《数学教学通讯))2004年11月(上半月)(总第204期) 重庆 ·29·
用元认知提示语增强防范逻辑错误的意识
(江苏省新海高级中学 222006) 张学兵
元认知是“个人对自己认知加工过程的自
我觉察、自我评价、自我调节”．在数学学习活动
中，元认知调控有时表现为是对结果的检查和
评估，对存在的问题的纠正和补救．而元认知提
示语则起到唤起学生元认知调控的自觉意识，
启迪元认知调控的发生，保证元认知调控的有
效性的作用．本文试图用元认知提示语作为增
强防范逻辑错误的意识的一种途径．
1 特殊能代替一般吗?
例1 已知厂(z)一 ≥ 是定义
在实数集R上的奇函数，则厂(z)的解析式是
● -。 __ _ __ __ __ __ _。● 一
●
文[1]中给出例1的“分析”：求函数的解析
式只需求出n的值．因此只需建立一个关于a
的方程，解之即可．若利用一般方程 厂(一z)
= 一 厂(z)求a，则较繁琐，注意到特殊性寓于
一 般性之中，又奇函数厂(z)在z=0处有定
义，故可将问题特殊化，考虑方程厂(O)一0解
0 — 1
得口一1，／‘(z)一 _{．
上述分析似乎很“巧”：用特殊代替一般．但
是能用特殊代替一般吗?如果将厂(z)改为
厂(z)一z。+az +口。一a，由上述推理过程应
解答为：厂(z)是R上的奇函数 厂(z)一O
a：1或a=0．可是当a一1时，厂(z)并不是奇
函数，故a一1是增根应舍去．
事实上，例 1的求解思路可有两种：(1)由
，(一z)一～，(z)恒成立求口；(2)由厂(z)一
0z 一 1
o 口一1，再验证当口一1时，厂(z)： -{是
厶 T 1
0 —— 1
否奇函数，若厂(z)= _{是奇函数，则所求
a=1；反之则无解．从逻辑上分析：厂(O)一0不
是厂(z)为奇函数的充要条件，只是它的一个必
要条件．
① 2002年 11月，俄总统普京访问中国的
内容之一是到北大发表演讲．在决定谁去听普
京总统的演讲时，北大采用抽签决定的方法．虽
然比较简单，但却是一种公平的手段，最能体现
民主、平等和机会均等．
②许多省、市在取消了小学升初中的升学
考试后，借助于计算机的“电脑派位”这一全新
的录取方式所表现出的公平性，已被教育行政
部门和社会认可．
③ 面向社会公开选拔干部和招聘人才时，
考生参加所有面试的环节顺序都要通过抽签的
方式决定，以体现考试面前人人平等．
④ 上市公司在发行新股时，当投资者的有
效申购数量大于股票的发行数量时，通过摇号
抽签确定中签号码，以确保投资者的公平合法
利益．
． ⑤ 歌手在参加全国青年歌手电视大奖赛
时，大赛组委会通过歌手抽签的方式确定出场
顺序，通过电视屏幕公平的与广大电视观众见
面，美妙、动听地歌声给观众的业余生活增添了
乐趣．
⑥按照花样滑冰比赛的国际惯例，参加四
大洲花样滑冰每个项目的选手们首轮出场比赛
的顺序将由抽签决定，使所有参赛的运动员在
公平的条件下出现在赛场上，“冰上芭蕾”给人
们带来了无限美的享受．
我们相信，随着社会的进一步发展，社会将
在给人们不断带来美好愿望的同时，也为人们
提供更多具有公平竞争的机遇和挑战．
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·3O· 重庆 《数学教学通讯))2004年11月(上半月)(总第204期)
因此，我们在运用某个概念、定义解题时，
要注意其包含的充要性，又如
例2 厂( )一x(x—c)。在 ：==2处有极
大值，则常数c的值为( )
(A)2． (B)3． (C)6． (D)2或 6．
分析：本题常见错误是：由尸(2)：==0，即
c。一8c+12=0得c一2或f一6，选(D)．事
实上 ，厂( )在 —EL"。有极大值 m等价于
f尸( 。)一0
I厂( )一
<
l尸( )在 — 。左侧附近符号为正，
【 右侧附近符号为负
而当c=2时，尸( )一3x。一8x+4在 一2
左侧附近符号为负，右侧附近符号为正，应舍
去，选(C)．
2 探索过程完成了吗?
例3 (某市2004年调研试题)已知斜三
棱柱ABC—A。B。C。的底面是直角三角形， C
一 90。，侧棱与底面所成的角为a(0。< a<
90。)，点B。在底面上的射影D落在BC上．
(1)求证：AC上平面BB1C1C；
(2)当a为何值时，AB。上BC。，且使D恒
为BC的中点?
1
(3)若口一arccos÷，且 C—BC—AA1
o
时，求二面角C。一A8一C的大小．
分析：(1)、(3)略；(2)这是一个立体几何
探索性问题，这类题型因有利于考查学生归纳、
判断等各方面的能力也有利于创新意识的培
养，而受到高考的青睐．本题要求探索能使结论
成立的条件，如何探求呢?参考答案给出：因为
AC上平面BBlC。C，要使AB。上BC⋯ 由三垂
线定理可知，只须B，c上BC，，所以平行四边形
BB，C，C为菱形，此时BC—BB。．又因为B。D
上BC，要使D为BC的中点，只须B。C=B。B，
即△BB。C为正三角形，所以 B，BC=60。．因
为B，D上平面ABC，且 D落在BC上，所以
B。BC即为侧棱与底面所成的角，故当a一
60。时，AB。J_Bc。且使D为Bc的中点．
显然上述探求思路是：考察命题结论成立
的必要条件，以“必要条件”作为命题成立的
“充分条件”—— 缺乏“充分性”的证明．其实，
反之不真，即充分性不成立，故本题为错题．
因此，我们在解“已知⋯⋯求 ⋯⋯”型和
探索型的问题时，一般可先探求使结论成立的
必要条件，再补充这一条件是充分的，也就是我
们所求的是充要条件．
3 命题的转化等价吗?
例4 已知函数Y= 的值域为
[一1，4]，求日，b的值．
文[2]中指出：Y一 的值域为[一1，
43等价于一1≤善{ ≤4恒成立．上述转化
是等价转化吗?不是等价转化．虽然由前者能推
出后者，但是后者却不能推出前者．例如，当
口= O,b= 1， = a
． x + b的值域为(1
，o3≠
[一1，4]．
近年来，高考对等价转化思想的考查十分
重视，与数形结合、函数与方程、分类讨论等数
学思想相比，又是理解掌握较薄弱的数学思想
方法，实质上等价转化是命题的保真不变．
教学实践表明，用元认知提示语确能帮助
增强防范逻辑错误的意识，但若要从根本上讲
清出错的原由，充分认识到逻辑错误的危害性，
则应注意加强对逻辑知识的学习及对概念内涵
的深刻理解，关注命题转化的保真性．我们欣喜
地看到新教材开篇第一章就介绍了简单逻辑的
有关知识，突出了充要条件的地位和作用，使我
们能一开始就认识到充要条件与等价转换的关
系，为我们防范某些逻辑错误提供了现实基础．
参考文献
1 王弟成、舒燕．运用转化思想深化函数单调性与奇
偶性学习．中学数学，2004(1)
2 胡生淼．一道函数值域题新解．中学数学，2004(3)
3 肖德美．充要条件错因析．中学数学教学参考，
2001(12)
4 徐伯华．谈数学教学中的元认知提问．中学数学教
学参考，2003(3)
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