第六章 时间数列分析法
第六章 时间数列分析法
§ 时间数列概述
§ 时间数列的水平分析指标
§ 时间数列的速度分析指标
§ 时间数列的构成分析方法
§ 时间数列概述
一、时间数列的概念及构成要素
二、时间数列的种类
三、时间数列的编制原则
四、时间数列的常用分析方法
时间数列
反映不同时间上的社会经济现象的统计指标值，按照时间先后顺序排列起来所形成的变量数列。
两个构成要素：
现象所属的时间
现象在特定时间的统计指标数值
时间数列的概念及构成要素
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
地区生产总值
（亿元）
年份
地区生产总值
（亿元）
年份
要素一：时间t
要素二：指标数值a
北京市地区生产总值
按数列中所排列指标的表现形式不同分为：
绝对数数列
相对数数列
平均数数列
（平均指标数列）
（相对指标数列）
时点数列
时期数列
时间数列的种类
（总量指标数列）
各指标数值所属时间可比
各指标数值总体范围可比
各指标数值经济内容可比
各指标数值计算价格和计量单位可比
各指标数值计算方法可比
保证数列中各指标数值的可比性
时间数列的编制原则
时间数列的常用分析方法
通过时间数列的分析指标来揭示现象的发展变化状况和发展变化程度
通过对影响时间数列的构成因素进行分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律
指标
分析法
构成因素
分析法
§ 时间数列的水平分析指标
一、发展水平和平均发展水平
二、增长量和平均增长量
发展水平
指时间数列中每一项指标数值
设时间数列中各个发展水平为：
或：
最初水平
中间水平
最末水平
（ N 项数据）
（ n+1 项数据）
平均发展水平
又叫序时平均数，是把时间数列中各指标数值加以平均而求得的平均数
静态平均数与序时平均数的区别：
计算的依据不同：前者是根据次数分布数列计算的，后者则是根据时间数列计算的；
说明的内容不同：前者表明总体内部各单位在某个具体时间的一般水平，后者则表明整个总体在不同时期内的一般水平。
序时平均数的计算方法
⒈计算绝对数时间数列的序时平均数
⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法
118729
129034
132616
132410
124000
2001
2002
2003
2004
2005
能源生产总量（吨标准煤）
年份
2001-2005年某市能源生产总量
【例】
⑵由时点数列计算
①由连续时点数列计算
对于逐日记录的时点数列可视其为连续
※间隔相等时，采用简单算术平均法
序时平均数的计算方法
元
6月4日
元
元
元
6月5日
6月2日
6月3日
元
收盘价
6月1日
日期
解：
某股票连续 5 个交易日价格资料如下：
【例】
⑵由时点数列计算
①由连续时点数列计算
※间隔不相等时，采用加权算术平均法
对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次
序时平均数的计算方法
某企业5月份每日实有人数资料如下：
780 784 786 783
实有人数
1~9日 10~15日 16~22日 23~31日
日 期
解：
【例】
②由间断时点数列计算
每隔一段时间登记一次，常表现为期初或期末值
※间隔相等时，采用简单序时平均法
一季
度初
二季度初
三季度初
四季度初
次年一季度初
序时平均数的计算方法
68
64
72
66
库存量（百件）
6月末
5月末
4月末
3月末
时间
解：第二季度的月平均库存额为：
某商业企业2005年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额。
【例】
※间隔不相等时，采用加权序时平均法
3个月
3 个月
6个月
一季
度初
二季度初
三季度初
次年一季度初
420
416
390
362
社会劳动者人数
12月31日
8月31日
5月31日
1月1日
时间
单位：万人
某地区2005年社会劳动者人数资料如下：
【例】
解：则该地区该年的月平均人数为：
⒉计算相对数时间数列的序时平均数
基本公式
⑴ a、b均为时期数列时
序时平均数的计算方法
150
120
125
利润计划完成程度（﹪）
400
300
200
计划利润（万元）
三
二
一
月 份
某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下：
因为
所以，该厂一季度的利润计划平均完成程度为：
【例】
⑵ a、b均为时点数列时
⑶ a为时期数列、b为时点数列时
2300
七
2200
2200
2000
2000
月末全员人数（人）
工业增加值（万元）
六
五
四
三
月 份
【例】已知某企业的下列资料：
要求计算：
①该企业第二季度各月的劳动生产率；
②该企业第二季度的月平均劳动生产率；
③该企业第二季度的劳动生产率。
四月份：
五月份：
六月份：
解：①第二季度各月的劳动生产率：
③该企业第二季度的劳动生产率：
②该企业第二季度的月平均劳动生产率：
3.计算平均数时间数列的序时平均数
基本公式
⑴ 静态平均数时间数列:
序时平均数的计算方法
(2) 序时平均数时间数列:
序时平均数的计算方法
①间隔相等时，采用简单算术平均法
②间隔不相等时，采用加权算术平均法
增长量
指报告期水平与基期水平之差
设时间数列中各期发展水平为：
逐期增长量
累计增长量
二者的关系：
⒈
⒉
平均增长量
逐期增长量的序时平均数
年距增长量
本期发展水平与上年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响
一、发展速度和增长速度
二、平均发展速度和平均增长速度
§ 时间数列的速度分析指标
发展速度
指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度
设时间数列中各期发展水平为：
环比发展速度
定基发展速度
环比发展速度与定基发展速度的关系：
年距发展速度
增长速度
指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度
环比增长速度
定基增长速度
年距增长速度
说
明
定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。
如果两时期的发展水平表明的是不同方向的数值，则不宜计算增长速度。
【例】某企业几年来产量不断增长，试计算表中空缺数字 。
⑤
15
④
25
③
②
50
20
①
环比增长速度(%)
定基增长速度(%)
2005
2004
2003
2002
2001
年 份
增长1%的
绝对量
指现象每增长1﹪所代表的实际数量
定基增长速度增长1%的绝对量
环比增长速度增长1%的绝对量
各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度
平均发展速度
平均增长速度
说明现象逐期增长的平均程度
平均发展速度的计算
⑴ 几何平均法（水平法）
即有：
从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有
基本要求
计算公式
⑴ 几何平均法（水平法）
平均发展速度的计算
总速度
环比速度
解：平均发展速度为：
平均增长速度为：
【例】某市2000年与2005年的汽车产量分别为85576和176953辆，请计算2000～2005年间该市汽车产量的年平均发展速度及年平均增长速度。
有关指标的推算:
几何平均法（水平法）
⒈推算最末水平an ：
⒉预测达到一定水平所需要的时间n ：
⒊计算翻番速度 ：
翻番数
有关指标的推算:
几何平均法（水平法）
解：
【例】已知某化肥厂2005年的产量为20万吨，如果2010年产量翻番，将会达到多少？
平均增长速度为：
解：
【例】1990年某市生产水泥7986吨，2004年达到40500吨，计算1990年至2004年某市水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？
平均发展速度的计算
⑵ 方程法（累计法）
从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度 发展，经过n个时期后，达到各期推算水平之和等于各期实际水平之和。
基本要求
计算公式的推导
由基本要求有，各期推算水平分别为
各期定基发展速度之和
（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）
①解方程法
②查“平均增长速度查对表”法
【例】某公司2005年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。
解：
求解方法
（关于 的一元n次方程）
增长速度查对表
递增速度
间隔期1～5年
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
5年
4年
3年
2年
1年
各年发展水平总和为基期的﹪
平均每年增长﹪
两种方法的比较:
几何平均法研究的侧重点是最末水平；
方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和，只适用于时期数列。
平均发展速度的计算
几何平均法：
方程法：
时间数列的速度分析指标
时间数列的水平分析指标
发展水平
增长量
平均发展水平
平均增长量
增长速度
发展速度
平均增长速度
平均发展速度
动态平均指标
动态比较指标
水平指标与速度指标的应用应注意
要结合具体研究目的适当选择基期，并注意其所依据的基本指标在整个研究时期的同质性 ；
要联系各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度 ；
总平均发展速度要和分段平均发展速度结合分析；
发展速度要联系基期水平进行分析。
平均速度指标应结合其所依据的各个基本指标进行分析
§ 时间数列的构成分析方法
一、时间数列的构成因素
二、长期趋势的测定
三、季节变动的测定
四、循环变动的测定
影响时间数列变动的因素可分解为：
（1）长期趋势（T）
（2）季节变动（S）
（3）循环变动（C）
（4）不规则变动（I）
可解释的变动
—不可解释的变动
一、时间数列的构成因素
长期趋势
现象在较长时期内受某种根本性因素作用而形成的总的变动趋势
季节变动
现象在一年内随着季节的变化而发生的有规律的周期性变动
循环变动
现象以若干年为周期所呈现出的波浪起伏形态的有规律的变动
不规则变动
是一种无规律可循的变动，包括严格的随机变动和不规则的突发性影响很大的变动两种类型
时间数列的分解模型
（1）加法模型：Y=T+S+C+I
计量单位相同的总量指标
对长期趋势产生的或正或负的偏差
（2）乘法模型：Y=T·S·C·I
计量单位相同的总量指标
表现为一定的比率
常用模型
把握现象随时间演变的趋势和规律；
对事物的未来发展趋势作出预测；
便于更好地分解研究其他因素。
测定长期趋势的基本方法：
①时距扩大法
②移动平均法
测定长期趋势的意义：
③趋势模型法
时距扩大法
将时间数列的指标值所属的时间扩大，得到扩大了时距的时间数列，以消除某些因素及不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。此法只适用于时期序列。
时距扩大法的含义：
2003年到2005年某风景旅游城市旅游人数资料如下：
【例】
28
36
57
61
74
93
40
51
65
32
41
57
2003
2004
2005
第四季
第三季
第二季
第一季
旅游人数(万人)
年份
40
51
68
161
202
272
2003
2004
2005
季平均旅游人数
旅游人数
年份
时距扩大计算表
若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期或其倍数作为扩大的时距长度。
一般应逐步扩大时距以能显示趋势变动方向为宜。
扩大后的时距要一致，相应的发展水平才有可比性。
时距扩大法
时距大小的选择：
移动平均法
对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱某些因素和不规则变动的影响，显示出原数列的长期趋势。
移动平均法的含义：
⒉计算各移动平均值，并将其编制成时间数列
若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期或其倍数作为移动的时距长度。
一般应逐步扩大移动时距以能显示趋势变动方向为宜。
移动平均法
移动平均法的步骤：
⒈确定移动时距
移动平均法
奇数项移动平均:
原数列
移动平均
新数列
移动平均
移正平均
新数列
原数列
移动平均法
偶数项移动平均:
原数列
三项移动平均
五项移动平均
四项移动平均
移动平均对数列具有平滑修匀作用，移动项数越多，平滑修匀作用越强；
由移动平均数组成的趋势值数列，较原数列的项数少，N为偶数时，趋势值数列首尾各少 项；N为奇数时，首尾各少 项；
移动平均法的特点
趋势模型法
根据时间数列的数据特征，建立一个合适的趋势方程 来描述时间数列的趋势变动
直线趋势方程：
曲线趋势方程：
……
趋势模型法的基本程序
判断趋势类型
估计待定参数
计算趋势测定值
观察、分析
判断趋势类型
绘制散点图
分析数据特征
趋势模型法的基本程序
当数据的一阶差分接近于一常数时，可以配合直线方程
当数据的二阶差分接近于一常数时，可以配合二次曲线方程
当数据的环比发展速度接近于一常数时，可配合指数曲线方程
—
b
b
b
b
a + b
a + 2b
a + 3b
a + 4b
a + nb
1
2
3
4
n
一阶差分yi - yi-1
yi
t
直线趋势方程：
—
—
2c
2c
2c
二阶差分
—
b+3c
b+5c
b+7c
b+(2n-1)c
a + b + c
a + 2b + 4c
a + 3b + 9c
a + 4b + 16c
a + nb + n2c
1
2
3
4
n
一阶差分
yi
t
抛物线趋势方程：
—
b
b
b
b
ab
ab2
ab3
ab4
abn
1
2
3
4
n
yi / yi-1
yi
t
指数曲线趋势方程：
①用半数平均法 求解参数 a、b ，有
直线趋势的测定
直线趋势方程：
经济意义：
数列水平的
平均增长量
②用最小平方法 求解参数 a、b ，有
直线趋势的测定
直线趋势方程：
经济意义：
数列水平的
平均增长量
819
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
t2
91
合计
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
ty
发电量 (y)
t
年份
【例】已知某市发电量资料（单位：万千瓦时）如下， 拟合直线趋势方程，并预测2007年的水平。
解：
预测：
0
1
2
3
4
5
6
7
求解a、b的简捷方法
0
1
2
3
-1
-2
-3
取时间数列中间项为原点
当t = 0时，有
N为奇数时，令t = …，-3，-2，-1，0，1，2，3， …
N为偶数时，令t = …，-5，-3，-1，1，3，5， …
182
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
t2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
t
91
合计
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
ty
发电量 (y)
t
年份
解：
预测：
用最小平方法 求解参数 a、b 、c，其标准方程组为：
二次曲线方程
二次曲线方程：
当t = 0时，有
解出参数 a、b 、c的值，即可得二次
曲线趋势方程，计算出各时期的趋势
变动测定值。
用最小平方法 求出lga、lgb 后，再求反对数得 a、b的值，即可得指数曲线趋势方程，计算出各时期的趋势变动测定值。
指数曲线方程
指数曲线趋势方程：
两边取对数得：
乘法模型中S称为季节指数
设时间数列包含k个季节变动周期（通常为年），一般要求k不小于3，每个季节变动周期有N个时期，并假定时间数列不包含循环变动C，则：
加法模型中S称为季节变差
Y=T·S·I 或 Y=T+S+I
季节变动的测定
测定季节变动的基本方法：
② 趋势剔除法
①同期平均法
直接按月（季）平均法
比率平均法
直接平均法
直接平均法的步骤：
1.计算各年的同月(季) 平均数
(i=1~k 年，j =1~12月或 j =1~4季)（列平均）；
2.计算各年所有月份(或季度)的总平均数 ;
3.计算季节指数S j， 。
季节指数
平均
2005
26
2004
21
2003
2002
2001
平均
第四季
第三季
第二季
第一季
年份
例：某地区旅游业产值季节变动测定的直接平均法
单位:百万元
比率平均法
比率平均法的步骤：
1、计算第 i年平均数；（行平均）
2、将历年各月(季)的实际数据同其本年的平均数相比，计算季节比率( i 表示年度，j 表示季或月) ：
3、将各年度同期(月或季)的比率进行简单算术平均，求出季节指数Sj
季节指数
2005
2004
2003
2002
2001
第四季
第三季
第二季
第一季
平均
年份
例：某地区旅游业产值季节变动测定的比率平均法
直接平均法以整个时间序列的总平均数代表趋势值,将趋势值视为常数,只适用于具有水平趋势的时间序列；
比率平均法对每一周期计算趋势值，适用于同周期内只有季节变动无趋势变动,不同周期间存在趋势变动的时间序列。
直接平均法与比率平均法的比较:
在具有明显的长期趋势变动的数列中，为了测定季节变动，必须先将趋势变动因素在数列中加以剔除，而后计算季节比率。
趋势剔除法
移动平均趋势剔除法步骤：
1）对原时间序列求移动平均数（移动平均项数取周期长度），作为相应时期的趋势值T。
2）剔除原数列中的趋势变动T，即将原数列各项除以对应的移动平均数：
3）以消除趋势变动后的数列计算季节指数，测定季节变动。
例：2003年到2005年某城市旅游人数资料如表所示。
某风景旅游城市旅游人数资料
试用移动平均趋势剔除法分析季节变动。
调整：季节指数之和必须等于周期长度N （N为季度或月份数），即 。当两者不等时，须做相应的调整。
调整系数为：
经调整，季节指数为：
分析：季节指数最高，表明该季为旺季；季节指数最低，表明该季为淡季。
移动平均趋势剔除法的适用条件：
移动平均趋势剔除法按具体的时期测定趋势值，适用于具有明显上升或下降的长期趋势（即使同周期内，除了季节变动，还存在此趋势变动）的时间序列。
测定循环变动的常用方法：
② 剩余法
①直接测定法
循环变动的测定
直接测定法
方法：
直接计算序列的年距发展速度，得循环变动和不规则变动的相对数：
适用于季度或月度时间序列。
优点：简便易行 ，直观明了。
缺点：较粗糙 ，循环波动的振幅被拉大。
剩余法
思路：
利用分解分析的原理，从时间序列中剔除长期趋势和季节变动， ，然后再消除不规则变动，从而得到循环变动值。
剩余法
一般步骤：
优点：能够识别时间序列的各个构成因素。
1.计算季节指数S（一般用移动平均趋势剔除法）。
2.剔除原数列中的季节变动，
3.求长期趋势值T（可拟合趋势方程）。
4.剔除长期趋势，
5.移动平均消除不规则变动I，得到循环变动C。
1、已知某地粮食产量的环比发展速度2002年为%， 2003年为104%， 2005年为105%， 2005年对于2001年的定基发展速度为%，则2004年的环比发展速度为（ ）
A. 103%
B. 101%
C. %
D. 113%
课堂练习题：
1、某地区社会商品零售额1991-1995年期间（1990年为基期）每年平均增长10%， 1996-2000年期间每年平均增长%， 2001-2006年期间每年平均增长%。问2006年与1990年相比该地区社会商品零售额共增长多少？年平均增长速度是多少？若2006年社会商品零售额为30亿元，按此平均增长速度，2010年的社会商品零售额应为多少？
练习题：
结 束
