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微分冲激法卷积两个时限信号#
李春福1，陈华伟1，张鹰2*
基金项目：国家留学基金委青年骨干教师出国研修项目（201406075116）
作者简介：（1973-），男，博士，讲师，加州大学-圣克鲁斯分校访问学者，从事信号与系统教学
（1. 电子科技大学航空航天学院，成都 611731；
2. 电子科技大学微电子与固体电子学院，成都 610054） 5
摘要：许多信号微分出现冲激信号，因而利用微分冲激法将简化此类信号的卷积计算。理论
分析了微分冲激法卷积两个时限信号，微分冲激法可以积分一个信号的微分冲激与另一个信
号的卷积结果，也可以卷积一个信号的微分冲激与另一个信号的积分，例题阐述之。微分冲
激法的应用是为了学生更好地掌握卷积知识。 10
关键词：信号与系统；卷积；微分冲激法
中图分类号：
Convolute Two Time-limited Signals by Differentiation
Impulse Method 15
LI Chunfu
1
, CHEN Huawei
1
, ZHANG Ying
2
(1. School of Aeronautics and Astronautics, University of Electronic Science and Technology of
China, Chengdu 611731;
2. School of Microelectronics and Solid-state Electronics, University of Electronic Science and
Technology of China, Chengdu 610054) 20
Abstract: Impulse signals appear while many of the signals are differentiated, thus taking
advantage of Differentiation Impulse Method will simplify calculation of the convolution for this
kind of signals. Convolution of two time-limited signals with Differentiation Impulse Method is
theoretically analyzed, Differentiation Impulse Method can either integrate the convolution result
of one signal’s differentiation impulse and the other signal, or can it convolute one signal’s 25
differentiation impulse and the other signal’s integration, which is demonstrated by the examples.
Differentiation Impulse Method is applied for the students to better grasping the knowledge of
convolution.
Key words: Signals and Systems; convolution; Differentiation Impulse Method
30
0 引言
信号与系统是通信工程、电子信息科学和技术等电子信息类专业一门重要的专业基础课
程。[1-8]
卷积积分是一个重要的数学工具，卷积积分的计算是信号与系统等课程教与学过程中
的一个重要知识点。用定义法计算卷积时确定积分的上下限是十分关键的步骤，这也是历届35
学生最容易出错的步骤。当参与卷积的一个信号为冲激信号时，卷积运算体现了简单性，很
多信号可以通过微分转化为冲激信号，因而能够使卷积变得简单，以上为采用微分冲激法[3, 4]
的意义。如果信号微分后变成了冲激，则卷积运算就可以利用单个信号的时间平移，运算得
到简化。微分冲激法是卷积积分的重要应用内容，具有讨论的价值，微分冲激法具有可行性，
利用卷积积分的微分和积分性质对两个信号进行卷积积分可以简化卷积积分计算。 40
正如文献[5]所说，卷积可以看做是一种数学运算的定义，但也可以从物理意义进行理
解。数学上当然可以接受任何结果，但从物理上考虑就需要受到一些限制。文献[5]从这种思
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路出发进行了讨论。
但是同一个问题，也可以从信号与系统的角度进行分析。
从信号与系统的角度考虑，对信号进行任何运算都需要通过系统来实现，例如在文献[5]45
中讨论的几个系统分别为：卷积运算--一般 LTI系统，积分运算--积分系统，微分运算--微分
系统；在现实环境中，系统设计需要满足稳定性条件，否则会发生无限大输出（这显然不合
理），所以并不是所有卷积运算都能实现，需要对特定系统和特点信号进行分析讨论。由于
采用了冲激信号的表达，微分系统的不稳定特点可以不考虑，只需要考虑一般系统和积分系
统的问题。 50
对一般 LTI 系统进行讨论时，着重考虑系统的冲激响应与信号进行卷积，此时可以对
系统提出限制条件：该系统应该为稳定系统，其冲激响应绝对可积；在此条件下，当然可以
采用微分冲激法，对输入信号取微分，利用单个信号的时间平移计算卷积。
而对两个信号考虑卷积的微分冲激法时，则需要考虑这些信号通过积分器时是否能够
具有稳定输出的问题了。积分器本来不是一个稳定系统：有限幅度输入可能导致无限大输出。55
因此，在这种情况下，微分冲激法的应用条件就成为信号的可积性。
以上两种情况综合起来，微分冲激法的限制条件就体现为信号的可积性判断了。
1 理论分析
对于两个时限信号，微分冲激法可以直接应用，微分冲激法可以积分一个信号的微分冲
激与另一个信号的卷积结果，也可以卷积一个信号的微分冲激与另一个信号的积分，理论分60
析如下。
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2 例题
例题具体阐述了微分冲激法计算两个时限信号的卷积[6-8]。
例 1 )2()()( tUtUtf ， )1()1()(2)1()1()( tUtttUtUttg 。 65
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例 2 )2()()( tUtUtf ， )]1()1([
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积分一个信号的微分与另一个信号的卷积结果
微分冲激法可以积分一个信号的微分与另一个信号的卷积结果。
图 1示出例 1， )2()()(
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图 1 例 1积分一个信号的微分与另一个信号的卷积结果
Fig. 1 Eg 1 integrate the convolution result of one signal’s differentiation impulse and the other
signal
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图 2示出例 2， )2()()()1( tttf ，
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图 2 例 2积分一个信号的微分与另一个信号的卷积结果
Fig. 2 Eg 2 integrate the convolution result of one signal’s differentiation impulse and the other
signal
卷积一个信号的微分冲激与另一个信号的积分 80
微分冲激法也可以卷积一个信号的微分冲激与另一个信号的积分。
例 1 卷积一个信号的微分与另一个信号的积分， )2()()()1( tttf ，
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所示方法相同。
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图 3 例 2卷积一个信号的微分与另一个信号的积分
Fig. 3 Eg 2 convolute one signal’s differentiation impulse and the other signal’s integration
图 3示出例 2， )2()()()1( tttf ， )]1()1([1)( 2)1( tUtUttg ，
)()()( )1()1( tgtfty 计算结果与图 2所示方法相同。
3 结论 90
从物理角度考虑，有限大小的信号进行卷积，应该得到有限大小的结果才有意义；卷
积的定义表现为定积分，边界为无限大，要确保积分结果为有限大小，采用微分冲激法时，
若被微分的信号变成了冲激（这是微分冲激法应用的条件），则后续卷积运算的充分条件自
动满足，关键点就从卷积运算变成了被积分信号的可积性问题。
微分冲激法可以使卷积运算简化，但也对信号有了限制条件：被微分信号一定要能够95
成为冲激（否则采用此方法就没有意义了），被积分信号一定要满足负无限大处为 0，否则
就不可表达了。这些要求在一定程度上限制了微分冲激法的使用。
在实际工程中，系统满足因果关系，其冲激响应一定能够满足对被积分信号的要求；而
信号在分段近似的条件下也一定可以通过微分变为一系列的冲激，所以微分冲激法在信号与
系统中可以得到广泛的应用。 100
致谢
向电子科技大学和加州大学-圣克鲁斯分校的同事表示谢意。
[参考文献] (References)
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[3] 闵大镒, 朱学勇. 信号与系统分析. 电子科技大学出版社, 2000年 3月第一版.
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学版）, 2006, 40(3): 331-334. 110
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