第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
第十章 二项分布和Poisson分布及其应用
【思考与练习】
一、思考题
1. 简要回答Bernoulli试验的适用条件。
2. 简要回答Poisson分布的性质。
3. 简要回答二项分布与Poisson分布的区别。
4. 简要回答二项分布、Poisson分布和正态分布间的联系。
二、案例辨析题
一学生对某种溶液进行细菌学检测，发现平均每10ml含有细菌数650个。据此，他认为每1ml该溶液含有细菌数为65个，并采用正态近似法估出计每1ml该溶液所含细菌数的95%置信区间为。你认为这位同学所估计的95%置信区间正确吗？为什么？
三、最佳选择题
1. 若某人群某疾病患病人数X服从二项分布，从该人群中随机抽取n人，患病人数X至少为k人的概率为
A.
B.
C.
D.
E.
2. 若某人群某疾病患病人数X服从二项分布，从该人群中随机抽取n人，患病人数X至多为k人的概率为
A.
B.
C.
D.
E.
3. 随机变量X~B(10, )，概率为最大值时，随机变量X的取值为
A. 5
B. 6
C. 7
D. 10
E. 6和7
4. 对于二项分布，其对应的样本率p近似正态分布的条件是
A.
B.
C.
D. 或
E. 且
5. Poisson分布的均数和方差的关系是
A.
B.
C.
D.
E. 与无固定关系
6. 用计数器测得某放射性物质半小时内发出的脉冲数为570个，则该放射性物质平均每10分钟脉冲计数的95%置信区间为
A.
B.
C.
D.
E.
7. 随机变量X服从以为参数的Poisson分布，且其方差为，则Poisson分布近似正态分布的条件是
A. 接近0或1
B. 较小
C. 较小
D. 接近
E. EMBED 20
8. 随机变量X服从以为参数的Poisson分布，m为不等于零的常数，则mX也服从Poisson分布，其均数为
A.
B.
C.
D.
E.
四、综合分析题
1. 某药物常规剂型治疗某种非传染性疾病的治愈率为85%，现某医院采用该药新剂型治疗该非传染性疾病患者20例，19例治愈。问该药新剂型能否增加疗效?
2. 某研究者调查甲、乙两地妇女乳腺癌患病情况，其中甲地调查了20000人，有乳腺癌患者41人；乙地调查了10000人，有乳腺癌患者15人。问甲地区妇女乳腺癌的患病率是否高于乙地?
【习题解析】
一、思考题
1. Bernoulli试验的适用条件如下：①每次试验只会发生两种互斥结果之一，即两种互斥结果的概率之和恒等于1；②在相同的试验条件下，每次试验产生某种结果(如“阳性”)的概率固定不变；③重复试验是互相独立的，即任何一次试验结果的出现不会影响其它试验结果出现的概率。
2. Poisson分布的性质如下：①总体均数与总体方差相等；②当n很大，而很小，且为常数时，Poisson分布可看作是二项分布的极限分布；③当增大时，Poisson分布渐近正态分布，一般而言，时，Poisson分布资料可作为正态分布处理；④Poisson分布具备可加性，即对于服从Poisson分布的m个互相独立的随机变量，它们之和也服从Poisson分布，且其均数为这m个随机变量的均数之和；⑤的大小决定了Poisson分布的图形特征。
3. 随机变量X服从二项分布，是指在n重Bernoulli试验中，发生某种结果(如“阳性”)的次数的一种概率分布，其恰好发生X个阳性的概率为() ，且总有 。而随机变量X服从Poisson分布，是指X满足：①取值范围为；②相应的概率为 ，且总有 。在总体率很小，而样本含量(试验次数)n趋向于无穷大时，二项分布近似于Poisson分布。因此， Poisson分布可看作是二项分布的一种极限情况，可用来描述小概率事件的发生规律。
4. 二项分布、Poisson分布和正态分布间的联系为：①在n很大，而很小，且为常数时，二项分布的极限分布为Poisson分布；②在n较大、不接近0也不接近1时，二项分布近似正态分布，而相应的样本率p的分布也近似正态分布。③当增大时，Poisson分布渐近正态分布。，一般而言，≥20时，Poisson分布资料可作为正态分布处理。
二、案例辨析题
不正确。溶液中的细菌数可以认为服从Poisson分布，当其“单位容积”所含细菌数时，可采用正态近似法估计总体均数的()置信区间。但本例溶液的“单位容积”为10ml，应先用正态近似法估计出该溶液每10ml所含细菌数的95%置信区间，再除以10即得到每1ml所含细菌数的95%置信区间。由式()可得，每10ml该溶液所含细菌数的95%置信区间为，故每1ml该溶液所含细菌数的95%置信区间为。
三、最佳选择题
1. A
2. C
3. B
4. E
5. C
6. E
7. E
8. C
四、综合分析题
1. 解：本例可认为治疗有效人数X服从二项分布，根据研究目的，选用单侧检验。其假设检验步骤为：
(1) 建立检验假设，确定检验水准
H0：，该药新剂型的疗效等于常规剂型
H1：，该药新剂型的疗效优于常规剂型
单侧
(2) 计算概率
本例，，，，
(3) 作出统计推断
由结果可见，按水准，不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能认为该药新剂型能增加疗效。
2. 解：本例中，乳腺癌患病人数可认为服从Poisson分布，两个样本的观察单位数不相等，以10000人为一个单位，则，。设甲、乙两地妇女乳腺癌的患病率分别为和，其假设检验步骤为：
(1) 建立检验假设，确定检验水准
H0：，两地妇女乳腺癌患病率相等
H1：，甲地妇女乳腺癌患病率高于乙地
单侧
(2) 计算检验统计量
(3) 作出统计推断
查t界值表(附表3 )，得，按水准，不拒绝H0，差异无统计学意义，尚不能认为甲地妇女乳腺癌的患病率高于乙地区。
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