Vol. 34 No. 3 第34卷第3期武汉理工大学学报（信息与管理工程版）2012年6月 JOURNAL OF WUT(INFORMATION & MANAGEMENT ENGINEERING) 文章编号：2095-3852 ( 2012) 03 -0362 -03 文献标志码：A投标者为风险规避型引入佣金的分析（二）肖海燕摘要：在投标者是风险规避型的情况下，考虑引人佣金对拍卖结果的影响，在关联价值模型中，对于密封一价拍卖和密封二价拍卖，佣金比例k越高投标者的报价越低，卖方的期望收益越低，拍卖行的期望收益越高，但投标者的期望效用与k元关。在对称独立私有价值模型中，当引人佣金时，收益等价性原理不成立，卖方在一价拍卖下的期望收益比在二价拍卖下的收益要高。关键词：拍卖；风险规避；佣金；均衡期望效用DOI: 10. 3963/j. issn. 2095 -3852. 2012. 03. 025 中图分类号：买方对该物品感兴趣，并假设每个投标者都是风拍卖理论的研究在国外已经发展到成熟阶段。MILGROM和WEBERriJ在竞买者信息相互险规避型的，具有相同的效用函数u(x），满足影响下得出一定的序关系，并对保留价和人场费u(O) =0,u > 0, u”＜0，且对该物品的估值为尺，的引人进行了讨论。进而许多学者在有效性［2］、i = 1 ,2，…，N，只有买方自己知道xi的大小，卖方非对称［3］、共谋环［4］、多物品拍卖［5-6］、多属性拍及其他买方都不知道，但他们会认为X；是［O,w]卖［7-8］和序贯拍卖［9］领域做了许多工作。上的概率分布函数为F.(x），密度函数为J;( X；）的而在实际拍卖操作中卖方往往需要委托第三随机变量。现假设所有投标者是对称的，即'Ixε方（拍卖行）对物品进行拍卖，拍卖行对成交的拍[O,w] ,F;(x) =Fi(x) =F(x) ,i = 1,2, ,N,j = 1, 卖品收取佣金，一般由中标者支付。王彦［IO］考虑2，…J，拍卖行按成交价的比例k收取佣金。以上了在风险中性下，佣金收取对拍卖结果的影响。所有假设对于买方和卖方及拍卖行来说是共识。文献［11 J在技标者是风险规避型的情况下将佣由对称性，考虑技标者1，记为Y1=m皿j,£1月；为除金提成引人拍卖理论中，在对称独立私有价值情第1个投标者以外其余N-1个投标者估值中的最况下进行讨论，得出以下结论：佣金比例k越高，大者。于是随机变量Y1的分布函数为G(x)= 投标者报价越低，卖方的期望收益越低，拍卖行的F(x)N-1，密度函数为g(x)＝σ（x）。期望收益越大，投标者的期望效用与k无关。因下面证明在一价拍卖下，卖方期望收益在技此在实际拍卖中，投标者不用为佣金比例的高低标者是风险规避型时比投标者是风险中性时高。担心，佣金比例越高，投标人对物品的评价会降由文献［11 J可知，在风险规避情况下，密封一价低，最后付给卖方的价格也会降低。拍卖的报价α（x）满足：这里就文献［12 J未研究完的问题继续进行探g(x)u[x -(1 + k）α（x)] 讨：在投标者为风险规避型下，①在独立私有价值α’（x) －一一－5 (1) -(1 + k) G(x)u’［x-(l+k）α（x)] (SIPV）佣金收取模型下，一价、二价拍卖期望收益比由式（1 ）可知当投标者为风险中性时较；②在关联价值模型下佣金收取对拍卖的影响。( u(x) =x），式（1）可变为：1 SIPV模型下一价拍卖和二价拍卖时拍γ’（x) = ＿＿＿！＿一［x-(l+k）γ（x）］也l(2) 卖方收益比较(1 + k) G(x) 其中，γ（x）为在SIPV模型下风险中性投标设拍卖方拍卖一个不可分割的物品，有N个收稿臼期：2012-04 -30. 作者简介：肖海燕（1979－），女，湖北荆州人，湖北第二师范学院数学与数量经济学院讲师；博士．基金项目：湖北省教育厅科学技术研究计划指导性基金资助项目
第34卷第3期肖海燕：投标者为风险规避型引人佣金的分析（二）363 2. 1 密封二价拍卖者的均衡策略。由对称性，考虑技标者1，若投标者1的私人由于效用函数u(x）满足u(O)=0,u > 0, 信息为X1=X，其报价为βJI( z），则期望效用为：UlXJ u" <0，因此，Vx>O，有三巳L＞耳，则由式（1 ），可u (x) 作＝El叫叫x1, Y1) -( 1 + k）β川YI)J 得以下不等式：1 \/;lu( Y1) ＜βu(z)I I xi =xi = g(x)u[x -(1 + k）α（x)] r u［巾，y)-(1＋川βII( Y) (x) ＝一一一(1 + k) G(x)u’[x -(1 + k）α（x)] 由于在对称均衡处必有z=x，从而有必要条L[x -(1 + k)a(x）］但（3)( 1 + k) 件古｜=0。由式（2）和式（3）可知：u[v(x,x) -(1 + k）β11(x) ]g(x Ix) = 0 (6) α’（x) ＞γ’（x) (4) 由式（6）可推出：又因为：u[v（耳，x)-(l+k）β川x)]= 0 α（0) ＝γ（O) =0 (5) 由于效用函数u(x）满足u(O)=0,u’ >0，则：令H(x)＝α（x) －γ（x），由式（4）和式（5）知：v(x,x) -(1 + k）卢11(x)= 0 H(O) =0，且＼；／x >0,H (x) >0 可得：从而Vx>O,H(x)>0，即：{3,, ( x) ＝」--;-v(x,x)α（x) ＞γ（x) 因此在一价拍卖下，风险规避者的均衡报价(1）卖方的期望收益为：R = NE[e川X)J = 更高，当然卖方的期望收益也高。由文献［11］可NEjE［βII ( YI ) J1 , Y1 ＜对Ix,= x f -知，当投标者为风险中性时，在二价拍卖下也有!___NLW f v（川g(rI忡dxβ（x) =thx，即在二价拍卖下风险规避型投标其中，e,1( X）为关联价值模型二价拍卖机制者和风险中性技标者的均衡出价相同，因而卖方下的期望支付。的期望收益相同。再由文献［12］可知，在技标者(2）拍卖行的期望收益为：为风险中性时，一价拍卖和二价拍卖产生相同的期望收益。由以上分析可得出如下关系：风险规kR ＝土NLW{v句，y)g(yI x)dydx 避下一价拍卖的期望收益〉风险中性下一价拍卖(3）投标者的期望效用为：的期望收益＝风险中性下二价拍卖的期望收益＝作＝{ u[v(x,y) -(1 + k){311(y) ]g(y I x)dy = 风险规避下二价拍卖的期望收益。结论1投标者是风险规避型的并且具有相同{u[v(x,y) -v(x,x）］阶｜叫效用函数，在引人佣金的SIPV模型中，卖方的期望 密封一价拍卖收益在一价拍卖机制下比在二价拍卖机制下要高。由对称性，考虑技标者1，若技标者1的私人信息为X1=X，其报价为αi(z），则期望效用为：2 关联价值模型下佣金的影晌作＝El u [ v ( x I ’ YI ) -( 1 + k）α1(z)] 设有N个投标者，并假设每个投标者都是风l \a1(Y1) ＜α1(z) I I xi = x f = 险规避型的，具有相同的效用函数u(x），满足r u[ v（川）－（l+k）αI( z) u(O) =0,u’ >0,u < o, xi ( i = 1 , 2，…，N）为投标者i对物品的私人信息，是一个在［0 ,w J上的随由于在对称均衡处必有z=x，从而有必要条机变量，令飞＝vi(X1,Xz，…，XN）为投标者i关于件艺I-= o，即p: 物品的估值，并且关于其所有变量是非降、连续二J忡（x,y)-(1 + k）αI （归（ylx)],次可微的，特别地，关于xi是严格递增的，，f(x）为。zdy + X = (X1，毛，…，XN）的密度函数，且f关于X=u[v(x,x) -(1 + k）α1(x) ]g(x Ix) = 0 (7) (X1，几，…，XN）对称，记为Y1= m叫到xj，设令M(x)=(l+k）αI( X），则：G( y I x）为在X1=X条件下YI的条件概率分布，αI (x) ＝兰，－M(x），代人式（7），可得：g(ylx）为其条件密度函数。
364 武汉理工大学学报（信息与管理工程版）2012年6月一步研究的问题是：在关联价值模型下，投标者为rau[v(x,y) -£;(x)]g(rl~+ 风险规避型，考虑一价和二价拍卖的收益比较。u[v(x,x) -M(x)]g(xlx) =0 (8) 可以看出式（8）的解M(x）与k元关，并且容参考文献：易证明M（纠正好是关联价值模型下元佣金提成时风险规避型投标者的均衡出价。[I] MILGROM PR, WEBER R J. A theory of auctions and (1）卖方的期望收益为：competitive bidding [ J J. Econometrica, 1982, 50 ( 5 ) : R =NE[ G(X IX）αI (X) J = 1089 -1122. [2] DASGU町AP,MAS阻NE. Efficient auctions [ J J. Quar›!_NE[ G(X I X)M(X) J terly Journal of Economics ,2αll( 115): 341 -388. (2）拍卖行的期望收益为：[3] MAS阻NE，阳LEYJ. Asyn Economic Studies ，立阴（67) :413 -438. kR ＝~NE［们IX)M(X) J [ 4] MCAFEE P, MCMILLAN J. Bidding rings [ J]. Ameri›(3）投标者的期望效用为：can Economic Review, 1992 ( 82) : 579 -599. [ 5] ARMSTRONG M. Optimal multi -object auctions [ J J 作＝{ u[ v( Review of Economic Studies,2000(67): 455-481. 结论2在关联价值模型下，技标者为风险[ 6] MANELLI A M, SEFTON M, WILNER B S. Multi -规避型且有佣金提成时，投标者的出价为无佣金unit auctions : a comparison of static and dynamic mechanisms [ J] . Journal of Economic Behavior and Or›提成时技标者出价的一L并且容易得到：投标者1 +k ganization ,2006( 61) : 304 -323. 的期望效用与k无关，而卖方的期望收益随k的[ 7] BIEHLER M. An experimental analysis of multi -at›增加而减少。tribute auction [ J J. Decision Support Systems, 2000 (29) :249 -268. 3 结论[8] 孙亚辉，冯玉强．多属性密封拍卖模型及最优投标策略在投标者是风险规避型的情况下将佣金提成[J］.系统工程理论与实践，2010,30(7):1185 -1189. 引人拍卖理论中，可以得出以下结论：[ 9 J SALMON TC, WILSON BJ. Second chance offers ver›( 1）在独立私有价值、有佣金提成且投标者sus sequential auctions : theory and behavior [ J J. Eco›是风险规避型的环境中，卖方的期望收益在一价nomic Theo巧，2008(34):47-67. 拍卖机制下比在二价拍卖机制下要高；[10] 王彦，毕志伟，李楚霖．佣金收取对拍卖结果的影响［J］.管理科学学报，2004,7(4):45 -49. (2）在关联价值模型下，佣金比例k越高，投[ 11 J ARMSTRONG M. Optimal multi -object auctions [ J J. 标者报价越低，卖方的期望收益越低，拍卖行的期Review of Economic Studies ,2αx:>( 67): 455 -481. 望收益越大，技标者的期望效用与k元关。[ 12 J 肖海燕．投标者为风险规避型引人佣金的分析因此，在实际拍卖中，投标者不用为佣金比例（一）[ J J.武汉理工大学学报：信息与管理工程版，的高低担心，佣金比例越高，投标人对物品的评价2012,34(2) :250 -252. 会降低，最后付给卖方的价格也会降低。有待进Analysis of Commission on Auctions When Bidders Are Risk -averse XIAO Hαiyαn Abstract: This article considers the effect of commission on auctions when bidders are risk -averse. It can be found that the commission rate has effects on the bidders bidding strategy, the expected revenue of the seller and the auctioneer. The bigger the commission rate is, the lower the bidder bids, and the less expected revenue the seller makes, but the more revenue the auctioneer has, and the bidder s expected utility is not dependent on the commission rate. In the symmetry independent private value model which induced commission, the revenue -equivalence theorem is incorrect. The expected revenue in the first -price auction is greater than that in the second -price auction. Key words: auction; risk -averse; commission; equilibrium expected utility XIAO Haiyan : Doctor; School of Mathematics and Quantitative Economics, Hubei University of Education, Wuhan 4页四币,China. ［编辑：周延美］
