第四章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
随机变量的方差
随机变量的协方差和相关系数
矩、协方差矩阵
数学期望
一.数学期望的定义
例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：
数学期望——描述随机变量取值的平均特征
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
分数 40 60 70 80 90 100
人数 1 6 9 15 7 2
定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称
定义 2. (p110)若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…,且
为离散型随机变量X 的数学期望，简称期望或均值。
，则称
为离散型随机变量X 的数学期望
例2 掷一颗均匀的骰子，以X 表示掷得的点数，求X的数学期望。
定义 3 若X ~ f (x), -<x<,
为连续型随机变量 X 的数学期望。P(110)
则称
例3. 有5个相互独立工作的电子装置，其寿命
，服从同一指数分布，其分布函数为
①将这5个装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望
②将这5个装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望
解：由随机变量函数的分布，得
①串联： N＝min{X1, X2, X3, X4, X5}的分布函数为：
其密度函数为
②并联： M＝max{X1, X2, X3, X4, X5}的分布函数为：
其密度函数为
二.几个重要.(random variable)的期望
-1分布的数学期望
E(X) = p
2. 二项分布B(n, p)
3.泊松分布
4. 均匀分布U(a, b)
5.指数分布
6. 正态分布N ( , 2 )
EX1：设随机变量X的分布律为
求随机变量Y= X 2的数学期望
X
Pk
-1 0 1
解:
Y
Pk
1 0
三.随机变量函数的期望
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k = 1,2,…, 则Y=g(X)的期望E(g(X))为(p115)
推论: 若 (X, Y) ~ P{X=xi ,Y=yj,}= pij , i, j=1, 2, … , 则Z= g(X，Y)的期望
例4 设随机变量(X , Y )的分布律如下，求E(XY)
解:
解： Y=ax+b关于x 严单，反函数为
Y 的概率密度为
EX2：设随机变量X 服从标准正态分布，求随机变量
Y=aX+b的数学期望(其中a>0)
定理2 若X~f (x), -<x<, 则Y=g(X)的期望
推论 若(X, Y) ~ f (x , y), -<x<, -<y<, 则Z=g(X, Y)的期望
例2 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
=10分25秒
设X服从N(0，1)分布，求E(X 2),E(X 3),E(X 4)
1. E(c)=c,c为常数;
2. E(cX)=cE(X), c为常数;
四.数学期望的性质
证明:设X~ f (x),则
3. E(X+Y)=E(X)+E(Y );
证明:设(X,Y)~ f (x , y)
4. 若X与Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y).
证明:设(X,Y)~ f (x,y)
例2.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数
解:设Xj为第j 组的化验次数，
Xj
Pj
1 101
X为1000人的化验次数，则
例3 若X~B(n,p),求E(X )
解:设
第i次试验事件A发生
第i次试验事件A不发生
则
EX1 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,),且X ，Y，Z 独立，求随机变量
W=（2X+3Y)(4Z-1) 的数学期望.
EX2 设随机变量
相互独立，且均服从
分布，求随机变量
的数学期望.
答:
答:
方差(Deviation)
一. 定义与性质
方差是衡量随机变量取值波动 程度
的一个数字特征。
如何定义？
波动 程度:
能够反映此情形,但计算比较麻烦.
1.(p121)定义 若E(X),E(X2)存在，则称
E{[X－E(X)]2}
为. X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 为的标准差
可见
(deviation , variance)
2.推论 D(X)=E(X2)－[E(X)]2.
证明: D(X)=E{[X－E(X)]2}
例1：设随机变量X的概率密度为
1)求D(X) , 2)求
解：
3. 方差的性质
(1) D(c)=0
反之，若D(X)=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；
证明:
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);
证明:
X与Y 独立
1. 二项分布B(n, p)：
二.几个重要.的方差
解法二:
设
第i次试验事件A发生
第i次试验事件A不发生
则
2. 泊松分布p()：
由于
两边对求导得
或
或
3. 均匀分布U(a, b)：
4.指数分布：
5. 正态分布N( , 2)：
思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，
方差都是1。
2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn求E（Y2）
B(4,),
N(2, 1)
三.切比雪夫不等式 (P128)
若的期望和方差存在，则对任意0，有
这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。
它有以下等价的形式：
证明：设
例 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。
解:由切比雪夫不等式
令
协方差，相关系数
一.协方差定义与性质
1.协方差定义 (P129)若. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称
Cov(X, Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.
为X与Y的协方差（covariance ）, 易见
Cov(X, Y)=E(XY)－E(X)E(Y).
当Cov (X,Y)=0时，称X与Y不相关。
“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？
例 设(X , Y)在D={(X , Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。
2.协方差性质
(1) Cov (X, Y)=Cov (Y, X);
(2) Cov (X,X)=D(X); Cov (X , c)=0
(3) Cov (aX, bY)=abCov (X , Y), 其中a, b为 常数；
(4) Cov (X+Y，Z)=Cov (X, Z)+Cov (Y, Z);
(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2Cov (X, Y) .
EX:设随机变量XB（12,),Y N(0,1),
Cov (X , Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差.
解:
D(V)=D(4X+3Y+1)= D(4X+3Y)
=D(4X) +D(3Y)＋2Cov(4X , 3Y)
=16D(X) +9D(Y)＋24Cov(X , Y)
=48 +9－24
XB(12,),Y N(0,1)
=33
同理：
D(W)=D(－2X+4Y)= 28
Cov (V , W)= Cov (4X+3Y+1 , －2X+4Y)
=Cov (4X+3Y+1 , －2X)+Cov (4X+3Y+1 , 4Y)
=－2Cov (4X+3Y+1 , X) + 4Cov (4X+3Y+1 , Y)
=－8Cov (X , X) －6Cov (Y, X) － 2Cov (1, X)
＋16Cov (X , Y) ＋12Cov (Y , Y) ＋4Cov (1 , Y)
=－8D(X) ＋10Cov (X, Y) ＋12D(Y)
二.相关系数
1. 定义 若. X，Y的方差和协方差均存在, 且D(X)>0,D(Y)>0，则
称为X与Y的相关系数.
注：若记
称为X的标准化，易知E（X*）=0，D（X*）=1.且
2.相关系数的性质
(1) |XY|1；
(2) |XY|=1存在常数a , b 使P{Y= aX+b}=1；
(3) X与Y不相关 XY=0
1.设(X, Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数.
D
1
x=y
解
解1)
2)
可见，若（ X ， Y ）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。
矩、协方差矩阵(p133)
1. k阶原点矩 Ak=E(Xk), k =1, 2, …
而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩；
2. k阶中心矩 Bk=E[X－E(X)]k, k=1, 2, …
而E|X－E(X)|k称为X的k阶绝对中心矩；
3. k +l阶混合原点矩
E(Xk Yl), k, l =0, 1, 2, …；
4. k +l阶混合中心矩
E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k, l=0, 1, 2, …；
协方差矩阵(p134)
1.定义 设X1，… , Xn为n个., 记cij=Cov(Xi, Xj),
i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量
X1，… , Xn的协方差矩阵C。即
P135 n维正态分布
例4 设(X, Y)服从 N(1,0,32,42,)分布，Z=X/3+ Y /2
1)求Z的概率密度
2)求X与Z的相关系数
3)问X与Z是否相互独立？为什么？
六种常用随机变量的期望与方差
小结
