布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展
小结
BS模型最基本的假设包括没有交易成本、模型的参数如波动率、利率和红利率为常数或者至少是确定的函数、标的资产的价格服从对数正态分布等。这些假设在现实中都是难以成立的。
交易成本的存在，会影响我们进行套期保值的次数和期权价格，每一个投资者的不同头寸位置都将会出现一个可行价格区间。Hoggard-Whalley-Wilmott交易成本模型发现，交易成本对期权价格的影响与有关，考虑了交易成本后的期权模型是一个非线性方程，期权组合的价值不再是单个期权价值的简单加总。
应用期权的市场价格和BS公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方面的变动规律： “波动率微笑”和波动率期限结构。这两个规律的存在证明了波动率并非常数。隐含波动率成为市场交易者为期权定价的有力辅助工具。
人们扩展出许多改进波动率假设的模型，包括随机波动率模型和GARCH模型。
面对不确定的参数，市场交易者采取的另一种方法是将它们设定在某个预测区间之内而不是赋予它们一个确定的值，考虑在最悲观的情况下期权至少值多少。这种方法能尽量降低损失风险。
Merton 提出的跳跃扩散模型是对资产价格对数正态分布这一假设的改进，它将跳跃引入到原先的扩散方程中，使模型更符合现实，但是由于参数难以预测，方程一般无法获得解析解，使得它们在现实中的使用仍不够广泛。
崩盘模型考虑的是在资产价格出现极端变动的情况下，可能导致的最大损失，从而为期权定价。
附录7A
本附录中主要是欧式看涨期权的定价公式，可以利用看涨看跌期权平价关系推出相应的欧式看跌期权的价格。
复合期权模型
基于无红利股票的欧式看涨期权价值为：
其中：
其中是第一个变量小于，第二个变量小于，而变量之间的相关关系为的二元标准正态累积概率分布。当前时刻为t时刻，期权在时刻到期，而变量是在时刻时的价值。
替代扩散模型
基于替代扩散模型得到的股票欧式看涨期权价值为:
其中:
在以上公式中，是风险资产占总资产的初始比例，是初始债务与股权的比率，是风险资产的波动率。如果存在已知红利，则这些红利按无风险利率计复利到时刻的值应从b中扣除。
绝对扩散模型
基于替代扩散模型得到的股票欧式看涨期权价值为：
其中：
这个公式假设股票价格的一个吸收障碍为零。
习题
布莱克－舒尔斯定价模型的主要缺陷有哪些？
交易成本的存在对期权价格有什么影响？
怎样理解下面这个观点：组合中一份衍生证券合约的价值往往取决于该组合中其他合约的价值？
什么是波动率微笑、波动率期限结构和波动率矩阵？它们的作用何在？
当波动率是随机的且和股票价格正相关时，人们在市场上可能会观察到怎样的隐含波动率？
假设一个股票价格遵循复合期权模型，隐含波动率会是怎样的形状？
如果我们对随机波动率的概念进一步深入下去，使得波动率的波动率也是随机的，结果会如何？
设前一天收盘时S&P500为1040，指数的每天波动率为1％，GARCH(1,1)模型中的参数为，，。如果当天收盘时S&P500为1060，则新的波动率估计为多少？（设＝0）
不确定参数模型的定价思想是什么？
如何理解跳跃扩散模型和崩盘模型？
期权交易者常常喜欢把深度虚值期权看作基于波动率的期权，为什么？
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