提公因式法
整式的乘法与因式分解
八年级数学上册 | 新人教版 | 授课教师：XXX
CONTENTS
01 情境引入
温故知新，引出问题
02 新知探究
公因式与提公因式法
03 例题精讲
方法应用，巩固理解
04 巩固练习
课堂小结，布置作业
温故知新
复习：整式乘法运算
1. 计算 m(a + b + c) 的结果：
ma + mb + mc
2. 计算 2x(3x - 1) 的结果：
6x² - 2x
思考：逆向思维
我们熟悉的乘法分配律是从左到右的正向运算。
那么，反过来：
如果已知结果是ma + mb + mc，
能否将其还原为m(a + b + c)的形式？
如何将多项式化成几个整式的积？
核心问题
尝试将多项式 ma + mb + mc 转化为两个整式乘积的
形式，这是代数变形的关键步骤。
拼图类比法
因式分解就像拆解拼图：
• 整体（多项式）：完整的拼图画面
• 部分（整式）：可拼接的小板块
• 还原：小块相乘恢复原拼图
什么是公因式？
我们来分析多项式：ma + mb + mc
将每一项进行因式分解：
• ma =m· a
• mb =m· b
• mc =m· c
结论：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式 (Common Factor)。
怎样确定公因式？——系数
典型例题分析
多项式：8a³b² + 12ab³c
我们的目标是从这个多项式中提取公因式。
第一步策略：观察各项系数，即数字部分 8 和 12
。我们需要找到它们的最大公约数（GCD）。
步骤 1：确定系数 GCD
• 列出因数：
- 8 的因数：1, 2, 4, 8
- 12 的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12
• 寻找最大值：
- 共同因数有 1, 2, 4，其中最大的是 4。
结论：公因式的系数部分为 4
怎样确定公因式？——字母和指数
步骤2：确定相同字母
多项式项分解：
• 8a³b² 包含：a, b
• 12ab³c 包含：a, b, c
结论：两者共有的字母是a, b
步骤3：确定最低次幂
对比相同字母的指数：
• 字母 a：a³ vs a¹ → 取a¹
• 字母 b：b² vs b³ → 取b²
原则：取次数最低的那个
最终结论
综合系数、字母和指数：
公因式 = 4 (系数) × a¹ (最低次
幂) × b² (最低次幂)
4ab²
什么是提公因式法？
定义与概念
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
核心公式解析
pa + pb + pc = p(a + b + c)
左边是多项式，右边是两个整式的乘积，其中p就是公因式。这是进行因式分解的核心依据。
例题1：分解因式 8a³b² + 12ab³c
1. 找公因式
通过系数和字母分析，确定多项式
的公因式为：
4ab²
2. 提公因式
将原式各项写成公因式与另一个因
式的积：
4ab²·2a² + 4ab²·3bc
3. 写成乘积
逆用乘法分配律，整理为乘积形式：
= 4ab²(2a² + 3bc)
检查验证：可利用整式乘法将结果展开，验证是否与原式一致，确保分解正确。
例题2：分解因式 2a(b + c) - 3(b + c)
题目分析
观察多项式 2a(b + c) - 3(b + c)
，发现两项都含有公共因式 (b
+ c)。
这里的公因式不是单项式，而
是一个多项式。
解题过程
将多项式形式的公因式 (b + c)
提取出来：
原式 = (b + c)(2a - 3)
核心小结
公因式的形式具有多样性，不
仅仅局限于单项式，也可以是
一个多项式。
例题3：分解因式 -4x² + 6xy - 2x
思路分析
多项式首项系数为负（-4），为了方便后续计算，我们通常先提取负号，将括号内的首项系数变为正数。
解题步骤
1. 提取负号（注意括号内各项变号）：= -(4x² - 6xy + 2x)
2. 提取公因式 2x：= -2x(2x - 3y + 1)
关键注意点
提取负号时，括号内的每一项都要改变符号，这是最容易出错的地方。
易错点提醒1：公因式没有提尽
题目：分解因式 12x²y + 18xy²
典型错解 & 分析
原式 = 2x(6xy + 9y²)
� 错误分析：公因式未提尽。括号内的 6xy + 9y² 仍有公因式
3y，分解不彻底。
正确解法
原式 = 6xy(2x + 3y)
� 思路解析：直接提取最大公因式 6xy，确保括号内的多项式
不能再继续分解。
警示：分解因式后，务必检查括号内的多项式是否还能继续分解，确保公因式提尽。
易错点提醒2：提取公因式后漏项
题目：分解因式 -4x³ + 16x² - 26x
典型错解 & 分析
错解：= -2x(2x² + 8x)
分析：提取公因式-2x后，括号里漏掉了最后一项。原式有三
项，提取后也应保留三项。
正确解答
正解：= -2x(2x² - 8x + 13)
解析：每一项都要除以公因式-2x，最后一项-26x ÷ (-2x) = 13
，不能遗漏。
核心警示
一个多项式有几项，提取公因式后，另一个因式也应该有几项。提公因式时，要确保每一项都除以了公因式，不要漏掉任何一
项。
巩固练习（一）
题目 1：分解因式 3x² - 6xy + x
题目 2：分解因式 -4m³ + 16m² - 26m
题目 3：分解因式 2a(y - z) - 3b(z - y)
请同学们拿出练习本，尝试独立完成这三道基础练习题，检验一下自己的学习成果。
巩固练习（二）
挑战提高题
01. 分解因式：
x(x - y)² - y(x - y)
02. 分解因式：
(a + b - c)(a - b + c) + (b - a + c)(b - a - c)
解题思路点拨
• 观察结构：这两道题有一定难度，需要灵活运用
所学知识。
• 寻找公因式：注意观察式子中的相似项，特别是
括号内的部分，可能需要先进行变形。
• 勇于挑战：尝试将复杂的多项式看作一个整体来
处理。
练习答案与解析
基础题答案
1. x(3x - 6y + 1)
注意不要漏掉最后一项的1
2. -2m(2m² - 8m + 13)
先提负号，再提公因式
3. (y - z)(2a + 3b)
将(z - y)变形为-(y - z)
提高题答案与解析
1. (x - y)(x² - xy - y)
公因式是(x - y)
2. 2(a - b)(a - c)
先变形，再提取公因式
课堂小结：提公因式法
什么是公因式？
多项式各项都含有的公共因式。它是
进行因式分解的基础概念。
如何找公因式？
• 看系数：找最大公约数
• 看字母：找相同字母
• 看指数：找最低次幂
提公因式法步骤
将公因式提出，化成积的形式。
步骤：找公因式 → 提公因式 → 检查
关键注意事项
首项为负先提负
确保括号内首项为正
公因式要提尽
分解要彻底，不留尾巴
切勿漏项
特别注意单独的数字项“1”
数学思想方法
逆向思维
因式分解是整式乘法的逆过程。提公因式法本
质上是乘法分配律的逆用，这种逆向思考的方
式是数学中非常重要的思维方法。
化归思想
将复杂的多项式分解为简单整式的乘积，把不
熟悉的问题转化为已知的问题，体现了“化繁
为简，化未知为已知”的解题智慧。
布置作业
必做题（巩固基础）
教材 P115 练习 第1、2题；习题 第1题。
选做题（能力提升）
教材 P116 习题 第12题。
预习作业（为下节课做准备）
预习 公式法（平方差公式）。
THANK YOU
感谢聆听
