经济数学
第四章 不定积分
不定积分的概念与性质
不定积分的性质
不定积分的换元积分法
不定积分的分部积分法
§ 不定积分的概念
原函数
已知某商品总收入的变化率为 ，
求总收入函数 ．这是与求导数相反的问题．
定义 设 是定义在某区间的已知函数，
若存在 ，使得
则称 为 的一个原函数
因为 ，所以 是 的一个原函数，但
，所以 的原函数不是唯一的．
说明：
1．原函数的存在问题：如果 在某区间连续，
那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）.
2．若 存在原函数，则原函数不是唯一。
定理 若 是 的一个原函数，则
是 的所有原函数，其中 为任意常数．
证 :由于
又
所以 函数族 中的每一个都是 的原
函数．
另一方面，设 是 的任一个原函数，
即 ．则
所以 ，或 ，此即
的 任一原函数均可写成 的形式．
二、不定积分
定义 函数 的全体原函数叫做
的不定积分,记为 ．
其中 “ ”叫做积分号， 叫做被积函数， 叫
做积分变量， 叫做被积表达式．
由定理知，若 是 的一个原函数,
则
其中任意常数 称为积分常数．
例1 求不定积分
解
例2 求不定积分
解 时， ，又 时，
．
函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定
积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函
数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这
族曲线称为f (x)的积分曲线族.
.不定积分的几何意义
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,
因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的
切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f
(x))处的切线斜率.
例1 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等
于这点的横坐标，求此曲线方程.
因此所求曲线的方程为
解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知
把（2，3）代入上述方程，得 C=1
不定积分的性质
性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数
不定积分的和(或差)，即
不定积分的基本积分公式
例1 计算下列积分
解
例2 计算下列积分
解 (1)
(2)
第一类换元法
例
原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积
函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从
而
所以有
？分析
换元积分法
综合上述分析，此题的正确解法如下：
解
于是类似于例1，可作如下变换与计算：
例2 求不定积分 ．
分析 注意到被积式中含有 项，而余下
的部分恰有微分关系：
同样可验证计算结果是正确的．
一般，我们有如下的换元积分法:
定理 若 是 的一个原函数，则
证明: 令 ，根据复合函数的微分法，得
因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式．
利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积
分的一般程序为：
解 被积函数中的一个因子为
余下的因子 恰好是中间变量
的导数，于是有
例3 求不定积分 ．
例4 求
解
例5 求
类似地，有
解
例6 求不定积分
解 设 ，则 ．于是
说明：在对变量代换发方法熟悉后，可略去中间
的换元步骤，直接凑微分后积分即可
例7 求不定积分
解
例8 求不定积分
解
例9 求不定积分
解
一些常用的微分式：
第一换元积分法是选择新的积分变量 ，
但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令
，把作为新的积分变量，才能积出来．即
这种方法叫做第二换元积分法．
第二换元积分法
使用第二换元积分法的关键是恰当地选择
变换 ．对于 ，要求其单调、可
导，且其反函数 存在．
例1 求不定积分
则 代入后，得
解 为消去根式，令 即
可以看出：若被积函数中含有一个被开方
式为一次式的根式 时，令 ，可
以消去根式，从而求得积分．
若被积函数含有被开方式为二次式的根式时，
可使用三角代换消去根式．
一般地，当被积函数含有
（1） ，可作代换 ；
（2） ，可作代换 ；
（3） ，可作代换 ．
例2 求不定积分
令 于是解
由 得 及
所以
例3 求不定积分
解 令 则 ．
由 得 ，
于是
故
补充的积分公式：
证明: 由公式
§ 分部积分法
分部积分公式也可写成
:
得
对上式两边积分,并应用不定积分的性质3及性质2
即得分部积分公式
定理 设函数具有连续的导数，则有下列
分部积分公式：
分部积分公式的意义在于,它可以将求 的
积分问题转化为求 的积分，当后者容易求出时，
分部积分公式就起到了化难为易的作用．
运用好分部积分法的关键是恰当地选择好 和
其选择原则：
(1)要从 中容易求得 ；
(2) 要比 容易积出．
例１ 求不定积分
例2 求不定积分
解:
例3 求不定积分
解 :
解:
例4 求不定积分
解 :
注意: 该例表明，有时要多次使用分部积分
法，才能求出积分结果．
将再次出现的 移到左端，并合并后除
例5 求不定积分
解 :
以2,得所求积分为
例5的求解，用两次分部积分后出现了“循环现
象”，这时所求积分可用解方程的方法求得．
总结：下述几种类型的积分，均可用分部积分
法求解，且 、 的设法有规律可循．
（1）
（其中 、 为常数，且 为自然数),可设
（2）
( 为自然数)可设 ；
（3） （其中 为常数）
可设
解：令 ，则 ．因此
例6 求不定积分
含有未知函数的导数（或微分）的方程称为
微分方程。
定义一
微分方程初步
常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程
偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程
导数的阶数叫做该微分方程的阶
定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶
一阶微分方程的一般形式是
二阶微分方程的一般形式是
注：在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现
例：
定义3 能使微分方程成为恒等式的函数
叫做微分方程的解．
其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的
积分曲线．
例如， 是方程 的一个解．
我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原
函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个
解．
可分离变量的微分方程
形如 f (x)dx + g(y)dy = 0 （）定义：
的一阶微分方程叫做变量已分离的微分方程。
如果微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)=0 ()
中左端的函数M(x,y)、N(x,y)都可以分解为两个因子的积，
并且这两个因子中一个只含有变量x,另一个只含有变量y，
即上述方程可以表为
去除这个方程的两边，上式就可化为 以
（）
将（）式两边积分后，
（C为任意常数）
可验证，此结果即用隐式给出的方程（）的通解．
个原函数，而把积分所带来的任意常数明确地写上。
约定:
在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一
例1 求微分方程
解 移项、积分
得
例2 求方程 的通解
解 分离变量，得
两边积分，得通解
例3 求微分方程 满足初始条件
的特解．
解 此为可分离变量的微分方程
分离变量后得
两端积分，得
即
故所求特解为
由初始条件 得
一阶线性微分方程
特征
如果q(x)=0,则() 变为 （）
称为一阶线性齐次方程．
的微分方程，称为一阶线性微分方程．
（）定义 形如
（）式称为一阶线性非齐次方程．
下面介绍利用参数变易法求方程（）的通解．
的通解．
首先求方程（）所对应的齐次线性方程（）
（）是变量可分离的方程，容易求得它的通解
即
于是
把它们代入方程（），得
故（）式的通解为
（）
一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：
(i) 求对应于（）的齐次方程（）的通解
(ii) 令 ，并求出
代入(i) ，解出 (iii) 将(ii) 中的
(iv) 将(iii) 中求出的 代入(ii)中y的表达式，得到
即为所求（）的通解．
例1 求微分方程 的通解．
解
代入公式
则所求的通解为
例2 求微分方程 的通解．
解 把x看作是y的函数
将原方程改写为：
此为关于未知函数 的一阶线性非齐次方程，
其中 ，它们的自由项
代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有
即所求通解为
