八年级下册数学（北师大版）期中考试备考指南
北师大版八年级下册数学期中考试主要覆盖前四章内容：《三角形的证明》《一元一次不等式与一元一次
不等式组》《图形的平移与旋转》《因式分解》 。本指南从 “知识梳理、题型突破、真题模拟、易错点总结”
四个维度，帮助学生系统复习，高效提分。
一、核心章节知识梳理（按考频排序）
（一）《三角形的证明》：几何证明基础（占比约 30%）
1. 关键定理（必考）
定理类型 核心内容 应用场景
全等三角形 SSS/SAS/ASA/AAS/HL（直
角三角形）判定；全等三角形
对应边、对应角相等
证明线段相等、角相等，为后
续四边形证明铺垫
等腰三角形 ①等边对等角；①等角对等边；
①三线合一（顶角平分线、底
边上的中线、高重合）
等腰三角形性质应用、角度计
算、线段垂直平分线证明
直角三角形 ①勾股定理：\(a^2+b^2=c^2\)
（\(c\)为斜边）；①勾股定理
逆定理；①30° 角所对直角边
= 斜边的一半
线段长度计算、判断三角形形
状、几何证明中的边长关系
线段垂直平分线 ①性质：线段垂直平分线上的
点到线段两端距离相等；①判
定：到线段两端距离相等的点
在线段垂直平分线上
证明线段相等、确定等腰三角
形顶点位置
角平分线 ①性质：角平分线上的点到角
两边距离相等；①判定：到角
两边距离相等的点在角平分
线上
证明线段相等、角相等，辅助
线添加（作垂线）
2. 高频辅助线技巧
遇等腰三角形：作 “三线合一” 的线（如底边中线），拆分图形为两个全等直角三角形；
遇角平分线：过角平分线上一点作角两边的垂线，利用 “距离相等” 转化线段关系；
遇线段垂直平分线：连接线段两端与垂直平分线上的点，构造等腰三角形。
（二）《一元一次不等式与一元一次不等式组》：代数计算与应用（占比约 25%）
1. 核心概念与性质
不等式性质：₁不等式两边加 / 减同一个数，不等号方向不变；₁乘 / 除同一个正数，不等号方向不变；₁
乘 / 除同一个负数，不等号方向必须改变（易错点）。
一元一次不等式解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1（注意系数为负时不等号变向）。
不等式组解法：先解每个不等式，再找 “公共解集”（借助数轴直观判断，空心圈表示不包含端点，实心
点表示包含）。
2. 实际应用（必考题型）
解题步骤：₁设未知数；₁根据不等关系列不等式（组）；₁求解集；₁结合实际意义确定整数解（如人
数、物品数量需为正整数）。
常见场景：购物优惠（如 “满减后总费用不超过 XX 元”）、方案选择（如 “两种租车方式，哪种更省
钱”）、工作量分配（如 “完成任务时间不超过 XX 天”）。
（三）《图形的平移与旋转》：几何变换（占比约 20%）
1. 平移与旋转的性质（核心）
变换类型 性质 关键要素 作图步骤
平移 ①对应点连线平行（或共
线）且相等；①对应线段
平行（或共线）且相等；①
对应角相等
平移方向、平移距离 ①找关键点；①按方向和距
离平移关键点；①连接关
键点得到新图形
旋转 ①对应点到旋转中心的距
离相等；①对应点与旋转
中心的连线夹角 = 旋转
角；①对应线段、对应角
相等
旋转中心、旋转方向、旋
转角
①确定旋转中心；①将关键
点绕旋转中心按方向转指
定角度；①连接关键点
2. 高频考点：中心对称图形
定义：绕某点旋转 180° 后与原图形重合的图形（如平行四边形、矩形、菱形、正方形）；
性质：中心对称图形的对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；
区分：轴对称图形（如等腰三角形、矩形）与中心对称图形（如平行四边形）的异同（可能出选择题）。
（四）《因式分解》：代数运算基础（占比约 25%）
1. 因式分解方法（按优先级排序）
方法 适用形式 示例 注意事项
提公因式法 各项有公因式（数字、字母
或多项式）
\(3x^2-6xy=3x(x-2y)\) ①公因式取各项系数
最大公约数；①字母取
最低次幂；①提完公因
式后括号内项数与原
多项式一致
公式法 ①平方差公式：
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)；①完
全平方公式：
\(a^2±2ab+b^2=(a±b)^2\)
①\(4x^2-9=(2x+3)(2x-3)\)；
①\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)
①平方差公式需满足
“两项、异号、均为平
方项”；①完全平方公
式需满足 “三项、首尾
为平方项、中间为 2
倍乘积项”
十字相乘法（补充） 二次三项式\(x^2+(a+b)x+ab\) \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) 北师大版教材未正式
讲解，但期中考试常作
为拓展题型，需掌握基
础形式
2. 因式分解原则
分解到 “不能再分” 为止（如\(x^4-1\)需分解为\((x^2+1)(x+1)(x-1)\)，而非仅分解为\((x^2+1)(x^2-1)\)）；
首项系数为负时，先提负号（如\(-x^2+2x=-x(x-2)\)）。
二、必考题型突破（附解题思路）
（一）几何证明题（20-25 分）：以 “三角形 + 四边形” 为载体
例题：如图，在₁ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=AC，
连接 BE，求证：BE=2AD。
解题思路：
分析已知条件：AB=AC（等腰₁ABC），AD 是 BC 中线→由 “三线合一” 得 AD₁BC，且 BD=DC；
CE=AC→C 是 AE 中点。
添加辅助线：延长 AD 至 F，使 DF=AD，连接 BF（构造全等三角形，将 “2AD” 转化为 AF）。
证明全等：在₁ADC 和₁FDB 中，\(\begin{cases}AD=FD \\ ₁ADC=₁FDB \\
DC=BD\end{cases}\)→₁ADC₁₁FDB（SAS）→BF=AC，₁F=₁DAC→BF₁AC（内错角相等）。
转化关系：因 CE=AC，AB=AC→BF=CE；又 BF₁AC→₁FBA=₁BAE，₁F=₁E（内错角）→在₁ABF
和₁BAE 中，\(\begin{cases}BF=CE \\ ₁F=₁E \\ AF=BE（待证）\end{cases}\)→或直接证₁ABF₁₁BAE
（ASA），得 AF=BE→BE=2AD。
总结：几何证明需 “逆向推导”—— 先明确要证的结论（如 BE=2AD），再思考如何通过辅助线将结论
转化为已知定理可应用的形式（如加倍中线构造全等）。
（二）不等式组应用题（10-12 分）：方案设计类
例题：某商店计划购进 A、B 两种商品，已知购进 A 商品 2 件和 B 商品 3 件共需 270 元；购进 A
商品 3 件和 B 商品 2 件共需 230 元。若商店计划购进这两种商品共 100 件，总费用不超过 5200 元，且
A 商品不少于 30 件，求有几种进货方案？
解题步骤：
设未知数，列方程组求单价：
设 A 商品单价为 x 元，B 商品单价为 y 元，得\(\begin{cases}2x+3y=270 \\ 3x+2y=230\end{cases}\)→解
得\(\begin{cases}x=30 \\ y=70\end{cases}\)（A 单价 30 元，B 单价 70 元）。
列不等式组：
设购进 A 商品 m 件，则 B 商品 (100-m) 件，根据题意：
\(\begin{cases}m≥30 \\ 30m+70(100-m)≤5200\end{cases}\)
解不等式组：
解第二个不等式：30m + 7000 - 70m ≤ 5200→-40m ≤ -1800→m ≥ 45（注意系数为负，不等号变向）。
结合 m≥30，得 45≤m≤100（但 B 商品数量 100-m≥0→m≤100），又 m 为正整数，故 m=45,46,...,100→
共 56 种方案？（此处需注意：题目隐含 “B 商品数量为正”，但实际计算需结合总费用，正确解集应为
45≤m≤100，共 56 种？不，重新计算：30m+70 (100-m)≤5200→-40m≤-1800→m≥45，且 m≥30，故 m≥45，同
时 100-m≥0→m≤100，所以 m 从 45 到 100，共 100-45+1=56 种？但实际考试中方案数通常较少，需检查
计算是否正确：30×45 +70×55=1350+3850=5200，符合；m=46 时，30×46+70×54=1380+3780=5160≤5200，正
确。）
答：共有 56 种进货方案（若题目有其他限制，如 B 商品不少于多少件，需再调整）。
（三）因式分解计算题（8-10 分）：多方法综合应用
例题：因式分解：
\(-2x^3y + 12x^2y - 18xy\)；2. \(x^4 - 16\)
解题过程：
提公因式 + 公式法：
第一步：提公因式\(-2xy\)→\(-2xy(x^2 - 6x + 9)\)；
第二步：观察括号内为完全平方公式→\(-2xy(x - 3)^2\)（注意首项负号需保留）。
平方差公式连续分解：
第一步：\(x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)\)；
第二步：继续分解\(x^2 - 4\)→\((x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)\)（\(x^2 + 4\)无法再分解，停止）。
三、期中考试真题模拟（精选 3 道典型题）
（一）选择题（3 分）：
若关于 x 的不等式组\(\begin{cases}x - a ≥ 0 \\ 3 - 2x > -1\end{cases}\)有且只有 3 个整数解，则 a 的取值
范围是（ ）
A. \(-2 < a ≤ -1\) B. \(-2 ≤ a < -1\) C. \(-1 < a ≤ 0\) D. \(-1 ≤ a < 0\)
答案：A
解析：解不等式组得\(\begin{cases}x ≥ a \\ x < 2\end{cases}\)，整数解为 1,0,-1（共 3 个），故 a 需满足\(-2
< a ≤ -1\)（若 a=-2，整数解为 - 2,-1,0,1，共 4 个；若 a>-1，整数解少于 3 个）。
（二）填空题（3 分）：
如图，在 Rt₁ABC 中，₁C=90°，₁B=30°，AB=8，D 是 AB 的中点，连接 CD，则 CD 的长为
______。
答案：4
解析：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（北师大版教材补充定理，可由矩形性质推导），故
CD=\(\frac{1}{2}\)AB=4。
（三）解答题（12 分）：
如图，在平面直角坐标系中，₁ABC 的顶点坐标为 A (-1,2)，B (-3,-1)，C (0,-2)。
将₁ABC 向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到₁A₁B₁C₁，画出图形并写出 A₁的坐标；
将₁ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，得到₁A₁B₁C，画出图形并写出 A₁的坐标。
答案：
平移后 A₁坐标：(-1+3, 2+2)=(2,4)（B₁(0,1)，C₁(3,0)）；
旋转后 A₁坐标：(2,-1)（旋转步骤：过 A 作 CD₁y 轴于 D，C (0,-2)，AD=1，CD=2；顺时针旋转 90°
后，A₁的横坐标 = CD=2，纵坐标 =-2 - AD=-3？此处需规范作图：用 “旋转三要素”，绕 C (0,-2) 顺时针转 90°，
A (-1,2) 到 C 的向量为 (-1,4)，顺时针旋转 90° 后向量变为 (4,1)，故 A₁坐标 = C + (4,1)=(0+4, -2+1)=(4,-1)？
需注意旋转向量的计算，正确步骤：
设点 P (x,y) 绕点 O (a,b) 顺时针旋转 90° 后的点为 P'(x',y')，则：
\(x' = (y - b) + a\)，\(y' = - (x - a) + b\)
代入 A (-1,2)，C (0,-2)：
\(x' = (2 - (-2)) + 0 = 4\)，\(y' = - (-1 - 0) + (-2) = 1 - 2 = -1\)→A₁(4,-1)）。
四、易错点总结（避坑指南）
不等式性质 3 遗忘：解不等式时，乘 / 除负数不改变不等号方向（如由\(-2x > 4\)得\(x > -2\)，错误，正
确为\(x < -2\)）；
几何证明逻辑不严谨：跳步（如直接用 “三线合一” 却未先说明等腰三角形）、条件遗漏（如用 HL 证
明直角三角形全等时，未注明 “直角边、斜边”）；
因式分解不彻底：如\(x^2 - 4\)分解为\((x^2 - 4)\)，未继续分解为\((x+2)(x-2)\)；
旋转作图关键点遗漏：旋转后未标注旋转中心、旋转角，或关键点平移 / 旋转方向错误；
应用题整数解忽略：如 “人数”“商品件数” 未取正整数，导致方案数计算错误。
五、备考计划建议（1-2 周）
第 1-3 天：梳理各章节知识点，完成教材课后习题（重点做错题）；
第 4-6 天：针对性突破薄弱题型（如几何证明题、不等式应用题），每天练 3-5 道；
第 7-10 天：做 2-3 套期中考试真题（如学校往年真题、北师大版同步练习册真题），限时完成（90 分
钟），对照答案分析错题；
最后 2 天：复习错题本，总结高频易错点，回归基础定理，避免过度刷题。
