论即可得到几何平均亚式看涨和看跌期权的平价关系为 s∗2{}∆22(,S()+exp−(T−=+HcttKrt)p(t,S(t)XexpH(r−r)(T−t)+(T−t)t． 2定理如果波动率s、无风险利率r和红利率q均为常数，则几何平均亚式看涨期权在
武汉科技大学 硕士学位论文 第23页 到期前任意时刻t∈[0,T]的价格为 s∗2S∗2H2Hc(t,(t)=Xexp(r−r)(T−t)+(T−t)N(d1)−Kexp{−r(T−t)}N(d2)． t2其中 222121()sHsTH+tH+∗r−q(T−t)+t(−)r=− 22T(2H+1)(T−t)nX−K+∗−+s∗22H−t2Hllnr(Tt)(T)dt1=，lnX−lnK+∗r(T−t)d=t2 11s∗T2H−t2H()2s∗T2H−t2H()2证明：在以上条件下，标的资产的价格满足 dS(t)=(r−q)S(t)+sS(t)dBH(t)，则有 s2S()=(0)exp[(−q)t+sBHtSrH(t)−t]． 2再同定理的证明推导即可． 推论如果波动率s、无风险利率r和红利率q均为常数，则几何平均亚式看跌期权在到期前任意时刻t∈[0,T]的价格为 s∗2pS∗2H2H(t,(t)=−Xexp(r−r)(T−t)+(T−t)N(−d1)+Kexp{−r(T−t)}N(−d2)． t2其中，各参数之值同定理． 注3：由定理和推论即可得到几何平均亚式看涨和看跌期权的平价关系为 s∗2S+{−−}=+*22(,()exp()(,()exp(−)(−)+(TH−tHcttKrTtptStXrrTt)t． 2
武汉科技大学 硕士学位论文 第24页 第四章 亚式期权定价的数值模拟方法 在分数布朗运动环境下，上文已经得到了普通欧式期权和几何平均亚式期权的定价公式，但我们也可以看到，对于亚式期权的解析公式稍显复杂，而且对算术平均亚式期权来说，还没有解析的定价公式．因此，提出一种期权定价的数值模拟方法是十分必要的． 分数布朗运动的模拟算法介绍 定义分数布朗运动增量[32] WH(x)=BH(x+∆x)−BH(x)，x≥0． （） 由于分数布朗运动是一个连续的高斯过程，所以W2HH(x)N(0,∆x)，称WH(x)为分数白噪声．当H1=时WH(x)就变成普通白噪声．我们首先模拟分数白噪声WH(x)，分数布2朗运动BH(x)可以通过累加分数白噪声的增量WH(x)而获得，这类似于通过累加白噪声来模拟标准布朗运动． 为方便起见，令x=1,x=0,1KN−1，我们可得到{WH(0),WH(1),LWH(N−1)}，由分数布朗运动的自相似性，H tBH(x)和BH(tx)（t为常数）在统计意义上是相同的，具有相同的分布，则由式（）有WHH(tk)=∆t(k)，进一步可得到[0,T]上的分数布朗运动的增量{WH(tk),0≤k≤N−1}，其中t=k∆t，k0≤k≤N−1，T∆t=． N由分数布朗运动的性质可得到WH(x)的自相关函数 C(r)=cov{WH(x),WH(x+r)} =E[{BH(x+1)−BH(x)}{BH(x+r+1)−BH(x+r)}] （） 12H2H2H =(r+1+r−1−2r),r=0,±1,±2,L． 2由于WH(x)是一个平稳离散过程，它的功率谱密度函数 ∞11 S(f)∑C(r)cos(2prf),−≤f≤ ． （） r=−∞22其中f表示频率，自相关函数C(r)可以用S(f)的逆傅里叶变换表示 1C(r)=2∫1S(f)cos(2prf)df,r=0,±1,±2,L． （） −2可以用傅里叶变换来表示一个平稳过程的谱密度及自相关函数，则可通过谱方法来产生给定谱密度函数的与其对应的过程 N−121 WH(x)=2∑[S(2f)∆f]cos(2pfx+f)，x=0,1LN−1． () kkkNk=−2
武汉科技大学 硕士学位论文 第25页 其中S(f)是式（）给出的谱密度函数，N为f上的样本数，1∆f=为样本间隔，Nf=k∆f为f的样本值，f为[0,2p]上均匀分布的独立随机角度．根据分散布朗运动的自kk相似性的特点，TH()WH(x)就是[0,T]上分数布朗运动的增量，然后累加起来就可以产生N[0,T]上的分数布朗运动． 标的资产价格过程的数值模拟 文献[33]考虑了标的资产价格S(t)过程在风险中性概率测度下由分散布朗运动来驱动，即 dS(t)=S(t)[rdt+sdBH(t)]． 其中r为无风险利率，s为波动率，{BH(t),t≥0}是Hurst参数为H的分数布朗运动． 本文在此基础上，考虑了股票红利的影响因素，使得到的模拟结果更有现实意义． 假设无风险利率为r，股票连续支付红利，红利率为q(t)为时间t的函数，而当q(t)的表达式不明确时，无法模拟其变化过程．故为了简单起见，假设q(t)为时间t的一次函数，即令q(t)=at+b，另外，我们假设股票价格满足 dS(t)=(r−q(t)S(t)dt+sS(t)dBH(t)=(r−at−b)S(t)dt+sS(t)dBH(t)． 即 t1S=∫−q+−22H(t)S(0)exp(r(v)dvsBH(t)st 02121=S−22H(0)exp(rb)t−at+sBH(t)−st． （） 利用分数布朗运动模拟算法来设计标的资产价格过程的数值模拟算法，将标的资产价格变化过程写成增量的形式 ∆S(t)=S(t)[(r−at−b)∆t+sW(t)],0≤k≤N−1, kkkHk （） 即 S(t+1)=S(t)+S(t)[(r−at−b)∆t+sW(t≤k≤N−． （） kHk)],01kkk其中，T∆t=,t=k∆t,0≤k≤N，标的资产初始价格S(t0)=S(0)，由前述可知，NkWHH(t)=∆tW(k)，而WH(k)已经在（）式中给出．模拟一次标的资产价格变化算法如k下[27]： 1）给定参数H,r,S(0),s,T,a,b，并令k=0，T∆t=； N2）利用（）式随机产生分数白噪声WH(k)并计算WHH(t)=∆tW(k)，按（）式k计算S(t1)k+，并记录下来；
武汉科技大学 硕士学位论文 第26页 3）若k<N−1，则令k=k+1，返回执行第二步； 4）记录下S(tN)，即标的资产T时刻的价格S(T)． 这样我们就得到了[0,T]上标的资产价格一次模拟过程S(t)，k0≤k≤N． 亚式期权定价的数值模拟方法 引理 在风险中性测度P下，假定标的资产价格S(t)满足（）式，如果期权在到期日T的损益为VT=g(S(t),0≤t≤T)，那么由引理3,可知，期权在t=0时刻的价格为 v=e−rTE(V)=e−rTTE[g(S(t),0≤t≤T]. () 引理 假定第i次标的资产的价格过程的数值模拟为S(t)，0≤k≤N,1≤i≤n，则在ikt=0时刻期权的数值模拟价格为 1n=−rTve∑g(S(t),0)sik≤k≤N． () ni=1假设期权执行价格为K，到期日为T，无风险利率和红利率分别为r，q(t)=at+b，而几何平均亚式看涨期权的损益为 +1TVT=exp∫lnS(u)du−KT， 0由（）式可知，在t=0时刻几何平均亚式看涨期权的价格为 +−TrT1veE%exp∫lnS(u)du−K， T0则在t=0时刻几何平均亚式看涨期权的数值模拟价格为 +1n∑1N−1ve−rTexp∑lnS(t)Ksik−． ni=1Nk=0对于算术平均亚式期权，其看涨期权的损益为 1TVT=(S(u)duK+T∫−)， 0由式()有，在t=0时刻，算术平均亚式看涨期权的价格为． +−1TrTveE%=∫lnS(u)du−KT． 0则由式（）可知，在t=0时刻算术平均亚式看涨期权的数值模拟价格为 1n1N−1−rTve∑(∑S+(t)K)sk． ni=1Nk=0通过对上述模拟算法的上机检验，可以得到比较精确的模拟结果，也得到了亚式期权比普通欧式期权价格波动更小，因此更稳定的结论．文献[33]在这方面做了深入的研究，本章是在此基础上所做的一个推广．
武汉科技大学 硕士学位论文 第27页 第五章 结论 1973年Black和Scholes提出了Black-Scholes公式，使期权定价理论进入了一个新的历史时期．在此之后，许多学者对期权定价模型进行了更深入的研究，得到了许多比较好的结果．而近些年，相关文献证明了假设标的资产价格的变化过程服从由分数布朗运动驱动的方程比原来的几何布朗运动驱动更为合理，本文也尝试从这一点出发对分数Black-Scholes模型做出一些补充，重点讨论了几何平均亚式期权的定价问题． 本文在假定期权标的资产价格过程由分数布朗运动驱动的基础上对主要对带红利的几何平均亚式期权定价进行了讨论，利用拟-条件期望和拟-鞅的性质以及分数型风险中性定价定理得到了其在不同情况下的定价公式．之后，考虑到得到的几何平均亚式期权的定价公式略显复杂，以及算术平均亚式期权难以得到解析的定价公式，简单介绍了一种分数布朗运动的数值模拟方法，通过先模拟分数布朗运动增量，然后模拟分数布朗运动过程，对带红利的亚式期权进行了简单的数值模拟定价研究，给出了其在一般情况下的模拟定价公式． 对目前为止，在分数布朗运动环境下期权定价的研究工作已取得了很大的成绩，但对于某些奇异期权还是没有得到解析的定价公式，我们后续还需要做许多工作．如在分数布朗运动环境下的算术平均亚式期权定价，各种美式期权定价以及数值模拟定价的进一步研究等等问题．我国经济正处于快速发展阶段，建立期权市场也是必然的事情，所以对欧式以及各种新型期权定价的研究工作就显得十分重要，也有很大的现实意义．鉴于本人的学识有限，只能给出一些粗浅的结论，文中若有错误或不足之处，欢迎提出批评和建议．
武汉科技大学 硕士学位论文 第28页 参考文献 [1] 张永林.数理金融分析[M].北京：经济科学出版社,2007：150～153. [2] 阳向军.期权定价理论在投资决策中的应用探讨[J].商业研究,2006,8（340）,78～80. [3] 陈浩武 唐元虎浅析期权定价理论[J].技术经济与管理研究2003(4),23～24. [4] 何晓光.期权定价理论的发展与应用[J].经济论坛.2009,5(9) ,4～5. [5] hi-fuHuang and Robert [J],foundations for Financial Economics. [6] Yue-Kuen,Kwok,Mathematical modelsof FinancialDerivatives[J],Springer,1998. [7] Bernt Ksendal,Stochastic Differential Equations[J] ,4th, 世界图书出版社,1998,58～69. [8] 叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,1997:156～168. [9] Kemma , Vorst pricing method for options based on average asset values[J].Journal of Banking and Finance,1990(4),121～168. [10] Edmond European average rate currency options, Journal of International Money and Finance, 1992,～287. [11] & Pricing of Options on Assets with Stochastic Finance, 19 87；42：281～300. [12]Rogers , Value of an Asian Option[J].Journal of Applied ～244. [13] 赖欣冯,勤超.亚式期权定价研究综述[J].现代商贸工业,2009,24： 170～172. [14] 曲军恒,沈尧天,姚仰新.有交易费的几何平均亚式期权的定价公式[J].华南理工大学学报(自然科学版), 2004,5（5）,84～87. [15] 罗庆红,杨向群.几何型亚式期权的定价研究[J].湖南文理学院学报.2003(1),5～7. [16] 郭娜,刘新平.支付红利的几何亚式期权定价模型吉首大学学报(自然科学版)[J].2009，5(30),28～30. [17] 朱海燕.非风险中性意义下亚式期权的定价模型[J].淮海工学院学报,2010,6(2),8～11. [18] 柳洪恩,孔繁亮.几何型亚式期权定价中的鞅方法[J].哈尔滨理工大学学报,2010(1),80～82. [19] 孙胜利,豁祖顺.欧式期权定价基本原理及其计算公式[J].信阳师范学院学报2006(4),233～238. [20] , Fractal Market Analysis, Wiley, New York, 1994. [21],-Duncan,Stochastic calculus for frational Brownian , SIAM OPtim,38,2000,582～612. [22] 刘韶跃,杨向群.分数布朗运动环境中欧式未定权益的定价[J].应用概率统计,2004(11),429～434. [23] 薛红, 王拉省.分数布朗运动环境中最值期权定价[J].工程数学学报2008(10),843～850. [24] 刘韶跃,方秋莲,王剑君.多个分数次布朗运动影响时的混合期权定价[J].系统工程2005,6
武汉科技大学 硕士学位论文 第29页 （138）110～114. [25] 孙玉东，薛红.分数型欧式期权定价模型纺织高校基础科学学报2009，6（2） [26] 阳小红.分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价[J],博士·专家论坛2008(10):12～13. [27] , Ness,Frational Brwoninan amotions, fractional noises and applications, SIAM Review 10, 1968, 422～437. [28] R. J. Elliott, Hoek, A general fractional white noise theory and apli- cations to finance, Math. Finance, 13,2003,301～330． [29] Ciprina Neceula, Option pricing in a fractional Brownian motion environment, working paper, February, 2002. [30] 刘韶跃.数学金融学的分数型Black-Scholes模型及应用[D].长沙:湖南师范大学,2004：7～30. [31] 金治明.数学金融学基础[M].北京:科学出版社,2006:186-193. [32] Yin Z—M．New Method for simulation of Fractional Brownian Motion[J], Journal of computational physics, 1996,127(1):66～72. [33] 文福强．分数布朗运动环境下的期权定价[D]．西安:西安工程大学,2007:28～35.
武汉科技大学 硕士学位论文 第30页 致 谢 在做论文的一个半月时间里，我认真学习了论文所需要的许多相关知识，很好地巩固了我研究生期间学习的专业课程．学以致用，虽然有点累，但感觉非常好，圆满的完成了大学生活里的最后一次作业．在此，我首先要感谢的是我的论文指导老师——王志明老师．在两年多的研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始至终得到王老师的悉心指导，从论文的选题，资料的介绍，到论文的最终完稿，王老师都一直给予我耐心的教导和格外的关照．由衷地感谢王老师在学业指导及各方面所给予我的关心．从导师言传身教中学到的为人品质和高尚的道德情操，必将使我终身受益，并激励我勇往直前．在此再次向导师表示我衷心的感谢和敬意! 其次，我还要感谢我的同学们，在和她们的交流过程中，我从更深的角度将数学中的理论知识推广到实际的解题过程．在和他们一起做论文的时候，她们做论文的热情让我很受感动，也正是由于她们的帮助和支持，才使我克服一个又一个的困难和疑惑．在我不懂的时候会主动去问她们，这样可以节约不少时间，也及时得到了帮助．和大家在一起讨论学习，的确是一件很愉快的事情．在此一并表示我真诚的谢意．
