簡單線性迴歸模型
前言
簡單線性迴歸模型
簡單線性迴歸模型的估計量
簡單線性迴歸模型的驗証
迴歸模型的殘差分析
1 前言
本章介紹「簡單線性迴歸模型」的理論，主要從「為什麼」的觀點來探討，其包括簡單線性迴歸的模型、模型的估計、模型的驗証等。文中也強調並敘述利用線性迴歸分析技術所應注意的課題。雖然本章是針對簡單線性迴歸模型的理論，但其理念亦可用到「複線性迴歸模型」。「複線性迴歸模型」將另闢章節討論。
2 簡單線性迴歸模型
簡單線性迴歸模型是假設『依變數 Y 之期望值為自變數 X 之線性函數』，即所有 Yi 之期望值均落在一直線上，此稱之為『迴歸線性假設（The linearity of regresssion）或迴歸共線假設』。
《圖-1》簡單線性迴歸模型
3 簡單線性迴歸模型的估計量
簡單線性迴歸分析的目的，是要瞭解是否能用自變數 X 來解釋依變數 Y ，亦即變數 X 和 Y 的關係是否密切，而足以適當地用一種線性方程式來表示。
換言之，即是要求出一條經過這 n 個點（資料對）的最適線性方程式（稱之為線性迴歸方程式或迴歸直線），即可由變數 X 的值求出 Y 的值。
一般求出此線性迴歸方程式的方法是利用最小平方法：即是利用這 n 個點，求出未知參數 α 和 β 的估計量，分別表示為α 和 β。
4 簡單線性迴歸模型的驗証
依變數是要被預測的變數，也是迴歸問題的中心，由於依變數的結果無法事先預知，因此必須利用其他變數（因素）來解釋它。
要找出適當的變數，首先必須要確立此變數與依變數是否有因果關係？因果關係愈強愈佳。
除了因果關係的考慮外，下一步即要選擇關係密切者。這可利用圖示法來判斷，若圖形顯示兩個變數成「非水平的狹窄帶狀」關係時，此變數應是一適當的自變數，而且圖形愈狹窄愈佳。
首先確立依變數，並找出適當的自變數
求出簡單線性迴歸方程式
將所收集到的資料代入(1)式中，求出截距 a 和斜率 b，即可獲得簡單線性迴歸方程式。
．．．．．(1)
簡單線性迴歸方程式：
檢定參數(理論的截距和斜率)
斜率的檢定
虛無假設：β＝0
對立假設：β≠0
1
截距的推論檢定
虛無假設：α＝0
對立假設：α≠0
2
判定簡單線性迴歸模型的適合性
判定係數
若「迴歸變異」愈趨近於「總變異」，則表示依變數的變化能由迴歸模型來解釋，此時表示此迴歸模型極合適。「迴歸變異」與「總變異」的比值稱為判定係數
，表為 R2，0≤R2≤1。
2
模型適合性的檢定
虛無假設：迴歸模型不適合
（解釋能力極低或斜率為零）
對立假設：迴歸模型適合
（解釋能力高或斜率不為零）
1
檢定模型的假設
如果可以獲得合適的線性迴歸方程式，但此迴歸模型是否滿足各項的假設呢？因為迴歸模型的建立是根基於這些假設。顯然，若其偏離假設太遠，則此迴歸模型就有問題，所以有必要去檢視這些假設是否成立。這些假設的檢視稱為殘差分析，請見本章節的討論。
利用簡單線性迴歸模型作預測
在某特定值時之期望值的預測
（1-r）% 的信賴區間的估計值為：
1
《圖-1》個別反應值的預測圖示
在某特定值時之個別反應值的預測
（1-r）% 的信賴區間的估計值為：
2
5 迴歸模型的殘差分析
判定假設的正確性，先假定「迴歸模型的假設是正確，然後再利用現有的資料去驗証其正確性」。此現有的資料就是殘差，因為所有變化的資料均在殘差內，所以利用分析殘差的結果來判斷假設的正確性是合理可行的，此謂之「殘差分析」。
但必須知道「即使所有的假設均通過驗証，也不能完全斷言迴歸模式是正確無誤，而僅能表示以現有的資料，並不能判定其不合理」。
要分析殘差以驗証假設，可用圖示法來分析：
A. 繪殘差次數分配圖，判定是否為常態分配。
B. 依收集資料的順序，繪殘差點圖。
C. 繪殘差 ei 與迴歸估計值 yi 的對應圖。
D. 繪殘差 ei 與自變數 X（即 xi）的對應圖。
殘差相關變數和意義
未標準化的預測量（估計量：PRED）
估計量為 ，i=1、2、...、n
估計值為 ，i=1、2、...、n
1
Leverage 值（Hat 矩陣對角元素 h i：LEVER）
2
預測值的標準差（SPERED）
3
標準化的預測量（ZPRED）
4
未標準化的殘差（RESID）
5
標準化殘差（ZRESID）
6
Studentized殘差（SRESID）
7
調整的預測量（ADJPRED）
估計量為 ，i=1、2、...、n
估計值為 ，i=1、2、...、n
8
刪除型殘差（Deleted residual：DRESID）
估計量為 ，i=1、2、...、n
估計值為 ，i=1、2、...、n
9
Studentized 刪除型殘差（SDRESID）
估計量為 ，i=1、2、...、n
估計值為 ，i=1、2、...、n
10
Mahalanobis距離（MAHAL）
11
Cook-距離（COOK）
12
Durbin-Watson 統計量（DW：DURBIN）
13
驗証常態分配
要驗証誤差變數是否具常態分配，可繪殘差次數分配圖，由該圖可概略判斷母群體的誤差變數是否是常態分配？且其平均數（期望值）是否為零。
另一種方法是利用「常態點圖（normal plot）」，將每個殘差分別描繪在圖上。若誤差變數是常態分配，則圖上點之連線應近似一直線。
驗証變異數（標準差）相等
《圖-1》標準常態分配機率圖
繪標準化殘差次數分配圖
1
繪殘差 ei 與迴歸估計值 yi 的對應圖
2
繪殘差 ei 與自變數 X 的對應圖
3
驗証線性假設
若自變數只有一個，則可繪依變數和自變數的散佈圖，檢視此圖是否近似直線。若否，就不應該以此兩變數作簡單迴歸分析。
繪「殘差 ei 與迴歸估計值 yi 的對應圖」和「殘差 ei 與自變數 X 的對應圖」。若圖型顯示不成一「以零為中心的水平帶狀」時，也表示其關係並非線性。此時也可利用將依變數轉換的方式處理（如取對數或開根號等）。
1
2
驗証獨立性
依收集資料的先後順序，繪殘差點圖。若資料是彼此獨立時，殘差應會隨機散佈在圖上，換言之，殘差應不會成群出現在零線（即原點）的某一方，否則表示非獨立。除了圖示法外，亦可利用 Durbin-Watson 統計量，或其他無母數分析法，如「符號檢定（sign-test）」等來檢定獨立性，有興趣的讀者可參考相關書籍。
例外值(Outliers)的處理
《圖-3》殘差的例外值
資料轉換
適合簡單線性迴歸模型。
1
簡單線性迴歸模型不顯著，可再加入其他自變數於模型內（複迴歸分析）。
2
簡單線性迴歸模型雖可用，但適合度不高，可作對數轉換或二次曲線模型。
3
簡單線性迴歸模型不適用，可作開根號轉換或二次曲線模型。
4
