動 力 學
(Dynamics . 原著:)
龍華科技大學機械系
李瑞貞老師上課講義
1
課 程 目 錄
第 1 章 序 論
歷史與當代應用
基本概念
牛頓定律
單位
因次
重力
動力學問題求解
2
第 2 章 質 點 運 動 學
簡介
直線運動
平面曲線運動
直角座標
法線與切線座標
極座標
空間曲線運動
相對運動 ( 平 移 軸 )
連接質點的約束運動
3
第 3 章 質點運動力學
簡介
牛頓第二定律
運動方程式與問題求解
直線運動
曲線運動
功與動能
位能
簡介
線衝量與線動量
角衝量與角動量
簡介
衝擊
4
第 4 章 質 點 系 統 運 動 力 學
簡介
廣義牛頓第二定律
功-能
衝量-動量
能量與動量守恆
5
第 5 章 剛體的平面運動學
簡介
旋轉
絕對運動
相對速度
零速度瞬心
相對加速度
相對於旋轉座標軸的運動
6
第 一 章 序 論
§ 1 . 1 基 本 概 念
力學
1.力學:是物理學的一個分支，係研究物體受力作用
後，保持靜止或運動的情形。
2.靜力學:探討物體受力後，保持靜止不動或維持等
速運動的平衡狀態。
3.動力學:探討物體受力後產生加速運動得情況。
剛體力學
變形體力學
流體力學
靜力學
動力學
7
§ 1 . 2 基 本 理 論
1. 剛體力學的四個物理量為:
①.長度 : 描述一質點在空間中的位置，以及描述
物體的大小。
②.時間 : 表示事件發生的先後次序與長短。(靜
力
學與時間無關)
③.質量 : 事物的一種特性，用來表示不同物體受
力後的不同反應。
④.力 : a.包含三個要素:大小、方向、施力點。
b.可視為一物體作用於另一物體上推或
拉
力量。
8
2 .定義 :
①. 質點 : 一個只具有質量而無實體大小的物體。
②. 剛體 : 由一大群質點組合而成的物質，質點
彼
此間的距離不因外力作用而改變。
③. 集中力 : 一負載集中作用於物體上的某一點。
9
＊質點:與旋轉無關，可做直線運動與曲線運動，故
可探討其位移、速度以及加速度。
＊剛體:當物體發生旋轉運動時，則該物體不可以視
為質點，而必須以剛體視之，故可做直線
運
動與曲線運動以及旋轉運動，可探討其移、
角位移、速度、角速度、加速度以及角加
速
度。
10
3.牛頓的三個運動定律:
①.第一定律 : 若作用於一質點上的合力為零時，
則此質點將保持靜止不動( 若最
初
為靜止 )，或沿一直線作等速度
運
動( 若最初在運動 )。
②.第二定律 : 若作用於一質點上的合力不為零
時，則此質點將在合力的作用方
向
上產生加速度，且此加速度得大
小
與合力得大小成正比，與質量的
大
小成反比，即 11
③.第三定律 : 兩質點的作用力與反作用力，其大
小相等，方向相反，且作用在同
一
直線上。
12
4.定理 : 牛頓的萬有引力定律
若兩質點的質量為 m1、m2，兩質點間的距離為
r，則此兩質點間的吸引力為 ，
G = X 10-12 m 3 / kg ．s 2
( 萬有引力常數 )
5.重量 : 若某質量為 m1 = m ，假設地球的
質量為 m2，地心與質點的距離為 r
，則由萬有引力定律
13
其中 ，我們稱 g 為動所造成的加
速
度，一般我們將緯度 45 ° 的海面上所測得的 g 值
視為標準值，即
g = ≈ m / s2
= ≈ 32 f t / s2
14
§ 1 . 3 測 量 單 位
1.測量單位
①. 國際單位系統又稱為絕對單位系統。
②. 英制系統又稱為美國習慣單位系統，或稱為萬
有引力系統。
國際單位系統 ( S I 系 統 )
英文系統 ( U S C S 系 統 )
15
2. SI 系統與 USCS 系統的比較:
SI系統 USCS系統
時間 t 秒 ( sec 或 s ) 秒 ( sec 或 s )
長度 L 公尺公寸公分 呎 ( ft ) 吋 ( in )
面積 A 平方公尺 m2
平方公分 cm2
(呎)2 ft 2
(吋)2 in2
面積 立方公尺 m3
立方公分 cm3
(呎) 3 ft 3
(吋) 3 in3
16
SI系統 USCS系統
質量 m 公斤 ( kg ) 磅 slug = lbm =
lb
重量 W 牛頓 ( NT 或 N
)
磅重( l b f )
力 F 牛頓 1N=1kg．
m/s2
磅重( l b f )
17
＊ 1 呎 = 12 吋 = 30 公分，1 呎即又稱為 1 英呎
1 吋 = 公分
1 磅重 = 牛頓
1 sulg ( 斯格拉 ) = = (磅)
＊一牛頓 ( N 或 NT ) : 使 1 kg的質量產生 1
m/s2 的加速度時，所需
要的作用力。
一磅重 ( l bf ) : 使 磅 ( 即 1 slug)
的質量產生 1 ft/s2 的加速
度時，所需要的作用力。
18
3. SI 單位(國際單位系統)的倍數因子
字 首 SI 符 號 指 數 形 式
terra T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
milli m 10-3
micro u 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
19
第 二 章 質 點 運 動 學
§ 2 . 1 動 力 學 概 論
1.定義 : 動力學 = 運動學 + 運動力學
①.運動學 : 研究物體運動位移、速度、加速度
及
時間德關係，而不考慮影響或產生
運
動的方式或原因。
20
②.運動力學 : 研究作用於物體上之力量與物體運
動之位移、速度、加速度及時間
的
關係，即研究已知力量所造成之
運
動，或決定產生某一運動所需之
力
量。運動力學包含力的分析，亦
包
含如何求出因施力而產生的運動。
21
2.定義 : 質 點
①.不表示所研究之物體的尺寸甚小。
②.具有質量與位置但體積為零的物體。
③.在動力學中，對一有限大小之物體，若只
需考慮其質量中心之運動，而忽略其本身
支運動時，則該物體便可是為一質點。
④.即使汽車、火箭或飛機、大型物體，若分
析其運動，有時亦可將其視為一質點。
22
3.定義 : 剛 體
①.物體上各點之距離不因任何因素有所伸長或縮短
的物體，亦即，不變形的物體。
②.若物體發生旋轉，則該物體不可以視為質點，而
必須以剛體視之。
③.剛體運動可視為此剛體內所有各質點運動之組合
。
＊質點 : 關心其位移、速度及加速度。
剛體 : 關心其位置、速度及加速度之外，尚須
關
心其角位移、角速度及角加速度。 23
位移 速度 加速度
角位移 角速度 角加速度
24
4.如何描述物體運動 :
運動是個相對的名詞，大凡兩個物體之相對位置
發生變化，則在其中一個物體上之觀察者必將認
為另一物體在運動。已『風動樹搖』為例，究竟
是風在動還是樹在搖 ? 那要看你是乘在風上看
樹，還是爬在樹上看風，所以，我們可說 :“
運動為觀測者居於某一指定物體上觀測其他物體
之位置變化 ”。 所以，在不同物體上觀測某一
物體之運動必然不同，爲了將運動數學化，我們
必須在觀測者所在的物體上建立座標，此觀測者
所在的物體稱之為參考體 。
25
5.定義 : 參考座標與絕對運動
①.分析物體之運動時，以一參考座標作為描述物
體在空間之位置的基準，在牛頓力學中索取的
參考座標為參考天文座標，或稱為主慣性座標
系統，亦即為，空間中固定不動之假想直角座
標系統。
②.在參考體上所建立得座標稱為參考座標，而恆
星被公認為不動的參考體稱為慣性參考體，在
慣性參考體上之座標稱之為慣性參考座標 。
26
③. 只要運動速度甚小於光速，則牛頓力學在參考座
標系統中可以正確地被應用，以此參考座標所描
述的運動，稱為絕對運動。
④. 在工程上以地球表面為參考座標所分析的運動可
視為絕對運動。
確定採用的
參考體
在參考體上
建立參考座標
描述被觀測
物體之位置
變化
＊描述物體運動的步驟
:
27
在我們所探討的運動學中，我們將只考慮在一個平
面中運動的物體。此運動形式將為下面三種之一 :
①.直線或平移運動 : 質點或物體在一直線上運動
，但不對其質心旋轉，圖1.中活塞中的銷 c 部
為直線運動。
28
29
② 圓周運動 : 物體沿一圓軌跡運動，圖1.中活
塞
中的臂 A B 之端點銷 B 為圓周運
動。
30
③. 一般平面運動 : 即物體運動不是沿直線運動
就
是圓周運動，亦或是同時具有
直線及圓周運動。圖 1.中連桿
B C 同時具有直線及圓周運
動，因其由左而右運動時具部
分旋轉。
31
＊半滿的油車不可視為質點，因油車內液體隨時改
變位置，所以其質心亦跟著改變。當物體對其質
心旋轉時，其他部位的物體不會有相同的運動，
則此物體不可視為質點。所謂質點，可為一小物
體，亦可為較大物體，若為很大物體，只要其任
何部位的運動皆與質心相同即可視為質點。
32
§ 2 . 2 直 線 運 動
1.定義 : 當質點沿一直線路徑運動時，稱為該質點
作直線運動 。
2.定義 : 質 點 的 位 置
描述一質點的位置可以採用其座標值或位置向量
表示。例如質點 P 的座標值為 ( X , Y , Z )
，
其位置向量為
33
34
3.定義 : 質點的位移
①.距離與位移是有所差別的。
②.距離為純量，位移為向量。
③.由 A 移動到 B ，三種路線任選其一皆可，每一
路線包含不同的距離，但其位移接相同，即向右
10 M
35
36
④.位移僅與起始位置及終點位置有關。
⑤.質點在經過 之間所發生的位置變化量
( 位置向量 ) ，以 稱為位移表示，則
有
其分量為
37
38
△ S : 位移 ( 距離 )
S´ : S + △ S
S : P 點位置座標
S´ : P´ 點位置座標
39
4.定義 : 質點的速度
①.質點於某瞬間之位置向量變化量，稱為質點
在該瞬間的速度
其分量為
其中 表示 ( )
對時間
的微分。
40
質點的平均速度 :
質點在 P 點的瞬時速度 :
41
②.速率與速度亦有所差別。速率為純量，速
度為向量。速率為距離對時間的變化量，
單位為
m/s 、 km/h 、 ft/min 、 ft/sec
，速率單位皆無考慮到方向。速度同時包
含速率及方向，速度為位移對時間的變化
量，與速率具同樣單位即
m/s 、 km/h 、 ft/min 、 ft/sec
42
5. 定義 : 質點之加速度
①.質點於某瞬間之速度變化率，稱為該質點在該瞬
間的加速度
其分量為 ，
，
43
質點平均加速度 :
質點在 P 點的瞬時加速度 :
②.加速度為速度對時間的變化量，由於速度包含大
小及方向，因此，只要其中之一改變，則有加
速
度產生，加速度的方向與速度變化方向相同，
其
單位為
44
mm/s2 ， m/s ， in/sec2 ， ft/sec2
＊ 1 ft = 12 in = m = cm
1 i n = c m
45
6.定義 : 等加速度直線運動
①.包含自由落體運動與鉛直上拋運動。
②.地表重力加速度 g = m / s2
= f t / s e c 2
③.若為自由落體運動，則 a = g = m / s2
若為鉛直上拋運動，則 a = - g = - m / s2
46
④.(I) 若加速度為常數，則
47
48
( i i ) 加速度為時間之函數，即 a = f ( t )
49
( i i i ) 加速度為位置之函數 ( 即速度為位置之函
數 )令 a = f ( s ) ， v = g ( s )
-
50
( i v ) 加速度為速度之函數 : a = f ( v )
51
⑤.自由落體運動 : 地表附近之質點，若不計空氣
阻力，則會有一向下之加速
度
g 稱為重利加速度。當物體
自
由落下時，則有
52
53
⑥.鉛直上拋運動 :
54
55
7.定義 : 拋物體運動
① 在地表附近之質點以斜向拋出，若無空氣阻力，
則其軌跡必呈現拋物線形狀，稱之為拋物體運
動
。
56
57
方向 加速度 速度 位移 最大位移量
水平( x
)
a x = 0 V 0 X v 0 x t
鉛直( y
)
a y = - g v 0 y - g
t
＊ 當 時有最大射程
＊
58
§ 2 . 3 質 點 之 曲 線 運 動
1.定義 : 曲 線 運 動
①.若質點之運動為一曲線時，稱此質點作曲線運
動。
②.曲線運動之質點均以向量分析描述其運動情形
。
③.向量分析所得的結果與所選用之特定座標系統
無關，故可按照運動之特性選用適當的座標分
析之。
59
2.定義 : 質 點 的 位 移 與 距 離
①.考慮一沿平面曲線運動的質點，倘若此質點由
點 P ，向量位置為 ，經過時間 而移
動
而移動至點 ，向量位置為 ，則此質
點
位置的變化稱為此質點的位移
為一具大小與方向的向量，其大小為 P 與
點的直線長度且方向由 P 指向 點。
60
61
②.質點由 P 點運動至 點所移動路徑之總長
度 △S 稱為此質量移動的距離，為一純量。
62
3.定義 : 質點的速度與速率
①.質點由 P 點移動至 點的平均速度為
，其方向與 相同。
②.質點在 P 點 的瞬時速度為
63
64
＊當 時，則 ，此時
的方向為質點移動路徑在 P 點得切線方向，因此，
瞬時速度的方向桓與質點之運動路徑相切。
65
③.質點瞬時速度的大小即稱為瞬時速率，即
表示質點沿其路徑運動時長度 S 對時間 t 的
變化率，即單位時間質點所移動的路徑長。
66
4.定義 : 質 點 的 加 速 度
①.設質點在位置 P 的速度為 ，經 △t 之時
間移動至位置 時的速度為 ，如左圖
所
示。今在同一原點 劃出向量 與
，則可得質點在 △t 時間內速度的變化量
，其方向由 指向 ，如右圖所示。
質點在此時間 △t 內的平均加速度為
，其方向與 相同。
67
68
②.質點在 P 點的瞬時加速度為
＊加速度為速度的瞬時變化率，其中包含著速度大
小的變化率及方向的變化率。速度大小之變化率
亦即為速率的變化率稱之為加速率。然而加速率
並不等於加速度之大小
69
§ 2 . 4 質點之曲線運動一直角座標系
①.曲線運動之直角座標系表示法，是將質點之曲線
運動分解為沿著 X 與 Y 兩個方向之直線
運動，在將兩個方向之運動聯立相加而得到質
點
的運動 情形。質點在平面上的位置向量為
70
∵速度 與加速度 的分量為
∴速度 與加速度 之大小及方向可由其
分
量求得，即
＊圖在下頁
71
72
②.在斜向拋射運動中，若空氣之阻力忽略不計，則
則拋物體在運動過程所受之加速度在 x , y
兩
方向之分量為
即水平方向 ( X 方向 ) 拋物體作等速度運動，
而垂直方向 ( Y 方向 ) 拋物體作等加速度鉛
直
上拋運動。
水平方向 :
73
垂直方向 :
其中
與為拋物體之初位置與拋出之初速度。因此拋
物
體在拋出 t 秒後之位置與速度分別為
74
75
§ 2 . 5 質點之曲線運動一切線與法線向量
1.一已知質點作曲線運動時，其速度必與質點之運
動路徑相切，但是加速度則通常不與路徑相切。
2.使用切線與法線分量描述質點的速度與加速度，
設 表示質點切線方向的單位向量，其方向
與
質點之運動方向相同，而且 為質點法線方
向
之單位向量。由於質點之加速度沿其切線方向，
故速度 ，其中 為質點在
任意
一位置之瞬時速率。
76
77
78
且當 時，
與 垂直而指向
且
( 即 平行 ， )
79
又
( 即 )
，ρ為路徑的曲率半徑
80
∴質點的加速度為
81
即質點之加速度在切線方向與法線方向的分量為
＊切線加速度反應質點運動速率的改變
法線加速度反應質點運動方向的改變
切線加速度 法線加速度
( 速度大小變化率 )
( 速度方向變化率 )
82
83
84
§ 2 . 6 質點的曲線運動一極座標
1.當質點與同一固定點之聯線傾角變化率為已知或
聯線長度為已知時，我們可以曲極座標 R 與
定義此質點的位置。
85
86
且質點的位置向量為
( r 為質點與 o 聯線之長度 )
( 為質點與 o 聯線之長度 )
87
88
89
2. 且當 時，則
與
垂直而且指向 ( 即 平行 )
且
又 且當
時，則
與 垂直而且指向
( )平行
90
且 ( 即 平行 )，
∴質點的速度為
亦即質點之速度在徑向分量與橫向分量為
91
92
＊徑向分量 Vr 表示徑向長度 r 之變化率，而橫向
分量 Vθ係由於 之旋轉所產生者。
93
3. 同理，質點的加速度為
亦即質點之加速度在徑向分量與橫向分量為
94
95
§ 2 . 7 空間曲線運動
1 .直角座標 ( X – Y – Z )
若一質點的位置向量、速度、加速度分別以
表示，則有
96
2 .圓柱座標
若一質點的位置向量、速度、加速度分別以
表示，則有
其中
注意
97
其中
注意 :
98
3. 球座標
當質點位置以指定一弳向距離與兩個角度描述
時
，例如雷達量測，則需要使用球座標
表示。若此質點的位置向量、速度、加速度分
別
以 表示，則有
99
100
§ 2 .8 相 對 運 動 ( 平 移 座 標 軸 )
1.本節只討論平移而非旋轉的座標系統，因此所
討論的相對運動分析只限於平面問題。有關旋
轉座標系統中的運動，將於 5 .7 節剛體運動
學時再予討論。
2.移動座標的運動是根據固定座標系統所決定，
嚴格上說，牛頓力學上所假設固定不動系統是
假設在空間不動的慣性座標系統，稱為絕對運
動。
101
3.大部份地表附近的工程問題，選擇固定在地球上
的座標為固定座標已足夠精確，在此選擇方式上
，我們即是忽略因地球運動所造成得影響。
4.對繞著地球運動的衛星而言，可將非旋轉座標系
統的原點選擇在地球上的旋轉軸上 ;星際旅行問
題，則可非旋轉的座標系統選擇在太陽上。由此
可知，座標系統的選擇與牽涉的問題有關。
102
5.若 A .B 兩質點在同一平面或兩平行平面上分別
進行曲線運動，假設 B 質點位於平移座標軸 X
- Y 的原點上觀察 A 質點的運動，而且 B 質
點得絕對位置是由固定座標 X – Y 的位置向量
所定義，但是 A 質點相對於座標軸 X – Y
的位置向量為 ( A / B
唸為
A 相對於 B )，因此質點 A 的絕對位置向量、
速度向量、加速度向量分別為
103
104
105
106
§ 2 .9 兩 質 點 之 相 依 運 動
1.定義:若一質點之運動係依賴另一質點運動來決
定，則稱此二質點具相依運動，此種相
依
性通常是由於二質點以不可伸長之繩索
或
桿件相連結，此時速度與加速度的正負
值
代表繩長或桿件長得增減情況。
107
例 :
108
常數
109
例 :
110
當物件 B 以 VB 之速度
上升時，求物體 A 之速
度 VA = ?
常數
＊不計滑輪重量
111
例 :一滑輪組懸有 A，B，C 三物件，今已知此瞬間
A 物件之速度 向上，加速度
向下 ; C 物件之速度為 向上，加
速度為 向下，試求該瞬間 B 物件
之速度與加速度。( 不計滑輪重量 )
112
sol:
113
常數
常數
114
第 三 章 質 點 運 動 學
§ 3 . 1 簡 介
1.根據牛頓第二定律，當質點承受不平衡力作用時
，將會產生加速度運動，運動力學係研究不平衡
力所導致運動變化間的關係。
2.解決運動力學問題有下列三方式 :
( 1 ) 牛頓第二定律的直接應用，即
( 2 ) 應用功與能量原理。
( 3 ) 衡量與動量法。
115
§ 牛 頓 之 運 動 定 律
1.牛頓為英國數學家、物理學家，他的一生享有三
大成就一微積分、光得本質、萬有引力理論，被
稱為 “ 微積分之父 ”。
116
2.牛頓之運動定律 : 1687年由牛頓發表質點運動的
三的基本定律時，力與動
運的
關係才被確定。
①.第一定律 : ( 又稱慣性定律 )，質點受一
平
衡力系作用力時，將不改變其
原
先靜止或沿直線作等速運動的
狀
態，即，靜者恆靜，動者恆做
等
速直線運動。
117
②.第二定律 : (又稱為運動定律)，若作用於一質
點的合力不為零時，則此質點將
沿
合力方向產生一加速運動，此加
速
速之大小與該合力之大小成正比，
即
③.第三定律 : (又稱為反作用定律)，對作用於質
點之任何外力，質點必產生與外
力
大小相等、方向相反，並在同一
作
用線上之反作用力。
118
3.牛頓第二定律可以 表示，其中加速度
之軸系統，其慣性座標被定於第求得軸上。
4.牛頓萬有引力定律 :
F = 二點間之相互吸引力
G = 萬有引力常數，其值為
M1、M2 = 二質點之質量
r = 二質點之距離
119
5.物體間亦存有相互作用之吸引力，將 r 改為二物
體“質心”間的距離，則亦滿足公式
當一物體位於或接近地球表面時，其所考慮的唯
一吸引力為地球的重力，此力稱為該物體之重量
120
6.質量與重量
①. 質量 : 物體的質量為一絕對量，在任何位置所
量測的質量均相同 ( 對同一物體而言 )
②. 重量 : 物體的重量不是一個絕對量，因在重力
場量測，因此物體重量的大小與其量測
所在位置有關。
7. S I 單位系統與美國慣用系統 ( U S C S )
( 國際單位系統)
121
①. S I 單位系統 ( 國際單位系統 )
F = m a
1 N = ( 1 kg ) ( 1 m / s2 )
W = m g
N =( 1 kg ) ( m / s2 )
名稱 力量 質量 長度 時間 加速度
符號 F m L t A
單位 牛頓
( N )
公斤
( KG )
公尺
( M )
秒
( sec ) m/sec2
122
1 牛頓 : 使 1 kg 的質量產生 1 m / sec2 的加速
度時，所需要的作用力 ( 1 N = 1 kg ·
m / s2 )
＊質量為 m = 1 kg 的物體於位重力加速度 a = g
= m / s2 的位置，則重量為
W = m g = ( 1 kg ) · ( m / s2 ) = N
其中 g 在北緯 45° 之海平面測量質為
m / s2
m = 1 kg W = N a = g = m / s2
123
＊ S I 單 位 的 倍 數 因 子
指數形式 字首 S I 符號
倍數
1000000000 109 g i g a G
1000000 106 m e g a M
1000 103 k i l o K
約數
10 -3 m i l l i m
10 -6 m i c r o μ
10 -9 n a n o N
124
②.美 國 慣 用 系 統 ( U S C S )
F = m a
1 lb f = ( 1 slug ) · ( 1 f t / s2 )
W = m g
lb = ( 1 slug ) · ( f t / s2 )
名稱 力量 質量 長度 時間 加速度
符號 F m L t a
單位
( lbf ) ( slug )
呎
( ft )
秒
( sec )
呎 / 秒2
( ft / sec2
)
125
注意 : 質量單位 ( slug ) 由力的單位 ( l bf )
除以加速度的單位 ( ft / sec2 ) 而導出，
即
＊若一重量為 W ( lbf ) 之物體，位於重力加速
度為 g ( ft / s2 ) 的位置， 則其質量為
其中 g 在北緯 45° 之海平面測量質為
ft / sec2 ，故在該地點，凡重量為 lb 的物
體，其質量為 1 slug。
126
＊ m = 1 slug = lbm
m = 1 lb m ( 即 slug )
W = 1 lbf a = g = ft / sec2
m = 1 slug ( 即 lbm )
W = lbf a = g = ft / sec2
127
§ 3 .3 質 點 的 運 動 方 程 式
1. 基本概念 :
當質量 m 的質點 P 同時受到
····的
作用時，其合力 為各力的向量和 ( s u m )
，
即
128
由牛頓第二定律得知，此質點的運動方程式為
其中質點加速度 的方向必與合力 的方向
相同，其自由體圖如下所示 :
129
130
´alembert 原理 :
其中 稱為質點的慣性力或稱為反有效力
131
＊ 質點的慣性力方向必與質點加速運動的方向相反
132
§ 3 . 4 直線運動 : 直角座標系
1.當質點在 X . Y . Z 三方向的直角座標系中運動
，則作用在質點的合力為
若加速度為
則由牛頓第二定律，此質點運動的方程式為
133
134
135
2.摩擦分為兩種 :
①.流體摩擦 : 指接觸面間有流體的薄模存在
(
例如氣體或液體 )。
②.乾摩擦 : 亦稱為庫倫摩擦，係由庫倫於
1781
年推演而得，指接觸面間沒有潤
滑
流體存在。
＊圖在下頁
136
3.乾摩擦原理 :
①.若 ，則物體不會傾倒
②.若 ，則物體”即將“傾倒
③.若靜摩擦力 F < 極限靜摩擦力
，則物體不會產生滑動，其中 稱為摩
擦係數。
137
138
④.摩擦分為三部分 : 物體再平衡時產生靜摩擦
力 F ，當 F 達到
平衡
的最大值 FS 時稱為
極限
靜摩擦力，開始滑動
後 F
稱為動摩擦力
，其中 稱為動摩
擦係
數。
注意 :
< <
139
§ 3 . 5 曲 線 運 動
1.直角座標系:
當質點的運動軌跡以 X 與 Y 座標的形式表
示
時，則作用在質點上的外力 及質點運動的加
速度 可以直角座標系 X – Y 表示之，即
140
其中 為 X 方 向 的 加 速 度
為 Y 方 向 的 加 速 度
141
142
2.切線與法線座標系 :
當質點在一已知曲線路徑上運動時，則作用在質
點上得外力 及質點運動的加速度 均可
以
切線與法線座標系表示之，即
143
其中 為切線加速度
為法線加速度
144
145
3.極座標系
若質點 P 在 r、 二方向的極座標系中運動，
則作用在此質點的外力以及質點運動的加速度可
以表示為
由牛頓第二定律得知，此質點的運動方程式為
146
147
在此極座標系的加速度為
∴我們有
148
§ 3 . 6 功 與 能
1.功的定義
①.一力 作用於一質點上使其移動一微小位移
時，則此力對質點作一微小之功
即
其中 為 與 的夾角。
149
150
151
152
當
當
當
或
作用在固定點
上，即
153
②. 功的單位 :
( 1 ) 英制重力單位 : ft · lb 或 in · lb
( 2 ) 公制工程單位 : kg · m
( 3 ) S I 單位 : 1 J = 1 N · m
1 焦耳 = 一牛頓之作用力沿
其方向移動一米所
作之功
③. 若一質點受一力 作用，沿運動路徑從 S1 到
S2 移動，則作用力 所作的功為
154
④. 重力所作的功 :
彈簧力所作的功 :功
( 1 ) 重力所作的功 :
155
156
∵由高度為 Y1 之位置 A1 移動至高度為 Y2 之
位置 A2 ，且 W = m g
∴重力所作的功為
∴當物體向上移動時， ，則 為
負功
當物體向下移動時， ，則 為
正功
157
( 2 ) 彈簧力所作的功 :
A . 假設彈簧一端固定，另一端在 x = 0 位置
時
彈簧無變形。
B . 當彈簧一端受外力 FS 作用而產生位移 X (
拉伸或壓縮 ) 時，由實驗得知 : 在平衡
時
所需之外力 FS 與其位移 X 成正比，即
FS = k x ， 其中 k 為彈簧係數。
C . ∵作用於物體之彈簧力則與 FS 大小相等但
方向相反。
∴彈簧力使物體由 X 1 移至 X 2 所作的功
為負功，即 158
159
160
⑤.重力與彈簧力均為保守力，均為位置之函數，其
大小與所經過路徑無關。
⑥.功與能原理 : 或
( 1 ) 當一質點自 A1 位置運動至 A2 位置時，
所
有外力 F ( 包含重力及彈簧力 ) 所作的功
等於質點動能的變化量。
( 2 ) 質點在 A2 位置的動能等於其在 A1 位置的
動能加上所有外力 F 在質點由 A1 運動到
A2 期間施加於質點所作的功。
161
Pf :一質點質量為 m，受一力系之合力 作用力而
沿一直線或曲線路徑運動，則其切線方向的運
動方程式為 :
∵當質點沿其運動路徑移動 之位移時，則
合
力 所作之功為
162
∴ 質點由 A1 位置移動至 A2 位置時，施加於質
點上之力 所作之功為
163
164
2.功率
①.定義 : 單位時間內所作的功量稱為功率
②.單位 : ( 1 ) SI 單位 :瓦特 = 焦耳 / 秒
( 2 ) U S C S 單位 : 馬力 ( H P )
(W
)
( J
)
( Sec
)
165
( 3 ) ∵ 1 ft · lb = J
∴ 1 ft · lb = J = W
1 hp = ( 550 ) ( ) W = 746 W
( 4 ) 功制單位 : 1 PS = 75 kgs · m / sec
∵ 1 kgf = N
∴ 1 PS = ( 75 ) ( ) N · m / sec
= W
1000 W = PS
(公制工程馬力)
166
③.
機械效率 em = = <
1
輸出功率
輸入功率
輸出能量
輸入能量
167
§ 3 . 7 保守力與位能以及機械能不滅定理
1.定義 : 保守力
①.如果作用在質點的力僅與質點所在之位置有
關
，而與質點的速度與加速度無關，則此力所
作
的功與質點自一點移動至另一點所依循的路
徑
無關時，此力稱為保守力。
②.質點所受的重力與彈簧力均為保守力。
摩擦力非保守力。 168
2.定義 : 位能
①. 當一保守力作用在一質點時，此力就具有作功
的能力，此能力可藉一個僅與位置有關的函數
來量測，此函數稱為力的位能，以 V 表示。
②. 位能 重力位能 Vg
彈力位能 Ve
169
170
( 1 ) 重力位能 : 當物體之位置升高時，其重力
位能增加 ( 此時重力作負功 )
; 相反地 ，物體之位置降低時
，其重力位能減少 ( 此時重力
作正功 ) ， 即
( 2 ) 彈力位能 : 系統中對物體而言，彈力位能
減少時，彈簧力作正功，而彈
力位能增加時，彈簧力作負功
。
171
172
3 . 機械能不滅定理 :
或
或
常數=總機械能
＊機械能不滅定理僅當質點在保守力作用下發生，
故為一般能量不滅定律之特例。
173
§ 3 . 9 線衝量與線動量
1.線衝量 : 力與時間的乘積為線衝量，以 表
示之，即
在直角座標系中，則有
174
對於 以及
而言
單位 : SI : Nt · sec
英制重力單位 : lb · sec
175
2. 線動量 : 考慮一質量為 m 之質點受到一力系作
用，此質點的運動方程式為
其中 稱為質點的線動量，
即若 m 為常數，則線動量對時間的變
化率在直角座標系中，若
176
則有
單位 : SI : Nt · sec
英制重力單位 : lb · sec 或 slug · ft / sec
177
3. 線衝量與線動量的關係 :
178
線衝量與線動量的 :
質點的末動量 等於出動量
與此
一時間內作用於質點之線衝量總合依向量
相
加求得，即
179
§ 3 . 10 角衝量與角動量
1. 角動量 : 一質點對一固定點之角動量定義為其
線動量對此點的一次矩。
180
181
182
一質點為 m 之質點沿著空間中一曲線運動，若
質點相對於原點 O 的位置向量為 ， 則質點
對原點 O 的角動量為
為線動量
其中 為 與 的夾角且
183
角動量 的純量分量由下式獲得 :
184
＊角動量的單位 :
SI 單位 : kg · m / sec · m
= ( kg · m / sec2 ) ( m · sec )
= Nt · m · sec
USCS 單位 : lb · ft · sec
185
2.角衝量 : 力矩與時間的乘積定義為角衝量，
以 表示之，即
在直角座標系中，則有
186
對於
以及 而
言
SI 單位 : kg · m / sec · m
= ( kg · m / sec2 ) ( m · sec )
= Nt · m · ec
＊角衝量與角動量的單位完全相同
187
3.質點的角動量原理 :
作用於質點之外力對 O 點之力矩等於質點對
O 點之角動量對時間的變化率，即
188
PF :
又
其中
189
4.角衝量與角動量原理 : 角衝量與角動量的關係
190
( 4 ) . 線動量不滅定律 :
若在一時間內無任何外力作用在質點上或外
力
的合力為零，則 或
( 5 ) . 角動量不滅定律 :
若在一時間內作用在質點之力系對固定點 O
之合力力矩為零，則 或
191
§ 3 . 12 碰 撞 ( 衝 擊 )
1.定義 : 二物體在極短之時間內相撞，而在此期
間內彼此產生很大的作用力，稱為衝
擊
或碰撞。
碰撞
偏心碰撞 : 斜碰撞
中心碰撞 : 正碰撞
彈性碰撞
塑性碰撞
非彈性碰撞
192
193
194
①.在碰撞期間垂直於接觸面之公法線稱為碰撞
線
。
②.若兩碰撞物體的質量中心均在碰撞線上，此
種
碰撞稱為諄新碰撞。
③.若碰撞時兩物體之質量中心有一個不在碰撞
線
上，則此種碰撞稱為偏心碰撞。
④.中心碰撞時，若碰撞前後兩物體之運動速度
均
沿碰撞線方向，稱為正碰撞。反之，若有一
物
體之速度不在碰撞線上，稱為斜碰撞。 195
2.正碰撞 : 假設 VA > VB
196
197
198
定義 : 回復係數
回復期之衝量
變形期之衝量
199
＊正碰撞
①.彈性碰撞 : e = 1
( 碰撞前後動量守恆 )
彈性碰撞 : e = 1
塑性碰撞 : e = 0
非彈性碰撞 : 0 < e < 1
( a )又
200
由 ( a ) ( b ) 得證
( 碰撞前後總動能守恆 )
( b )
201
②.塑性碰撞 : e = 0
③.非彈性碰撞 : 0 < e < 1
大部份的碰撞均為此類型，非彈性碰撞會有
部
份動能損失。
( 兩質點以相同速度運動 )
＊塑性碰撞之動能損失最大
202
3 . 斜碰撞 :
203
204
若碰撞前速度分別 VA 及 VB，與 n 軸夾角分
別為 及 。
若碰撞前速度分別 及 ，與 n 軸夾角
分
別為 及 。
則回復係數
205
第四章 質點系統運動力學
§ 4 . 1 簡介
1 . 質點系統的運動分為下列兩種：
( 1 ) 剛體系統的運動。
( 2 ) 非剛體系統的運動。
2 . 體是質體的一種狀態，其中質體之間的距離
是保持不變的，例如機械、陸地與空中交通工
具、火箭與太空船及許多移動的結構
206
3 . 非剛體的例子為在特定流速下所定義的流體或
氣體的質量，例如流經飛機引擎渦輪機的空氣
與燃料，以及經由火箭發動機的噴嘴流出點燃
的氣體、或是流經旋轉幫浦的水‧‧‧等。
207
§ 4 . 2 廣義牛頓第二定律
1. 定義：質點系統
若空間中之一獨立系統含有 ｎ 個質點，ｎ ≧
2 ，則此系統稱為一職點系統，並且
( 1 )假設 為此質點系統質心 G 之位置向量根
據質心之定義
其中 ＝ 1，2，‧‧‧，ｎ為任一質點ｉ
之質量。而且 為此質點系統之
總質量。
208
2 . 作用在質點係(統)外力之總合力
，等於質點系統之總質量ｍ與質點系統質
心加速度 之乘積， ，亦即
將質點系統之總質量視為集中在質心一點
，可由質點所受對外力之總合力 求得
質心之加速度。作用在任意一點 ｉ 之外
力 包括質點所受之重力、電場力、磁
力、以及系統外之物體或質點對此質點之
作用力。
209
210
＊在 ｘ，ｙ，ｚ 座標系統中，若
則有
其中 分別為質點系統之質心在
軸方向的加速度。
211
§ 4 . 3 質點系統的功能與能原理
1 . 公與能原理可應用於質點系統中的任意質點
ｉ ，寫成
其中 表示內力 以及外力合力
對點ｉ所作的功， 分別為質點
在位置 1 位置 2 的動能。
212
2 . 將系統中各個質點的功與能方程式相加，即
此式表示質點系統在位置 2 的動能等於其在
位置 1 之動能加上所有作用於質點系統上的
力所作的功。
3 . 如果作用於質點系統的所有力均為保守力，
則有 ，則此時將得到此質點系統的
能量不減原理：
213
4 . 質點系統的動能 T 定義為此系統各質點動能
的總和，即
由相對運動原理得知，系統中任一質點 的
速度 可寫成
其中 為質量中心 G（即質心 G ）的速度，
為質點相對於隨質量中心移動之參考座標
係 的速度，
214
215
因此，我們可以將質點系統的動能表示為
216
其中 表示質點系統的總質量，
﹝∵
為質量中心 G 相對於座標係 的速度
﹞，因此得到
此式表示質點系統的總動能等於質量中心 G 的
動能加上所有質點相對於質量中心運動的動量。
217
§ 4 . 4質點系統的衡量與動量原理
1 . 若將 表示為系統內任一質量為 之職
點
的線動量，其中質點 的速度為 ，則系
統
的線動量為
由相對速度的關係 以及
，則得到
218
此成表示質點系統的線運動為期總值量與質量
中心 之速度的乘積。
此式表示作用於質點系統對外力的合力等於質點
系統之線動量對時間的變化量。
219
2 .
此式表示質點系統的末動量等於質點系統之初
動量與再任一時間內外力作用於質點系統之線
衡量的向量和。
220
此稱為質點系統的線衡量與線運動原理。
221
3 . 質點系統對固定點 ０ 的角運動量 定義為
系
統中所有質點的線運動量對 ０ 點之力矩的向
量
和，即
此式表示作用於質點系統之外力對一固定點 ０
的合力矩等於質點系統對 ０ 點之角運動量對時
間的變化率。
222
若將固定點 ０ 視為點系統的質量中心 Ｇ，則
得到
此式表示作用於質點系統外力對其質量中心 Ｇ
的合力矩於質點系統對 Ｇ 點之角運動量對時間
的變化量。
223
4 .
此式稱為質點系統之角衡量與角動量原理。
224
§ 4 . 5 質點系統的運動量守恆
1 . 由質點系統之線衡量與線動量原理：
當外力作用於一質點系統之總衡量為零
時，即 時，
則得到
225
即，質點系統之總線動量和恆保持不變，或質點系
統之質心的速度恆為定值，此稱為質點系統之線動
量不滅定律﹝線動量守恆理﹞。
226
2 . 由質點系統之角恆量與角運動原理：
若作用在質點系統之外力對固定點 O 或對質量
中心 Ｇ 之合力矩為零，即
，則得到
227
此關係稱為質點系統的角動量不滅定律﹝角動
量守恆定理﹞。即，質點系統外力對固定點或
對質量中心之角恆量為零時，質點系統的角動
量恆保持不變。
228
§ 4 .7 質點系統的可變質量 Variable
mass
1 . 增加質量系統：
229
考慮一在某瞬間質量為 m 且以速度 m 向前運
動的物體，以及質量為 及速度為 的一
末
質點，假設此物體將與此一末質點聚合，而且
不變 的影響而維持不變，
因此，在極短時間 內，物體將會增加量
，並且所有作用於系統運動方向之外力的合力
所產生之恆量將使得物體的速度增加
利用系統之衡量與動量原理，可以得到
230
令 為物體對流入質點之相對速度，則
有
令 為物體增加質量 所產生之運動
反
力，得到
此式稱為可變質量物體之運動方程式，符合
原理。
231
2 . 減少質量系統：
232
考慮再某瞬間時質量為 且速度為 的物
體，此時物體排開之質量為 且質量流率維
持不變，假設在時間 內，物體的速度由
增加到 ，而且其排出質量 ，
表示作用在系統運動方向之所有外力之合力，
則由系統之衡量與動量原理，可以得到
233
令 惟物體對排出質量之相對速度
，則有
234
3 . 火箭噴射推進之應用：考慮一向上發射的箭，
其重量為 Ｗ ，所遷受的大氣阻力為 ，考
慮此系統包含火箭之質量及噴出氣體之量
，則可得到
其中 ｕ 為火箭相對於噴出氣體之速度，而且
火箭的推力為 因此火箭之運動
方
程式為
235
第五章 剛體的平面運動學
1 . 定義： 剛體﹝ rigid body ﹞
若一物體﹝ body ﹞，其上各質點的距離恆保持
一定，不因受力，受熱或其他因素而有所改變
，則此理想化之物體稱為剛體。簡言之，剛體
為不會變形之理想物體。
2 . 定義： 剛體平面運動
討論剛體在平面上運動所產生的位移，速度，
加速度及時間相互之間的關係，與力﹝ force ﹞
無關
236
3 . 剛體的平面運動三種：
平移
旋轉
一般平面運動
①
( I ) 在物體平面運動時，若物體內任一條線
始終維持與原來狀態平行而沒有旋轉，
則此運動稱為平移。
( ii ) 在平移運動中，剛體內任一質點在相同
的時間內均有相同的速度與加速度。
237
238
②旋轉
( I ) 物體再平面上繞億垂直平面之旋轉動稱
為
旋轉。此軸可位於物體內，亦可在物體
外
( ii ) 物體旋轉時，物體上所有質點都在以旋
轉軸為中心的圓形軌跡上運動，此時物
體上所有的線在相同的時間繞過相同的
角度
3 . 一般平面運動：物體在平面上運動時，同
時有平移與旋轉的現象。 239
240
§ 5 . 2 平移
平移物體在 x y 平面上作平移運動時，若 Ａ ，
Ｂ 為剛體紹兩質點﹝此時 Ａ Ｂ 間之距離大小永
遠不變﹞，則由圖可知
物體在平面上做平移運動時，剛體上每一質
點的速度及相速度均相同。
241
242
243
§ 5 . 3 旋轉
剛體繞固定軸做平旋轉，如圖所示， O 為旋
轉中心， Ａ 為任一質點，為 OＡ 之角位置座
標，則物體的角度 Ｗ 及角加速度 α 分別為
244
245
246
2 . 當物體繞 ○ 點之軸做平面旋轉則，則物體上
各點除了旋轉軸上之點外，其餘各點均繞此
軸
做圓周運動，如圖所示，由於點 Ａ 的角速度
Ｗ 與角加速 α 均與剛體﹝物體﹞相同，因
此， Ａ 點的線運動方程式為
247
248
3 . 向量的瞬間微分
考慮一大小不變的向量 ，若其
方
向以 之角速度旋轉改變，則其對時間的微
分為
其中向量 為各種向量，例如位置、速度、
角速度、動量、角動量……等。
的起點為點 O
249
250
251
4 . 若物體以角速度 Ｗ 繞 O 點之軸做平面旋
轉，則質點 Ａ 在半徑為 的圓上運動，
而且
252
注意 : ① .物體繞固定軸旋轉時， 僅大小改
變， 方向不變，因此 與
方向
相同，又因為 ，因此 與
方向相同。
② . 若物體非繞固定軸旋轉，而做三為運
動，則 方向會改變，即此時
與 方向不相同
253
254
5 . 角運動
1 . 所謂角運動 :
乃指物體的旋轉運動，如圖桿 Ａ Ｂ 對 Ａ
點
旋 轉的角運動，可以角移、角速度及塞加
速
度的形式表示。
255
256
2 . 桿 Ａ Ｂ 的移動量可由其旋轉的角度量得，角
位移的單位為弳，弳為一無因次單位。角位移
單位為 r a d ，以符號 表示。
3 . 速度為角位移對時間的變化率，以 Ｗ 表
示，此 Ｗ 亦為平均之角速度，定義為
，單位為 ｒａｄ／ｓ 及 ｒｅｖ／ｍｉｎ(ｒ
ｐｍ) ， 即 Ｗ = 。
257
258
4 . 角加速度為角速度對時間的變化率，以
表示 ，此 亦為平均之角加速度，定義
為 ，單位為 ｒａｄ / ｓ２，
即 。
5 . 等加速度之角運動 :
直線運動 角運動
259
6 . 直線運動（ｓ，ｖ，ａ）與角運動 間
關係考慮一吊垂圓輪以繩索拉住一物體、如圖
所 示，若圓輪以逆時針方向旋轉 1 ｒａｄ ，
此時圓輪上繩索將往上移動一個半徑長，物體
往上移動 距離 Ｓ 等於半徑。若圓輪以逆時針
方向旋轉 ２ ｒａｄ ，圓輪上繩索將移動 ２
ｒ ，物體往上移動距 離 Ｓ ＝ ２ｒ ，距離 Ｓ
與圓輪半徑及旋轉角度關係可表示為
，
其中Ｓ與 ｒ為同單位。
260
261
262
7 . 法線加速度及切線加速度
如上 6 . 所述，位於半徑 ｒ 處，且角加速為
之點的切線加速度為 ｒ ，其方向與圓弧切，
即垂直於半徑，如圖所示。
263
264
我們以ａｔ表示切線加速度（ｔａｎｇｅｎｔｉ
ａｌ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ），另以ａｎ表
示法線加速度（ｎｏｒｍａｌ ａｃｃｅｌｅｒ
ａｔｉｏ）
※切線加速度乃因速度大小的改變，即w值改變。
法線加速度之 w 值不變，而是由於方向改變而生。
265
266
267
∵ 法線加速度 = 因方向改變而產生的速度改變量
∴ 1 . 2 代入上式，得到
268
※ ａｎ 稱為線加速度，其方向指向圓心且與切
線相垂直。
※ 因為角運動同時具有切線加速度及法線加速
萬，因此合加速度必須以向量形式求得。
269
§ 5 . 4 一般平面運動
物體在平面上運動除掉平移和旋轉外，另一
種就是二者同時產生的運動，通常稱為一般
平面運動（ General Plane Motion ）。下列
幾個圖形即可說明此種情形。由圖可視得一
般平面運動可以視為由平移加旋轉而成。
270
圖 : 1
271
圖 1 . 中為一滾動體在平面上滾動，此時滾動體
之運動並非單純平移，變非單純的繞某固定點
旋轉。而是二者運動之組合。
另一個平面運動的例子如圖 2 . 之一桿沿二
滑塊移動。此運動可視為水平方向之平移加上
繞 Ａ 之旋轉所組成，亦可視為垂直方向之平
移加上繞 Ｂ 之旋轉所組成。
272
273
前面兩個物體運動時，都受到某些條件的限制
，例如地面或滑塊的限制。圖 3 為一個未受到
限制的物體之平面運動，仍可將運動分為兩部
份，一為 移至 之平移，另一則為
繞 運動之旋轉。
274
275
§ 5 . 5 平面運動之分析－絕對運動法
欲分析物體之平面運動中，各點之位移，速度
，加速度與時間等彼此之間的關係，可採用兩
種方式：一為絕對運動法，另一則為相對運動
法。絕對運動法中，即對物體選用適當之平面
座標，描述出物體運動的幾何方程式。再對時
間微分，依序可求得速度及加進度。
例
276
半徑 ｒ 的輪子在平面上滾動 5 竊有滑動，試以
其
中心點 0 的線性運動來求輪子的圓周運動。另求
出輪子滾動時，輪緣與平面拉觸之點的加速度。
277
278
Sel ： ０ 點之線性運動的位移為 Ｓ，速度 ，
加速度 ，當 ０ 點移至 時，滾輪之
半
徑線 ＣＯ 已轉到新位置 ，即滾輪角
位
移為 ，因無滑動現象，則弧長 必
等
於 Ｓ，亦即
設 Ｃ 點沿擺線運動至 Ｃ’ 點，則其新座
標
為
279
280
§ 5 . 6 平面運的之分析－相對運動法
以相對運動來分析物體之平面運動為一極為
常用的方法。由前，若有兩個運動質點 Ａ
與 Ｂ，則必滿足
現設 Ａ ， Ｂ 為剛體上之兩質點，請特別注
意，下列之討論僅限於 Ａ ， Ｂ 為剛體上之
固定質點，變即 Ａ Ｂ 間之距離大小永遠不
變。
281
在圖 1 . 中，剛體進行平面運動， ＡＢ 距離以
表示，設於 時間內， Ａ 點由 Ａ 移至
Ａ’， Ｂ 點由 Ｂ 移至 Ｂ’ 。此時可將剛體視
為
先由 ＡＢ 平移至 Ａ” Ｂ’位置後，再繞 Ｂ’
點
轉動而完成了整個平面運動。故 Ａ 點之總位移
282
此時
當此運動於甚短時間內產生時，則
另相對速度大小 等於將 時 後取
極
限值。則
以向量式表之，可知
283
284
式中 可用 Ｘ － Ｙ 座標表之，但亦可
用
固定在剛體上之 Ｘ － Ｙ 座標表之，稚代入式
(１）時，應統一化成相對於同一個座標。
上述之討論是以 Ｂ 點為參考點來描述 Ａ 點的
運動。反之亦可以 Ａ 點為參考點來描述 Ｂ 點
的運動。
下面之圖形即為以 Ｂ 為參考點描述 Ａ 點運動
的
說明。圖形中可看到的是
永遠和 垂直。
285
286
§ 5 . 7 瞬時零速度中心
1 . 剛體上任一點，例如 Ｂ 點，其速度可用另一方
法求得。假設基準點 ＩＣ 恰為某瞬時速度為零
之點，則利用前節公式 ，但是
為
零，所以 。對於一般之平面運動而言，
點 ＩＣ 稱為瞬時零速度中心。既然
，
故之方向必在 Ｂ 點和 ＩＣ 點連線之垂直方向
上，而 之大小則為 ，其中 為
剛體
之角速度。
287
由此可推得剛體上任一點之速度，方向必和
此點與 ＩＣ 之連線垂直，而大小必為角速
度乘上此點和 ＩＣ 之距離的大小了。亦即
在任一瞬時，每個剛體的平面運動都可視為
繞某一速度為零之點做旋轉運動，此點可能
在剛體內，亦可能在剛體外。亦可稱剛體繞
過 ＩＣ 點而和紙面垂直之軸做旋轉運動。
必須注意的是 ＩＣ 隨著時間的變化，其位
置亦時時在變。有時我們可將某時段之ＩＣ
點的軌跡稱為零速度中心軌跡。
288
另一點必須注意的為 ＩＣ 點雖然速度為零，但
加進度大都不為零，故此法僅可用在速度討論而
不可用在加速度討論上。
289
290
由前面討論可知，只要剛體任意二點之速度方向知
道了，則僅要過此二速度方向劃垂線，其交點即為
零速度點了。如圖 1 . 所示。
291
292
例 : 試就下面的情形，求出瞬時零速度中心
（ a ）圖 ａ 中的輪子，此輪在地面上只作
滾
動運動，不會滑動；（ b ）圖 b 中的曲軸；
及（ c ） 圖 ｃ 中的連桿 ＣＢ 。
293
294
295
解：（ a ）由於輪子只滾動而沒有滑動，所以輪上
和地面接觸之點的速度為零，此點即是輪
子
的 ＩＣ ，見圖 ｄ 。如果我們假想輪子夠
時銷接於此點之上，則 Ａ、Ｂ、０ 等點
的
速度為 ，其中 由
輪子
的幾何形狀定。
296
（ ｂ ） 如圖 ｂ 所示，連桿 Ａ Ｂ 繞著固定的插
銷 Ａ 轉動，故 Ｂ 之速為
，
此速度是由 Ａ Ｂ 的順時針轉動造的
；
同時，和 Ａ Ｂ 垂直，其方向和水
平面
夾 角，如圖 ｅ。Ｂ 點的運動促使
活塞
以的速度作水平運動，因此， 桿上的
Ｃ
點也以此速度作水平運動。若畫出和及
垂
直之線，其交點即是ＩＣ，見圖 ｅ 。
圖
中及之大小完全由其中的幾何形狀決定。
297
（ c ）由於概 ＡＢ 及 ＤＣ 分別繞著一固定軸轉
動（ 見圖 C ），故 Ｂ 點和 Ｃ 點之運動
軌 跡為圓弧形， 。由於速度一直
和運動軌 跡相切，在我們所探討的瞬間，
桿 ＤＣ 上的及桿 ＡＢ 上的的方向皆
是
向下，所以 ＝ 。若從 Ｂ、Ｃ 點上
畫
出和速度垂直的直線。
298
我們可發現此二線平行，兩線相交 於「無窮
遠」處， 由於
，所以
此乃表示 ＣＢ 夠時以作平移運動；但在下
一
瞬間， ＣＢ 已運動到另一個新的位置，瞬
時
零進度中心也將變到一個有限距離之處。
299
§ 5 . 8 剛體平面運動－相對加速度
對任一參考座標而言， 微之
得 ，再微分之得
上式對任意二質點均可成立。而下面之討論
則僅限於 Ａ，Ｂ 為剛體上之兩點。
300
若 Ａ，Ｂ 為剛體上之任意二點，且剛體為平面運
動中，則上式之末項 常可拆成
二項之和。而由剛體平面旋轉運動知。
301
302
注意：各點加速度不與其路徑相切。
303
