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奇异值分解在指纹识别系统预处理中的应用
许芹，袁小平，许金林
中国矿业大学信电学院，江苏徐州 (221008)
摘 要：本文介绍了奇异值分解的基本理论，阐述了指纹图像增强，还原和压缩在识别系统
预处理中的重要性。应用矩阵奇异值分解理论实现了指纹图像的增强，还原和压缩。基于
的仿真实验表明将奇异值分解应用于指纹识别系统预处理中是有效且可行的。
关键词：指纹图像，图像增强，图像还原，图像压缩，奇异值分解
中图分类号：
1 引言
指纹识别技术作为最为成熟的一项生物识别技术，利用了指纹特征的惟一性和稳定性，
把一个人与其指纹对应起来，不易伪造或假冒、不易遗忘或丢失，在身份识别上有着其他手
段不可比拟的优越性。随着现代电子集成制造技术的发展，指纹图像读取和处理设备越来越
小型化，飞速发展的计算机技术使快速指纹比对运算成为可能，而优秀的指纹识别算法保证
了识别结果的准确性，更加促进了指纹识别技术的应用。
指纹识别系统包括图像采集、预处理、特征提取、识别匹配等，具体应用中还必须加上
网络传输、外围设备控制等部分来完成指纹数据库数据读取、匹配结果输出等工作。系统的
原理框图如图 1 所示：
图 1 指纹识别系统的原理框图
指纹图像的识别首先要求获得较高质量的图像，实际上由于各种原因得到的图像往往质
量较差，比如：对比度较低、有噪声的污染、物体和摄像头之间的相对运动造成模糊等。这
个领域的研究涉及到图像处理中的图像增强和图像还原两个方面的内容。另外一个问题是需
要将采集的图像作为历史数据保存下来以便综合分析和建立指纹库。由于数字图像的数据量
很大，这使得存储图像需要占用很大的空间，因此有必要进行指纹图像的压缩，奇异值分解
能够实现上述功能。
2 基于奇异值分解的指纹图像增强
矩阵的奇异值分解是矩阵论的重要内容，是在线性动态系统的识别、实验数据处理、最
佳逼近问题等方面应用广泛的一种分解，其主要理论可以由下面两个定理[1]表示：
定理 1 矩阵 m n×∈Α C ， ( ) ,rank r=A 矩阵 HA A的特征值为 0...21 >≥≥≥ rλλλ ，
1+rλ = 0...2 ===+ nr λλ ，则正数 ),...,2,1( riii == λσ 为矩阵 A的奇异值。
定理 2 矩阵 m n×∈A C ， 1 2( ) , ... 0rrank r σ σ σ= ≥ ≥ ≥ >A ，是矩阵 A的奇异值，则
存在矩阵 ,m m n n× ×∈ ∈U C V C ,分块矩阵 0
0 0
m n×⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ
Σ C ,使 0
0 0
H⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Δ
A U V
其中 1 2[ ]rdiag δ δ δ= ⋅⋅⋅Δ .
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用矩阵奇异值分解的方法实现图像增强就是要增强奇异值矩阵，这里提出一种在频域增
强奇异值矩阵的方法，这种方法和同态滤波类似：
根据矩阵奇异值分解图像 ( ),f x y 可以分解为：
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,Hf x y U x y S x y V x y= (1)
那么：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ln , ln , ln , ln ,Hz x y f x y U x y S x y V x y= = + + (2)
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }, ln , ln , ln , ln ,Hz x y f x y U x y S x y V x yℑ = ℑ = ℑ +ℑ +ℑ
(3)
或单独地 (4)
用滤波器 ( ) ( )0 1, , ,H u v H u v 处理 ( ),Z u v ，过程为：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0, , , , , , ,U S Vu v H u v F u v H u v F u v H u v F u vΦ = + + (5)
其中 ( ),u vΦ 是结果的傅里叶变换。 ( )0 , 1H u v == ， ( )1 ,H u v 是高通滤波器，那么在时域：
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 1 10 1 0, , , , , , , ,U S Vx y u v H u v F u v H u v F u v H u v F u vϕ − − − −= ℑ Φ = ℑ + ℑ + ℑ
(6)
于是增强后的图像 ( ),g x y 为 :
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )1 , ,, , ,sH u v F u v Hg x y U x y e V x yℑ= (7)
3 基于奇异值分解的指纹图像还原
把 SVD 方法和广义逆等概念应用于图像复原[2,3,4]，可以在退化模型 =g Hf 基础上得
到一个很好的近似值 fˆ ，即使H 不是方阵， 1−H 不存在也可以采用广义逆来求解.即：
ˆ ( )= = =+ + + +f H g H Hf + n H Hf + H n (8)
由奇异值理论可知，当H 的秩为 R 时：
1
1
2
2
1 2
1
0
( , ,... ) ...
..
0
0
T
T
T
M
R T
N
R
T
i i i
i
v
v
u u u
v
λ
λ
λ
λ
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
=∑
H UΛV
u v
(9)
由广义逆得：
1 1
1
R
T T
i i i
i
λ+ − −
=
= =∑H VΛ U v u (10)
于是有：
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1 1
1 1
ˆ
R R
T T
i i i i i i
i i
λ λ− −
= =
=∑ ∑f v u Hf + v u n (11)
可见噪声对于复原的影响是很大的，经验表明，若在和式中 1iλ− 按增值排列，当取到某一个
值时，信噪比才出现较大，但这种效果要由视觉判断，以便停止增加求和项，为此将图像复
原表达式写成迭代形式，为了简化将上式改写为：
1 1
1 1
ˆ ( )
R R
T T
i i i i i i
i i
λ λ− −
= =
= =∑ ∑f v u g u g v (12)
其中 Tiu g为标量。以上式为基础 fˆ 的第 i 个估计值的迭代式为
1
1
ˆ ˆ ( )Ti i i ivλ−−= +f f u g (13)
其中 0ˆ 0=f ，这就是 SVD 广义逆基本公式。
4 基于奇异值分解的指纹图像压缩
图像数据往往存在各种冗余度，如空间冗余度、信息熵冗余度、视觉冗余度和结构冗余
度等。所谓的压缩就是去掉各种冗余度，减少图像数据间的相关性，从而达到压缩图像数据
的目的。令 1 2( )mu u u= ... U ， 1 2( )nv v v= ... V ，由定理 2 矩阵 A可以表
示为：
1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
0
( ) [ ]
0 0
...
H H H H H
m n
H H H
r r r
u u u v v v
u v u v u vδ δ δ
⎡ ⎤= = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + +
ΔA UΣV
(14)
上式给出的形式被称作矩阵 A的奇异值展开式，对于一个数 rk ≤ ，略去A的一些小的
奇异值对应的项，取矩阵 kA
1 1 1 2 2 2 ...
H H H
k k k ku v u v u vσ σ σ= + + +A (15)
用矩阵 kΑ 近似代替 A就实现了对图像的压缩。
5 实验结果分析
指纹图像增强
(a) (b) (c)
图 4 基于奇异值分解的指纹图像增强，其中(a)原始图像，(b)和(c)分别为增强后的结果
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指纹图像还原
(a) (b) (c)
图 5 基于奇异值分解的指纹图像还原，其中(a)是原始图像，(b)是模糊图像(c)为还原后的结果
指纹图像压缩
(a) (b) (c) (d)
图 6 基于奇异值分解的指纹图像压缩，其中(a)是原始图像，(b)，(c)和(d)分别为压缩后的结果
压缩图像质量评价
在图像通信工程中，各种图像处理技术优劣的评价都归结到图像质量评价。简单而有效
的方法是计算均方误差e 。其定义为[5]：
1 1
2
0 0
1 1
2
0 0
[ ( , ) ( , )]
| ( , ) |
M N
i j
M N
i j
f i j g i j
e
f i j
− −
= =
− −
= =
−
=
∑∑
∑∑
定义压缩比 100%a
r
μ= × ，式中 r 是原始图像对应的奇异值个数，μ 是人为指定 k 值
后余下的奇异值的个数。由于 k 的取值不同，压缩比a 和均方误差e必然会随之变化，对于
本实验中的图片将三者的典型数据列入表 1。
表 1 k 值、压缩比α和均方误差e 典型值
k a e k a e
0 0 0 290 410−×
10 610−× 300 410−×
20 610−× 330 410−×
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30 510−× 340 310−×
40 510−× 370 310−×
50 510−× 400 310−×
60 510−× 420 310−×
70 510−× 430 310−×
80 510−× 470 310−×
90 510−× 510 310−×
100 410−× 560 310−×
110 410−× 580 310−×
120 410−× 600 310−×
130 410−× 640 310−×
140 410−× 670 310−×
150 410−× 730 310−×
160 410−× 830 310−×
170 410−× 880 310−×
180 410−× 950 310−×
200 410−× 1000 310−×
210 410−× 1200 310−×
220 410−× 1400 210−×
230 410−× 1600 210−×
240 410−× 1800 210−×
250 410−× 2000 210−×
260 410−× 2500 210−×
270 410−× -- -- --
280 410−× -- -- --
本文方法与经典压缩算法比较
压缩比相同的情况下，计算 jpg 压缩和本文方法的均方误差[6]。
表 2 jpg 压缩方法和本文方法的对比
压缩比 10 20 30 40 50
jpeg 510−× 510−× 510−× 410−× 410−×
本文方法 910−× 810−× 710−× 710−× 610−×
压缩比 60 70 80 90
jpeg 4 410−× 410−× 410−× 310−×
本文方法 610−× 510−× 410−× 310−×
通过仿真实验和数据分析可以看到，奇异值分解在指纹图像的增强，还原和压缩中是有
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效的。通过增强取得了增强细节的效果，通过还原消除了运动模糊，奇异值分解因其压缩比
高、压缩速度快、压缩后图像特征基本不变从而能有效地应用于指纹图像的识别系统中。
参考文献
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Application of Singular Value Decomposition in Fingerprint
Detection System
Xu Qin, Yuan Xiaoping, Xu Jinlin
School of Information and Electrical Engineering, CUMT, Xuzhou, Jiangsu (221008)
Abstract
The basis of singular value decomposition is introduced; State the importance of the fingerprint image
enhancement, restoration and compression for the detection system. Applied the SVD to realize the
fingerprint image enhancement, restoration and experiments using Matlab
demonstrate the proposed method is efficient and feasible.
Key word: fingerprint image; image enhancement; image restoration; image compression; singular
value decomposition
作者简介：
许芹，女，中国矿业大信电学院在读硕士研究生，主要研究方向通信与信息系统。
袁小平，男，中国矿业大学信电学院教授，博士生导师，国家级电工电子教学实验中心副
主任，苏鲁皖地区高等学校电子技术研究会理事，中国计算机学会高级会员，江苏省
科技项目评审专家。主要研究方向 :通信与信息系统、信号与信息处理、电路与系统、
煤矿安全监测等。
联系方式：皖·凤阳安徽科技学院工学院电子信息教研室，233100
