第九章 假设检验
生活中的统计 检验的例子生活中可谓无处不在、无时不有：买
件日常用品要检验它的长度、重量；产品出厂要检验它的性能、
质量；升学要检验学习成绩的优劣、功底的深厚……等等。与参
数估计不同的是，对检验的对象我们并不是事先一无所知，而是
已经得到过一些“宣称”，我们的工作是对此“宣称”进行核实，
这便是“检验”的由来。检验过程开始后，首先需要抽取一定大
小的样本，算出对应统计量大小然后加以判断，但众所周知，样
本并非总体的严格反映，不少情况下会发生总体“合格”而样本
“不合格”或者总体“不合格”而样本“合格”的矛盾现象，如
何从往往只能一次试验中进行判断，这便是“假设检验”的任务
重点：假设检验的基本思路、工作原理、方法特点；
难点：检验时所用的繁杂公式以及公式之间的细微差别
零假设和择假设
对研究性假设的检验
对陈述正确性的检验
对决策情况下的检验
零假设和备择假设类型
设 表示在零假设和备择假设中考虑的某一特定数值。一般来说，对
总体均值的假设检验采取下面的三种形式之一：
第一类和第二类错误
第一类和第二类错误 拒绝正确的原假设，简称“拒真”；
第一类和第二类错误 接受错误的原假设，简称“纳伪”
如下所示：
总体
H0 正确 H0 错误
接受 H0 正确结论 第二类错误
结论 拒绝 H0 第一类错误 正确结论
我们把两类错误发生的概率表示如下：
α——第一错误发生的概率；
β——第二错误发生的概率；
大样本情况下总体均值的单侧检验
单个总体均值的单侧检验
p-值的运用
假设检验的步骤
总结:单个总体均值的单尾检验
大样本情形(n ≥30) 时单个总体均值的如下形式的单尾检验
T-统计量:σ 已知
T-统计量: σ由 s估计出
拒绝法则: 使用T-统计量检验法:拒绝 H0 如果 z<-zα
使用p值检验法：拒绝 H0 如果 p值<α
大样本情形(n ≥30) 时单个总体均值的如下形式的单尾检验
T-统计量:σ 已知
T-统计量: σ由 s估计出
拒绝法则: 使用T-统计量检验法:拒绝 H0 如果 z>-zα
使用p值检验法：拒绝 H0 如果 p值<α
假设检验步骤
1. 建立零假设和备择假设.
2. 选定显著性水平 α.
3. 选定用于检验的检验统计量.
使用统计量检验法
4. 使用显著性水平来决定拒绝原假设的临界值并叙述H0 检
验法则
5. 收集样本数据并计算统计量值.
6. 使用统计量的计算值并根据检验法则做出接受还是拒绝原
假设H0的决定.
使用p值检验法
4.收集样本数据并计算统计量值.
5. 运用统计量的计算结果计算p值
6. 拒绝原假设 H0 如果 p值 <α.
例题：联邦贸易委员会定期惊醒调查，目的是检验生产商们对自己产品
的陈述。例如，大听的Hilltop咖啡的标签标明：听内至少装有3磅的咖
啡，我们用假设检验来检验标签的陈述是否正确。
第一步，建立零假设和备择假设：
第二步，随机抽取36听咖啡作为样本
假设36听咖啡样本的均值为 磅，总体标准差为
，用 ，检验统计量的值为：
第三步，确定拒绝域：
如果，
则拒绝 H0
第四步，作出判断：
在的显著性水平下， 负责人员就有统计证据来采取行动，处理该
公司的产品不足的问题
当然，如果在第二步计算出的均值发生改变，则结论应该随之也改变。比如：
则此时统计量的值不再拒绝域内，我们不能拒绝原假设。
大样本情形(n ≥30) 时单个总体均值的双侧检验
双侧假设检验于单侧假设检验不同，因为前者的拒绝与分布在抽样
分布的两侧。
用于双尾检验的p值
总结:单个总体均值的双尾检验大样本情形(n ≥30) 时单个总体均值
的如下形式的双尾检验
T-统计量:σ 已知
T-统计量: σ由 s估计出
拒绝法则: 使用T-统计量检验法:拒绝 H0 如果 z<-z或 z>zα
使用p值检验法：拒绝 H0 如果 p值<α
区间估计和假设检验间的关系
小样本情形(n <30) 时单个总体均值的双尾检验
样本容量较小时(n<30)，用样本标准差s来估计总体标准差。入股总
体具有整台概率分布也是合理的，那么就可以用t分布来推断总体的
均值。在这种情况下，检验统计量是：
p值和T统计量
双尾检验
单个总体比例的检验
有如下三种形式
总体比例检验统计量为：
我们用 Pine Creek高尔夫球课程问题来说明总体比例的假设检验。
在过去的几个月里，在打高尔夫球的人中有20%是妇女，为了提
高女性高尔夫球的比例， Pine Creek采取了一项特殊的激励措施
来吸引女性高尔夫球手。一周以后，随机抽取了400名高尔夫球
手作为样本，结果有300名男性和100名女性，课程经理想知道这
些数据是否支持他们的结论： Pine Creek的女性高尔夫球手已有
所增加？
第一步，建立零假设和备择假设：
建立相应的统计量
先假设H0为真，即包括p=, 用样本比例来估计总体比
例的标准差由下式给出：
有了假定值p=，又已知样本容量n=400，则 的标准
差为：
由前面的理论我们知道，如果np和n(1-p)的值都大于或等于5
，那么的抽样分布就可以近似看成为正态概率分布。对于Pine
Creek的问题。使用以下统计量
我们假定检验的显著性水平为α=，查表可知
，所以检验的拒绝域拒绝规则如下：
如果 z>，则拒绝零假设H0
由于Pine Creek在激励措施期间，400个球手中有00个女球手，
所以得 ，又知道 ，所以检验
统计量的值为：
可见我们应当拒绝零假设。
一些重要的随机变量及其统计量的概率密度函数
如果 x1,x2,…,xn~N(0,1), 则有：
χ2 ~χ2(n)
如果 x ~N(0,1), y~χ2(n),则有
t ~t(n)
如果 x ~ χ2(m), y~χ2(n),则有
F ~F(m,n)
随机变量特征值的一些重要规律
(1) E(x+y)=E(x)+E(y) (2)E(ax)=aE(x)
如果 x,y 是 的,则有
(3) E(xy)=E(x)*E(y)
(4) D(x+y)=D(x)+D(y)
(5) D(ax)=a2 *D(x)
第十章 均值的比较
生活中的统计：经常需要对两个班级同一学科考试平均成绩进行比
较而不计较成绩的绝对高低；又如：对男女两组人群进行肺活量大
小的比较以鉴别二者是否存在显著差异但也不计较每组人群肺活量
的绝对高低等等问题都属于均值的比较问题
难点：有关公式的理解，特别是两总体联合方差的表达形式
重点：均值比较的区间估计法
两个总体均值差异的估计：独立样本
的抽样分布
μ1-μ2的点估计 :
两总体均值之差的抽样分布的形式：如果两个总体的样本大小都
足够大，可以以正态分布来近似
μ1-μ2的区间估计:大样本情形且σ1,σ2 的值已知
的点估计
μ1-μ2的区间估计:大样本情形且σ1,σ2 的值由s1, s2 估计
μ1-μ2的区间估计:小样本情形
σ2 的合并估计
当 时
的点估计为
则估计出的区间为：
式中，t的值基于自由度为 的分布，为置信度
μ1-μ2的区间估计:小样本情形且σ1,σ2 的值已知
的点估计
μ1-μ2的区间估计:大样本情形且σ1,σ2 的值由s1, s2 估计
假设:
(1)两个总体都具有正态分布;
(2)两总体方差相等.
σ2 的合并估计
当 时
的点估计为
则估计出的区间为：
例题：以克里夫兰国家银行所进行的一个样本研究问题为例，对
该银行的两个支行顾客的独立随机样本的帐户余额进行核查，
得如下结果：
支行 样的帐户序号 样本平均余额 样本标准差
Cherry Grove n1=12 美元 美元
Beech Mont n2=10 美元 美元
用这些数据我们来建立两个支行帐户余额样本均值差异的置信度为90%
的置信区间。假定两个支行检查帐户余额服从正态分布，且两个支行检查
帐户余额的方差相等。用式（）可以看到方差合并成：
s2=[(n1-1)s12+(n2-1)s22]/( n1+n2-2)
=18855
则有：标准差的对应估计值为
适合该区间估计过程的t分布的自由度为12+10-2=20，当α=时，查t分
布表可得 。因此，根据前面的式子，我们看到区间估
计变成：
第十一章 比例的比较
生活中的统计 生活中比例问题的比较例子也不少：两个班一场考试
之后的及格率需要比较；两批同样生产线不同操作流程或不同生产
者生产出来的产品出厂前的合格率需要比较；饲养同样品种但方法
有所不同的动物的死亡率或生存率也需要比较。从某种意义上说，
比例的比较问题就是均值的比较问题，后者是前者的特例，但侧重
点又有所不同，值得单独加以研究。
两个总体比例之差的推断
的抽样分布
的抽样分布为
期望值：
标准差
—— 来自总体的简单随机样本的样本容量
—— 来自总体的简单随机样本的样本容量
的区间估计
的点估计量为
两个总体比例之差 的区间估计：大样本情况下，
并且 、 、 及 时
式中，1-α为置信系数
关于 的假设检验
合适的零假设和备择假设是：
大样本情况下，抽样分布可近似为正态分布，两个总体比例之差的
假设检验统计量为：
拒绝规则是：如果 或者 ，则拒绝
实践中不知道 、 的值，所以需要估计， ， 一
般使用合并估计量法，又在零假设这种特殊情况下总体比例不存在差
异，即 所以我们可以不使用
而先由下式给出 的估计
再用 代替 、 ，式（11-4）就可以改写成如下形式
多项总体比例的假设检验
拟合优度的检验统计量
式中 fi ——第i类的观察频数
ei ——假设为真时，第i类的期望频数
多项分布拟合优度检验小结：
（1）建立零假设和备择假设。
H0 总体服从类中每类都指定了概率的多项概率分布；
H1总体服从类中每类都指定了概率的多项概率分布。
（2）抽取一个随机样本，记录各类的观察频数fi
（3）假设零假设为真，将每类的概率乘以样本容量计
算期望频数ei
（4）计算检验统计量的值
（5）拒绝规则
如果， 则拒绝 H0
式中，α是检验的显著性水平，自由度为(k-1)
独立性检验：
列联表假设独立性为真时，列联表的期望频数
eij=（第行的总数×第列的总数）/（样本容量）
独立性的检验统计量
式中 fij ——列联表中第行和第列这一类的观察频数；
eij —— 基于假设独立性为真时，列联表中第列这一类的观察
频数。
独立性检验小结
（1）建立零假设和备择假设。
列变量和行变量相互独立
列变量和行变量不相互独立
（2）抽取一个随机样本，记录列联表中各方格的观察频数
（3）利用式（11-10）计算每个方格的期望频数。
（4）利用式（11-11）计算 检验统计量的值
（5）拒绝规则
如果， 则拒绝 H0
式中，α是检验的显著性水平，对于n列m行的列联表，自由度为(n
-1)(m-1)
