第十模块 概率与统计
第四十八讲 随机抽样､用样本估计
总体､变量间的相互关系､统计案例
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1.样本及抽样的定义
(1)在数理统计中称研究对象的全体为总体,组成总体的每一
个基本单元为个体,从总体中抽取若干个个体x1,x2,…,xn,这
样的n个个体x1,x2,…,xn称为大小为n(容量为n)的一个样本.
(2)抽样:抽样是为了获取总体的信息,特别在客观实际中对总
体的全部个体逐一进行研究,有的是不适宜､不可能或不必
要的.因此,抽样调查是获取总体信息的重要方法.
2.随机抽样
(1)简单随机抽样:从一个总体中通过逐个抽取的方法从中抽
取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,这
样的抽样称为简单随机抽样.这样抽出的样本称为简单随机
样本.简单随机抽样的基本方法有抽签法和随机数表法.
(2)系统抽样:系统抽样被称为等距抽样或机械抽样.它按照时
间或空间的等距间隔抽取样本,即将总体分成几个部分,然
后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所
需要的样本,这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随机
抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时,采
用的是简单随机抽样.
(3)分层抽样:当总体中一部分个体与另一部分个体有明显的
差异且易于区别时,常将相近的个体归成一组,然后按照各
部分所占的比例进行抽样,这种抽样称为分层抽样.其中所
分成的各部分称为层.分层抽样时,每一个个体被抽到的概
率都是相等的.
3.频率分布表､频率分布直方图与茎叶图
(1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是该
数据的频率.所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律
叫做频率分布,可以用频率分布表､频率分布直方图､频率分
布折线图､茎叶图等来表示.
(2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端
的中点,就得到频率分布折线图.
(3)总体密度曲线
如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直
方图实际上越来越接近于总体在各小组内所取值的个数与
总数比值的大小,它可以用一光滑曲线来描绘,这条光滑曲
线就叫做总体密度曲线.
(4)茎叶图表示数据有两个突出的优点,其一是统计图上没有
原始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其
二是在比赛时随时记录,方便记录与表示.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数,中位数,平均数
在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或
中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
如果n个数,x1,x2,…,xn,那么 (x1+x2+…+xn)叫做这
n个数的平均数.
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数,如果在n个数据中
,x1出现了f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(这里
f1+f2+…+fk=n),那么 (x1f1+x2f2+…+xkfk),叫做这n
个数的加权平均数.
5.两个变量的相关关系
(1)当自变量的取值一定时,因变量的取值带有随机性,这两个
变量之间的关系叫做相关关系.
如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到大,
这种相关称为正相关;反之,如果一个变量的值由小变大时,
另一个变量的值在由大到小,这种关系称为负相关.变量间
的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系.
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形
叫做散点图.
6.回归直线方程
(1)一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个
观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线
方程为
我们将这个方程叫做回归直线方程,a,b叫做回归系数,相应的
直线叫做回归直线.
(2)最小二乘法
使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2为最
小的方法,叫做最小二乘法.
7.回归分析
(1)回归直线方程 =bx+a中,
上述方程对应的直线叫做回归直线,而对两个变量所进行的上
述统计分析叫做线性回归分析.
相关系数
用相关系数来描述线性相关关系的强弱.当r>0时,两个变量正
相关;当r<0时,两个变量负相关,r的绝对值越接近1,表明两
个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0,表明两个变
量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于时,认为
两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线方程才有
意义.
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y1- i)是随机误
差效应,称 i=yi- i为残差,将所得值平方后加起来,用数
学符号表示为 (yi- i)2称为残差平方和,它代表了随
机误差的效应.
8.独立性检验
(1)分类变量的定义
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样
的变量称为分类变量.
(2)2×2列联表
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2}
和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
K2= 用它的大小可以决定是否拒绝原
来的统计假设H0,如果K2值较大,就拒绝H0,即拒绝事件A与
B无关.
考点陪练
1.(2010·重庆)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年
职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情
况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工
为7人,则样本容量为( )
解析:设样本容量为n,则依题意有 ×n=7,n=15,选B.
答案:B
2.(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为
:001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的
样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营
区,从001到300的第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496
到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
,16,8 ,17,8
,16,9 ,17,9
解析:依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依
次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号
码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤ ,因此第Ⅰ营区
被抽中的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495得 <k≤42,因此
第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.结合各选项知,选B.
答案:B
3.(2010·山东)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分
数如下:
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分
别为( )
,2 ,
,2 ,
解析:去掉一个最高分95分与一个最低分89分后,所得的5个数
分别为90､90､93､94､93,
所以
故选B.
答案:B
4.(2010·福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如
茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
和 和92
和 和92
解析:中位数为 (91+92)=;平均数为
(87+89+90+91+92+93+94+96)=.
答案:A
5.(2010·湖南)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,
则其回归方程可能是( )
A. =-10x+200 B. =10x+200
C. =-10x-200 D. =10x-200
解析:由图象知选项B､D为正相关,选项C不符合实际意义,故
选A.
答案:A
类型一抽样方法的综合应用
解题准备:1.简单随机抽样:抽签法:搅拌均匀后逐一抽取.
随机数表法:注意编号的灵活性,如对100个个体可用
00,01,01,02,…,99来编号.
2.系统抽样:对多余个体的剔除不影响总体中每个个体被抽到
的等可能性,仍然能保证抽样的公平性.例如从1002个体中
利用系统抽样抽取容量为20的样本,剔除2个个体后,每个个
体被抽到的可能性仍为
3.分层抽样:当总体中个体差异较大时,往往采用分层抽样的
方法,若有某些层面应抽取的个体数目不是整数时,可作适
当的细微调整.
【典例1】 为了考察某校的教学水平,将抽查这个学校高三年
级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况,
采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个
班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定
该校每班学生的人数相同):①从高三年级20个班中任意抽
取一个班,再从该班中任意抽取20名学生,考察他们的学习
成绩;②每个班抽取1人,共计20人,考察这20名学生的成绩;
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从其中共抽
取100名学生进行考察(已知该校高三学生共1000人,若按
成绩分,其中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250
人).根据上面的叙述,试回答下列问题:(1)上面三种抽取方
式的总体、个体、样本分别是什么?每一种抽取方式抽取
的样本中,样本容量分别是多少?(2)上面三种抽取方式各自
采用的是何种抽取样本的方法?(3)试分别写出上面三种抽
取方式各自抽取样本的步骤.
[分析] 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区
别,准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键;
另外要注意叙述的完整性和条理性.
[解] (1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本
年度的考试成绩,个体都是指高三年级每个学生本年度的考
试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生
本年度的考试成绩,样本容量为20;第二种抽取方式的样本
为所抽取的20名学生本年度的考试成绩,样本容量为20;第
三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试
成绩,样本容量为100.
(2)三种抽取方式中,第一种采用的是简单随机抽样法;第二种
采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种采用的是
分层抽样法和简单随机抽样法.
(3)第一种方式抽样的步骤如下:第一步,用抽签法在这20个班
中任意抽取一个班;第二步,从这个班中按学号用随机数表
法或抽签法抽取20名学生,考察其考试成绩.
第二种方式抽样的步骤如下:第一步,用简单随机抽样法从第
一个班中任意抽取一名学生,记其学号为a;第二步,在其余
的19个班中,选取学号为a的学生,加上第一个班的一名学生,
共计20人.
第三种方式抽样的步骤如下:第一步,分层.因为若按成绩分,其
中优秀生共150人,良好生共600人,普通生共250人,所以在
抽取样本时,应该把全体学生分成三个层次;第二步,确定各
个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为
100:1000=1:10,所以在每个层次中抽取的个体数依次为
即15,60,25;第三步,按层次分别抽取.在优秀
生中用简单随机抽样法抽15人;在良好生中用简单随机抽
样法抽取60人;在普通生中用简单随机抽样法抽取25人.
类型二频率分布直方图和茎叶图
解题准备:1.作频率分布直方图的步骤:
(1)求极差,即一组数据中最大值和最小值的差.
(2)决定组距与组数.将数据分组时,组数应力求合适,以使数据
的分布规律能较清楚的呈现出来.这时应注意:①一般样本
容量越大,所分组数越多;②为方便起见,组距的选择应力求
“取整”;③当样本容量不超过100时,按照数据的多少,通
常分成5~12组.
(3)将数据分组.
(4)计算各小组的频率,作频率分布表.各小组的频率
(5)画频率分布直方图.
2.茎叶图的制作步骤如下:
(1)将所有两位数的十位数字作为“茎”,茎按从小到大顺序
排列,茎相同者共用一个茎,再画上竖线作为分界线.
(2)在分界线的一侧对应“茎”处,记录下“叶”——个位数
字,一般共茎的叶按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出.
【典例2】 为了解某校初中毕业男生的体能状况,从该校初中
毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试,把所得数据
(精确到米)进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的
一部分(如下图),已知从左到右前5个小组的频率分布为
,,,,.第6小组的频数是7.
(1)请将频率分布直方图补充完整;
(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人?
(3)若成绩在米以上(含米)的为合格,试求这次铅球测试
的成绩的合格率;
(4)在这次测试中,你能确定该校参加测试的男生铅球成绩的
众数和中位数各落在哪个小组内吗?
[解] (1)由频率分布直方图的意义可知,各小组频率之和为1,
故第6小组的频率为:
1-(++++)=,易知第6小组与第3小
组的频率相等,故两个小长方形等高.
(2)由(1)知,第6小组的频率是.
又因为第6小组的频数是7,现设参加这次测试的男生有x人,
根据频率定义,得 即x=50(人).
(3)由图可知,第4､5､6小组成绩在米以上,其频率之和为
:++=,故合格率为72%.
(4)能确定中位数落在第4小组,而众数落在第5小组.
[反思感悟] 解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意
义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.频率分布指的是
一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小.一般用频
率分布直方图反映样本的频率分布.其中,①频率分布直方
图中纵轴表示 频率 ②频率分布直方图中,
各小长方形的面积之和为1,因此在频率分布直方图中,组距
是一个固定值,所以各个长方形高的比也就是频率之比;
③频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种
形式,前者准确,后者直观;④众数为最高矩形的中点;⑤中位
数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴
交点的横坐标.
[探究] 某化肥厂甲､乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带
上每隔30 min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据
如下:
甲:102,101,99,98,103,98,99;
乙:110,115,90,85,75,115,110.
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.
[解] (1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.
(2)茎叶图如下:
(3)甲车间:
平均值: (102+101+99+98+103+98+99)=100,
方差: [(102-100)2+(101-100)2+…+(99-
100)2]≈.
[反思感悟] (1)茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记录及
表示,能反映数据在各段上的分布情况.
(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况,这就需要通过茎叶
图给出的数据求出数据的数字特征,进一步估计总体情况.
类型三线性回归的应用
解题准备:求线性回归方程的步骤为:
(1)列表xi,yi,xiyi;
(2)计算
(3)代入公式计算b,a的值;(4)写出回归方程.
【典例3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房
屋的面积x的数据:
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线;
(3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格.
[解] (1)数据对应的散点图如图所示:
(3)据(2),当x=150时,销售价格的估计值为:
=×150+=(万元).
类型四独立性检验
解题准备:独立性检验的一般步骤:
(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(2)根据公式
K2= 计算K2的值.
(3)比较K2与临界值的大小关系作统计推断.
【典例4】 (2009·江苏模拟题)利用统计变量K2的观测值来判
断两个分类变量之间的关系的可信程度.
考查小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,
得到数据如下表所示:
试按照原试验目的作统计分析推断.
[分析] 利用已知条件来判断两个分类变量是否具有关系,可
以先假设两个变量之间有关系,再计算K2的值,K2的值越大
说明两个变量间有关系的可能性越大,再参考临界值,从而
判断两个变量有关系的可信程度.
[解] 由列表知,
a=26,b=184,c=50,d=200,
a+b=210,c+d=250,a+c=76,b+d=384,n=460.
∴有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病
是有关系的.
[反思感悟] (1)独立性检验的关键是准确的计算K2,在计算时,
要充分利用2×2列联表.
(2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题,从现实中寻
找例子,从而增强学习数学的兴趣.
错源一对简单随机抽样的理解不到位
【典例1】 下面的抽样中,是简单随机抽样的个数是( )
①从无数个个体中抽取20个个体作为样本;
②从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检查;
③某班有40名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的
篮球赛;
④一彩民选号,从装有36个大小､形状都相同的号签的盒子中
无放回地抽取6个号签
[错解] ①②③④都是简单随机抽样,故选A.
[剖析] 不清楚简单随机抽样有以下四个特点:(1)总体个数有
限;(2)逐个抽取;(3)不放回;(4)公平性.每个个体被抽到的可
能性相同.因此,要深刻理解概念,深挖其内涵.
[正解] ①总体个数无限,故不是简单随机抽样;②虽然“一次
性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性,但不
满足简单随机抽样的定义;③因为指定5名同学参赛,每个个
体被抽到的可能性不相同,不是等可能抽样;④是简单随机
抽样.故选D.
[答案] D
错源二 频率分布直方图中小长方形高的含义模糊不清
【典例2】 如图是一个容量为200的样本频率分布直方图,请
根据图形中的数据填空:
(1)样本数据落在[5,9)的频率为________;
(2)样本数据落在[9,13)的频率为________.
[错解] (1)落在[5,9)的频率为.
(2)落在[9,13)的频率为.
[剖析] 频率分布直方图中纵轴表示 ,而不直接表示频
率.
[正解] (1)落在[5,9)的频率为×4=;
(2)落在[9,13)的频率为×4=.
[答案]
技法一构造2×2列联表进行独立性检验
【典例1】 为观察药物A,B治疗某病的疗效,某医生将100例
该病病人随机的分成两组,一组40人,服用A药;另一组60人,
服用B药.结果发现:服用A药的40人中有30人治愈;服用B
药的60人中有11人治愈.问A,B两药对该病的治愈率之间是
否有显著差别?
[解题切入点] 首先应考察该资料取自什么样的试验设计.由
于100个病人完全随机地被分成2组,而且,事先不知道任何
一个病人的治疗结果是治愈还是不能治愈,故该资料取自完
全随机统计,符合2×2列联表的要求.
[解] 为便于将数据代入公式计算,先列出2×2列联表:
因为>,所以我们有%的把握说,A,B两药对
该病的治愈率之间有显著差别.
[方法与技巧] 上述结论是对所有服用A药或B药的病人而言
的,绝不要误以为只对100个病人成立.这就体现了统计的意
义,即由样本推断出全体.
技法二数形结合思想
【典例2】 为了了解中学生的身高情况,对某中学同龄的若干
女生的身高进行测量,将所得数据整理后,画出频率分布直
方图如图所示,已知图中从左到右1~5组的频率分别为
,,,,,6~8组的频数分别为7,5,3,第二
小组的频数为6.
(1)画出频率分布表;
(2)试问这组数据中的中位数在哪个身高的范围内?
(3)如果本次测试身高在157 cm以上(包括157 cm)的为良好,
试估计该校女生身高良好率是多少?
[解题切入点] 通过第二组的频数和频率先求出学生总数,其
他问题就十分容易解决了,主要考查同学们对频率分布表和
频率分布直方图的掌握情况,考查识图､读图的能力,以及灵
活运用图､表解决实际问题的能力.
[解] (1)因为第二组的频数是6,频率是,所以学生总数为
6÷=60,
所以1~5组的频数分别为3,6,9,9,18;
6~8组的频率分别为
频率分布表如下表所示:
(2)中位数在157 cm~160 cm之间.
(3)因为=,所以良好率是.
[方法与技巧] 数形结合的思想是重要的思想方法之一,具有
直观性､灵活性,有较强的综合性.数形结合的思想的实质就
是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与
形象思维结合起来.
